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2009年湖北省鄂州高中自主招生数学试题及答案


2009 年鄂州高中自主招生考试数学试题
一、选择题(3 分*12=36 分) 1、已知 a=2009x+2008,b=2009x+2009,c=2009x+2010,则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-ac 的值为( D ) A、0 B、1 C、2 D、3

2、在同一直角坐标系中,函数 y=mx+m 和 y=-mx2+2x+2(m 是常数,且 m≠0)的图象可 能是( D ) y y y y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

3、第二象限有一点 P(x , y) ,且 x ? 5, y ? 7 ,则点 P 关于原点的对称点的坐标是(B A、 (-5,7) B、 (5,-7) C、 (-5,-7) D、 (5,7)



4、若方程 x2+(4n+1)x+2n=0(n 为整数)有两个整数根,则这两个根( C ) A、都是奇数 B、都是偶数 C、一奇一偶 D、无法判断

5、如右下图,等边 ΔABC 外一点 P 到三边距离分别为 h1,h2,h3, 且 h3+h2-h1=3,其中 PD= h3,PE= h2,PF= h1。则 ΔABC 的 面积 SΔABC=(B ) A、 2 3 B、 3 3 C、 10 3 D、 12 3 D B E F C P A

PS:解:连 BP,PC,AP。 设边长为 a 则 S=根号 3a? / 4 又 S=(a*h2+a*h3-a*h1)/2 又 h3+h2-h1=3 ∴化简得 6a=根号 3 a?
-1-

a=2 根号 3 S=3 根号 3

6、某班有 50 人,在一次数学考试中,得分均为整数,全班最低分为 48 分,最高分为 96 分, 那么该班考试中( A ) A、至少有两人得分相同 C、得分相同的情况不会出现 B、至多有两人得分相同 D、以上结论都不对

7、若实数 a 满足方程 a ? 1 ? 1 ? a ? 1 ,则 ?a ? =( B ) ,其中 ?a ? 表示不超过 a 的最大整 a a 数。 A、0 B、1 C、2 D、3

移项平方得,a?+a-1=2a*根号 a-1/a 再平方得 a-√(1-1/a)=√(a-1/a) 两边平方 (a-1-1/a)? =0 a-1/a-1=0 a? -a-1=0 a=(1±√5)/2 a=≈1.618

所以[a]=1
8、 在⊿ABC 中, Q 分别在 AB、 上, BP ? CQ ? 1 , PQ 一定经过⊿ABC 的 C ) P、 AC 且 则 ( AP QA A、垂心 B、外心 C、重心 D、内心

.i:特殊法,令 P 为中点,Q 为顶点,可得 ii。 解:我们这样做辅助线: :

-2-

延长 QP,交 CB 于 D 点。然后取 BC 中点,连接 AE 交 PQ 于 F 点(要证明过重心撒,证 明 F 是重心就完工了嘛) 有重心定理,F 是重心的话,AF=2EF,证出来就行了啦 证明:根据梅涅劳斯定理 DQ 是△ACE 的割线 ∴CQ/AQ*AF/EF*ED/CD=1 移个小项就有了 CQ/AQ=EF/AF*CD/ED……………① 然后△ABE 中 DP 也是其割线 ∴BP/AP*AF/EF*DE/BD=1 得到了 BP/AP =EF/AF*BD/DE…………..② ①+②得到 CQ/AQ+ BP/AP==1(这是题目的)=EF/AF*CD/ED + EF/AF*BD/DE 看见公因式没有? EF/AF? 提个公因式
-3-

EF/AF * (BD+CD)/DE=1 再看看图 BD+CD 是不是 2BD+BC=2(BD+BE)=2DE? 看不懂再看看,E 是中点吧 再就清楚了 EF/AF*2=1 ∴AF=2EF OK! F 是重心了! ∴PQ 过△ABC 的重心!

9、在高速公路上,从 3 千米处开始,每隔 4 千米经过一个限速标志牌,并且从 10 千米处开 始,每隔 9 千米经过一个速度监控仪,刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施,那 么,第二次同时经过这两种设施是在( C )千米处。 A、36 B、37 C、55 D、91

10、已知 x2-ax+3-b=0 有两个不相等的实数根,x2+(6-a)x+6-b=0 有两相等的实数 根,x2+(4-a)x+5-b=0 无实数根,则 a 、b 的取值范围是(A A、2﹤a﹤4 2﹤b﹤5 C、1﹤a﹤4 1﹤b﹤5 B、1﹤a﹤4 2﹤b﹤5 D、2﹤a﹤4 1﹤b﹤5 )

11、用火柴棒按下图中的方式搭图形,按照这种方式搭下去,搭第 334 个图形需( D )根 火柴棒。

A、2007

B、2008

C、2009
-4-

D、2010

12、已知函数 f(x)=x2+λx,p、q、r 为⊿ABC 的三边,且 p﹤q﹤r,若对所有的正整数 p、 q、r 都满足 f(p)﹤f(q)﹤f(r) ,则 λ 的取值范围是( D ) A、λ﹥-2 B、λ﹥-3 C、λ﹥-4 D、λ﹥-5

二、填空题(4 分*6=24 分) 13、设多项式 x3-x-a 与多项式 x2+x-a 有公因式,则 a= 0 或 6 假设 x? -x-a=A(x+p);x? +x-a=B(x+p) 则 x=-p 时,x+p=0 所以两式右边都是 0 所以左边也是 0 -p? +p-a=0 p? -p-a=0 相减 p? -2p=0 +p? p(p+2)(p-1)=0 p=0,p=-2,p=1 代入-p? +p-a=0 p=0,a=0 p=-2,a=6 p=1,a=0 ;

所以 a=0,a=6
14、已知 n 个数 x1,x2,x3,…,xn,它们每一个数只能取 0,1,-2 这三个数中的一个, 且?

? x1 ? x2 ? ? xn ? ?5 ? 3 3 3 ,则 x1 ? x2 ? ? ? xn ? -29 2 2 2 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? 19 ?

;

15、如图,半径为 r1 的圆内切于半径为 r2 的圆,切点为 P,已 知 AC∶CD∶DB=3∶4∶2,则 连接 PO1,必过 O2 设 r1=2a 则相交弦定理有
-5-

r1 ? 1:3 ; r2
A C

?O2 ?O1 D B P

5a*4a=2a(2r2-2a) R2=6a 所以 1:3 16、已知正数 a、b、c 满足 a2+c2=16,b2+c2=25, 则 k=a2+b2 的取值范围为 9<k<41 ;

17、将正方形由下往上对折,再由左向右对折,称为完成一次操作(如图) ,按上边规则, 完成 6 次操作以后,再剪去所得小正方形的左下角,问:当展开这张正方形纸片后,一 共有 个小孔。

找规律:一次 1 个,二次 4 个,3 次 4?个.. ∴为 4 的 6 次方个小孔 18、非零实数 x、y 满足 。

?

x2 ? 2009 ? x

??

y 2 ? 2009 ? y ? 2009 ,则

?

x ? 2008 y 2008 x ? y

-1 X=-y

三、解答题(19~21 题每题 8 分,22~25 题每题 9 分,共 60 分) 19、 分)已知直线 y=kx+b(k<0)与 x、y 轴交于 A、B 两点,且与双曲线 y ? ? (8 点 C(m , 2) ,若⊿AOB 的面积为 4 ,求⊿BOC 的面积。 C(-1,2) -k+b=2 b=2+k 解析式为 y=kx+2+k A(-2-k/k,0) B(0,2+k) 所以 S⊿AOB =(2+k)方/k=-8 4+4k+k 方=-8k
-6-

2 交于 x

K=正负 4 根号 2 - 6 ∴S=2 根号 2 加减 2

20、 分)甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏。他们在不透明的袋子中放入形状、 (8 大小均相同的 19 张卡片,其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为 3、 4、5、7,两人各随机摸出一张卡片(先摸者不放回)来比胜负,并约定:“锤子”胜“石 头”和“剪子”,“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“锤子”和“石头”,同种卡片不分胜 负。 ⑴若甲先摸,他摸出“石头”的概率是多少? ⑵若甲先摸出了“石头”,则乙获胜的概率是多少? ⑶若甲先摸,则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大? 解: (1)4/19 (2)摸到布 7,锤子 3 P=10/18=5/9 (3)P 摸锤子胜=9/18*3/19 P 石头=5/18*4/19 P 剪=7/18*5/19 P 布=7/18*7/19 P 布最大 ∴摸布胜利可能最大

21、 分)如图,AB 是⊙O 的直径,AD 是弦,∠DBC=∠A. (8 ⑴求证:BC 与⊙O 相切; ⑵若 OC 是 BD 的垂直平分线, 垂足为 E, BD=6, CE=4, 求 AD 的长。 1) 证明:∠DBC+角 ABD=90°=∠A.+∠ABD
-7-

A D O E B C

所以是切线 2) 解:BE=3 BC=5 三角形相似 AD/BD=BE/CE ∴AD=4.5

22、 分)m 是什么实数时,方程 x ? 4 x ? 5 ? m 有 4 个互不相等的实数根? (9
2

解:x>0 时 Y=x?-4x+5 x<0 时 y=x?+4x+5 画图像(略) 得到 1<m<5

23、 (9 分)在某旅游景区上山的一条小路上,有一些断断续续的台阶,下图是甲、乙段台 阶路的示意图。请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差)回答下列问题: ⑴两段台阶路有哪些相同点和不同点? ⑵哪段台阶走起来更舒服?为什么? ⑶为方便游客行走,需要重新整修上山的小路,对于这两段台阶路,在台阶数不变的情 况下,请你提出合理的整修建议(图中的数字表示每一级台阶的高度,单位:cm)

-8-

解: (1)总长度相同都是 90cm;中位数,方差, 众数不同 (2)甲 算方差:甲:1+1+1+1/6=2/3 乙:16+9+4+25+16/6=35/3 (3)都修成 15cm

24、 分)当 x 为何有理数时,代数式 9x2+23x-2 的值恰为两个连续正偶数的乘积? (9 解:设两个偶数为 2n,2n+2(n>0) 9x^2+23x-2=2n(2n+2) x 为有理数,△为完全平方数 △=23^2+4*9*[2+2n(2n+2)]=144n^2+144n+601 =36(4n^2+4n+1)+565 =[6(2n+1)]^2+565 设△=m^2 (不妨设 m>=0) m^2-[6(2n+1)^2]=(m+12n+6)(m-12n-6)=565=565*1=113*5 m+12n+6=565 m-12n-6=1 m=283,n=23 m+12n+6=113 m-12n-6=5 m=59,n=4 n=23,9x^2+23x-2=46*48,x=-17 或 x=130/9

n=4,9x^2+23x-2=8*10,x=2 或 x=-41/9

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