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高考数学第一轮总复习~064空间向量的坐标运算



g3.1064 空间向量的坐标运算
一.知识回顾: (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) 轴是纵轴(对应为纵轴) ,y ,z 轴是竖轴(对应为竖坐标). ①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则
a ? b ? (a 1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 )

/>? a ? (?a 1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R)
a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3

a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3

a ∥ b ? a 1 ? ?b 1 , a 2 ? ? b 2 , a 3 ? ? b 3 ( ? ? R ) ?

a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? 0

a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3
? ? ? ? a ?b cos ? a , b ?? ? ? ? | a |?|b |

2

(用到常用的向量模与向量之间的转化: a 2 ? a ? a ? a ? a ? a )
a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3

2 a1

2 2 2 2 ? a 2 ? a 3 ? b12 ? b2 ? b3

②空间两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . (2)法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? ,如果 a ? ? 那 么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. (3)用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理: 如图, n 是平面 ? 的法向量, 是平面 ? 的一条射线, 设 AB 其中 A ?? , 则点 B 到平面 ? 的距离为
| AB? n | |n|

.

②利用法向量求二面角的平面角定理:设 n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量,则 n 1 , n 2 所成 的角就是所求二面角的平面角或其补角大小( n 1 , n 2 方向相同,则为补角, n 1 , n 2 反方,则为其夹角). ③证直线和平面平行定理:已知直线 a ?? 平面 ? , A ? B ? a, C ? D ?? ,且 CDE 三点不共线,则 a∥ ? 的充 要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB ? ? CD ? ? CE .(常设 AB ? ? CD ? ? CE 求解 ?, ? 若 ?, ? 存在即证毕,若 ?, ? 不存在,则直线 AB 与平面相交).
A n


B

B

?
C A



n1

C

D E

? n2

?

?

二.基础训练: ? ? ? ? ? ? 1. 已知 a ? (cos ? ,1,sin ? ), b ? (sin ? ,1, cos ? ) ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角是 (
( A) 90
?



( B) 60

?

(C ) 30

?

( D) 0

?

? ? ? ? 2.已知 a ? (1 ? t ,1 ? t , t ), b ? (2, t , t ) ,则 | a ? b | 的最小值是





( A)

5 5

( B)

55 5

(C )

3 5 5

( D)

11 5

3.已知 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3), B(2, ?5,1), C (3,7, ?5) ,则点 D 的坐标为_____.
? ? ? ? ? ? 4.设向量 a ? (?1,3, 2), b ? (4, ?6, 2), c ? (?3,12, t ) ,若 c ? ma ? nb , 则t ? , m?n ? 。

? ? ? ? ? ? ? ? 5.已知向量 b 与向量 a ? (2, ?1, 2) 共线,且满足 a ? b ? 18 , (ka ? b) ? (ka ? b) , ? 则b ? , k? 。 三.例题分析: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 1.设向量 a ? (3,5, ?4), b ? (2,1,8) ,计算 2a ? 3b,3a ? 2b, a ? b 及 a 与 b 的夹角,并确定当 ?, ? 满足什么关 ? ? 系时,使 ? a ? ? b 与 z 轴垂直. 例 2.棱长为 1的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别为 AB, BC 的中点,试在棱 B1B 上找一点 M ,使得 D1M ? 平面 EFB1 。
例 3.已知 A(3, ?2,1), B(1,1,1) , O 为坐标原点, ? ? (1)写出一个非零向量 c ,使得 c ? 平面 AOB ; (2)求线段 AB 中点 M 及 ?AOB 的重心 G 的坐标; (3)求 ?AOB 的面积。 例 4.如图,两个边长为 1 的正方形 ABCD 与 ABEF 相交于 AB , ?EBC ? 90? , M , N 分别是 BD, AE 上的 E 点,且 AN ? DM , (1)求证: MN // 平面 EBC ; F N (2)求 MN 长度的最小值。

B

C

A

M D

四、作业同步练习

g3.1064 空间向量的运用
( )

1.设正六棱锥的底面边长为 1 ,侧棱长为 5 ,那么它的体积为

( A) 6 3

( B) 2 3

(C ) 3

( D) 2

2.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 是 DD1 的中点, O 为底面正方形 ABCD 的中心, P 为棱 A1 B1 上任意一点,则直 线 OP 与直线 AM 所成的角为 ( )

3.正三棱锥 V ? ABC 中, AB ? 1,侧棱 VA,VB,VC 两两互相垂直,则底面中心到侧面的距离为

? 4 ? (C ) 2
( A) ( A)

( B)

? 3

( D) 与 P 点的位置有关
( )

2 2

( B)

2 3

(C )

2 6

( D)

3 6

4.给出下列命题: ①底面是正多边形的棱锥是正棱锥; ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥; ③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥; ④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥,其中正确命题的个数是 (

)

( A) 0

( B) 1

(C ) 2

( D) 3

5. 如果三棱锥 S ? ABC 的底面是不等边三角形, 侧面与底面所成的二面角都相等, 且顶点 S 在底面的射影 O 在 ?ABC 内,那么 O 是 ?ABC 的 ( ) ( A) 垂心 ( B) 重心 (C ) 外心 ( D) 内心 6. 已知三棱锥 D ? ABC 的三个侧面与底面全等, AB ? AC ? 3 ,BC ? 2 , 且 则以 BC 为棱, 以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的大小是 ( )

( A)

? 4

( B)

? 3

(C )

? 2

( D)

2? 3

7.一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,则长方体的对角线长为 8.三棱锥 A ? BCD 的高 AH ? 3 3a ,且 H 是底面 ?BCD 的垂心,若 AB ? AC ,二面角 A ? BC ? D 为 60? , G 为

?ABC 的重心,则 HG 的长为

9. 如图, 已知斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长分别是 AB ? AC ? 10cm ,BC ? 12cm , 侧棱 AA1 ? 13cm , 顶点 A1 与下底面各个顶点的距离相等,求这个棱柱的全面积.

A1

C1

B1 A B 图 31—5

C

10.如图正三棱锥 ABC ? A1 B1C1 中,底面边长为 a ,侧棱长为

2 a ,若经过对角线 AB1 且与对角线 BC1 平行的平面 2

交上底面于 DB1 。 (1)试确定 D 点的位置,并证明你的结论; (2)求平面 AB1 D 与侧面 AB1 所成的角及平面 AB1 D 与底面所成的角; (3)求 A1 到平面 AB1 D 的距离。

D A1 F E G

C1 B1 C B

A

10、解: (1) D 为 A1C1 的中点。连结 A1 B 与 AB1 交于 E ,则 E 为 A1 B 的中点, DE 为平面 AB1 D 与平面 A1 BC1 的 交线,∵ BC1 //平面 AB1 D ∴ BC1 // DE ,∴ D 为 A1C1 的中点。 (2)过 D 作 DF ? A1 B1 于 F ,由正三棱锥的性质, AA1 ? DF ,? DF ? 平面 AB1 ,连结 DG ,则 ?DGF 为平 面 AB1 D 与侧面 AB1 所成的角的平面角,可求得 DF ?

3 a, 4

由 ?B1 FG ? ?B1 AA1 ,得 FG ?

3 ? a ,∴ ?DGF ? 4 4

∵ D 为 A1C1 的中点,∴ B1 D ? A1C1 ,由正三棱锥的性质, AA1 ? B1 D ,∴ B1 D ? 平面 AC 1 ∴ B1 D ? AD ,∴ ?A1 DA 是平面 AB1 D 与上底面所成的角的平面角,可求得

tan ?A1 DA ? 2 ,∴ ?A1 DA ? arctan 2
(3)过 A1 作 A1M ? AD ,∵ B1 D ? 平面 AC ,∴ B1 D ? A1 M ,∴ A1M ? 平面 AB1 D 1 即 A1 M 是 A1 到平面 AB1 D 的距离, AD ?

3 6 a ,∴ A1M ? a 2 6



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