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6.2 等差数列及其前n项和


§6.2 等差数列及其前n项和 内容索引 基础知识 题型分类 自主学习 深度剖析 课时作业 基础知识 自主学习 知识梳理 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列 从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一 个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 公差 ,通常用字母 d 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是 an=a1+ (n-1)d . 3.等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫做a与b的 等差中项 . 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an . (3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为 2d . (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an} 是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k, m∈N*)是 公差为 md 的等差数列. (6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列. 5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= n?n-1? 2 d n?a1+an? 2 或 Sn= na1+ . 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 d? d 2 ? ? ? Sn=2n +?a1-2?n. ? ? 数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn(A,B 为常数). 7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最 大 值;若a1<0,d>0,则Sn 存在最 小 值. 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N*)?{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)?{an}是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)?{an}是等差数列. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个 数列是等差数列. (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ( × ) (√ ) ( × ) (4)已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为-2. ( √ ) 考点自测 1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于 答案 A.-1 B.0 C.1 D.6 解析 由等差数列的性质,得a6=2a4-a2=2×2-4=0,故选B. 2.( 教材改编 ) 设数列 {an} 是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a6 = 2 且 S5 = 30,则S8等于 答案 A.31 C.33 解析 B.32 D.34 ? ?a =26, ? ? 1 3 ?a1+5d=2, 由已知可得? 解得? 4 ? ? ?5a1+10d=30, d=-3, ? ? 8×7 ∴S8=8a1+ 2 d=32. 3.(2016· 全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等 于 答案 A.100 解析 B.99 C.9

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