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立体几何中的向量方法1课件 新人教A版选修2-1



第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法

第一课时

复习巩固
1、运用向量的坐标运算解题的步骤: ①建系,求相关点的坐标;

②求相关向量的坐标;
③运用向量运算解题.

2、如图,正三棱柱中,D,E分别是A1B1 与A1C1的中点,求BD与CE所

成角的余弦 值。 z A 1 如何建系? E D
B1 C1

如何求E的坐标?
A
O C

x

B

y

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.立体几何研究的主要问题有共点, 共线,共面,平行,垂直,夹角,距离 等,这些问题都与空间向量有着密切的 内在联系,从而可以用向量方法解决立 体几何问题. 2.立体几何研究的基本对象是点、直 线、平面以及由它们组成的空间图形.为 了用空间向量解决立体几何问题,首先 必须把点、直线、平面的位置用向量表 示出来,然后再建立相应的解题原理.

3.上一节所学习的内容是空间向量的基 础知识,如何利用这些基础知识解决立 体几何中的实际问题,是本节学习的主 体内容.

探究(一):空间点、线、面的向量表示

1、在空间中,取定点O作为基点,可以 用什么方法表示空间任意一点P与点O的 相对的位置? P

O

uuu r 向量 OP 称为点P的位置向量

2、过空间一点A可以作无数条直线,其 中以某非零向量a为方向向量的直线有几 条?如何用向量式表示?
a P A

uuu r A P = ta

3、过空间不同两点A、B的直线如何用向 量式表示? P B A

uuu r uuu r AP = tAB

4、设过点O的两条相交直线确定的平面 为α ,如何用向量形式表示平面α 内的 点P的位置? a Ob P

α

uuu r OP =xa+yb

5、若直线l⊥平面α ,a为直线l的方向向 量,则向量a叫做平面α 的法向量,如何 用向量形式表示过点O且法向量为a的平 面α 内的点P的位置? l

uuu r a=0 OP ·
α

a
P O

探究(二):向量方法的基本原理

设直线l,m的方向向量分别为a,b, 平面α,β的法向量分别为u,v. (1)、l//m,l//α,α//β的充要条件分 别是什么? l m
a b

α

l//m ? a//b ? a=kb;

(1)、l//m,l//α,α//β的充要条件分 别是什么?
a u

l

α

l//α

u=0 ?a⊥u ? a·

(1)、l//m,l//α,α//β的充要条
件分别是什么?
v β u

α

α//β

u//v ?u=kv ?

(2)l⊥m,l⊥α,α⊥β的充要条件分别 是什么? l
a b

m

l⊥m

?

a⊥b

?

a· b=0

(2)l⊥m,l⊥α,α⊥β的充要条件分别 是什么? l
u a

α

l⊥α

? a//u ? a=ku

(2)l⊥m,l⊥α,α⊥β的充要条件分别 是什么?
β v u

α

α⊥β

u⊥v ? v=0. u· ?

3、直线l和m所成的角θ与向量a,b的关 系如何? m
b

α

θ a

l

| a ×b | cos q = | a || b |

4、直线l和平面α所成的角θ与向量a,u 的关系如何? l
a u

θ α

| a ×u | sin q = | a || u |

5、平面α和平面β所成的角θ与向量u,v 的关系如何?
P β B O v u

θ
A

α

| u ×v | | cos q |= | u || v |

6、直线l上一点P到平面α 的距离d与向 量a,u的关系如何? l
P a A d O u

α

| a ×u | d= |u|

理论迁移

例 求证:若一个平面内的两条相交直 线与另一个平面平行,则这两个平面平 行.
u

α
β

a b

v

小结作业

1.直线的方向向量和平面的法向量都 不是惟一的,其方向有两种可能,其模 可以为任意正数. 2.设直线l的方向向量为a,对平面α 内的任一向量p,若a· p=0,则l⊥α. 3.用向量方法研究与平面有关的问题 时,一般利用平面的法向量进行运算.

作业:
P104练习:1,2. 《学海单元检测卷二》



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