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2017届高考数学一轮复习 第三章 函数检测试题 文



第三章检测试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1 .函数 y ?

1 的定义域为( log 2 ( x ? 2)
B. (2, ??)

) C. (2,3) ? (3, ??) D. (2, 4) ? (4, ??)

A. (??

, 2) 2 .已知函数 f ? x ? ? ln A. ?1 3 .设函数 f ? x ? ? ?

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ( ? 2?
C. 1 ) D. 2

?



B. 0

? 2x , x ? 0 则f ? ? f ? ?1? ? ??( ?log 2 x, x ? 0,

(A) 2 (B) 1 (C) ? 2 (D) ? 1 4. a ? log0.3 4, b ? log4 3, c ? 0.3?2 ,则( ) (A) a ? c ? b
2

(B) c ? b ? a

(C) a ? b ? c )

(D) b ? a ? c

5.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) 的图象大致是 (

A.

B.

C.

D. )

2 2? )? f f (x )), 6、已知 f ( x ) 在 R 上是奇函数,且 f (xf ? .当x ? (0, 2)时,f ( x) ? 2 x , 则f (7) ? ( (x 4)? ? (x

A.-2

B.2

C.-98
2

D.98

7、函数 f(x)=㏑ x 的图像与函数 g(x)=x -4x+4 的图像的交点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.设函数 f ( x) ? lg(a ? b )(a ? 1 ? b ? 0) ,若 f ( x) 取正值的充要条件是 x ? [1,??) ,则 a ,b 满 足 ( ) A. ab ? 1 B. a ? b ? 1 C. ab ? 10 D. a ? b ? 10
x x

9 . 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ??) 单 调 递 增 . 若 实 数 a 满 足
f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是
2

( D. (0, 2]



A. [1, 2]

? 1? B. ? 0, ? ? 2?

?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

1

10.给出下列命题: ①在区间 (0, ??) 上, 函数 y ? x?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三个是增函数; ②若 logm 3 ? logn 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;③若函数 f ( x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点

1

?3x ?2 , x ? 2, 1 A(1,0) 对称;④已知函数 f ( x) ? ? 则方程 f ( x) ? 有 2 个实数根,其中正 2 ?log3 ( x ? 1), x ? 2,
确命题的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

11.定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时,

f ( x) ? ?2 x2 ? 12x ? 18,若函数 y ? f ? x ? ? loga ( x ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零点,则 a 的
取值范围是 ( ) A. (0,

2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

12. 若函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且 x ? ? ?1 , 则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的零点的个数为 A.10 B.9 C.8

函数 g ( x) ?| lg x | , ? 时,f ( x) ? x2 ,

D.7

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)

?2 x 3 , x ? 0 ? ? 13、已知函数 f ( x) ? ? ? ,则 f ( f ( )) ? ________ 4 ?? tan x,0 ? x ? 2 ?
14、 lg 5 ? lg 20 的值是___________.

9 ? 1 ? 3x 的实数解为_______. 3 ?1 16.奇函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?2, 2? ,若 f ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递减,且 f ?1 ? m? ? f ? m? ? 0 ,则
15.方程
x

实数 m 的取值范围是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)

2

已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a , b 的值;

b ? 2x 是奇函数. 2x ? a

(2)用定义证明 f ( x) 在 ?? ?,??? 上为减函数. (3)若对于任意 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的范围.

18.(本小题满分 12 分)近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元, 为了节能减排, 决定安装一个可 使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能 电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为 0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能
3

和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费 C (单位:万元)与安装

的这种太阳能电池板的面积 x (单位:平方米)之间的函数关系是

C ( x) ?

k ( x ? 0, k 20 x ? 100 为常数).

记 F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和. (1)试解释 C (0) 的实际意义, 并建立 F 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值是多少万元?

19 . ( 本小题满分 12 分 ) 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) , g ( x) ? log a

1 ,记 1? x

F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x)
4

(1)求函数 F ( x) 的定义域及其零点; (2)若关于 x 的方程 F ( x) ? m ? 0 在区间 [0, 1) 内仅有一解,求实数 m 的取值范围.

2 2 20、(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) x ,其中 a ? 0 ,区间 I ? ? x | f ( x) ? 0? .

(Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ; (Ⅱ)给定常数 k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值.

5

?1 x, 0 ? x ? a ? ?a 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ? ? 1 (1 ? x), a ? x ? 1 ? ?1 ? a
(1) 当 a=

a 为 常数且 a∈(0,1).

1 1 时,求 f(f( )); 2 3

(2) 若 x0 满足 f(f(x0))= x0,但 f(x0)≠x0,则称 x0 为 f(x)的二阶周期点,证明函数 f ( x ) 有且仅有 两个二阶周期点,并求二阶周期点 x1,x2; 2 (3)对于(2)中 x1,x2,设 A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a ,0),记△ABC 的面积为 s(a),求 s(a) 在区间[

1 1 , ]上的最大值和最小值. 3 2

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? =loga(x+1)(x>1).

6

(1)若 f ( x ) 在区间 [m, n](m ? ?1) 上的值域为 [log a

p p , log a ] ,求实数 p 的取值范围; m n

2 (2) 设函数 g ( x ) ? log a x ? 3 x ? 3 ,F ( x) ? a f ( x )? g ( x ) , 其中 a ? 1 .若 w ? F ( x) 对 ?x ? (?1, ??)

?

?

恒成立,求实数 w 的取值范围.

参考答案 1、【答案】C 【解析】要使函数有意义则 ? 2、【答案】D 【解析】 f (? x) ? ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? 1 所以 f ( x) ? f (? x) ? 2 ,因为 lg 2 , lg 以所求值为 2. 3、【答案】D 【解析】 f ( ?1) ? 2 4、【答案】C 【解析】 a ? log0.3 4 ? 0,0 ? log4 3 ? 1, c ? 0.3?2 ? 1,所以 a ? b ? c ,选 C. 5、【答案】A 【解析】由函数解析式可知 f ( x) ? f (? x) ,即函数为偶函数,排除 C;由函数图像过 (0,0) 点,排 除 B,D.选 A 6、【答案】A
?1

?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ,即 ? ,即 x ? 2 且 x ? 3 ,所以选 C. ?x ? 2 ? 1 ?log 2 ( x ? 2) ? 0
1 为相反数,所 2

?

1 1 1 f ? ?1? ? ? f ( ) ? log 2 ? ?1 ,选 D. ,所以 f ? ? ? 2 2 2

7

【 解 析 】 由 f (x ? 2) ? ?f (x ) , 得 f ( x? 4 )? f ( x ) , 所 以 函 数 f ( x ) 的 周 期 是 4. 所 以

f ( 7 )? f ( ? 1) ? ? f (1) ?? 2 A. ,选
7、【答案】C 【解析】 作出函数 f ? x ? ? ln x 与 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)2 的图象, 由图象可知两函数图象的交

点个数有 2 个,选 C. 8、答案:B 解析:f(x)>0 ? a x ? b x ? 1, 而

g ? x ? ? ax ? bx是增函数,只要y(1) ? 1,即a-b>1即可.故选B
9、【答案】C 【 解 析 】 因 为 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 l o 1g a??
2

, 所 以 l o g 2a

) ? f(1) ,因为函数在区 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? f (log 2 a) ? f (? log 2 a) ? 2 f (log a2) ? 2 f (1) ,即 f (log 2 a
2

间 [0, ??) 单调递增,所以 f ( log2 a ) ? f (1) ,即 log 2 a ?1 ,所以 ?1 ? log 2 a ? 1 ,解得
?1 ? 的取值范围是 ? , 2 ? ,选 C. ?2 ? 10、【答案】C

1 ? a ? 2 ,即 a 2

3 2 logm 3 ? logn 3 ? 0 , 【解析】①在区间 (0, ??) 上,只有 y ? x , y ? x 是增函数,所以①错误。②由

1

1 1 ? ?0 log3 n ? log3 m ? 0 ,所以 0 ? n ? m ? 1 ,所以②正确。③正确。④ log m log n 3 3 可得 ,即
当 x ? 2 时, 3
x ?2

? 1 ,可知

3x ? 2 ?

1 1 log 3 ( x ? 1) ? 2 有一个实根。当 x ? 2 时,由 2 ,得 x ?1 ? 3 ,

即 x ? 1 ? 3 ,所以④正确。所以正确命题的个数为 3 个。选 C. 11、【答案】B 【解析】因为函数是偶函数,所以 f (?1 ? 2) ? f (?1) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 0, 即 f ?1? ? 0 ,所以

8

f ? x ? 2? ? f ? x ? ? f ? ?x ? 所以函数 f ( x) 的周期是 2,图像关于直线 x ? 1 对称,由题意得,
方程

a ?1 f ? x ? ? loga ? x ?1? , g x ?l o g ax ? ?, ? 1 令 ? ? 有三个不相等的正实根, 由图象可知当

时, 不成立.所以

0 ? a ?1

.因为

f (2) ? ?2 , 所以

函数 y ? f ? x ? ? loga ? x ? 1? 在 (0,??) 上 要使

至少有三个零点,则有 g (2) ? ?2 ,即 g (2 ) ? lo g 3a

? 2 ? lo g ?

a

1 a?2 ,所以 3 ? a ?2 ,即 a 2 ? , 3

0?a? 所以
12、【答案】A

3 3 的取值范围是 (0, ) a 3 ,即 3 ,选 B,

.

1] 时,f ( x) ? x 2 , 【解析】 由 f ( x ? 2) ? f ( x) ,得 y ? f ( x) ( x ? R) 是周期为 2 的周期函数, 又当 x ? (?1,

可作出 f ( x) 与 g ( x) 的图象得 y ? f ( x) ( x ? R) 与 y ? g ( x) , x ? 0 交点的个数即是零点的个数.共 有 10 个,选 A.

二、填空题 13、【答案】 ? 2 【解析】 f ( f ( )) ? f (? tan

?

?
4

4

) ? f (?1) ? 2(?1) 3 ? ?2 .

14、【答案】1 【解析】 lg 5 ? lg 20 ? lg 5 ? 20 ? lg10 ? 1.

15、【答案】 log3 4

【解析】
x 所以 3 ? 4 ? x ? log3 4 。



16、【答案】 ? ? ,1?

? 1 ? ? 2 ?

9

【 解 析 】 因 为 奇 函 数 在 ? 0, 2? 上 单 调 递 减 , 所 以 函 数 f ( x ) 在 ? ?2, 2? 上 单 调 递 减 。 由

? ? ?2 ? m ? 2 ? ?2 ? m ? 2 ? ? f ?1 ? m? ? f ? m? ? 0 得 f (1 ? m) ? ? f (m) ? f (?m) ,所以由 ? ?2 ? 1 ? m ? 2 ,得 ? ?3 ? m ? 1 , ?1 ? m ? ? m ? 1 ? ?m ? ? ? 2
所以 ?

1 ? 1 ? ? m ? 1 ,即实数 m 的取值范围是 ? ? ,1? 。 2 ? 2 ?

三、解答题

? f ( x)为R 上的奇函数,? f (0) ? 0, b ? 1.
17.解:(1)

又f (?1) ? ? f (1),得a ? 1.
(2)任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2

经检验 a ? 1, b ? 1 符合题意.

f (x ) ? f (x ) ?
1 2

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )(2 x2 ? 1) ? (1 ? 2 x2 )(2 x1 ? 1) ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

则 =

2(2 x2 ? 2 x1 ) (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? x ? x ,? 2 x2 ? 2 x ? 0, 又 ? (2 x1 ? 1)(2 x 2 ? 1) ? 0 1 1 2 ? f ( x ) ? f ( x ) ? 0,? f ( x)为R上的减函数.
1 2

(3)? t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,

? f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k )
? f ( x) 为奇函数, ? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) ? f ( x) 为减函数, ? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .
2 2 2 即 k ? 3t ? 2t 恒成立,而 3t ? 2t ? 3(t ? ) ?

1 3

1 1 ?? . 3 3

1 ?k ? ? . 3
18、解: (1) C (0) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用, 即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费

10

k 2400 1800 ? 24 ,得 k ? 2400 所以 F ? 15 ? ? 0.5 x ? ? 0.5 x, x ? 0 100 20 x ? 100 x?5 1800 ? 0.5( x ? 5) ? 0.25 ? 2 1800 ? 0.5 ? 0.25 ? 59.75 (2)因为 F ? x?5 1800 ? 0.5( x ? 5) ,即 x ? 55 时取等号 当且仅当 x?5 所以当 x 为 55 平方米时, F 取得最小值为 59.75 万元
由 C (0) ? 19、解:(1) F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ( a ? 0 且 a ? 1) 1? x

?x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 ,所以函数 F ( x) 的定义域为 (?1, 1) ? ?1 ? x ? 0
令 F ( x) ? 0 ,则 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ? 0 ……(*)方程变为 1? x

log a ( x ? 1) 2 ? log a (1 ? x) , ( x ? 1) 2 ? 1 ? x ,即 x 2 ? 3 x ? 0
解得 x1 ? 0 , x2 ? ?3 经检验 x ? ?3 是(*)的增根,所以方程(*)的解为 x ? 0 所以函数 F ( x) 的零点为 0 . (2) m ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 (0 ? x ? 1) 1? x

m ? log a

x 2 ? 2x ? 1 4 ? log a (1 ? x ? ? 4) 1? x 1? x
4 ?4 1? x 4 在区间 (0, 1] 上是减函数 t

am ? 1? x ?

设 1 ? x ? t ? (0, 1] ,则函数 y ? t ?

当 t ? 1 时,此时 x ? 0 , y min ? 5 ,所以 a m ? 1 ①若 a ? 1 ,则 m ? 0 ; ②若 0 ? a ? 1 ,则 m ? 0 .

20、解:(1)因为方程 ax-(1+a )x =0(a>0)有两个实根 x1=0,x2=

2

2

a ,故 f(x)>0 的解集 1 ? a2

为{x|x1<x<x2}.因此区间 I= ? 0, (2)设 d(a)=

a a ? ? ,区间 I 的长度为 . 2 ? 1 ? a2 ? 1? a ?

a a ,则 d ?( a ) ? (a>0). 2 1 ? a2 1? a
11

令 d ?( a ) =0,得 a=1.由于 0<k<1,故 当 1-k≤a<1 时, d ?( a ) >0, d (a ) 单调递增; 当 1<a≤1+k 时, d ?( a ) <0, d (a ) 单调递减. 所以当 1-k≤a≤1+k 时, d (a ) 的最小值必定在 a=1-k 或 a=1+k 处取得.

1? k d (1 ? k ) 1 ? (1 ? k ) 2 2 ? k 2 ? k 3 而 = = <1, 1? k 2 ? k2 ? k3 d (1 ? k ) 1 ? (1 ? k ) 2
故 d(1-k)<d(1+k). 因此在 a=1-k 时, d (a ) 在区间[1-k,1+k]上取得最小值

1? k . 2 ? 2k ? k 2

1 1 2 1 2 2 2 时, f ( )= , f ( f ( )) ? f ( ) ? 2(1 ? ) ? 3 3 3 3 3 3 2 ?1 2 ? a 2 x, 0 ? x ? a ? ? 1 (a ? x), a 2 ? x ? a ? ? a (1 ? a ) ( 2) f ( f ( x)) ? ? ? 1 2 ( x ? a ), a ? x ? a 2 ? a ? 1 ? (1 ? a ) ? ? 1 (1 ? x), a 2 ? a ? 1 ? x ? 1 ? a (1 ? a ) ?
21、解:(1)当 a= 当 0 ? x ? a 时,由
2

1 x ? x 解得 x=0,由于 f(0)=0,故 x=0 不是 f(x)的二阶周期点; a2

当 a ? x ? a 时由
2

a 1 ? ? a2 , a? (a ? x) ? x 解得 x ? 2 ?, ?a ? a ? 1 a(1 ? a)

a 1 a 1 a )? ? 2 ? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 a 故x? 是 f(x)的二阶周期点; 2 ?a ? a ? 1
因 f(
2

当 a ? x ? a ? a ? 1 时,由
2

1 1 ? ? a 2 ? a ? 1,1? ( x ? a) ? x 解得 x ? 2 2?a (1 ? a)

因 f(
2

1 1 1 1 1 )? ? (1 ? )? 故x? 不是 f(x)的二阶周期点; 2 ? a 1? a 2?a 2?a 2?a
1 1 (1 ? x) ? x 解得 x ? 2 ? (a2 ? a ? 1,1) ?a ? a ? 1 a(1 ? a)
12

当 a ? a ? 1 ? x ? 1 时,

1 1 1 a 1 )? ? (1 ? 2 )? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 1 ? a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 1 故x? 是 f(x)的二阶周期点. ?a 2 ? a ? 1 a 1 因此,函数 f ( x ) 有且仅有两个二阶周期点, x1 ? , x2 ? . 2 2 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 a a 1 1 , 2 ), B( 2 , 2 ) (3)由(2)得 A( 2 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
因 f(
2

则 s (a) ?

1 a 2 (1 ? a) 1 a(a3 ? 2a 2 ? 2a ? 2) ? 2 , s?(a) ? ? 2 ?a ? a ? 1 2 (?a 2 ? a ? 1)2
1 1 1 1 , ]内,故 s?(a) ? 0 ,则 s (a)在区间[ , ]上单调递增, 3 2 3 2
1 1 3 2 1 3 1 1 1 ,最大值为s( )= 33 2 20

因为 a 在[

故 s (a)在区间[ , ]上最小值为s( )=

22、 (1)因为 a ? 1 ,所以 f ? x ? 在 ?? 1,??? 上为单调递增函数. 所以在区间 [m, n] (m ? ?1) .

f (m) ? log a (m ? 1) ? log a f (n) ? log a (n ? 1) ? log a
即 m ?1 ?

p , m p n

p p , n ? 1 ? , n ? m ? ?1 . m n p x 的两个相异是根

所以 m, n 是方程 x ? 1 ?

即方程 x 2 ? x ? p ? 0, x ? ?? 1,0? ? ?0,??? 有两个相异的解,

? ? ? ? 1? 4 p ? 0 ? 2 这等价于 ?? ?1? ? ? ?1? ? p ? 0 , ? 1 ? ? ? ?1 ? 2
解得 ?

1 ? p ? 0 为所求. 4

(Ⅲ)

13

?

1 9 ?5 ? x ? 1? ? x ?1

, x ? ?1.

因为 ∴

?x ? 1?? x ? 1 ? 5 ? 1

9

当且仅当 x ?? 时等号成立,

1 9 ? 5 ? ? 0,1? ? x ? 1? ? x ?1
因为 w ? F ?x ? 恒成立,? w ? F ?x ?max ,

所以 w ? 1 .

14



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