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指数对数幂函数零点



数 学

单元 2

2011—2012 学年度上学期单元测试

高一数学试题(2) 【新人教】
命题范围:必修 1(2)第二章 基本初等函数(Ⅰ) 、第三章 函数的应用
第Ⅰ卷为选择题,共 60 分;第Ⅱ卷为非选择题共 90 分。满分 150 分,考试时间为 120 分钟。

Ⅰ卷(选择题,共 6 0 分)
一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.下列函数是幂函数的是 ( ) A. y ? 2 x 2 B. y ? x 3 ? x C. y ? 3x D. y ? x 2
1

2. 某种商品,现在每件定价 p 元,每月卖 n 件。根据市场调查显示,定价没上涨 x 成,卖出的数 量将会减少 y 成,如果涨价后的销售总金额是现在的 1.2 倍,则用 x 来表示 y 的函数关系式为 ( ) A. y ? 3.计算
10x ? 20 x ?10

B. y ?

10x ? 10 x ? 10

C. y ?

10x ? 20 x ? 10

D. y ?

10x ? 20 x ? 10

1 log 3 12 ? log 3 2 ? 2
B. 2 3 C.





A. 3

1 2

D.3 ( )

4. 若 100a ? 5, 10b ? 2 ,则 2a ? b =

A.0 B.1 C.2 D.3 5. 某种细菌在培养过程中, 每 15 分钟分裂一次 (由一个分裂成两个) , 这种细菌由 1 个繁殖成 4096 个需经过 ( ) A. 12 小时 B. 4 小时 C. 3 小时 D. 2 小时 6. 函数 y= log 1 (2 x ?1) 的定义域为
2

( C. (



1 A. ( ,+∞) 2 1 4

B. [1,+∞ )

1 ,1 ] 2

D. (-∞,1) ( )

7. 已知 f(x)=|lgx| ,则 f ( )、f ( )、f (2) 的大小关系是

1 3

1 1 3 4 1 1 C. f (2) ? f ( ) ? f ( ) 4 3

A. f (2) ? f ( ) ? f ( )

1 1 4 3 1 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f (2) 3 4
B. f ( ) ? f ( ) ? f (2)
1

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8.已知 f ( x) ? loga x , g ( x) ? logb x , r ( x) ? logc x , h( x) ? logd x 的图象如图所示则 a,b,c,d 的大小为 A. c ? d ? a ? b C. d ? c ? a ? b ( B. c ? d ? b ? a D. d ? c ? b ? a )

9.若函数 f ( x ) 唯一的一个零点同时在区间 (0,16) 、 (0,8) 、 (0, 4) 、 (0, 2) 内,那么下列命题中正 确的是 A.函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零点 B.函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 或 (1, 2) 内有零点 C.函数 f ( x ) 在区间 ? 2,16? 内无零点,唯一的一个零点必然在区间 (0, 2) D.函数 f ( x ) 在区间 (1,16) 内无零点 10. 已知 f ( x) ? ( )

e x ? e?x ,则下列正确的是 2





A.奇函数,在 R 上为增函数 B.偶函数,在 R 上为增函数 C.奇函数,在 R 上为减函数 D.偶函数,在 R 上为减函数 11.抽气机每次抽出容器内空气的 60%,要使容器内的空气少于原来的 0.1%,则至少要抽( (已知 lg2 ? 0.0310) A.6 次 B.7 次 C.8 次 D.9 次 12.若方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间 (a, b)(a, b ? Z , 且b ? a ? 1) 上有一根,则 a ? b 的值为
3







A. ? 1

B. ? 2

C. ? 3

D. ? 4

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 幂函数 f ( x ) 的图象过点 (3, 3) ,则 f ( x ) 的解析式是
3

__



14.用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 x0 ? 2.5 ,那么下一 个有根的区间是 。 15. 建造一个容积为 8 立方米,深为 2 米的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别 为 120 元和 80 元,那么水池的最低造价___________元 16. 函数 y ? log3 (3 ? 1) 的值域为________________________.
x

2

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若初时含杂质 2%,每过
1 滤一次减少 ,问过滤几次才能使产品达到市场要求? 3

18. (本小题满分 12 分) 解方程: (1) 9
?x

? 2 ? 31? x ? 27

(2) 6 ? 4 ? 9
x x

x

19. (本小题满分 12 分) 求函数 y= log (4x-x2)的单调区间.
1 2

20. (本小题满分 12 分) 某地方政府为地方电子工业发展,决定对某一进口电子产品征收附加税。已知这种电子产 品国内市场零售价为每件 250 元,每年可销售 40 万件,若政府征收附加税率为 t 元时,则每年
8 减少 y 万件。 5

(1)收入表示为征收附加税率的函数; (2)在该项经营中每年征收附加税金不低于 600 万元,那么附加税率应控制在什么范围?

3

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21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? loga (a ? a x ) (a ? 1) ,求 f ( x ) 的定义域和值域;

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22. (本小题满分 14 分)

? c? 0 和 ?ax ? bx ? c ? 0 的 一 个 根 , 且 设 x1 与 x2 分 别 是 实 系 数 方 程 a x ? b x
2 2

a x1 ? x2, x1 ? 0 , x2 ? 0,求证:方程 x 2 ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间. 2

4

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参考答案
一、选择题 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 C 7 B 8 A 9 C 10 A 11 C 12 C

二、填空题 13. f ( x) ? 三、解答题 17.解:依题意,得 故n?
2 ?2? 1 1 ?2? ?? ? ? 即? ? ? 。则 n(lg 2 ? lg 3) ? ?(1 ? lg 2) , 100 ? 3 ? 1000 ? 3 ? 20
n n

x

14. [2, 2.5)

15. 1760 元

16.

?0, ???

1 ? lg 2 ? 7.4 , lg 3 ? lg 2

考虑到 n ? N ,故 n ? 8 ,即至少要过滤 8 次才能达到市场要求。 18.解: (1) (3? x )2 ? 6 ? 3? x ? 27 ? 0,(3? x ? 3)(3? x ? 9) ? 0, 而3? x ? 3 ? 0

3? x ? 9 ? 0,3? x ? 32 , x ? ?2
(2) ( ) ? ( ) ? 1, ( )
x x

2 3

4 9

2 3

2x

2 ? ( ) x ?1 ? 0 3

2 2 5 ?1 ( ) x ? 0, 则( ) x ? , 3 3 2 5 ?1 ? x ? log 2 2 3
19.解: 由 4x-x2>0,得函数的定义域是(0,4) .令 t=4x-x2,则 y= log t.
1 2

∵ t=4x-x2=-(x-2)2+4,∴ t=4x-x2 的单调减区间是[2,4] ,增区间是(0,2) . 又 y= log t 在(0,+∞)上是减函数,
1 2

∴ 函数 y= log (4x-x2)的单调减区间是(0,2] ,单调增区间是[2,4) .
1 2

8 8 20.解: (1)y=250x*t%,这里 x=40- t ,所以,所求函数关系为 y=250(40- t )*t%. 5 5 8 (2)依题意,250(40- t )*t%≥600,即 t 2 ? 25t ? 150 ? 0 ,所以 10≤t≤15.即税率应控制在 5

10%到 15%之间。 21.解: a ? a ? 0, a ? a, x ? 1 ,即定义域为 (??,1) ;
x x

5

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a x ? 0,0 ? a ? a x ? a,loga (a ? a x ) ? 1 ,
即值域为 (??,1) 。 22.解:令 f ( x) ?

a 2 x ? bx ? c, 由题意可知 ax12 ? bx1 ? c ? 0, ?ax22 ? bx2 ? c ? 0 2 a a a bx1 ? c ? ?ax12 , bx2 ? c ? ax22 , f ( x1 ) ? x12 ? bx1 ? c ? x12 ? ax12 ? ? x12 , 2 2 2 a a 3a 2 f ( x2 ) ? x2 2 ? bx2 ? c ? x2 2 ? ax2 2 ? x2 , 因为 a ? 0, x1 ? 0, x2 ? 0 2 2 2 a 2 ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) ? 0 ,即方程 x ? bx ? c ? 0 有仅有一根介于 x1 和 x2 之间. 2

6



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