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第15课时



空间中的平面与平面的位置关系
【重点难点】 : 了解直线与平面的位置关系, 在判定和证明直线与平面的位置关系时, 除了能熟练运用 判定定理和性质定理外,还要充分利用定义;线面关系的判定和证明,要注意线线关系、线 面关系的转化. 【考点概述】 了解空间中平面与平面平行、垂直的概念,理解面面关系的判定定理与性质定理.

一、 【热身练习】 1.一个平面内

不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面_________。 2. (2009·北京市西城区调研)已知直线 a 和两个不同的平面 ? 、 ? ,且 a ? ? , a ? ? ,
则 ? 、 ? 的位置关系是_____.

3.设 ? 、 ? 、 ? 为三个不同的平面,m 是直线,
①若 m ? ? , m ? ? ,则 ?‖ ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ?‖ ? ;

③若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ? ? ; ④若 m// ? , m ? ? ,则 ? ? ? ;其中,为真命题的是 .

4.给出以下命题: ①平行于同一条直线的两条直线平行; ②垂直于同一条直线的两条直线平行; ③平行于同一个平面的两条直线平行; ④垂直于同一个平面的两条直线平行; ⑤平行于同一条直线的两个平面平行; ⑥垂直于同一条直线的两个平面平行; ⑦平行于同一个平面的两个平面平行. 其中正确的命题是____________________________(把你认为正确的命题的序号都写上) .

5.设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? ,则在下列命题中,正确的是______________(填写相应
的序号) 。 ① 若 m//n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? ; ② 若 m//n,n ? ? ,m ? ? ,则 ? ? ? ; ③ 若 m//n,m ? ? ,n ? ? ,则 ? // ? ; ④ 若 m?

? ,m ? n,n ? ? ,则 ? // ? .

1

二、 【范例透析】 【例 1】 (本小题满分 14 分)(2010·扬州市期末)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、
F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥ 平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥ 平面 CB1D1. 解: (1)证明:连结 BD. 在长方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 . 又? E、F 为棱 AD、AB 的中点, ? EF // BD . ……………………………… 3 分 E A D F B C A1 D1 B1 C1

? EF // B1D1 .
又 B1D1? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 , ?

? EF∥平面 CB1D1.

………………………………7 分

(2)? 在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1? 平面 A1B1C1D1, ?

? AA1⊥B1D1. ……………………………… 9 分 又? 在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1,……………………………… 11 分 ? B1D1⊥平面 CAA1C1. ……………………………… 13 分
又? B1D1? 平面 CB1D1, ?

? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. ……………………………… 14 分
【变式训练】在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是菱形. 求证:
(1)平面 B1AC//平面 DC1A1; (2)平面 B1AC⊥平面 B1BDD1.
A1 D1 B1 C1

D A B

C

2

【 例 2 】 苏 北 四 市 第 一 次 调 研 ) 在 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , 已 知 AB / /CD , (
SA ? SB, SC ? SD, E, F 分别为 AB, CD 的中点。
求证:平面 SEF ? 平面 ABCD ;
S

F D

C

A

E

B

【例 3】 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面三角形的各边长都等于 a,点 D 为 BC
的中点.求证: (1)平面 AC1D⊥平面 BCC1B1; (2)A1B∥平面 AC1D. B1 O A

A1

C1

B

D
(例 3)

C

【例 4】如图,在四面体 ABCD 中,CB ? CD,AD ? BD ,点 E,F 分别是 AB,BD 的 中点.求证: (1)直线 EF // 面 ACD ; (2)平面 EFC ? 面 BCD .
B F

E

D C A

3

三、 【巩固练习】

1. (2009·扬州市期末)设 ? 、 ? 、 ? 为三个不同的平面,给出下列条件: ① a , b 为异面直线, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ; ② ? 内有三个不共线的点到 ? 的距离相等;

③ ? ? ? , ? ? ? ;④ ? // ? , ? // ? .则其中能使 ? // ? 成立的条件是



2. 设 a,b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则能得出 a⊥b 的是________. ①a⊥ ? ,b∥ ? , ? ⊥ ? ; ②a⊥ ? ,b⊥ ? , ? ∥ ? ; ③a? ? ,b⊥ ? , ? ∥ ? ; ④a? ? ,b∥ ? , ? ⊥ ? 。

3. 已知 m、n 是不同的直线, ? , ? 是不重合的平面,给出下列命题:
①若 m∥ ? ,则 m 平行于平面 ? 内的无数条直线; ②若 ? ∥ ? ,m? ? ,n? ? ,则 m∥n; ③若 m⊥ ? ,n⊥ ? ,m∥n,则 ? ∥ ? ;

④若 ? ∥ ? ,m? ? ,则 m∥ ? 。 其中,真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号)

4. (广东卷)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 .

5. (惠州市第三次调研)已知 m, n 是两条不同直线,? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中
正确的是 。 ② 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? ④ 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

① 若m‖? , n‖? , 则m‖ n

‖ ③ 若m‖? , m ? , 则?‖ ?

4

四、 【双基达标】 1. (2009·中山市调研)平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是_____.(把你认为正确命题的
序号都填上) ①. ? 内有无穷多条直线都与 ? 平行 ②.直线 a // ? , a // ? ,且直线 a 不在 ? 内,也不在 ? 内 ③.直线 a ? ? , 直线b ? ? , 且a // ? , b // ? ④. ? 内任何直线都与 ? 平行

2.已知 ? , ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题中不正确的是________(填写相应的序号) 。 ①若 m ∥ n, m ? ? ,则 n ? ? ③若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? ②若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n ④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ?

3.下列四个命题:①分别在两个平面内的两直线平行;②若两个平面平行,则其中一个平 面内的任何一条直线必平行于另一平面;③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面, 则这两个平面平行; ④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面,则这两个平面 平行. 其中正确命题是______________(填写相应的序号) 。

4.设 ? , ? 是两个不同的平面, a, b 是两条不同的直线,给出四个论断:① ? ? ? ? b; ②
a ? ? ; ③ a // b ;④ a // ? . 以其中三个论断为条件,余下一个论断为结论,写出你认为正确
的命题 .

5. (2010·苏、锡、常、镇四市教学情况调查(一))设 a , b 为不重合的两条直线,? , ? 为
不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 a ∥ ? 且 b ∥ ? ,则 a ∥ b ; (2)若 a ? ? 且 b ? ? ,则 a ∥ b ; (3)若 a ∥ ? 且 a ∥ ? ,则 ? ∥ ? ; (4)若 a ? ? 且 a ? ? ,则 ? ∥ ? . 上面命题中,所有真命题的序号是 ... .

6. (青岛市一模)已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,下面有三个命题:
① ? ∥ ? ? l ⊥ m ;② ? ⊥ ? ? l ∥ m ;③ l ∥ m ? ? ⊥ ? ; 则真命题的个数为___________.

5

五、 【能力提升】 7. (2009·烟台市调研)在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面各边都相等,M 是
PC 上的一动点,当点 M 满足___________时,平面 MBD⊥平面 PCD.

8.如图,四边形 ABCD 中,AB⊥BD,沿 BD 将△ABD 折起,使面 ABD⊥面 BCD,连结 AC,则
在四面体 ABCD 的四个面中,互相垂直的平面有 对。

9. (江苏卷)设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ;
(2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和β 相交于直线 l,若 ? 内有一条直线垂直于 l,则 ? 和β 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直. 上面命题,真命题的序号是________(写出所有真命题的序号) ...

10.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面, E 是 PA 的中点. 若 D 在 PC 上的射影为 F ,求证:平面 DEF ⊥平面 PBC . P

E A F B

D

C

11. (2009·扬州市期末)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M , N 分别是 AB, BC 中点.
求证:平面 B1MN ⊥平面 BB1D1D 。

D1 A 1 B1

C1

D A N M B

C

6

12.如图,四边形 ABCD 是正方形,PB?平面 ABCD,MA?平面 ABCD,PB=AB=2MA.
求证: (1)平面 AMD∥平面 BPC; (2)平面 PMD?平面 PBD. P

M

A

B

D

C

13. 如图,点 P 是直角梯形 ABCD 所在平面外一点,AB??CD,BA?AD,CD=2AB,
PA?平面 ABCD,F 为 PB 的中点,E 为 PC 上的一动点. (1)若 AF??平面 EBD,求

PE 的值(图 1) ; EC PE 的值, EC

(2)能否在 PC 上找到这样的点 E 使平面 EBD?平面 ABCD,若能找到,求 若不能找到,请说明理由(图 2) .
P

P E F D C D F C E

A

B

A

B

图1

图2

7

14.如图在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 D、E、F 分别是 BC、 AC1 、 BB1 的中点. (1)求证:平面 AC1D ? 平面 BCC1B1 ; (2)求证: EF ∥平面 A1B1C1 .

8

第 15 课时
【热身练习】 1. 答案:平行或相交

空间中的平面与平面的位置关系参考答案

解析:当不共线的三点同侧时,则这两个平面平行;当不共线的三点不同侧时,则这两个平 面相交。 2. 答案:平行 解析:垂直于同一条直线的两个平面平行。 3. 答案:①④ 解析:②③错,两个平面可能相交、平行。①④正确。 4.答案:①、④、⑥、⑦ 解析:①④⑥⑦正确。②③错,两条直线平行可能相交、平行或异面。⑤错,两个平面可能 相交、平行。 5. 答案: ② 解析:①错,若 m//n, m ? ? , n ? ? ,则 ? / / ? ;②正确;③错, ? 与 ? 可能相交、平 行;④错,若 m ?

? ,m ? n,n ? ? ,则 ? 与 ? 可能相交、平行。

【范例透析】 例 1. 变式训练】证明:(1)因为 ABCD-A1B1C1D1 是直四棱柱,所以,A1C1//AC, 【
D1

而 A1C1 ? 平面 B1AC,AC ? 平面 B1AC,所以 A1C1//平面 B1AC. 同理,A1D//平面 B1AC. 因为 A1C1、A1D ? 平面 DC1A1,A1C1 ? A1D =A1,

C1 B1

A1

D

C B

所以平面 B1AC//平面 DC1A1. (2) 因为 ABCD-A1B1C1D1 是直四棱柱,所以 B1B⊥平面 ABCD, 而 AC ? 平面 ABCD,所以 AC⊥B1B. 因为底面 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD.

A

因为 B1B、BD ? 平面 B1BDD1,B1B ? BD=B,所以 AC⊥平面 B1BDD1. 因为 AC ? 平面 B1AC,故有平面 B1AC⊥平面 B1BDD1.

9

例 2.解:由 SA ? SB ,E 为 AB 中点得: SE ? AB , 又 SC=SD 且 F 为 CD 的中点,所以 SF ? CD . 又 AB / / CD ,所以 AB ? SF ,又 SF ? SE ? S ,所以 AB ? 平面 SEF .
? AB ? 平面ABCD ,? 平面 SEF ? 平面 ABCD .

例 3.证明: (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 BB1⊥平面 ABC.
又 BB1 ? 平面 BCC1B1,∴侧面 BCC1B1⊥平面 ABC. 在正三角形 ABC 中,D 为 BC 的中点,∴AD⊥BC. 由面面垂直的性质定理,得 AD⊥平面 BCC1B1. 又 AD ? 平面 AC1D, ∴平面 AC1D⊥平面 BCC1B1. (2)连 A1C 交 AC1 于点 O,四边形 ACC1A1 是平行四边形,O 是 A1C 的中点. 又 D 是 BC 的中点,连 OD,由三角形中位线定理,得 A1B1∥OD. ∵OD ? 平面 AC1D,A1B ? 平面 AC1D,∴A1B∥平面 AC1D.

例 4. 【试题解析】第 1 问根据线面平行关系的判定定理 ,在面 ACD 内找一条直线和直线
EF 平行即可,第 2 问,需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直,由线面垂直推出 面面垂直。 证明: (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点. ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF∥ ? 面 ACD,AD ? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是BD的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 EFC, ∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC ? 面 BCD

【巩固练习】
1.答案:①④ 解析:①④正确;②错,三点在平面 ? 的异侧,则相交;③错, ? 与 ? 可能相交或平行。 2.答案:③ 解析:由 ? ∥ ? ,b⊥β ?b⊥α,又 a? ? ,故 a⊥b. 3.答案:①③④ 解析:②中 ? ∥β,m?α,n?β?m∥n 或 m,n 异面,所以②错误.而其它命题都正确. 4. 答案:②和④ 解析:当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故① 错;由平面 与平面垂直的判定定理可知② 正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,相交也 可以异面,故③ 错;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一 个平面垂直,故④ 正确. 5. 答案:④ 解析: m, n 均为直线,其中 m, n 平行 ? , m, n 可以相交也可以异面,故①不正确;②③明 显不正确; m ?

? , n ? ? ,则同垂直于一个平面的两条直线平行;选④。

【双基达标】 1.答案:④
解析:①②中 ? , ? ,③中 l 、 m 需为相交直线,故只有④正确。

10

2. 答案:②
解析:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,所以① 正确;如果两个平面与同一条直线垂直,则这两个平面平行,所以③正确; 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直,所以④也正确; 只有②选项错误.

3.答案:②、④
解析:①错,这两个平面可能相交或平行;②正确;③如果一个平面内的两条平行直线平行 于另一个平面,则这两个平面不一定平行;④正确。 4.答案:①②③ ? ④或①②④ ? ③ 解析:若 ? ? ? ? b , a ? ? , a // b , a ? ? ,且 b ? ? ,则 a // ? . 即①②③ ? ④。 若 ? ? ? ? b , a ? ? , a / /? ,则 a // b 。即①②④ ? ③。

5. 答案: (4) (2)
解析: (1)错, a / /? , b / /? , 直线 a 与 b 可能相交,平行或异面。 (3)错,若 ? ? ? ? l ,

a / /l , a ? ? , a ? ? ,则 a / /? , a / / ? 。 ? ?

6. 答案:2
解析:对于①,由直线 l⊥平面 α,α∥β,得 l⊥β,又直线 m?平面 β,故 l⊥m,故①正确; 对于②,由条件不一定得到 l∥m,还有 l 与 m 垂直和异面的情况,故②错误;对于③,显 然正确.故正确命题的个数为 2.

【能力提升】 7. 答案: BM ? PC
?四边形ABCD为菱形, AC ? BD , ? PA ? 底面ABCD, ? 又 解析:
? PA ? BD ,? PA ? AC ? A ,? BD ? 平面PAC ,
P

M A D

? BD ? PC , BM ? PC , BM ? BD ? B ,? PC ? 平面BDM ,

PC ? 平面PCD , ?平面MBD ? 平面PCD 。

B

C

8.答案:3
解析:本题考查图形的翻折,和面面垂直的判定,显然面 ABD⊥面 BCD,面 ABC⊥面 BCD,面 ABD⊥面 ACD,

9.答案:(1)(2)
解析:由面面平行的判定定理可知,(1)正确. 由线面平行的判定定理可知,(2)正确. 对于(3)来说, ? 内直线只垂直于 ? 和 ? 的交线 l,得不到其是 ? 的垂线,故也得不出 ? ⊥

?.
对于(4)来说,l 只有和 ? 内的两条相交直线垂直,才能得到 l⊥ ? .

11

也就是说当 l 垂直于 ? 内的两条平行直线的话,l 不一定垂直于 ? 1 0 . 证 明 : ∵ PD ⊥ 平 面 A B C D BC ? 平 面 A B C D ∴ PD ⊥ BC 。 , , ABCD 是正方形,∴ BC ⊥ CD ,∵ PD ? 平面 PDC , CD ? 平面 PDC , 又 PD ? CD = D ,∴ BC ⊥平面 PDC 。 又 DF 在平面 PDC 内,∴ BC ⊥ DF ,又 D 在 PC 上的射影为 F ,∴ DF ⊥ PC , ? BC ? PC ? C , ? DF ⊥平面 PBC , 又 DF ? 平面 DEF ,∴平面 DEF ⊥平面 PBC 。 11. 证明:连 AC,则 AC⊥ BD , 又 M , N 分别是 AB, BC 中点,∴ ∵ ∵ ∵ ∵

MN // AC ,∴

MN ⊥ BD ,

ABCD ?

1

A1 B 1C是正方体,∴ 1D

BB1 ⊥平面 ABCD ,
A 1

D1 B1

C1

MN ? 平面 ABCD ,∴

BB1 ⊥ MN ,

BD ? BB1 ? B ,∴

MN ⊥平面 BB1D1D ,
A

D N M B

C

MN ? 平面 MNB1 ,∴ 平面 B1MN ⊥平面 BB1D1D 。

12. 证明: (1)因为 PB?平面 ABCD,MA?平面 ABCD,所以 PB∥MA.
因 PB?平面 BPC,MA ?平面 BPC,所以 MA∥平面 BPC. / 同理 DA∥平面 BPC,因为 MA?平面 AMD,AD?平面 AMD,MA∩AD=A, 所以平面 AMD∥平面 BPC. (2)连接 AC,设 AC∩BD=E,取 PD 中点 F,连接 EF,MF. 因 ABCD 为正方形,所以 E 为 BD 中点.因为 F 为 PD 中点, 1 1 所以 EF∥ PB.因为 AM∥ PB,所以 AM∥EF. =2 =2 = 所以 AEFM 为平行四边形.所以 MF∥AE. 因为 PB?平面 ABCD,AE?平面 ABCD,所以 PB?AE. 所以 MF?PB. 因为 ABCD 为正方形,所以 AC?BD.所以 MF?BD. 又 PB ? BD ? B , 所以 MF?平面 PBD.又 MF?平面 PMD. 所以平面 PMD?平面 PBD. P

M F A E D C B

12

13. 解:连 AC 交 BD 于 O,设 CF∩EB=M,连 OM, ∵AF//平面 EBD,AF ? 平面 AFC,平面 AFC∩平面 EBD=OM,∴AF// OM, 又∵CD=2AB,AB??CD,∴CO=2OA,∴CM=2MF, 在?PBC 中,∵F 为 PB 的中点,CM=2MF,则 M 为?PBC 的重心, ∴E 为 PC 的中点,∴

PE =1; EC PE 1 ? . EC 2

(2)PC 上能找到这样的点 E,使得平面 EBD?平面 ABCD,此时 证明如下:∵

AO AB 1 PE 1 PE AO 1 ? ? ,∴ ? ,而 ? ? ,∴PA//EO, OC DC 2 EC 2 EC OC 2

∵PA?平面 ABCD,∴EO?平面 ABCD, 而 EO ? 平面 EBD,∴平面 EBD?平面 ABCD. 14. 证明: (1)在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ∵D 是 BC 的中点,∴ AD ? BC 。又 C1C ? 平面ABC , AD ? 平面ABC ,

?C1C ? AD , BC ? CC1 ? C ,∴ AD ? 平面 BCC1B1 ,
∴平面 AC1D ? 平面 BCC1B1 。 (2)取 AC1 的中点 G ,连结 EG 、 B1G , 1 ∵E、F 分别是 AC1 、 BB1 ,∴ EG 平行且等于

1 AA1 平行且等于 B1F , 2

∴四边形 EFB1G 为平行四边形,∴ EF ∥ B1G , 又 B1G ? 平面 A1B1C1 , EF ? 平面 A1B1C1 ,∴ EF ∥平面 A1B1C1 。

13



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