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高一数学指数函数及其性质的应用



1 . 已 知 集 合 M = { - 1,1} , N =
? ?1 x+1 ? ?x? <2 <4,x∈Z ?,则 ? ?2 ?

M∩N 等于(

)

A.{-1,1} C.{0}

B.{-1} D.{-1,0} )

1 ?1?b ?1?a 2.设

4<?4? <?4? <1,那么( ? ? ? ? A.aa<ab<ba C.ab<aa<ba B.aa<ba<ab D.ab<ba<aa

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.设 y1=4 ,y2=8 则( ) A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2 a 的取值范
0.9 0.48

1 -1.5 ,y3=(2) ,

?1?2a+1 ?1?3-2a 2.若?4? <?4? ,则实数 ? ? ? ?

围是(

)
第 1 页 共 1 页

?1 ? A.?2,+∞? ? ?

? ?1,+∞? B.? ? ?

C.(-∞,1)

? 1? ? D. -∞,2? ? ?

3.设函数 f(x)定义在实数集上,它的图 象关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x) =3x-1,则有( ) 2 3 1 B.f(3)<f(2)<f(3) 3 2 1 D.f(2)<f(3)<f(3)

1 3 2 A.f(3)<f(2)<f(3) 2 1 3 C.f(3)<f(3)<f(2)

4.如果函数 f(x)=(1-2a)x 在实数集 R 上是 减函数,那么实数 a 的取值范围是( 1 A.(0,2) 1 B.(2,+∞) 1 1 D.(-2,2) )

1 C.(-∞,2)

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

第 2 页 共 2 页

ex a 5.设 a>0,f(x)= a +ex(e>1),是 R 上 的偶函数,则 a=________. 6.下列空格中填“>、<或=”. (1)1.52.5________1.53.2
1.2



(2)0.5



________0.5

-1.5

.

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.根据下列条件确定实数 x 的取值范 围:
?1?1-2x a<?a ? (a>0 ? ?

且 a≠1)

8.已知 a>0 且 a≠1,讨论 f(x)=a-x2 +3x+2 的单调性. 9.(10 分)已知函数 f(x)=3x+3 x.


(1)判断函数的奇偶性; (2)求函数的单调增区间,并证明.

第 3 页 共 3 页

1.【解析】

y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,

1- y3=( ) 1.5=21.5, 2 ∵y=2x 在定义域内为增函数, 且 1.8>1.5>1.44, ∴y1>y3>y2. 【答案】 2.【解析】 D 1 函数 y= 4

( ) 在 R 上为减函数,
x

1 ∴2a+1>3-2a,∴a> .故选 A. 2 【答案】 3.【解析】 A 1 5 2 4 因为 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,所以 f( )=f( ),f( )=f( ),因为函数 f(x)=3x-1 3 3 3 3

5 3 4 2 3 1 在[1,+∞)上是增函数,所以 f( )>f( )>f( ),即 f( )<f( )<f( ).故选 B. 3 2 3 3 2 3 【答案】 4.【解析】 B 根据指数函数的概念及性质求解.

?a<1 ?1-2a>0 由已知得,实数 a 应满足? ,解得? 2 , ?1-2a<1 ?a>0
1 即 a∈(0, ).故选 A. 2 【答案】 5.【解析】
x

A 依题意,对一切 x∈R,都有 f(x)=f(-x),

e a 1 ∴ + x= x+aex, a e ae 1 1 ∴(a- )(ex- x)=0. a e 1 ∴a- =0,即 a2=1. a 又 a>0,∴a=1. 【答案】 6.【解析】 1 (1)考察指数函数 y=1.5x.

因为 1.5>1,所以 y=1.5x 在 R 上是单调增函数. 又因为 2.5<3.2,所以 1.52.5<1.53.2. (2)考察指数函数 y=0.5x. 因为 0<0.5<1,所以 y=0.5x 在 R 上是单调减函数. 又因为-1.2>-1.5,所以 0.5
-1.2

<0.5

-1.5

.

第 4 页 共 4 页

【答案】 7.【解析】

<,< 1 - 原不等式可以化为 a2x 1>a ,因为函数 y=ax(a>0 且 a≠1)当底数 a 大于 1 时在 R 上是增 2

函数;当底数 a 大于 0 小于 1 时在 R 上是减函数, 1 3 所以当 a>1 时,由 2x-1> ,解得 x> ; 2 4 1 3 当 0<a<1 时,由 2x-1< ,解得 x< . 2 4 3 3 综上可知:当 a>1 时,x> ;当 0<a<1 时,x< . 4 4 8.【解析】 3 设 u=-x2+3x+2=- x-2 , ( ) +17 4
2

3 3 则当 x≥ 时,u 是减函数,当 x≤ 时,u 是增函数. 2 2 又当 a>1 时,y=au 是增函数,当 0<a<1 时,y=au 是减函数, 3 3 所以当 a>1 时,原函数 f(x)=a-x2+3x+2 在 2,+∞ 上是减函数,在 -∞,2 上是增函数. 3 3 当 0<a<1 时,原函数 f(x)=a-x2+3x+2 在 2,+∞ 上是增函数,在 -∞,2 上是减函数. 9.【解析】 (1)f(-x)=3 +3
-x -x -(-x)

[

)

(

]

[

)

(

]

=3 +3x=f(x)且 x∈R,

-x

∴函数 f(x)=3x+3

是偶函数.

(2)由(1)知,函数的单调区间为(-∞,0]及[0,+∞),且[0,+∞)是单调增区间. 现证明如下: 设 0≤x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=3x1+3-x1-3x2-2-x2 3x2-3x1 1 1 =3x1-3x2+ - =3x1-3x2+ 3x1 3x2 3x13x2 1-3x1+x2 =(3x2-3x1)· . 3x1+x2 ∵0≤x1<x2,∴3x2>3x1,3x1+x2>1, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴函数在[0,+∞)上单调递增, 即函数的单调增区间为[0,+∞).

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