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辽宁省沈阳市东北育才学校2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试题



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一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

4 1.如图,向量 OZ 对应的复数为 z ,则 z ? 对应的复数是 z A. 1 ? 3i B. ?3 ? i C. 3 ? i D. 3 ? i 10 2. ? x ? 1? 的展开式中第 6 项系的系数是 5 6 6 5 A. - C10 B. C10 C. - C10 D. C10
3.函数 f ( x) ? e ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是(
x

O
-1

1

y 1 x

Z

) D. y ? x ? e

A. y ? 2e( x ? 1)

B. y ? ex ? 1

C. y ? e( x ? 1)

4.从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名,分别从事 A , B , C , D 四项不同的工作, 每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事 A 工作,则不同的工作分配方案共有 A. 60 种 B. 72 C. 84 种 D. 96 种 5.某班从 6 名学生干部中(其中男生 4 人,女生 2 人) ,选 3 人参加学校的义务劳动. 事件 A=”男生甲被选中”,事件B=”女生乙被选中”,则 P(B︱A)= A.

1 5

B.

1 4

C.

2 5

D.

1 2

6.学习合情推理后,甲、乙两位同学各举了一个例子,甲:由“若三角形周长为 l , 面积为 S,则其内切圆半径 r ? 则其内切球半径 r ? 接圆半径 r ?

2S ”类比可得“若三棱锥表面积为 S,体积为 V, l

3V ” ;乙:由“若直角三角形两直角边长分别为 a ,b,则其外 S

a 2 ? b2 ” ;类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别 2

为 a 、b、c,则其外接球半径 r ? A.两人都对 A. C
2 n

a 2 ? b2 ? c2 ” .这两位同学类比得出的结论 3
C.甲对、乙错 D.两人都错

B.甲错、乙对 B. C
2 n ?1

7.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)(2 x ? 1)(3 x ? 1) C. A
2 n

(nx ? 1) ,则 f '(0) ?
2 D. An ?1

?2 x ? 1 3( x ? x 2 )dx ? x ? 4 ? ? ?0 8.设函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? log 2 3? = x ? 4? ? f x ? 2 ? ? ? ?
A.13 9.将 ( x ? 法共有(
3 12

B.19 )种

C.37

D.49

[

x ) 的展开式中各项重新排列,使含 x 的正整数次幂的项互不相邻的排

本卷第 1 页(共 8 页)

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3 10 A. A13 ? A13

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4 9 C. A13 ? A9 10 3 D. A10 ? A11

10 3 B. A10 ? A11

10.甲乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制,对于每局比赛甲获胜的概率为

2 1 ,乙获胜的概率为 ,则爆出冷门(乙获冠军)的概率为 3 3 17 40 73 8 A. B. C. D. 81 243 243 81 * 11.已知经过同一点的 n(n ? N , n ? 3)个平面, 任意三个平面不经过同一条直线.若这 n 个 平面将空间分成 f ? n ? 个部分,则 f ? n ? ?

n 3 ? 5n ? 6 n 3 ? 5n 2 B. C. n 2 ? n ? 1 D. n ? n ? 2 6 6 12.已知 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调函数, f '( x) 是 f ( x) 的导函数,若对 4 ?x ? (0, ??) ,都有 f [ f ( x) ? 2 x ] ? 3 ,则方程 f '( x) ? ? 0 的解所在的区间是 x 1 1 A. (0, ) B. ( ,1) C. (1, 2) D. (2,3) 2 2
A.
[]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 f ( x) ? log a x 的导函数是 f ?( x) ,记 A ? f ?(a ), B ? f (a ? 1) ? f (a ),

C ? f ' (a ? 1) 则将 A、B、C 按由大到小的顺序排列为
3 4 10

Z

14.在 (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? ? (1 ? x) 的展开式中,含 x 2 项的系数为_______. 15.有红、蓝、黄三种颜色的球各 3 个,每种颜色的 3 个球分别标有数字 1、2、3,将此 9 个球排成 3 行 3 列,要求同行颜色相同,但同列中任何两个数字不相同,则不同的排法 有 种. 16. 当 x ? R, x ? 1 时,有如下表达式:

1 ? x ? x2 ? ? ? ? ? xn ? ? ? ? ?
两边同时积分得:

1 1? x

?

1 1 2 1dx ? 2 0 0

?

xdx ?

?

1 2 0

x 2 dx ? ? ? ?

?

1 2 0

x n dx ? ? ?? ?

?

1 2 1 0 1? x

dx

[]

1 1 1 2 1 1 3 1 1 ? ? ( ) ? ? ( ) ? ??? ? ? ( ) n?1 ? ? ? ? ? ln 2. 2 2 2 3 2 n ?1 2 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:
从而得到如下等式: 1?

1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 1 0 n Cn ? ? Cn ? ( ) ? Cn ? ( ) ? ? ? ? ? Cn ? ( ) n?1 ? 2 2 2 3 2 n ?1 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(本小题满分 10 分)
已知 x 为实数,复数 z ? ( x ? x ? 2) ? ( x ? 3 x ? 2)i .
2 2

.

(Ⅰ)当 x 为何值时,复数 z 为纯虚数? (Ⅱ)当 x ? 0 时,复数 z 在复平面内对应的点 Z 落在直线 y ? ? mx ? n 上,其中

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mn ? 0 ,求

1 1 ? 的最小值及取得最值时的 m、n 值. m n

18.(本小题满分 12 分) 在二项式 (ax ? bx ) (a ? 0, b ? 0, m、n ? 0) 中有 2m ? n ? 0 ,如果它的展开式里
m n 12

最大系数项恰是 常数项. .. (Ⅰ)问常数项是第几项; (Ⅱ)求

[]

a 的范围. b

19.(本小题满分12分) 若 xi ? 0(i ? 1,2,3,..., n) ,观察下列不等式:

( x1 ? x 2 )(

1 1 ? ) ? 4, x1 x 2 1 1 1 ? ? ) ? 9 ,?, x1 x 2 x3 1 1 1 并用数学归纳法加以 ? ? ... ? ) 将满足的不等式, x1 x 2 xn

( x1 ? x 2 ? x3 )(

请你猜测 ( x1 ? x 2 ? ... ? x n )( 证明. 20.(本小题满分 12 分)

如图,一圆形靶分成 A,B,C 三部分,其面积之比为

1:1: 2 .某同学向该靶投掷 3 枚飞镖,每次 1 枚.假设他每
次投掷必定会中靶,且投中靶内各点是随机的. (Ⅰ)求该同学在一次投掷中投中 A 区域的概率; (Ⅱ)设 X 表示该同学在 3 次投掷中投中 A 区域的次数,求 X 的分布列; (Ⅲ)若该同学投中 A,B,C 三个区域分别可得 3 分,2 分,1 分,求他投掷 3 次恰好 得 4 分的概率.

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21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1? x ,其中 a 为大于零的常数. ax

(Ⅰ)若函数 f ( x)在区间[1,??) 内调递增,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值; (Ⅲ)对于函数 g ( x) ? ( p ? x)e 立,求实数 p 的取值范围.
?x

? 1 ,若存在 x0 ? [1, e] ,使不等式 g ( x0 ) ? ln x0 成

22.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

2x ,证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; x?2
9 19 1 ) ? 2 . 10 e

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽 取 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证明: p ? (

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19.解:将满足的不等式为 ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )( 证明如下: 1 当 n ? 2 时,结论成立;
0

1 1 1 ? ? ? ? ) ? n 2 (n ? 2) , x1 x 2 xn

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21. f ?( x) ?

ax ? 1 ( x ? 0). ax 2

?????????????1 分

(1)由已知,得 f ?( x) ? 0在[1,??) 上恒成立,即 a ? 又? 当 x ? [1,??)时,

1 在[1,??) 上恒成立 x

1 ? 1, x
?????????????3 分

? a ? 1.即a的取值范围为[1,??)

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(3)因为 x 0 ? [1, e] , 所以,存在 x 0 ? [1, e] 使 p ? (ln x 0 ? 1)e
x
x0

? x0 成立,
??????9 分

令 h( x) ? (ln x ? 1)e ? x ,从而 p ? hmin ( x) ( x ? [1, e] )

1 h ?( x) ? ( ? ln x ? 1)e x ? 1 x
由(2)知当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? 从而 h ?( x) ? (

1? x 1 ? 0 成立,即 ? ln x ? 1 ? 0 在 [1, e] 上成立。 ax x
????????11 分

1 ? ln x ? 1)e x ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 , x x 所以, h( x) ? (ln x ? 1)e ? x 在 [1, e] 上单调递增。
所以, hmin ( x) ? h(1) ? 1 ? e 所以, p ? 1 ? e 22.(Ⅰ)

?????12 分
2

f ?( x) ?

? 1 2( x ? 2) ? 2 x x ? ? 2 2? 1? x ( x ? 2) ( x ? 1)( x ? 2) ? ? f ?( x) ≥ 0 , ln(1 ? x) → (1 ? x) ? 0 ? ?

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?当 ? 1 ? x ? 0 时, f ( x) ? 0 ? ? f (0) ?ln1? 0 ? f ( x)是定义在(-1,+?)上的增函数 ???? ? ?当x ? 0 时, f ( x) ? 0 ? 当x ? 0 时, f ( x) ? 0 ? ?
所以, 当x ? 0 时,

f ( x) ? 0

????????4 分
抽取 20次

(Ⅱ)依题意,所抽号码不得再次出现,? P ?

100 99 98 ? ? ? 100 100 100

?

81 100

99 ? 81 ? (90 ? 9)(90 ? 9) ? 902 ? 92 ? 902 ?
98 82 9 97 83 9 ? ? ( )2 , ? ? ( )2 , 100 100 10 100 100 10
8个( 9 2 ) 10

99 81 9 ? ? ( )2 100 100 10
, 91 89 9 ? ? ( )2 100 100 10

同理:

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