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自主招生考试中的数列与极限(带答案)


自主招生考试中的数列与极限 一、 数列的通项 1、 (2012 卓越)设 {an } 是等差数列,{bn } 是等比数列,记 {an } ,{bn } 的前 n 项和分别 为 Sn , Tn ,若 a3 ? b3 , a4 ? b4 , 且

S5 ? S3 a ?a ? 5 ,则 5 3 ? b5 ? b3 T4 ? T2

。 ? (

3 ) 5

2、 (2012 北大保送生)正项等比数列 {an } ,满足 a4 ? a3 ? a2 ? a1 ? 5 ,求 a5 ? a6 的最 小值。答案:20 3、 2005 全国数学联赛浙江预赛) ( 已知数列 {xn } , 满足 (n ? 1) xn?1 ? xn ? n , x1 ? 2 , 且 则 x2005 ? 。

4、 (2009 北大自主)已知一无穷等差数列中有 3 项:13,25,41。求证:2009 为数列 中一项。 5、 (2000 上海交大)两个等差数列 200,203,206,……和 50,54,58,……都有 100 项, 它们共同的项的个数是 。 21 二、 数列的前 n 项和 6 、 若 [ x ] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ( 如 [1.3] ? 1,[ ?2 ] ? ?3 等 ), 则

1 4

[

1 1 1 1 ]?[ ]?[ ] ??? [ ]? 2 ? 1? 2 3? 2?3 4 ? 3? 4 2013 ? 2012 ? 2013



答案:2012 7、 (2006 复旦大学)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,

an ?

1 ,求 S2003 。 ( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n ? 1)( n ? n ? 1) 1 ? 2 501 ? 2003 2

答案: S2003 ?

8、设等比数列 {an } 的各项为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项的和的 4 倍,且第二项与第四项的积是第三项与第四项和的 9 倍,则数列 {lg an } 的前 和最大。 9、 (2011 安徽高考)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个实数构成递增的 等比数列,将这 n ? 2 个数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn (n ? 1) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; 项

(Ⅱ)设 bn ? tan an ? an?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . tan

10、 (2012 卓越)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 0, vSn?1 ? uSn ? a1v ,其中 u, v 是 正整数,且 u ? v, n ? N * 。 (Ⅰ)证明 {an } 为等比数列; (Ⅱ)设 a1 , a p 两项均为正整数,其中 p ? 3 。 (1) 若 p ? a1 ,证明 v 整除 u ; (2) 若存在正整数 m , 使得 a1 ? m
p ?1

, p ? (m ? 1) p?1 , 证明: p ? (m ? 1) p ? m p 。 a S

三、 数列与极限 11、 (2012 华约)已知数列 {an } 的通项公式 an ? lg(1 ? 列的前 n 项和,求 lim Sn 。
n??

2 ), n ? 1, 2,? , Sn 是数 n ? 3n
2

答案: lg 3

12、 (2011 华约)已知函数 f ( x) ? 令 x1 ?

2x 1 2 ,f (1) ? 1,f ( ) ? , ax ? b 2 3

1 1 ,xn ?1 ? f ( xn ) 。(I)求数列 {xn } 的通项公式;(II)证明 x1 x2 ? xn ?1 ? 。 2 2e 1 2 2x 解:由 f (1) ? 1,f ( ) ? 得a ? b ? 1,f ( x) ? 2 3 x ?1
(I)先求出 x1 ?

1 2 4 8 2n ?1 ,x2 ? ,x3 ? ,x4 ? , 猜想 xn ? n ?1 。 用数学归纳法证 2 3 5 9 2 ?1

明 。 当 n = 1 显 然 成 立 ; 假 设 n = k 显 然 成 立 , 即 xk ?

2k ?1 ,则 2k ?1 ? 1

xk ?1 ? f ( xk ) ?

2 xk 2k ,得证。 ? k xk ? 1 2 ? 1

(II) 我们证明

1 ? 2e 。事实上, x1 x2 ? xn ?1

1 1 1 1 ? 2(1 ? )(1 ? )?(1 ? n ) 。我们注意到 x1 x2 ? xn?1 2 4 2

1 ? 2a ? (1 ? a)2, , 2n a ? (1 ? a)2 ,于是 ? 1?
n

1 1 n?1 1 n 1 n ? 2(1 ? n )2 ??? 2?1 ? 2(1 ? n )2 ?1 ? 2(1 ? n )2 ? 2e x1 x2 ? xn?1 2 2 2
13、 (2009 浙江大学自主)已知 a1 ? 1, an ? 1 ? (1)求证: 1 ? an ? 2 ; (2) 求证:

1 (n ? 2) , an ?1

1 an ?1 ? an 2 ?| |? 3 an ? an ?1 3

14、(2010 湖南改编)若数列

{an } 满足:对任意的 n ? N * ,只有有限个正整数

m 使得

am ? n 成立,记这样的 的个数为 (an )* ,则得到一个新数 列 {(an )*} .例如,若数列 m {an } 是 0,1, 2,3, 4,5,?, n ? 1,? ,则数列 {(an )*} 是 2,3, 4,5,?, n ? 1,? .已知对任意的
2 * n ? N * , an ? n ,则 (a9 ) ?



((an )* )* ?

答案:3, n ? 2n
2

解答:当 an ? n 时,数列 {an } 是 1,4,9,16,25,? ,所以:
2

(a1 )* ? 1,(a2 )* ? 1,(a3 )* ? 1,(a4 )* ? 2,(a5 )* ? 2 ,……
更一般地,当 k 2 ? n ? (k ? 1)2 时, (an ) ? k ,(即: (an )* ? [ n ] )
*

所以: (a1 ) ? 1,(a4 ) ? 2,(a9 ) ? 3,(a16 ) ? 4,?
* * * *

所以: ((a1 ) ) ? 2 ? 1 ? 3, ((a2 ) ) ? 3 ? 1 ? 8, ((a3 ) ) ? 4 ? 1 ? 15 ,……
* * 2 * * 2 * * 2

((an )* )* ? (n ? 1)2 ? 1 ? n2 ? 2n


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