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青海师范大学附属第二中学高中选修2-2导学案:1.7.1 定积分在几何中的应用.


[学习要求] 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积. [学法指导] 本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题.在这部分的学 习中,应特别注意利用定积分的几何意义,借助图形直观,把平面图形进行适当的分割,从 而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题. 1.当 x∈[a,b]时,若 f(x)>0,由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲 边梯形的面积 S=________. 2.当 x∈[a,b]时,若 f(x)<0,由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 线 y=f(x)围成的曲边梯形的面积 S=__________. 3 .当 x∈[a, b] 时,若 f(x)>g(x)>0 时,由直线 x = a , x = b(a≠b)和曲线 y=f(x),y=g(x)围成的平面图形的面积 S=_____________.(如图) 和曲 探究点一 求不分割型图形的面积 问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积? 例1 计算由曲线 y2=x,y=x2 所围图形的面积 S. 跟踪训练 1 求由抛物线 y=x2-4 与直线 y=-x+2 所围成图形的面积. 探究点二 分割型图形面积的求解 问题 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间位于上方和下方的曲 线不同时,这种图形的面积如何求呢? 例2 计算由直线 y=x-4,曲线 y= 2x以及 x 轴所围图形的面积 S. 跟踪训练 2 求由曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3 1 探究点三 定积分的综合应用 例3 在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 , 12 1 试求: 切点 A 的坐标以及在切点 A 的切线方程. 跟踪训练 3 如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所 围 图形为面积相等的两部分,求 k 的值. [达标检测] 1.在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中,正确的有( ) S=?a b [f(x)-g(x)]dx ① S=?8 0 (2 ② 2x-2x+8)dx S ?7 g ( x) ? S=?4 1f(x)dx-?4f(x)dx 0 b ?? a f ( x)?d x ? ④ ③ ? ? f ( x) ? g ( x)?d x a A.①③ B.②③ C.①④ D.③④ 3 2.曲线 y=cos x(0≤x≤ π)与坐标轴所围图形的面积是( 2 A.2 B.3 C. 5 2 D.4 ) 3.由曲线 y=x2 与直线 y=2x 所围成的平面图形的面积为________. 4.由曲线 y=x2+4 与直线 y=5x,x=0,x=4 所围成平面图形的面积是________.


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