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高二数学期末复习专题圆锥曲线及答案



高二数学期末复习专题:圆锥曲线 姓名
1 椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为 2 抛物线 y=ax2 的焦点坐标是 x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为 3 在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 . m m ?4 4 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点,

AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为
5 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到该 抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |?

5 ,则点 P 到右准线的距离为 2 x2 y2 5 ? ? 1 有公共焦点,离心率等于 7 与椭圆 的双曲线的方程为 9 4 2
6 已知椭圆 3x +4y =12 上一点 P 与左焦点的距离为
2 2



8 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点。若 M,O, N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是 9 若椭圆的对称轴为坐标轴, 长轴长与短轴长的和为 18 , 焦 6 距为 ,则椭圆的方程为 10 已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 的方程为 ﹣ + =1,双曲线 C2 ,则 C2

=1,C1 与 C2 的离心率之积为

的渐近线方程为

x2 y 2 3a P 为直线 x ? 11 设 F1F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 上一点, ?F2 PF1 2 a b 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为 x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 12.如果椭圆 36 9 13 已知椭圆的对称轴为坐标轴, 短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三 角形,且焦点到椭圆上的点的最短距离为 3 ,则椭圆的方程为
14 椭圆 C: 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范

围是[﹣2,﹣1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是

15. 设 F1,F2 分别是椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E

于 A,B 两点,|AF1|=3|F1B|. (Ⅰ)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; (Ⅱ)若 cos∠AF2B= ,求椭圆 E 的离心率.

16 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心在坐标原点 O,右焦点为 F.若 C 的右准 2 线 l 的方程为 x=4,离心率 e= . 2 (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 设点 P 为准线 l 上一动点,且在 x 轴上方.圆 M 经过 O、F、P 三点,求当圆心 M 到 x 轴的距离最小时圆 M 的方程.

x2 y2 17 给定椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),称圆 C1:x2+y2=a2+b2 为椭圆 C 的“伴随圆” .已知 a b 椭圆 C 的离心率为 3 ,且经过点(0,1). 2

(1)求实数 a,b 的值; (2)若过点 P(0,m)(m>0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且 l 被椭圆 C 的伴 随圆 C1 所截得的弦长为 2 2,求实数 m 的值.

18 已知椭圆 C :

6 x2 y 2 . ? ? 1(a ? 2) 的离心率为 2 3 a 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 若 P 是椭圆 C 上任意一点,Q 为圆 E : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 上任意一点, 求 PQ 的最大值.

x2 y2 19 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P(-1,-1),c 为椭圆的半焦距,且 c= 2b.过点 a b P作 两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l1 的斜率为-1,求△PMN 的面积; (3)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程.

20 已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点(0,

) ,离心率为 ,左右焦点分别为 F1(﹣c,

0) ,F2(c,0) . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l:y=﹣ x+m 与椭圆交于 A、B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C、D 两点, 且满足 = ,求直线 l 的方程.

15 解 解: (Ⅰ )∵ |AB|=4,|AF1|=3|F1B|, 答: ∴ |AF1|=3,|F1B|=1, ∵ △ ABF2 的周长为 16, ∴ 4a=16, ∴ |AF1|+|AF2|=2a=8, ∴ |AF2|=5; (Ⅱ )设|F1B|=k(k>0) ,则|AF1|=3k,|AB|=4k, ∴ |AF2|=2a﹣3k,|BF2|=2a﹣k ∵ cos∠ AF2B= , ∴ (4k) =(2a﹣3k) +(2a﹣k) ﹣ (2a﹣3k) (2a﹣k) , 化简可得 a=3k, ∴ |AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k 2 2 2 ∴ |BF2| =|AF2| +|AB| , ∴ AF1⊥ AF2, ∴ △ AF1F2 是等腰直角三角形, ∴ c= ∴ e= = a, .
2 2 2

x2 y2 16 解: (1) 由题意, 设椭圆 C 的标准方程为 2 + 2=1(a>b>0), 则 解得 a=2 2, a b c 2 = , a 2 2 2 x y c=2.从而 b2=a2-c2=4.所以所求椭圆 C 的标准方程为 + =1. 8 4 (2) (解法 1)由(1)知 F(2,0).由题意可设 P(4,t),t>0. 线段 OF 的垂直平分线方程为 x=1.① t? t 因为线段 FP 的中点为? ?3,2?,斜率为2, t 2 2 6 t 所以 FP 的垂直平分线方程为 y- =- (x-3),即 y=- x+ + .② 2 t t t 2 x=1, ? ? ? t 4? 联立①②,解得? t 4 即圆心 M?1,2+ t ?. ? ?y=2+ t , t 4 t4 t 4 因为 t>0,所以 + ≥2 ·=2 2,当且仅当 = ,即 t=2 2时,圆心 M 到 x 轴的距 2 t 2t 2 t 离最小,此时圆心为 M(1,2 2),半径为 OM=3.故所求圆 M 的方程为(x-1)2+(y-2 2)2 =9. (解法 2)由(1)知 F(2,0).由题意可设 P(4,t),t>0.因为圆 M 过原点 O,故可设圆 M 的

? ? ?

a2 =4, c

? ? ? ?4+2D=0, ? 方程为 x +y +Dx+Ey=0.将点 F、 P 的坐标代入得 解得? 2 ? 8? ?16+t +4D+tE=0, ? ?E=- t+ .
D=-2,
2 2

?

?

t?

D E? t 4 t 4 t4 所以圆心 M 的坐标为? =2 2, ?- 2 ,- 2 ?,即(1,2+ t ).因为 t>0,所以2+ t ≥2 2· t t 4 当且仅当 = ,即 t=2 2时,圆心 M 到 x 轴的距离最小,此时 E=-4 2.故所求圆 M 的方 2 t 程为 x2+y2-2x-4 2y=0. 17(1)记椭圆 C 的半焦距为 c. c 3 由题意,得 b=1, = ,c2=a2+b2, a 2 解得 a=2,b=1. 分 x2 (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 +y2=1,圆 C1 的方程为 x2+y2=5. 4 显然直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0. ?????????????? 6 分 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, kx+m, ?y= ? 2 故方程组?x 2 ? 4 +y =1 ? (*) 有且只有一组解. ?????????????????? 4

由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 从而△=(8km)2-4(1+4k2)( 4m2-4)=0. 化简,得 m2=1+4k2.① 分 因为直线 l 被圆 x2+y2=5 所截得的弦长为 2 2, 所以圆心到直线 l 的距离 d= 5-2= 3. 即 分 由①②,解得 k2=2,m2=9. 因为 m>0,所以 m=3. |m| = 3. k2+1 ② ??????????????? 14 ???????????????? 10

18、解: (1)由题设知 e ? ∴ e2 ? 3分 解得 a 2 ? 6 .

6 , 3

c 2 a 2 ? b2 a 2 ? 2 6 2 ? ? ? ? . ??????????????????? a2 a2 a2 9 3

∴椭圆 C 的方程为 6分

x2 y 2 ? ?1. 6 2

????????????????????

(2)圆 E : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 的圆心为 E (0, 2) ,点 Q 在圆 E 上, ∴ PQ≤EP ? EQ ? EP ? 1(当且仅当直线 PQ 过点 E 时取等号) .???????? 9分 设 P( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上的任意一点, 则
x0 2 y0 2 ? ? 1 ,即 x02 ? 6 ? 3 y02 . 6 2

∴ EP2 =x02 +(y0 ? 2)2 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 12 . ?????????????????? 13 分
2 ? 因为 y0 ? ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, EP 取得最大值 12,即 PQ≤2 3 ? 1 .

所以 PQ 的最大值为 2 3+1 . ?????????????????16 分 1 1 4 19、解: (1)由条件得 2+ 2=1,且 c2=2b2,所以 a2=3b2,解得 b2= ,a2=4. a b 3 x2 3y2 所以椭圆方程为: + =1. 4 4 (2)设 l1 方程为 y+1=k(x+1),
?y=kx+k-1, 联立? 2 消去 y 得(1+3k2)x2+6k(k-1)x+3(k-1)2-4=0. 2 ?x +3y =4,

???????3 分

-3k2+6k+1 3k2+2k-1 因为 P 为(-1,1) ,解得 M( , ) .?????????5 分 1+3k2 1+3k2 k2-6k-3 -k2-2k+3 1 当 k≠0 时,用- 代替 k,得 N( 2 , ) . ?????????7 分 k k +3 k2+3 将 k=-1 代入,得 M(-2,0) ,N(1,1) . 因为 P(-1,-1) ,所以 PM= 2,PN=2 2,

1 所以△PMN 的面积为 × 2×2 2=2. 2 (3)解法一:设 M(x1,y1),N(x2,y2),则

?????????9 分

?x12+3y12=4, ? 2 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0, 2 ?x2 +3y2 =4,

因为线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 y1+y2=0,从而可得(x1+x2)(x1-x2)=0.??? 12 分 若 x1+x2=0,则 N(-x1,-y1). → → 因为 PM⊥PN,所以PM·PN=0,得 x12+y12=2. 又因为 x12+3y12=4,所以解得 x1=±1,所以 M(-1,1),N(1,-1)或 M(1,-1), N(-1, 1). 所以直线 MN 的方程为 y=-x. ?????14 分 若 x1-x2=0,则 N(x1,-y1) , → → 因为 PM⊥PN,所以PM·PN=0,得 y12=(x1+1)2+1. 1 又因为 x12+3y12=4,所以解得 x1=- 或-1, 2 1 经检验:x=- 满足条件,x=-1 不满足条件. 2 1 综上,直线 MN 的方程为 x+y=0 或 x=- . 2 ????????16 分

3k2+2k-1 解法二:由(2)知,当 k≠0 时,因为线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 =- 1+3k2 -k2-2k+3 , k2+3 化简得 4k (k2-4k-1)=0,解得 k=2± 5. ??????????12 分 1 5 1 5 1 若 k=2+ 5,则 M(- , ) ,N(- ,- ) ,此时直线 MN 的方程为 x=- . 2 2 2 2 2 1 5 1 5 1 若 k=2- 5,则 M(- ,- ) ,N(- , ) ,此时直线 MN 的方程为 x=- .? 2 2 2 2 2 14 分 当 k=0 时,M(1,-1) ,N(-1,1) ,满足题意,此时直线 MN 的方程为 x+y=0. 1 综上,直线 MN 的方程为 x=- 或 x+y=0. 2 解答: 解: (Ⅰ )由题意可得 , ???????16 分

解得

,c=1,a=2. .
2 2

∴ 椭圆的方程为

(Ⅱ )由题意可得以 F1F2 为直径的圆的方程为 x +y =1. ∴ 圆心到直线 l 的距离 d= 由 d<1,可得 , . (*)

∴ |CD|=2

=

=



设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .

联立
2 2



化为 x ﹣mx+m ﹣3=0, 可得 x1+x2=m, ∴ |AB|= . = .



=

,得



解得

满足(*) . .

因此直线 l 的方程为



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