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直线与椭圆讲课



椭圆及性质
一、知识回顾
1.平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_____.这 两个定点叫做椭圆的_____,两焦点间的距离叫做椭圆的_____. 2.写出椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上时是_________________.焦点在 y 轴上时是_________________. 3.到两定点 F1(0,-1

),F2(0,1)的距离的和等于 4 的动点 M 的轨迹方程是___________. 4.椭圆的几何性质 5.椭圆的位置关系可分为:相交、相切、相离.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳 为:

3.直线与椭圆相交的弦长公式
设直线 l:y=kx+n,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2), 且由 ?

? F ( x, y ) ? 0 ,消去 y→ax2+bx+c=0(a≠0) ,Δ=b2 -4ac。 y ? k x? n ?
(1 ? k 2 ) (1 ? k 2 )Δ Δ。 = |a| a2

则弦长公式为: d= ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 ) = (1 ? k )( x1 ? x2 ) =
2 2 2 2

| PF | ? e(点 P 是圆锥曲线上的任意一点,F 是焦点,d 是 P 到相应于焦点 F d 的准线的距离, e 是离心率) 。
焦点弦长:

二、知识应用
(一) .求椭圆的标准方程 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

2 (1)长轴长是 6,离心率是 ; 3 (2)在 x 轴上的一个焦点,与短轴的两个端点的连线互相垂直,且焦距为 6.
x2 y2 y2 x2 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0).由已知得 2a=6,∴a=3. a b a b c 2 又 e= = ,∴c=2.∴b2=a2-c2=9-4=5. a 3 x2 y2 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 9 5 9 5 【解】 (2)由题意知焦点在 x 轴上, x2 y2 故可设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),且两焦点为 F′(-3,0),F(3,0).如图 a b 所示,△A1FA2 为等腰直角三角形, OF 为斜边 A1A2 的中线,且|OF|=c,|A1A2|=2b,∴c=b=3.

∴a =b +c =18.∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 18 9

2

2

2

x2

y2

互动探究 2

本例中,(1)中条件“长轴长是 6”改为“短轴长为 8” ;

(2)中焦距是“6”改为“8”.结果如何?

x2 y2 y2 x2 解:(1)设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0). a b a b
c 2 由已知得 e= = ,2b=8 5, a 3
2 2 c2 a -b 4 ∴ 2= 2 = ,b2=80. ∴a2=144. a a 9 x2 y2 y2 x2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 144 80 144 80 2 2 x y (2)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0).如图所示,△A1FA2 为等腰直角三角形, a b

OF 为斜边 A1A2 的中线(高), 且|OF|=c, 1A2|=2b, |A ∴c=b=4, 2=b2+c2=32, ∴a 2 2 x y 故所求椭圆的方程为 + =1. 32 16

(二) 、求椭圆的离心率
求椭圆的离心率的常见思路:一是先求 a,c,再计算 e;二是依据条件中的关系,结合有关 知识和 a、b、c 的关系,构造关于 e 的方程,再求解.注意 e 的范围:0<e<1.

x2 y2 1 过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠ a b F1PF2=60° ,则椭圆的离心率为( )
A. 2 2 B. 3 3 1 C. 2 1 D. 3

【解析】

b2 b2 由题意知点 P 的坐标为(-c, )或(-c,- ),∵∠F1PF2=60° , a a

2c ∴ 2 = 3,即 2ac= 3b2= 3(a2-c2). b a ∴ 3e2+2e- 3=0,∴e= 3 或 e=- 3 3

2 已知椭圆的两个焦点为 F1、F2,A 为椭圆上一点,且 AF1⊥AF2,∠AF2F1

=60°,求该椭圆的离心率.
解:不妨设椭圆的焦点在 x 轴上,画出草图如图所示.

由 AF1⊥AF2 知△AF1F2 为直角三角形,且∠AF2F1=60° . 由椭圆定义,知|AF1|+|AF2|=2a,|F1F2|=2c.则在 Rt△AF1F2 中, 由∠AF2F1=60° 得|AF2|=c, 1|= 3c, |AF 所以|AF1|+|AF2|=2a=( 3 c +1)· c,所以离心率 e= = 3-1. a
3 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率 4 已知椭圆 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1?a ? b ? 0? , A 、 B 是其长轴的两个端点,如果椭圆上存在一个 b2
?

点 Q ,使 ?AQB ? 120 ,求 C 的离心率 e 的取值范围. 解。设 Q?x,y ? ,则 kQA ?

y y , kQB ? . x?a x?a

由于对称性,不妨设 y ? 0 ,于是 ?AQB 是 QA 到 QB 的角.

y y ? 2ay ∴ tan ?AQB ? x ? a x ? a ? 2 2 y x ? y2 ? a2 1? 2 x ? a2
∵ ?AQB ? 120 ,
?



2ay ? ? 3 整理得 3 ?x 2 ? y 2 ? a 2 ? ? 2ay ? 0 x ? y2 ? a2
2

∵x ?a ?
2 2

? a2 ? a2 2 y ∴ 3 ?1 ? 2 ? y 2 ? 2ay ? 0 ? b ? b2 ? ?

∵ y ? 0,

2ab2 ∴y? ∵ y ? b, 3c 2

2ab2 ?b ∴ 3c 2

2ab ? 3c 2 , 4a 2 ?a 2 ? c 2 ? ? 3c 2
∴ 4c ? 4a c ? 4a ? 0 , 3e ? 4e ? 4 ? 0
4 2 2 4 4 2

∴e ?
2

6 3 2 ? e ? 1. 或 e ? ?2 (舍) ,∴ 3 2
x2 y2 1 ? ? 1 的离心率 e ? ,求 k 的值 k ?8 9 2
2 2 2

5 已知椭圆

解: 当椭圆的焦点在 x 轴上时,a ? k ? 8 ,b ? 9 , c ? k ? 1 . e ? 得 由 当椭圆的焦点在 y 轴上时, a ? 9 , b ? k ? 8 ,得 c ?1 ? k .
2 2 2

1 , k ? 4. 得 2

1 1? k 1 5 ,得 ? ,即 k ? ? . 2 9 4 4 5 ∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ? . 4
由e ? 6 已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? 60? . (1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证 ?PF1 F2 的面积与椭圆短轴长有关.

x2 y2 解: 1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 a ? b ? 0 ) P( x1 , y1 ) , 1 (?c , 0) , 2 (c , 0) , ? 0 , (法 ( , F F c a b
则 PF1 ? a ? ex1 , PF2 ? a ? ex1 .在 ?PF1 F2 中,由余弦定理得

cos 60? ?

1 (a ? ex1 ) 2 ? (a ? ex1 ) 2 ? 4c 2 4c 2 ? a 2 2 ? ,解得 x1 ? . 2 2(a ? ex1 )( a ? ex1 ) 3e 2
2

(1)∵ x1 ? (0 , a ] ,∴ 0 ?
2

4c 2 ? a 2 ? a 2 ,即 4c 2 ? a 2 ? 0 . 3e 2

∴e ?

c 1 1 ? .故椭圆离心率的取范围是 e ? [ , 1) . a 2 2
2

(2)将 x1 ?

b2 4c 2 ? a 2 x2 y2 b4 2 代入 2 ? 2 ? 1 得 y1 ? 2 ,即 y1 ? . a b 3c 3e 2 3c
1 1 b2 3 2 F1 F2 ? y ? ? 2c ? ? b . 2 2 3 3c

∴ S ?PF1F2 ?

即 ?PF1 F2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

x2 y2 7.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭 a b
→ → 圆上,且 BF⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB,则椭圆的离心率 是多少。

b2 解析:选 D.如图,由于 BF⊥x 轴,故 xB=-c,yB= . a
b → → ? ? 设 P(0,t),∵AP=2PB,∴(-a,t)=2?-c, -t?.
2

?

a

?

c 1 ∴a=2c,∴ = . a 2

(三) 、直线与椭圆的位置关系
x2 y2 1.直线 y=x+m 与椭圆 + =1 有两个公共点,则 m 的取值范围 144 25 联立直线与椭圆方程,由判别式 Δ >0,可得-13<m<13.

2.若直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,求实数 m 的取值范围 5 m

? y ? kx ? 1 ? 2 2 解法一:由 ? x 2 可得 (5k ? m) x ? 10 kx ? 5 ? 5m ? 0 , y2 ? 5 ? m ?1 ?
? ? ? m ? 5k 2 ? 1 ? 0 即 m ? 5k 2 ? 1 ? 1 ? m ? 1且m ? 5
解法二:直线恒过一定点 (0,1) 当 m ? 5 时,椭圆焦点在 x 轴上, 短半轴长 b ?

m ,要使直线与椭圆恒有交点则 m ? 1 即 1 ? m ? 5

当 m ? 5 时,椭圆焦点在 y 轴上,长半轴长 a ? 5 可保证直线与椭圆恒有交点即 m ? 5 综述: m ? 1且m ? 5 解法三:直线恒过一定点 (0,1)

0 2 12 要使直线与椭圆恒有交点,即要保证定点 (0,1) 在椭圆内部 ? ? 1即 m ? 1 5 m
3. 已知中心在原点, 长轴在 x 轴上的椭圆的两准线间的距离为 2 3 , 若椭圆被直线 x+y+1=0 截得的弦的中点的横坐标是 ?
2

2 ,求椭圆的方程 3
2

解法一:令椭圆方程为 mx ? ny ? 1(m ? n) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 由 题 得 :

x1 ? x 2 2 , ?? 2 3

y1 ? y2 1 ?? 2 3

由 ?

? y ? ?x ?1 可 得 2 2 ?mx ? ny ? 1

(m ? n) x 2 ? 2nx ? n ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? ?
又?

2n 4 ? ? 即n ? 2m m?n 3
?m ? 2 4 2 4 , n ? 椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1 3 3 3 3

1 1 1 2a 2 ? 2 ? 2 3即 2 ? 3 2 c m m n
2 2

解法二:令椭圆方程为 mx ? ny ? 1(m ? n) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 由题得:

x1 ? x 2 2 y ? y2 1 ?? , 1 ?? 2 3 2 3
作差得 ?

由?

? mx1 2 ? ny1 2 ? 1 ?mx 2 ? ny2 ? 1
2 2

y ? y2 m ( x1 ? x 2 ) ? 1 ( y1 ? y 2 ) ? n ? 2m n x1 ? x 2

又 ?

1 1 1 2a 2 ? 2 ?2 3 即 2 ? 3 2 c m m n

?m ?

2 4 ,n ? 3 3

椭 圆 方 程 为

2 2 4 2 x ? y ?1 3 3
4.焦点分别为(0,5 2)和(0,-5 2)的椭圆截直线 y=3x-2 所得椭圆的弦的中点的横坐 1 标为 ,求此椭圆方程. 2 解:设此椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),

x2 y2 b a

且 a -b =(5 2) =50 ① 得(a +9b )x -12b x+4b -a b =0. 2 x1+x2 1 6b 1 ∵ = , ∴ 2 2= , 2 2 a +9b 2 由①②得 a =75,b =25,∴ + =1. 25 75
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

?x2+y2=1 ? 由?b a ?y=3x-2 ?
∴a =3b
2 2

2

2



②,此时 Δ >0,

x2

y2

x2 y2 5.过椭圆 + =1 的右焦点且倾斜角为 45°的弦 AB 的长为 25 9 解析:选 C.椭圆的右焦点为(4,0),直线的斜率为 k=1, ∴直线 AB 的方程为 y=x-4,

?y=x-4 ? 由? x2 y2 ?25+ 9 =1 ?

得 9x +25(x-4) =225,

2

2

90 由弦长公式易求|AB|= . 17

x2 y2 6.如图,点 A 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的短轴位于 y 轴下方 a b 的端点,过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆于点 B,若 P 在 y 轴上,且 BP∥x 轴,AB?AP=9.点 P 的坐标为(0,1),求椭圆 C 的方程.
解: ∵直线 AB 的斜率为 1, ∴∠BAP=45°, 即△BAP 是等腰直角三角形, AB|= 2|AP|. | → → 2 ∵AB?AP=9,∴|AB||AP|cos 45°= 2|AP| cos 45°=9,∴|AP|=3. ∵P(0,1),∴|OP|=1,|OA|=2,即 b=2,且 B(3,1). 9 1 2 ∵B 在椭圆上,∴ 2+ =1,得 a =12, a 4 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 12 4 7.(2010 年高考福建卷)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0) 为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距 离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解:(1)依题意, → →

x2

y2

可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 且可知其左焦点为 F′(-2,0). 从而有?
?c=2, ? ? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, 2 2 2 2 又 a =b +c ,所以 b =12, ?c=2, ? ? ?a=4.

x2 y2 a b

解得?

故椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y= x+t. 2

x2

y2

?y=3x+t, ? 2 由? x y ?16+12=1, ?
2 2

得 3x +3tx+t -12=0.

2

2

因为直线 l 与椭圆 C 有公共点, 2 2 所以 Δ =(3t) -4?3?(t -12)≥0, 解得-4 3≤t≤4 3. 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4, |t| 得 =4,解得 t=±2 13. 9 +1 4 由于±2 13?[-4 3,4 3], 所以符合题意的直线 l 不存在. 8. 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m .
2 2

(1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5
2 2

. 解: (1)把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆方程 4 x ? y ? 1 得
2

4 x 2 ? ?x ? m? ? 1 ,
2 2

2 2 即 5x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 . ? ? ?2m? ? 4 ? 5 ? m ? 1 ? ?16 m ? 20 ? 0 ,
2

?

?

解得

?

5 5 ?m? 2 2
m2 ? 1 2m ,x1 x2 ? . 5 5

(2) 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 ,x2 , (1) x1 ? x2 ? ? 由 得
2

m 2 ? 1 2 10 ? 2m ? ? 根据弦长公式得 : 1 ? 1 ? ? ? . 解得 m ? 0 . 方程为 y ? x . ? ? 4? 5 5 ? 5 ?
2

(四) 、点差法问题: 1、已知椭圆 程。
2 2 、 椭圆 ax ? by ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A、 两点, 是 AB 的中点, AB ? 2 2 , B C 若

x2 y2 ? ? 1 ,过点 P(2,1) 做一弦,使弦在 P 点被平分,求此弦所在直线的方 16 4

OC 的斜率为

2 ,求椭圆的方程。 2



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