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高中数学基础知识强化记忆2



专题二:函数与导数
一、函数概念与基本初等函数 I(指数函数、对数函数、幂函数)
1、函数的概念 (1)函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都 有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合

/>
A 到 B 的一个函数,记作 f : A ? B .
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数, 且a ? b , 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间, 记做 [ a, b] ; 满足 a ? x ? b 的 实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间, 分 别 记 做 [a b , ( a, b] ; 满 足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的 实 数 x 的 集 合 分 别 记 做 , )

[a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) .
注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a ? b . (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: (在研究函数问题时要树立定义域优先的原则) ① f ( x ) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x ) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x ) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤ y ? tan x 中, x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若 f ( x ) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定 义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f ( x ) 的定义域为 [ a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义 域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个
1

最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问 的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域 或最值. 注意:给定区间上的二次函数最值问题的解题步骤 a 配方—找轴 b 判断轴与所给区间的相对位置—确定在所给区间上的单调性(轴的左右单调性不同) c 画出草图 d 结合草图,利用单调性得出结论. 求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看” :一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位 置关系. 闭区间上的二次函数必有最值,最值在端点处或顶点处取得. ③判别式法:若函数 y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a( y) x2 ? b( y) x ? c( y) ? 0 , 则在 a( y ) ? 0 时,由于 x, y 为实数,故必须有 ? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值. ④不等式法:利用基本不等式 a ? b ? 2 ab (a, b ? R? ) 求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积 为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角 函数的最值问题. 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数(如 y ? x ? (a ? 0) y ? A sin(?x ? ? ) ) ,其函数特 征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. 注意:函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求函数的 值域,最常用的就是三角函数的有界性. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. 注意:函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、等等, ⑧函数的单调性法.利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性. ⑨导数法:一般适用于高次多项式函数 2、函数的表示法 (1)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (2)映射的概念 ①设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯一 的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的映射, 记作 f : A ? B . ②给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫做 元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象. (3)分段函数的概念. 分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊的 函数.注意分段函数是一个函数,而不是几个函数
2

a x

注意:在求分段函数的值 f ( x0 ) 时,一定首先要判断 x0 属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式; 求分段函数的定义域 ,先选定所有分段的区间 ,然后取这些区间的并集所得到的集合就是分段函数的定义 域,分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集. .求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法――已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种) : 一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c ; 顶点式: f ( x) ? a( x ? m)2 ? n ; 零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式). (2)代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式,求 f ( x ) 的表达式. (3) 方程的思想――已知条件是含有 f ( x ) 及另外一个函数的等式, 可抓住等式的特征对等式的进行赋值, 从而得到关于 f ( x ) 及另外一个函数的方程组. (4)分段函数解析式分段求解. 3、单调性与最大(小)值 (1)函数的单调 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当 x < 1 . . . x 时,都有 f(x )<f(x ) , 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . 那么就说 f(x) 在这个区 间上是增函数 . ... 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、 x2, 当x < 1 . . . x 时,都有 f(x )>f(x ) , 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . 那么就说 f(x) 在这个区 间上是减函数 . ... 图象 判定方法 (1)利用定义 (2)利用已知函数 的单调性 (3)利用函数图象 (在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 (1)利用定义 (2)利用已知函数 的单调性 (3)利用函数图象 (在某个区间图 象下降为减) (4)利用复合函数

y y=f(X)
f(x1 )

f(x2)

o

x1

x2

x

函数的 单调性

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

o

x1

x2

x

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函 数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数 y ? f [ g ( x)] ,令 u ? g ( x) , 若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为增; 若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为增; 若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为减; 若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为减. (同调增,异调减) (2)打“√”函数 f ( x ) ? x ?

a ( a ? 0) 的图象与性质 x
3

f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,
分别在 [? a ,0) 、 (0, a ] 上为减函数. (3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: (I)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (II)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M . 那么,我们称 M 是函数 f ( x ) 的最大值,记作 f min ( x) ? m . ②一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 m 满足: (I)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? m ; (II)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x ) 的最小值,记作 f max ( x) ? m . 4、奇偶性 (1)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数 f(x) 定义 域内任意一个 x ,都有 f( - - ,那么函 . . .x)= . . . .f(x) . . . . 数 f(x)叫做奇函数 . ... 函数的 奇偶性 图象 判定方法 (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于原点对称) (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于 y 轴对称)
o
x y

如果对于函数 f(x) 定义 域内任意一个 x ,都有 f( - f(x) ,那么函数 . . .x)= . . . . . . . f(x)叫做偶函数 . ...

②若函数 f ( x ) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 . ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数(或奇 函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数. 5、函数的周期性 (1) 由周期函数的定义“函数 f ( x ) 满足 f ?x ? ? f ?a ? x ? (a ? 0) ,则 f ( x ) 是周期为 a 的周期函数” 得: ①函数 f ( x ) 满足 f ?a ? x ? ? ? f ?x ? ,则 f ( x ) 是周期为 2 a 的周期函数;
4

1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a ; f ( x) 1 ③若 f ( x ? a) ? ? (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . f ( x)
②若 f ( x ? a) ? 提醒:a.函数 f ( x ) 满足 f ?x ? a ? ? f ( x ? a) , f ?x ? 2a ? ? f ?x? , f ?a ? x ? ? b ? f ?x ? , f ( x ? a) ? f ( x) ? 1 ,
f ( x) ? 1

f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) , mf ( x) ? n ,(m、n、p∈R,且 p≠0, m2 ? np ? 0 )则函数 f ( x ) 是周期为 f ( x ? a) ? 1 ? f ( x) pf ( x) ? m

2 a 的周期函数; b.函数 f ( x ) 对 x∈R 时,对于非零实数 a,恒有 f (x+a)= f ( x) ? 1 ,则 f(x)是周期函数且 3a 是函数的一 f ( x) 个周期. (2)类比“三角函数图像”得: ① 若 y ? f ( x) 图 像 有 两 条 对 称 轴 x ? a, x ? b(a ? b) , 则 y ? f ( x) 必 是 周 期 函 数 , 且 一 周 期 为

T ? 2 | a ? b | ;特别地:若 y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 2 a 的周期
函数; ② 若 y ? f ( x) 图 像 有 两 个 对 称 中 心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) , 则 y ? f ( x) 是 周 期 函 数 , 且 一 周 期 为

T ? 2| a ?b|;
③如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期 函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ;特别地:若 y=f(x)奇函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周 期为 4 a 的周期函数. 6、函数的对称性 ①满足条件 f ? x ? a ? ? f ?b ? x ? 的函数的图象关于直线 x ?

a?b 对称。 2

特别地:若 x∈R 时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则 y=f(x)图像关于直线 x=a 对称; a?b 函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x= 对称; 2

b?a 对称. 2 特别地: f ( x)与f (2a ? x)的图象关于直线 x ? a对称 ②点 ( x, y ) 关于 y 轴的对称点为 (? x, y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于 y 轴的对称曲线方程为 y ? f ?? x ? ;
函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x= ③点 ( x, y ) 关于 x 轴的对称点为 ( x, ? y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于 x 轴的对称曲线方程为 y ? ? f ?x ? ; ④点 ( x, y ) 关于原点的对称点为 (? x, ? y ) ;函数 y ? f ?x ? 关于原点的对称曲线方程为 y ? ? f ?? x ? ; ⑤点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x ? a 的对称点为 (?( y ? a), ? x ? a) ; 曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x ? a 的对 称曲线的方程为 f (?( y ? a), ? x ? a) ? 0 。 特别地: 点 ( x, y ) 关于直线 y ? x 的对称点为 ( y , x ) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? x 的对称曲线的方程为

f ( y, x) ? 0 ; 点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x 的对称点为 (? y, ? x) ;曲线 f ( x, y) ? 0 关于直线 y ? ? x 的对称曲线的方程为 f ( ? y, ? x) ? 0 。

? ) ⑥ 曲 线 f ( x, y

, ) 0 于 点 (a b 关 的 对 称 曲 线 的 方 程 为 f (2a ? x, 2b ? y) ? 0 。 特 别 地

f (x)与 ? f (2a ? x)的图象关于 点(a,0) 对称

⑦形如 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc) 的图像是双曲线,其两渐近线分别直线 x ? ? d (由分母为零确定)和直

cx ? d

c

5

线 y ? a (由分子、分母中 x 的系数确定),对称中心是点 (? d , a ) 。

c

c c

⑧ | f ( x) | 的图象先保留 f ( x ) 原来在 x 轴上方的图象,作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的对称图形,然后擦 去 x 轴下方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x ) 在 y 轴右方的图象,擦去 y 轴左方的图象,然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。 提醒: a.从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转化为求点的对称问题; b.证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; c.证明图像 C1 与 C2 的对称性,需证两方面:①证明 C1 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在 C2 上;②证明 C2 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在 C1 上。 5、函数的图象 (1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; ④画出函 数的图象. 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) h?0,右移|h|个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k k ?0,下移|k|个单位

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换
x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x) 原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)
y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f (? x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径, 获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法. 6、指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果 x ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用
n

符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数
6

时, a ? 0 . ③根式的性质: ( n a )n ? a ;当 n 为奇数时, an ? a ;当 n 为偶数时,
n
n

(a ? 0) ?a . a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是:a
? m n
m

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .0 的负分数指数幂没 a a

有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R) 7、指数函数及其性质 (1)指数函数 函数名称 定义 指数函数 函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数 ② (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R) ③ (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R)

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax

y

y ? ax

y

图象

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性

1

x 0
R
(0, ??)

O

1

x 0

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对 图象的影响
8、对数与对数运算 (1)对数的定义

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

①若 a ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N ,其中 a 叫做底数, N 叫做
x

7

名称

对数函数

真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . (2)几个重要的对数恒等式 log a 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b . (3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e ? 2.71828 ?) . (4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ②减法: log a M ? log a N ? log a ④a
log a N

①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ③数乘: n loga M ? loga M n (n ? R)
n ⑤ log ab M ?

M N

?N

n log a M (b ? 0, n ? R ) b

⑥换底公式: log a N ?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

9、对数函数及其性质

8

定义

函数

y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数
0 ? a ?1
y
x?1

a ?1
y
x?1

y ? loga x

y ? loga x

图象
O
(1, 0)

1

0

x

(1,0)

O

1x 0

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

(0, ??)

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

? 1 时, y ? 0 .

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对
影响

图象的

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

10、幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.
?

(2)幂函数的图象 几种幂函数的图象:

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第 一、二象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非 偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图 象在 (0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴.
9

④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?
q p

q (其中 p, q 互 p
q p

质, p 和 q ? Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x 是偶 函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,则 y ? x 是非奇非偶函数. ⑤图象特征:幂函数 y ? x? , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若 x ? 1 , 其图象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线
q p

y ? x 下方.
11、二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ③两根式:

f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0)
(2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x ) 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?
2

b , 顶点坐标是 2a

b 4ac ? b 2 (? , ). 2a 4a
②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?

b b b ] 上递减,在 [ ? , ?? ) 上递增,当 x ? ? 时, 2a 2a 2a

f min ( x) ?

4ac ? b 2 b b ] 上递增,在 [ ? , ?? ) 上递减, ;当 a ? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ? 2a 2a 4a

4ac ? b2 b 当x?? 时, f max ( x) ? . 2a 4a
2 2 ③二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?
2

? . |a|

(4)一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不 够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用, 下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.
10

设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,从以 下四个方面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x ? ? 值符号. ①k<x1≤x2
f (k ) ? 0
?

b ③判别式: ? ④端点函数 2a

?
y
a?0
O

y
x??

b 2a

k x1
x??

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

②x1≤x2<k
a?0

?
y
f (k ) ? 0
?

y
x??
O

b 2a

O

x1

x2

k x

k
x2
?

x1
a?0

x

b x?? 2a

f (k ) ? 0

③x1<k<x2
y
a?0
O

?

af(k)<0
y
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

④k1<x1≤x2<k2
y
?

?
y
a?0

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2
?

O k 1

x1

x2 k2 x

O

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

⑤有且仅有一个根 x (或 x2) 满足 k1<x (或 x2) <k2 1 1 这两种情况是否也符合
y
?

?

f(k1)f(k2) ? 0, 并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0
y

a?0

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

f ( k1 ) ? 0
?

O k 1

x2

O

x

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 ? 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值
2

设 f ( x ) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x0 ? (Ⅰ)当 a ? 0 时(开口向上)
11

1 ( p ? q) . 2

①若 ?

b ? p ,则 m ? f ( p) 2a
a ?0

②若 p ? ?

b b ? q ,则 m ? f (? ) 2a 2a

③若 ?

b ? q ,则 m ? f (q) 2a

yx ? ?

2a

p q x O (q) f b f (? ) 2a (p) b ? x0 ,则 M ? f (q) ①若 ? 2a
a ?0

f

a ?0

f (p)

yx ? ? b f

2a

a?0

f q x

yx?? b

2a

p O (q)
b f (? ) 2a

yx ? ? b
x0 p (q) ?

2a

f q x

O

(Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下) ①若 ?

b f ((p) ? ) 2a

f

(p q ) p O b f f(? 2a ) b ? x0 ,则 M ? f ( p) ②? (q 2a ) yx ? ? b a ?0 2a f x0 (p) q ? p O x f f ( ? 2a ) (q)
b

x

b ? p ,则 M ? f ( p) 2a a ? 0 f (?y b )
2a

②若 p ? ?

f (p)
O

q p f
x

①若 ?

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a ?0
f (?

b x?? (q) 2a

yb )
2a

f (p)

O p

x0 ?

q f x ?? b 2a (q)
x

12、函数的应用 方程的根与函数的零点 ( 1 ) 函 数 零 点 的 概 念 : 对 于 函 数 y ? f ( x)(x ? D) , 把 使 f ( x) ? 0 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点.

b b b ? q ,则 M ? f (? ) ③若 ? ? q ,则 M ? f (q) 2a 2a 2a b b a ?0 f (? y a ?0 f (? y ) 2a f 2a ) f (q (p q p ) O p ) x O q x f b ? f x ?(q b 2a x ?? 2 a (p b ) m ? f ( p) . ? x0 ,则 ②? ) 2a a ? 0 f (?yb ) f 2a (q) x0 p ? O q x f x ?? b 2a (p)

(2)函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. (3) 零点存在性定理: 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f ?a ? ? f ?b? ? 0 ,那么函数

y ? f ?x ?在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ? ?a, b ? ,使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ?x ? ? 0 的根.
12

图像连续的函数的零点的性质 ①函数的图像是连续的,当它通过零点时(变号零点) ,函数值变号. ②相邻两个零点之间的函数值保持同号 (4)函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数 ○ 的性质找出零点. 提醒:很多情况下,通过导数来确定图像的大致形状. (5)二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . 1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两 个零点.
2

2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二 次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. (6)函数的实际应用 求解数学应用题的一般步骤: ①审题――认真读题,确切理解题意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系; ②建模――通过抽象概括,将实际问题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域; ③解模――求解所得的数学问题; ④回归――将所解得的数学结果,回归到实际问题中去。 常见的函数模型有: ①建立一次函数或二次函数模型; ②建立分段函数模型;
2

③建立指数函数模型;

④建立 y ? ax ?

b 型。 x

(7) 抽象函数:抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些条件(如函数的定 义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是: a.借鉴模型函数进行类比探究 几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x) ? kx(k ? 0) ---------- f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ;

f ( x) ; f ( y) f ( x) x ③指数函数型: f ( x) ? a ----- f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,------- f ( x ? y ) ? ; f ( y) x ④对数函数型: f ( x) ? loga x ------- f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,------- f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ; y
②幂函数型: f ( x) ? x
2

--------- f ( xy) ? f ( x) f ( y) ,--------- f ( ) ?

x y

⑤三角函数型:

f ( x) ? f ( y ) ; 1 ? f ( x) f ( y ) x ? x2 x ? x2 )? f ( 1 ) f ( x) ? cos x ------------- f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( 1 2 2
f ( x) ? tan x -------------- f ( x ? y ) ?
b.利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究 c.利用一些方法(如赋值法(令 x =0 或 1,求出 f (0) 或 f (1) 、令 y ? x 或 y ? ? x 等) 、递推法、反证法 等)进行逻辑探究。

二、函数与导数
1、函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义:就是曲线 y ? f ( x) 在点 P x0, f ? x0 ? 处的切线的斜率,
13

?

?

即 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P x 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ? ? x0 ? , 相 应 地 切 线 的 方 程 是 ? x ? 0 , f 0

?

?

y? y ? 0 x ?? 0 ? f?

。 x? ? 0x

特别提醒: A.在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线(只有当此点在曲线上时,此 点处的切线的斜率才是 f ?( x0 ) ),还是过某点的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切 线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条切线,也未必和曲线只有一个交点; B.求过某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求。 2、几种常见函数的导数
' ①C ? 0;

② ( x n ) ' ? nxn?1 ;

③ (sin x) ' ? cos x ; ⑦ (log a x ) ?
'

④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑧ (ln x ) ?
'

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ; ⑥ (e x ) ' ? e x ; 3、导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u ' ? v' .

1 ; x ln a

1 x

(2) (uv)' ? u 'v ? uv' .

(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

4、函数的单调性: (1)函数的单调性与导数的关系 ①若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数;若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数;若 f ?( x) ? 0 恒成立,则 f ( x ) 为 常数函数;若 f ?( x ) 的符号不确定,则 f ( x ) 不是单调函数。可导函数 y=f(x)在某个区间内

f ?( x) ? 0 是函数 f(x)在该区间上为增函数的充分条件
②若函数 y ? f ( x) 在区间( a , b )上单调递增,则 f ?( x) ? 0 ,反之等号不成立(等号不恒成立时,反过 来就成立) ;若函数 y ? f ( x) 在区间( a , b )上单调递减,则 f ?( x) ? 0 ,反之等号不成立(等号不恒 成立时,反过来就成立) 。 (2)利用导数求函数单调区间的步骤: A.求 f ?( x ) (注意定义域) ; B.求方程 f ?( x) ? 0 的根,设根为 x1 , x2 ,? xn ; (3) x1 , x2 ,? xn 将给定区间分成 n+1 个子区间(在此有一 个比较根的大小问题) ,再在每一个子区间内判断 f ?( x ) 的符号,由此确定每一子区间的单调性。 (3)利用导数函数的单调性确定参变数(已知函数 f ( x) 的单调性) 转化为 f ?( x) ? 0或f ?( x) ? 0 恒成立 5、函数的极值 (1)定义: 设函数 f ( x ) 在点 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近所有的点, 都有 f ( x) ? f ( x0 ) , 就说是 f ( x0 ) 函数 f ( x ) 的 一个极大值。记作 y极大值 = f ( x0 ) ,如果对 x0 附近所有的点,都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,就说是 f ( x0 ) 函数

f ( x) 的一个极小值。记作 y极小值 = f ( x0 ) 。极大值和极小值统称为极值。 (2)求函数 y ? f ( x) 在某个区间上的极值的步骤:
(i)求导数 f ?( x ) ; (ii)求方程 f ?( x) ? 0 的根 x0 ; (iii)检查 f ?( x ) 在方程 f ?( x) ? 0 的根 x0 的左右的符号: “左正右负” ? f ( x) 在 x0 处取极大值; “左 负右正” ? f ( x) 在 x0 处取极小值。
14

注:导数为零的点未必是极值点, 特别提醒:

A. x0 是极值点的充要条件是 x0 点两侧导数异号,而不仅是 f ? ? x0 ? =0, f ? ? x0 ? =0 是 x0 为极值点的必要 而不充分条件。 B.给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑 f ?( x0 ) ? 0 ,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的 转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记! C.第二步中蕴含着比较根的大小问题,第三步中通常总结成表. 5、求函数的最值 (1)定义:函数 f ( x ) 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值” ; 函数 f ( x ) 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值” 。 (2)求函数 y ? f ( x) 在[ a , b ]上的最大值与最小值的步骤: A.求函数 y ? f ( x) 在( a , b )内的极值(极大值或极小值) ; B.将 y ? f ( x) 的各极值与 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。 注:第一步中其实不必求出极值,只要找到导数为零点处的函数值即可;闭区间上的连续函数必有最值 特别注意: A.利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时,要注意列表! B.要善于应用函数的导数,考察函数单调性、最值(极值),研究函数的性态,数形结合解决方程不等式等 相关问题。

15



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