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江西省临川一中2014-2015学年高一数学上学期期末考试题


江西省临川一中 2014-2015 学年高一数学上学期期末考试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.每小题只有一个正确答案)
? 1. cos ?300 的值为(

?

?

) D.- 3 2 )

1 A. 2

B.

3 2

1 C.- 2

2. 函数 f ( x) ?

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是 ( 1? x
B.(1,+ ? )

A.(- ? ,-1)

C.(-1,1)∪(1,+ ? ) D.(- ? ,+ ? ) )

3.已知 a ? 0.7 0.8 , b ? log2 0.8, c ? 1.10.8 ,则 a , b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c 4. 将函数 y ? cos? x ? 最小值为( A. ) B. D. B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a

? ?

4? ? ? 的图象向左平移 ? ?? ? 0? 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 ? 的 3 ?
4? 3

? 2? C. 3 3 x ? 4 ( x ? 0), 5.设函数 f ( x) ? ? 则 f ( f (?1)) 的值为( log x ( x ? 0 ), 2 ?

? 6

)[来

A. 2

B. 1

C. ? 1

D. ? 2 )[来

6.已知向量 a ? (1,3),b ? (2,0) ,若 a ? b 与 a ? ? b 垂直,则 ? 的值等于( A. ? 6 B. ? 2 C.6 D.2

| ? |? ? ) 的部分图像如图 7.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0,
所示,当 x ?[0, ] 时,满足 f ( x) ? 1 的 x 的值为 (

?

2

)[来

A.

? 6

B.

? 4

C.

5? 24

D.

? 3
)[来

8. 已知 tan ?? ? ? ? ?

1 ?? 1 ?? ? ? , tan ? ? ? ? ? ? ,则 tan? ? ? ? ? ( 2 4? 3 4? ? ?
B. 2 C. 1

A. 2

D.

2 2

9. 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角形与 中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正 方形的面积是 1 , 小正方形的面积是

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于 ( 25



-1-

A.1 10.函数 y ?

B. ?

7 25

C.

7 25

D.高考 ? )[来

24 25

cos x 的图像大致是( ex
y y

y

y

O O x

x O x O x

A B C D 11. 若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算, 其参考数据如 下:

f (1) = -2 f (1.375) = -0.260
3 2

f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162

f (1.25) = -0.984 f (1.40625) = -0.054

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确度为 0.05)可以是( A.1.25 B.1.375 C.1.42 ( D.1.5 )[来

)[来

12.已知函数 f (x ) ? lg x - ( ) 有两个零点,则有
x

1 2

A. x 1x 2 ? 0

B. x 1 x 2 ? 1

C. x 1 x 2 ? 1

D. 0 ? x 1x 2 ? 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分. ) 13. 计算: (0.25) ? (
1 2 5

? ) 0 ? 2 ?1 =______.


→ 3→ 1→ → → 14.若等边△ABC 的边长为 3,平面内一点 M 满足CM= CA+ CB, 则MA·MB的值为 4 2

2 15.已知映射 f : A ? B ,其中 A ? [?1,1], B ? R ,对应法则是 f : x ? log 1 2 ? x , 2

?

?

, 对于 对于实数 k ? B ,在集合 A 中存在原像,则 k 的取值范围是 . 16.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程 fi ( x)(i ? 1, 2,3, 4) 关于时间 x( x ? 0) 的函数关系式分别为 f1 ( x) ? 2x ?1 , f 2 ( x) ? x , f3 ( x) ? x ,
3

f4 ( x) ? log2 ( x ?1) ,有以下结论:
① 当 x ? 1 时,甲走在最前面; ② 当 x ? 1 时,乙走在最前面; ③ 当 0 ? x ? 1 时,丁走在最前面,当 x ? 1 时,丁走在最后面; ④ 丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面; ⑤ 如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲。 其中,正确结论的序号为 (把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分) .
-2-

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 设全集为 R, A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 4 ? x ? 10?, (1)求 C R ? A ? B ?及 CR A ? B . (2) C ? {x | a ? 4 ? x ? a ? 4} ,且 A ? C ? A ,求 a 的取值范围.

18. (本小题满分 10 分) 已知向量 a ? (1,2) , b ? (cos? , sin ? ) ,设 c ? a ? t b ( t 为实数) .
2 (I) t ? 1 时,若 c // b ,求 2 cos ? ? sin 2? 的值;

(II)若 ? ?

?
4

,求 | c | 的最小值,并求出此时向量 a 在 c 方向上的投影.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) , g ( x) ? 2 lg(2 x ? t ) (t 为参数) . (1)写出函数 f ( x) 的定义域和值域; (2)当 x ? [0,1] 时,如果 f ( x) ? g ( x) ,求参数 t 的取值范围.

20.( 本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 cos
2

?x
2

? 3 sin ?x ? a 的图象上相邻两对称轴的距离为

?
2

.

(1)若 x ? R ,求 f ( x) 的递增区间;

-3-

(2)若 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值.

21. ( 本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,且 m ? (sin A ? sin B ? sin C, sin C) ,

n ? (sin B, sin B ? sin C ? sin A) ,若 m // n .
(1)求 A 的大小; (2)设 a ? 3, S 为 ?ABC 的面积,求 S ? 3 cos B cosC 的最大值及此时 B 的值.

22.(本小题满分 13 分) 定义: 对于函数 f ( x ) , 若在定义域内存在实数 x , 满足 f (? x) ? ? f ( x) , 则称 f ( x ) 为 “局 部奇函数” . (1)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2x ? 4a(a ? R) ,试判断 f ( x ) 是否为定义域 R 上的“局 部奇函数”?若是,求出满足 f (? x) ? ? f ( x) 的 x 的值;若不是,请说明理由; (2)若 f ( x) ? 2 x ? m 是定义在区间 [ ?1,1] 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范围; (3)若 f ( x) ? 4 x ? m ? 2 x?1 ? m 2 ? 3 为定义域 R 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范 围.

-4-

18. (本小题满分 10 分) 解: (I) t ? 1 , c ? (1 ? cos? ,2 ? sin ? )

c // b ? cos? (2 ? sin ? ) ? sin ? (1 ? cos? ) ? 0
得 tan ? ? 2 ; ?????3 分 ?????5 分

2 cos2 ? ? sin 2? ?
(II) ? ?

2 cos2 ? ? 2 sin ? cos? 2 ? 2 tan? 2 ? ?? 2 2 2 5 sin ? ? cos ? 1 ? tan ?

?
4

时, | c |?

(1 ?

3 2 2 2 2 2 t ) ? (2 ? t ) ? t 2 ? 3 2t ? 5 , 当 t ? 2 2 2
?????10 分

时,

| c | min ?

2 2

19. (本小题满分 12 分) 解: (1)定义域为(-1,+∞)????????2 分 值域为:R????????4 分 2 (2)由 f(x)≤g(x),得 lg(x+1)≤2lg(2x+t),得 x+1≤(2x+t) 在 x∈[0,1]恒成立? 6分 得 t≥ x+1-2x 在 x∈[0,1]恒成立????????????8 分 2 令 u= x+1(u∈[1, 2]),解得 x=u -1 ?????????10 分 2 得 h(x)= x+1-2x=-2u +u+2(u∈[1, 2])最大值为 1 故 t 的取值范围是[1,+∞) ??????????12 分

20.( 本小题满分 12 分)
-5-

2 解:已知 f ( x) ? 2 cos

?x
2

? 3 sin ?x ? a ? 2 sin(?x ?

?
6

) ? a ? 1 ????3 分



2? T ? ,∴w=2?????????????5 分 ? ,则 T=π = w 2 2

∴ f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? a ? 1 ????????????????6 分
?
6

(1)令-

?
2

+2kπ ≤2x+



?
2

+2kπ

则-

?
3

+kπ ≤x≤

?
6

+kπ

故 f(x)的增区间是[kπ -

?
3

, kπ +

?
6

], k∈Z??????????9 分

(2)当 x∈[0,

?
2

]时,

?
6

≤2x+

?

7 ≤ ? ??????????10 分 6 6

∴sin(2x+

?
6

)∈[-

1 , 1]??????????????????11 分 2

∴ f ( x) max ? 2 ? a ? 1 ? 4 ∴ a ? 1 ?????????12 分

x ?x x (2)当 f ( x) ? 2 ? m 时, f ( x) ? f (? x) ? 0 可化为 2 ? 2 ? 2m ? 0

x ?x 因为 f ( x) 的定义域为 [ ?1,1] ,所以方程 2 ? 2 ? 2m ? 0 在 [ ?1,1] 上有解.

-6-

1 2 5 5 为减函数,在 t ? (1,2) 上为增函数,所以此时 g (t ) ? [ 2, ] , ? 2m ? [2, ] ,即 2 2 5 m ? [? ,?1] ?????8 分 2
x 令 t ? 2 ? [ ,2] ,则 ? 2m ? t ? ;设 g (t ) ? t ? ,则 g (t ) ? t ? 在 t ? ( ,1) 上

1 2

1 t

1 t

1 t

(3)当

时,

可化为



,则

. t 2 ? 2mt ? 2m2 ? 8 ? 0 在 [2, ??) 有解即可保证 f ( x) 为“局部奇函数” 令 F (t ) ? t 2 ? 2mt ? 2m2 ? 8 , 1° 当 F (2) ? 0 , t ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 在 [2, ??) 有解, 由 2° 当 ,即 , 即 ,解得 在 [2, ??) 有 解 等 价 于
2 2

?? ? 4m 2 ? 4(2m 2 ? 8) ? 0 ? ,解得 1 ? 3 ? m ? 2 2 m?2 ? ? F (2) ? 0 ?
综上,所求实数 m 的取值范围为 ?????13 分

-7-


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