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§2.5 等比数列的前n项和 A



第二章 数 列

§2.5 等比数列的前n项和

复习:
等差数列 等比数列

定义
通项公式

an?1 ? an ? d an?1 ? an ? d
an ? am ? (n ? m)d
m?n ? r ?s

an?1 ? an q<

br />an ? am q
n?m

an ?1 ?q an

性质

(m, n, r , s ? N * )

am ? an ? ar ? as
Sn

n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

am an ? ar as

8

7

6

5

4

8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐? 1 3 2 1

OK

陛下,赏小 请在第一个格 请在第四个格 子放1颗麦粒 人一些麦粒 请在第二个格 子放8颗麦粒 依次类推…… 子放2颗麦粒 请在第三个格 就可以。
子放4颗麦粒

?
64个格子

8

7

6

5

4

3

2

1

8 7 6 5 4 3 2 1

你认为国王 有能力满足 上述要求吗

每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的

2倍, 且共有 64 格子.

2 1

0

2

1

2

2

2

3

?? 2 63

?

由刚才的例子可知:实际上就是一个以1为首项,2 为公比的等比数列的前64项的求和问题,即:

S 64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? …… ? 2 62 ? 2 63
把上式左右两边同乘以2 得:



2S 64 ?

2 ? 4 ? 8 ? 16+ ……

? 2 63 ? 2 64



由②- ①得:

S 64 ? 2 64 ? 1

错 位 相 减 法
19

=18446744073709551615≈1.84 ?10

假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的 总质量超过了7000亿吨。 所以当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计 数时,国王才发现:就是把全印度甚至全世界 的麦粒全拿来,也满足不了他的要求。 其实,人们估计,全世界一千年也难以 生产这么多麦子!是当时全世界在两千年内所 产的小麦的总和!
如果造一个宽四米,高四米的粮仓来储存这些粮 食,那么这个粮仓就要长三亿千米,可以绕地球赤道 7500圈,或在太阳和地球之间打个来回。

S 64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? …… ? 2 62 ? 2 63
把上式左右两边同乘以2 得:



2S 64 ?

2 ? 4 ? 8 ? 16+ ……
S 64 ? 2 64 ? 1

? 2 63 ? 2 64



错 位 相 减 法

由②- ①得:

思考: (1)为什么②式选择乘以2,而不是别的数字? 乘以2有什么样的好处? (2)类比以上例子,你能发现什么规律?

如何求等比数列的Sn:
S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

错位相减法
n ?1

S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? a1q
2

n?2

? a1q


n

qSn ?

a1q ? a1q ? a1q ? ? ? a1q
2 3

n ?1

? a1q ②
n

①-② ,得 (1 ? q) S n ? a1 ? 0 ? ? ? 0 ? a1q
(1 ? q) S n ? a1 ? a1q
n

a1 ? 1 ? q Sn ? 1? q

?

n

?

(q≠1)

等比数列前n项和公式的推导

a1 ? 1 ? q Sn ? 1? q

?

n

?

(q≠1)

思考:那q=1怎么办呢?

提示:q=1说明数列有什么特点?

等比数列前n项和公式的推导

? na1 (q ? 1) ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) (q ? 1) ? 1? q ?
注意:
1.使用公式求和时,需注意对q 的情况加以讨论;

? 1和 q ? 1

2.推导公式的方法:错位相减法。

等比数列前n项公式
当 q ? 1 时,

a1 (1 ? q ) Sn ? 1? q
n



a1 ? a n q Sn ? 1? q

当q=1时,

S n ? na1

公式运用
判断是非
①1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? (?2) n?1

1 ? (1 ? 2 n ) ? 1 ? ( ?2)
n

n (? 2)

1 ? (1 ? 2 ) ② 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? 2
2 3 n

n+1

c 2 [1 ? (c 2 ) n ] ③ c 2 ? c4 ? c6 ? ? ? c 2n ? 1 ? c2

c 可能为 或0 1
2

例1 已知 {a n } 是等比数列,请完成下表:
题号 a1 q n an Sn

(1) (2)

1 2

1 2

8

1 256

255 256

1 1 8 [1 ? ( ) ] 解: 2 S8(3) 2 ? 1 1? 2 1 8 ? 1?( ) 2
255 ? 256

1 1 7 a8 ? ? ( ) 2 2 96 ? ? 263 n ?1 1 8? an ? a1 q ?( ) 2 1 ? 256

例1 已知 {a n } 是等比数列,请完成下表:
题号 a1 q n an Sn

(1) (2)

1 2

1 2
2 3

8

1 256

255 256

27

4

8

65
? 63

a1 ? a4 q 2 n?1 解:? an 27 ? ( ) ? 8 ? 2 S 4 ? ? 96 1? q 3 2 n ?1 2 3 2 ? an ? ( ) ? ( ) 27 ? 8 ? 3 3 3 ? 2 1? ?n ? 4 3 ? 65
(3) ?

例1 已知 {a n } 是等比数列,请完成下表:
题号 a1 q n an Sn

(1) (2) (3)

1 2

1 2
2 3

8

1 256

255 256

27

4

8
? 96

65
? 63

3

?2

6

a1、q、n、an、Sn中 知三求二

课本58页练习1

(1)a1 ? 3, q ? 2, n ? 6
3(1 ? 2 ) Sn ? ? 189 1? 2
6

1 1 (2)a1 ? ?2.7, q ? ? , an ? 3 90

1 1 ? 2.7 ? ? (? ) 90 3 ? ? 91 Sn ? 1 45 1 ? (? ) 3

1 1 1 1 求数列1 , 2 , 3 , 4 ,? 的前n项的和. 2 4 8 16
1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (n ? n ) 解: 2 4 8 16 2 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? (2 ? ) ? (3 ? ) ? ? ? (n ? n ) 2 4 8 2 1 1 1 1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ? ? ? ? ? n ) 2 4 8 2 1 1 n n(n ? 1) 2 [1 ? ( 2 ) ] ? ? 1 2 1? n2 ? n 1 2 ? ?1? n 2 2

拓展

反 思

分组求和

例2.某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年 的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今 起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保 留到个位)? 分析:第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台 第3年产量为 5000×(1+10%) ×(1+10%) 第n年产量为 5000 ?1.1 则n年内的总产量为:
2

……

? 5000?1.1 台
2

n ?1


n ?1

5 ? 5 ?1.1 ? 5 ?1.1 ? ? ? 5 ?1.1

例2.某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的 销售量比上一年增加10%,那么从第一年起,约几年内 可使总销售量达到30000台(保留到个位)?
解 : 根据题意, 每年的销售量比上一年 增加的百分率相同 , 所以从第一年起, 每年的销售量组成一个 等比数列?an ?,

a1 ? 5000

q ? 1 ? 10 % ? 1.1
n

S n ? 30000

an (1 ? q ) 5000 (1 ? 1.1n ) 即 ? 30000 Sn ? 1 ? 1.1 1? q n 即 1.1 ? 1.6 两边取对数, 得n lg 1.1 ? lg 1.6

得n ? 5

答:约5年内可以使总销售量达到30000台.

回顾
a1 ? a n q 当 q ? 1 时, S n ? 1? q n a1 (1 ? q ) 或 Sn ? ② 1? q
1.等比数列前n项公式



当q=1时,

S n ? na1

当已知 a1 , q, n 时用公式②;当已知 a1 , q, a n 时,用公式①.

n ?1 ? S1, 2. an ? ? ? S n ? S n ?1 , n ? 2

3.

? S1 ? a1 (n ? 1) ? ?S n ? S n ?1 ? an (n ? 1)



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