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2.2.3向量数乘运算及其几何意义



人教版 A 高中数学必修 4

编写者:张冠文

审核:陈文旭

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标: (1)理解数乘向量的意义及其几何意义; (2)掌握向量的运算律,并能熟练地运用运算律对向量的线性组合进行化简; (3)掌握向量共线定理。 学习重点:向量的数乘运算。 学习难点:向量共线定理。 学习过程: 一、复习: (1)向量加法三角形法则和向量加法平行四边形法则?它们的特点是什么? (2)向量的减法?特点是什么? 二、建构教学:1.阅读课本 p87 回答下面问题: (1)已知向量 a, 如何作出 a ? a ? a 和 (?a) ? (?a) ? (?a)? (2)向量 3a 与向量 a 有什么关系? 向量 ?3a 与向量 a 有什么关系? (3)向量的数乘运算的定义? 它的长度和方向规定? (4)数乘向量的几何意义?运算律又有哪些? 2.向量数乘的定义:一般地,实数 ? 与向量 a 的积是一个__________,记作_________,它 的长度和方向规定如下: (1) | ?a |? __________________; (2) 当 ? ? 0 时,? a 与 a 方向________;当 ? ? 0 时,? a 与 a 方向___________;当 a ? 0 时, ? a ? ___________; 当 ? ? 0 时, ? a ? ____________。 3、实数与向量相乘,叫做向量的数乘。注意:向量数乘的结果是一个向量。 4、向量数乘的运算律: (1) ? ( ? ?a ) ? ___________; (3) ? (a ? b ) ? ____________。 例 1、计算:

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? ? ?

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(2) (? ? ? )a ? ___________;

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( ? 3) ? 4a ; (1)

?

(2) 3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a ;

? ?

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?

(3) (2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c )

?

? ?

?

? ?

变式:P90 第 5 题
1

人教版 A 高中数学必修 4

编写者:张冠文

审核:陈文旭

5、向量共线的判定定理:

向量 a (a ? 0) 与 b 共向,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ?

? ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? 举例:设 e 是非零向量,若 a ? b ? 2e ,2a ? b ? ?3e ,试问:向量 a 与 b 是否共线?

.

例 3、如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB ? a , D

??? ?

?

C M

???? ? ? ???? ???? ???? ???? ? ? ? AD ? b ,试用 a , b 表示向量 MA 、 MB 、 MC 和 MD 。
A

B

变式:P90 第 6 题

2



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