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4.1 圆的方程 PPT课件2



9圓
9.1 圓的方程
圓方程的標準式

9圓
9.1 圓的方程
圓方程的標準式
AP ? 半徑 ? r
? ( x ? h) 2 ? ( y ? k ) 2 ? r
( x ? h) 2 ? ( y ? k ) 2 ? r 2

若圓心為原點 (0,

0) 且半徑 為 r,則圓方程為:
x2 ? y2 ? r 2

圖 9.1

9圓

9.1 圓的方程
圓方程的一般式
展開圓方程的標準式, 可得
( x ? h) 2 ? ( y ? k ) 2 ? r 2 x 2 ? 2hx ? h 2 ? y 2 ? 2ky ? k 2 ? r 2 x 2 ? y 2 ? 2hy ? 2ky ? (h 2 ? k 2 ? r 2 ) ? 0

若 D ? ?2h.......... .......... .......... .......... .......... 1) .....( E ? ?2k.......... .......... .......... .......... .......... 2) .....(
F ? h 2 ? k 2 ? r 2 .......... .......... .......... .......... 3) ...(

則可得出圓方程的一般式:
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

9圓

9.1 圓的方程
圓方程的一般式
綜合以上結果,得
h??
k ??

D 2
E 2

r 2 ? h2 ? k 2 ? F
? D? ? E? r ? ?? ? ? ?? ? ? F ? 2? ? 2?
2 2 2

r?

1 D 2 ? E 2 ? 4F 2

9圓

9.1 圓的方程
圓方程的一般式
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

? D E? 圓心 ? ? ? , ? ? 2? ? 2 1 半徑 ? D 2 ? E 2 ? 4F 2

? D? ? E? 或 ? ?? ? ? ?? ? ? F ? 2? ? 2?
備註:
(1) (2) 圓方程的一般式是一個關於 x、y 的二次方程,其中 x2 與 y2 的係數相等,且方程中不存在 x y 項。 在利用上述公式求一般式之圓心和半徑時,

2

2

必須使 x2 與 y2 的係數都等於 1 。

9圓

9.1 圓的方程 例 9.1
若一圓的圓心為 (3, ? 7) 且半徑為 2 個單位,試求該圓的方程 ?

解:

所求的圓方程是 ( x ? 3) 2 ? [ y ? (?7)]2 ? 22
2 2 2 ? ( x ? h) ? ( y ? k ) ? r

x 2 ? 6 x ? 9 ? y 2 ? 14 y ? 49 ? 4
x 2 ? y 2 ? 6 x ? 14 y ? 54 ? 0 ?

9圓

9.1 圓的方程 例 9.2
若一圓的圓心為 (2, 1) 且通過點 (8, 4) ,試求該圓的方程 ?

解:

半徑 ?

(2 ? 8) 2 ? (1 ? 4) 2

? 45 所求的圓方程是
( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( 45 ) 2
x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 40 ? 0 ?

9圓

9.1 圓的方程 例 9.3
若某圓通過 A(–1, –1)、B(–3, 5) 和 C(1, 3)三點,試求該圓的方程。 解: 設所求的圓方程為

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? 由於點 A(–1, –1)、B(–3, 5) 及 C(1, 3)位於圓上,
(?1) 2 ? (?1) 2 ? D(?1) ? E (?1) ? F ? 0 (?3) 2 ? (5) 2 ? D(?3) ? E (5) ? F ? 0 (1) 2 ? (3) 2 ? D(1) ? E (3) ? F ? 0

化簡後,得 ? D ? E ? F ? ?2 .......... .......... .........(1) ? 3D ? 5E ? F ? ?34 .......... .......... .......(2) D ? 3E ? F ? ?10 .......... .......... .......(3) 由於點 (1)、 (2) 及 (3) ,得 D = 4、 E = –4 及 E = –2 ,
因此,所求的圓方程是 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ?

9圓

9.1 圓的方程 例 9.5
某圓的圓心位於直線 y = x + 1上,且該圓通過點 (5, 2)。 若該圓與直線 y = 3 – x 相切,試求圓方程。 解:

9圓

9.1 圓的方程 例 9.5
某圓的圓心位於直線 y = x + 1上,且該圓通過點 (5, 2)。 若該圓與直線y = 3 – x 相切,試求圓方程。 解:

設圓心為 (h, k ) ?
由於 (h, k ) 位於 y ? x ? 1上,因此,
k ? h ? 1.......... .......... .......... .......... .......... .......... 1) .....(
此外,
(h ? 5) 2 ? (k ? 2) 2 ? h? k ?3 12 ? 12 (? 半徑)

(h ? k ? 3) 2 (h ? 5) ? (k ? 2) ? .......... .........( 2) 2
2 2

9圓

9.1 圓的方程 例 9.5
某圓的圓心位於直線 y = x + 1上,且該圓通過點 (5, 2)。 若該圓與直線y = 3 – x 相切,試求圓方程。 解:
(2h ? 2) 2 (h ? 5) ? (h ? 1) ? 2 h 2 ? 10h ? 25 ? h 2 ? 2h ? 1 ? 2(h 2 ? 2h ? 1)
2 2

把 (1) 代入 (2) ,可得

2h 2 ? 12h ? 26 ? 2h 2 ? 4h ? 2
?
把 h ? 3 代入 (1) ,可得 k ?4

h?3

半徑 ? (3 ? 5) 2 ? (4 ? 2) 2 ? 8 因此,所求的圓方程是

( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? ( 8) 2 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 17 ? 0 ?

9圓

9.1 圓的方程 例 9.6
若某圓與兩坐標軸相切,且通過點 (4, 2),試求該圓可取 的兩個方程。 解:

9圓

9.1 圓的方程 例 9.6
若某圓與兩坐標軸相切,且通過點 (4, 2),試求該圓可取 的兩個方程。 解:

設圓半徑為 r (? 0) ? 因此,其圓心是 (r, r ) ?
所求的圓方程是 ( x ? r )2 ? ( y ? r )2 ? r 2 .

由於 (4, 2) 位於圓上,因此,
(4 ? r ) 2 ? (2 ? r ) 2 ? r 2

16 ? 8r ? r 2 ? 4 ? 4r ? r 2 ? r 2 r 2 ? 12r ? 20 ? 0 (r ? 2)(r ? 10) ? 0

r ? 2 或 10
圓可取的兩方程是

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 及 x 2 ? y 2 ? 20 x ? 20 y ? 100 ? 0 ?

9圓

9.2 直線與圓的交點

9圓

9.2 直線與圓的交點

沒有交點
圖 9.6(a)

9圓

9.2 直線與圓的交點

沒有交點
圖 9.6(a)

一個交點
圖 9.6(b)

9圓

9.2 直線與圓的交點

沒有交點
圖 9.6(a)

一個交點
圖 9.6(b)

二個交點
圖 9.6(c)

設直線 L 與圓 C 的方程為 L : y ? mx ? c.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 1) .(

C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F .......... .......... .......... .......... .......... .......... 2) ..(

把 (1) 代入 (2) ,可得 x 2 ? (mx ? c) 2 ? Dx ? E (mx ? c) ? F ? 0 (1 ? m 2 ) x 2 ? (2mc ? D ? Em) x ? (c 2 ? Ec ? F ) ? 0 .......... .......... .........( ) ?

9圓

9.2 直線與圓的交點
綜合以上討論,撮要出 下列三種情況:

9圓

9.2 直線與圓的交點
綜合以上討論,撮要出 下列三種情況:
情況一:



d ?r



(?) 的判別式 ? 0 ,
圖 9.7(a)

則直線L 與圓 C 不相交。

9圓

9.2 直線與圓的交點
綜合以上討論,撮要出 下列三種情況:
情況一:



d ?r



(?) 的判別式 ? 0 ,
圖 9.7(a)

則直線 L 與圓 C 不相交。
情況二:

若 或

d ?r (?) 的判別式 ? 0 ,

則直線L 與圓 C 相交於 (x1, y1)一 點 (即 L 是 C 的切線)。 注意 x = x1 是 (?) 唯一的根 。

圖 9.7(b)

9圓

9.2 直線與圓的交點
綜合以上討論,撮要出 下列三種情況:
情況一:



d ?r



(?) 的判別式 ? 0 ,
圖 9.7(a)

則直線 L 與圓 C 不相交。
情況二:

若 或

d ?r (?) 的判別式 ? 0 ,

則直線L 與圓 C 相交於 (x1, y1)一 點 (即 L 是 C 的切線)。 注意 x = x1 是 (?) 唯一的根 。
情況三:

圖 9.7(b)

若 或

d ?r (?) 的判別式 ? 0 ,

則直線L 與圓 C 相交於 (x1, y1) 和 (x2, y2 ) 兩個相異點。 注意, x = x1 及 x = x2是 (?) 的根。

圖 9.7(c)

9圓

9.2 直線與圓的交點 例 9.8
試求圓 x2 + y2 + 2y – 9 = 0 與直線 2x – y – 6 = 0 的交點數目。 解:

2x ? y ? 6 ? 0 y ? 2x ? 6.......... .......... .......... .......... .......... 1) .....(
x 2 ? y 2 ? 2 y ? 9 ? 0.......... .......... .......... .......... .......... .......... 2) ..(

把 (1) 代入 (2) ,可得
x 2 ? (2 x ? 6) 2 ? 2(2 x ? 6) ? 9 ? 0 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0.......... .......... .......... ?) ...(

(?) 的判別式 ? (?4) 2 ? 4(1)(3) ?4 ?0

因此,圓與直線有兩個交點。

9圓

9.2 直線與圓的交點 例 9.8
試求圓 x2 + y2 + 2y – 9 = 0 與直線 2x – y – 6 = 0 的交點數目。 另解:

圓心 ? (0, ?1) 1 2 半徑 ? 0 ? 22 ? 4(?9) 2 ? 10
從圓心到直線 2x – y – 6 = 0 的垂直距離

?
?

2(0) ? (?1) ? 6 2 2 ? (?1) 2
5 5

? 5 ? 半徑

因此,直線 2x – y – 6 = 0 與圓形相交於兩個相異點。

9圓

9.3 圓的切線
切線方程

9圓

9.3 圓的切線
切線方程
1. 位於圓周上一點的切線

P( x1 , y1 ) 是圓 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0上的一點 ?
? D E? Q 點的坐標 ? ? ? ,? ? ? 2 2?

? L ? PQ
? ? 1 ? L 的斜率 ? ?? ? PQ 的斜率 ? ? ? ? 2x ? D ?? 1 2 y1 ? E

圖 9.14

9圓

9.3 圓的切線
切線方程
根據點斜式, 的方程是 L
y ? y1 ? ? 2 x1 ? D ( x ? x1 ) 2 y1 ? E

由於 P( x1 , y1 ) 位於圓周上,因此, x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0

因此, 的方程可寫成: L
圖 9.14

? x ? x1 ? ? y ? y1 ? x1 x ? y1 y ? D? ? E? ? ??F ?0 ? 2 ? ? 2 ?

9圓

9.3 圓的切線 例 9.11
試求圓 x2 + y2 - 2y + 8y - 8 = 0 在點 (5, -1) 的切線之方程。 解: 所求的切線方程是

? x ? 5 ? ? y ? 1? 5x ? (?1) y ? 2? ? ? 8? ? ?8 ? 0 2 ? ? 2 ? ?

5x ? y ? ( x ? 5) ? 4( y ?1) ? 8 ? 0
4 x ? 3 y ? 17 ? 0 ?

9圓

9.3 圓的切線
2. 具有已知斜率的切線 若要求出 L1 及 L2 的方程,我們可以考慮 (i) 判別式或

(ii) 從圓心到切線的垂直距離及圓半徑。

讓我們通過以下的例題加以說明。

圖 9.15

9圓

9.3 圓的切線 例 9.12
已知一圓 x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 – 1 的切 線之方程。
解: 設所求的切線方程為 y ? ?x ? c.......... .......... .......... .......... .......... .......... 1) .....(

把 (1) 代入圓方程,可得
2 x 2 ? 2(c ? 4) x ? (c 2 ? 4c ? 6) ? 0 .......... .......... ........( ) ?

若 (1) 代表一條切線,則

(?) 的? ? 0 [?2(c ? 4)] ? 4(2)(c ? 4c ? 6) ? 0 4 ? c2 ? 0 c ? ?2 或 2 所求的切線方程是 y ? ?x ? 2 及 y ? ?x ? 2
2 2

即x? y?2?0



x ? y ? 2 ? 0?

9圓

9.3 圓的切線 例 9.12
已知一圓 x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 –1 的切 線之方程。 另解:
? (?4) 4 ? 圓心 ? ? ? ,? ? 2 2? ? ? (2, ? 2) 1 半徑 ? (?4) 2 ? 42 ? 4(6) 2 ? 2

如圖 9.8 所示,設所求的切線方程為
y ? ?x ? c

x ? y ? c ? 0.......... .......... .......... .......... .......... 2) ..(

9圓

9.3 圓的切線 例 9.12
已知一圓 x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 –1 的切 線之方程。 由於 (2) 代表一條切線,因此,(2) 與圓心 的距離等於圓半徑。

9圓

9.3 圓的切線 例 9.12
已知一圓 x2 + y2 – 4x + 4y + 6 = 0。試求斜率為 –1 的切 線之方程。 由於 (2) 代表一條切線,因此,(2) 與圓心 的距離等於圓半徑。

2 ? (?2) ? c 1 ?1
2 2

? 2

?c ? 2 2 c ?? 2 或 2

c ? 2 2

c ? ?2



c?2
圖 9.16

? 所求的切線方程是 x ? y ? 2 ? 0 及 x ? y ? 2 ? 0.

9圓

9.3 圓的切線
3. 從外點到圓的切線

圖 9.17

9圓

9.3 圓的切線
3. 從外點到圓的切線 若要求出L1 及 L2 的方程,我們可以考慮 前述的兩種方法 即利用(i) 判別式 (?) = 0 或

(ii) 從圓心到切線的垂直距離 (d) =圓的半徑 (r) 。

圖 9.17

9圓

9.3 圓的切線
從外點到圓的切線之長度

9圓

9.3 圓的切線
從外點到圓的切線之長度
o 由於 ?PTQ ? 90, 因此,根據畢氏定理,

PT ? ( x1 ? h)2 ? ( y1 ? h)2 ? r 2

PT ? x1 ? y1 ? Dx1 ? Ey1 ? F
2 2

圖 9.20

9圓

9.3 圓的切線 例 9.14
試求從點(1, –2)到圓 4x2 + 4 y2 – 6x + 8y + 3 = 0 的切線之 長度。 解:
4x2 ? 4 y 2 ? 6x ? 8 y ? 3 ? 0

3 3 x2 ? y2 ? x ? 2 y ? ? 0 2 4

3 3 切線的長度 ? (1) 2 ? (?2) 2 ? (1) ? 2(?2) ? 2 4
? 1 4 1 ? 2

9圓

9.4 圓族
同心圓族
考慮圓的方程 S : ( x ? h) 2 ? ( y ? k ) 2 ? r 2,其中 r ? 0 ?
當 r 值變化時, S 代表一系列的圓 , 這些圓具有同樣的圓心 (h, k) 但有 著不同的半徑。

9圓

9.4 圓族
同心圓族
考慮圓的方程 S : ( x ? h) 2 ? ( y ? k ) 2 ? r 2,其中 r ? 0 ?
當 r 值變化時, S 代表一系列的圓 , 這些圓具有同樣的圓心 (h, k) 但有 著不同的半徑。 我們把 S 稱為同心圓族。
? (h,k )

圖 9.23

9圓

9.4 圓族
通過直線與圓的交點之圓族
若直線 L: Ax + By + C = 0 與圓 C: x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0 相交於 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2) 兩點。 則存在著一通過 P 和 Q 兩點的圓 S, 其方程為:
S : x 2 ? y 2 ? Dy ? Ey ? F ? k ( Ax ? By ? C ) ? 0 , 其中 k 為一實常數 ?

注意,當 k 值變化時, S 代表通過 L 與 C 的交點之圓族。

9圓

9.4 圓族
通過直線與圓的交點之圓族
若直線 L: Ax + By + C = 0 與圓 C:x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0 相交於 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2) 兩點。 則存在著一通過 P 和 Q 兩點的圓 S, 其方程為:
S : x 2 ? y 2 ? Dy ? Ey ? F ? k ( Ax ? By ? C ) ? 0 , 其中 k 為一實常數 ?

P( x1,y1 )

? ( x2 ,y2 )
C

L

S

注意,當 k 值變化時, S 代表通過 L 與 C 的交點之圓族。

S S
圖 9.25

9圓

9.4 圓族 例 9.16
試求通過 C: x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 與直線 L: x + y = 1 的交 點,且圓心位於 y 軸上符合以下條件的圓方程。

解:
設所求的圓方程為 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? k ( x ? y ? 1) ? 0 即 x 2 ? y 2 ? (k ? 2) x ? (k ? 2) y ? (1 ? k ) ? 0.......... ......( ) ? ?2?k 2?k ? 圓心 ? ? , ? 2 ? ? 2 由於圓心位於 y 軸上,因此, 2?k ? 0 ? y 軸上任意一點 x 坐標都是零 2 k ?2 所求的圓方程是 x 2 ? y 2 ? (2 ? 2) x ? (2 ? 2) y ? (1 ? 2) ? 0 即 x2 ? y 2 ?1 ? 0 ?

9圓

9.4 圓族
通過兩圓的交點之圓族

9圓

9.4 圓族
通過兩圓的交點之圓族
如圖 9.27所示,兩圓 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 及 C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0

相交於 P( x1 , y1 ) 和 Q( x2 , y2 ) 兩點 ?
若圓 S 通過 P 和 Q 兩點, 其方程可寫成:

S ? x 2 ? y 2 ? D1 x ? F1 y ? F1 ? k ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? F2 y ? F ) ? 0 , 其中 k 為一常數,且 k ? ?1 ?

圖 9.27

9圓

9.4 圓族
通過兩圓的交點之圓族
當 k ? ?1時, 方程 S 可簡化成

L : ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0

如圖 9.28 所示,L 將通過兩圓 C1 與 C2 的公共弦 PQ。

9圓

9.4 圓族
通過兩圓的交點之圓族
當 k ? ?1時, 方程 S 可簡化成

L : ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0

如圖 9.28 所示,L 將通過兩圓 C1 與 C2 的公共弦 PQ。

圖 9.28

9圓

9.4 圓族
通過兩圓的交點之圓族

9圓

9.4 圓族
通過兩圓的交點之圓族

1. 若兩圓的圓心之距離等 於其半徑之和, 即 O1O2 ? r1 ? r2,則兩圓互相外切 ?

圖 9.30a

9圓

9.4 圓族
通過兩圓的交點之圓族

1. 若兩圓的圓心之距離等於其半徑之和, 即 O1O2 ? r1 ? r2,則兩圓互相外切 ?

圖 9.30a

2. 若兩圓的圓心之距離等 於 r1 ? r2, 即O1O2 ? r1 ? r2,則兩圓互相內切 ?

圖 9.30b

9圓

9.4 圓族 例 9.18
若某圓通過點 (1, 2) 及兩圓 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 和 C2 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交點,試求圓的方程 ?

解:

9圓

9.4 圓族 例 9.18
若某圓通過點 (1, 2) 及兩圓 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 和 C2 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交點,試求圓的方程 ?

解:

設所求的圓方程為 S ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 7 ? k ( x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 y ? 1) ? 0 ?

把 (1, 2) 代入 S 的方程,可得 (1) 2 ? (2) 2 ? 2(1) ? 3(2) ? 7 ? k[(1) 2 ? (2) 2 ? 3(1) ? 2(2) ? 1] ? 0 6 ? 3k ? 0 k ? ?2 所求的圓方程是
x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 7 ? 2( x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 y ? 1) ? 0
即 x2 ? y 2 ? 4x ? 7 y ? 5 ? 0 ?

圖 9.31



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