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2013高考数学第一轮复习讲座1 ----集合与简易逻辑



2013 高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑 复习要求
1、理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义; 2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法; 3、理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命题,掌握反证法; 4、理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系; 5、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。

学习指导
1、集合的概念: (1)集合中元素特征,确定性,互异性,无序性; (2)集合的分类: ①按元素个数分:有限集,无限集; ②按元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x },表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x }表示开口向上, 以 y 轴为对称轴的抛物线; (3)集合的表示法: ①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如 N+={0,1,2,3,?};②描述法。 2、两类关系: (1)元素与集合的关系,用 ? 或 ? 表示; (2)集合与集合的关系,用 ? , ? ,=表示,当 A ? B 时,称 A 是 B 的子集;当 A ? B 时,称 A 是 B 的 ? ? 真子集。 3、集合运算 (1)交,并,补,定义:A∩B={x|x∈A 且 x∈B},A∪B={x|x∈A,或 x∈B},CUA={x|x∈U,且 x ? A} , 集合 U 表示全集; (2)运算律,如 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) U(A∩B)=(CUA)∪(CUB) ,C , CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。 4、命题: (1)命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题; (2)复合命题的形式:p 且 q,p 或 q,非 p; (3)复合命题的真假:对 p 且 q 而言,当 q、p 为真时,其为真;当 p、q 中有一个为假时,其为假。 对 p 或 q 而言,当 p、q 均为假时,其为假;当 p、q 中有一个为真时,其为真;当 p 为真时,非 p 为假; 当 p 为假时,非 p 为真。 (3)四种命题:记“若 q 则 p”为原命题,则否命题为“若非 p 则非 q” ,逆命题为“若 q 则 p“,逆 否命题为”若非 q 则非 p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题为真的个数只能 是偶数个。 5、充分条件与必要条件 (1)定义:对命题“若 p 则 q”而言,当它是真命题时,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件,当它
1
2 2

的逆命题为真时,q 是 p 的充分条件,p 是 q 的必要条件,两种命题均为真时,称 p 是 q 的充要条件; (2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分 四种情况说明:充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。从集合角 度看,若记满足条件 p 的所有对象组成集合 A,满足条件 q 的所有对象组成集合 q,则当 A ? B 时,p 是 q 的充分条件。B ? A 时,p 是 q 的充分条件。A=B 时,p 是 q 的充要条件; (3)当 p 和 q 互为充要时,体现了命题等价转换的思想。 6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。 7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。

典型例题
例 1、已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求 M∩N。 解题思路分析: 在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M、N 均为数集,不能误认为是点集, 从而解方程组。 其次要化简集合, 或者说使集合的特征明朗化。 M={y|y=x +1, x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+1, x∈R}={y|y∈R} ∴ M∩N=M={y|y≥1} 说明:实际上,从函数角度看,本题中的 M,N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地,集合 {y|y=f(x), x∈A}应看成是函数 y=f(x)的值域, 通过求函数值域化简集合。 此集合与集合{ (x, |y=x +1, y) x∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线 y=x +1 上的所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与 代表元素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。 例 2、已知集合 A={x|x -3x+2=0},B+{x|x -mx+2=0},且 A∩B=B,求实数 m 范围。 解题思路分析: 化简条件得 A={1,2},A∩B=B ? B ? A 根据集合中元素个数集合 B 分类讨论,B=φ ,B={1}或{2},B={1,2} 当 B=φ 时,△=m -8<0 ∴ ?2 2?m?2 2 当 B={1}或{2}时, ? 当 B={1,2}时, ? ∴ m=3 综上所述,m=3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 说明:分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本 题当 B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。 例 3、用反证法证明:已知 x、y∈R,x+y≥2,求 证 x、y 中至少有一个大于 1。 解题思路分析: 假设 x<1 且 y<1,由不等式同向相加的性质 x+y<2 与已知 x+y≥2 矛盾 ∴ 假设不成立
2
2 2 2 2 2 2 2

?? ? 0 ?1 ? m ? 2 ? 0 或 4 ? 2 m ? 2 ? 0

,m 无解

?1 ? 2 ? m ?1 ? 2 ? 2

∴ x、y 中至少有一个大于 1 说明;反证法的理论依据是:欲证“若 p 则 q”为真,先证“若 p 则非 q”为假,因在条件 p 下,q 与 非 q 是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立) ,所以当“若 p 则非 q”为假时, “若 p 则 q”一定为 真。 例 4、若 A 是 B 的必要而不充分条件,C 是 B 的充要条件,D 是 C 的充分而不必要条件,判断 D 是 A 的 什么条件。 解题思路分析: 利用“ ? ”“ ? ”符号分析各命题之间的关系 、 D? C ? B? A ∴ D ? A,D 是 A 的充分不必要条件 说明:符号“ ? ”“ ? ”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的。 、 例 5、求直线?:ax-y+b=0 经过两直线?1:2x-2y-3=0 和?2:3x-5y+1=0 交点的充要条件。 解题思路分析: 从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。 由 ?
?2 x ? 2 y ? 3 ? 0 ?3 x ? 5 y ? 1 ? 0

得?1,?2 交点 P(

17 11 , ) 4 4

∵ ?过点 P ∴ a?
17 4 ? 11 4 ?b?0

∴ 17a+4b=11 充分性:设 a,b 满足 17a+4b=11 ∴ b?
11 ? 17 a 4

代入?方程: ax ? y ? 整理得: ( y ?
11 4

11 ? 17 a 4

?0

) ? a (x ?

17 4

)?0
11 4 ? 0, x ? 17 4 ? 0 的交点( 17 11 , ) 4 4

此方程表明,直线?恒过两直线 y ? 而此点为?1 与?2 的交点 ∴ 充分性得证 ∴ 综上所述,命题为真

说明:关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种是利用“ ? ” ,双向传输,同时证明充分性及必 要性;另一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。

同步练习
(一) 选择题
2

1、设 M={x|x +x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与 M 的关系是 A、{a}=M B、M ? {a} ? C、{a} ? M ?
3

D、M ? {a}

2、已知全集 U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|≥3},且 A∩B=φ ,则 a 的取值范围是 A、 [0,2] A、 M ? N ? B、 (-2,2)
2

C、 (0,2]
2

D、 (0,2)

3、已知集合 M={x|x=a -3a+2,a∈R},N、{x|x=b -b,b∈R},则 M,N 的关系是 B、M ? N ? C、M=N D、不确定

4、设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则 A∪B 中的元素个数是 A、11 B、10 C、16 D、15

5、集合 M={1,2,3,4,5}的子集是 A、15 B、16 C、31 D、32

6、对于命题“正方形的四个内角相等” ,下面判断正确的是 A、所给命题为假 C、它的逆命题为真 7、 ≠β ”是 cosα ≠cosβ ”的 “α A、充分不必要条件 C、充要条件 A、S ? B ? A ? ?
2

B、它的逆否命题为真 D、它的否命题为真

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 B、S=B ? A ? C、S ? B=A ? D、S ? B=A ?

8、集合 A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3?+1,?∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是

9、方程 mx +2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 A、0<m≤1 或 m<0 C、m<1
2

B、0<m≤1 D、m≤1

10、已知 p:方程 x +ax+b=0 有且仅有整数解,q:a,b 是整数,则 p 是 q 的 A、充分不必要条件 充要条件 (二) 填空题
m?4 2 ? Z },N={x| x?3 2 ? N } ,则 M∩N=__________。

B、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

11、已知 M={ m |

12、 100 个学生中, 在 有乒乓球爱好者 60 人, 排球爱好者 65 人, 则两者都爱好的人数最少是________ 人。 13、关于 x 的方程|x|-|x-1|=a 有解的充要条件是________________。 14、命题“若 ab=0,则 a、b 中至少有一个为零”的逆否命题为____________。 15、非空集合 p 满足下列两个条件: (1)p ? {1,2,3,4,5}, (2)若元素 a∈p,则 6-a∈p,则集 ? 合 p 个数是__________。

(三)

解答题

16、设集合 A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=|x|},若 A∩B 是单元素集合,求 a 取值范围。

4

17、已知抛物线 C:y=-x +mx-1,点 M(0,3) ,N(3,0) ,求抛物线 C 与线段 MN 有两个不同交点的充 要条件。

2

18、设 A={x|x +px+q=0}≠φ ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若 A∩M=φ ,A∩N=A,求 p、 q 的值。

2

19、已知 a ? x 2 ?

1 2

,b=2-x,c=x -x+1,用反证法证明:a、b、c 中至少有一个不小于 1。

2

参考答案
(一)选择题 1、C 2、A 3、C 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、D 10、A

(二)填空题 11、φ 12、25,60 13、-1≤a≤1 14、若 a、b 均不为 0,则 ab≠0 15、7

(三)解答题 16、a≥1 或 a≤-1,提示:画图 17、3<m≤ 18、 ?
10 3

?p ? ?8 ? q ? 16

,或 ?

? p ? ? 20 ? q ? 10

,或 ?

? p ? ? 14 ? q ? 40

5



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