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第1讲正余弦函数的图像和性质讲义



正弦、余弦函数的图像与性质 知识点归纳

三角函数

y ? sin x

y ? cos x

图像 (只画一个 周期内的图像)

定义域 值域

R

R

[ ?1,1]
当x?

[ ?1,1]

?
2

? 2k? , k ? Z , ymax ? 1 ;

当 x ? 2k? , k ? Z , ymax ? 1; 当 x ? ? ? 2k? , k ? Z , ymin ? ?1 ; 偶函数

最值

当x?? 奇偶性 周期性 奇函数

?
2

? 2k? , k ? Z , ymin ? ?1 ;

T ? 2?
在每个区间 [2k? ?

T ? 2?
?
2 , 2 k? ?

?
2

](k ? Z )

在 每 个 区 间 [(2k ? 1)? , 2k? ](k ? Z ) 上 都是增函数; 在每个区间 [2k? ,(2k ? 1)? ](k ? Z ) 上都是减函数;

单调性

上都是增函数; 在每个区间 [2k? ? 上都是减函数;

?
2

, 2 k? ?

3? ](k ? Z ) 2

对称中心

(k? ,0), k ? Z
x ? k? ?

( k? ?

?
2

, 0), k ? Z

?
2

对称轴

,k ?Z

x ? k? , k ? Z

1

巩固提高检测题 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,请将正确答案填在题后的括号内) 1.函数 y ? 2 sin( 2 x ? A.关于原点对称 C.关于 y 轴对称 2.函数 y ? 2 sin( A. [0,

?
3

) 的图象
B.关于点(- ? ,0)对称
6





D.关于直线 x= ? 对称
6

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是

( D. [



?
3

]

B. [

?
12

,

7? ] 12

? 5? C. [ , ] 3 6

5? , ?] 6
) )

3.设 a 为常数,且 a ? 1,0 ? x ? 2? ,则函数 f ( x) ? cos2 x ? 2a sin x ? 1 的最大值为( 2 A. 2a ? 1 B. 2a ? 1 C. ? 2a ? 1 D. a 5 4.函数 y ? sin( 2 x ? ? ) 的图象的一条对称轴方程是 ( 2 A. x ? ? ? 2 B. x ? ?

?
4

C. x ?

?
8

D. x ? 5 ? 4 ( )

5.若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则 ?和? 的取值是 A. ? ? 1, ? ? C. ? ?

?
3

B. ? ? 1, ? ? ? D. ? ?

?
3

y 1

1 ? ,? ? 2 6

1 ? ,? ? ? 2 6

? 0 ? 2? 3 3
( C. y ? sin( 2 x ?

x

6.下列函数中,以π 为周期的偶函数是 A. y ?| sin x | B. y ? sin | x |



?
3

) D. y ? sin( x ?

?
2

)


7.如果函数 y=sin2x+α cos2x 的图象关于直线 x=- A. 2 B.- 2 2 8.函数 y=2cos x+1(x∈R)的最小正周期为 A.
π 2

? 对称,那么α 的值为 8
D.-1



C.1

( C. 2π D. 4π (



B. π

9.已知函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
2

) ? 1 ,则下列命题正确的是
B. f (x) 是周期为 2 的偶函数



A. f (x) 是周期为 1 的奇函数 C. f (x) 是周期为 1 的非奇非偶函数 10.函数 y ?

D. f (x) 是周期为 2 的非奇非偶函数 ( )

? cos x ? cot x 的定义域是

3 3 ?] B. [2k? ? ? ,2k? ? ? ] 2 2 3 3 ? C. (2k? ? ? ,2k? ? ? ]或x ? 2k? ? D. (2k? ? ? ,2k? ? ? ] 2 2 2
A. [k? ? ? , k? ?

2

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分,答案填在横线上) 11.已知函数 y ? 12.在 0≤x≤

? 2 2 条件下,则 y=cos x-sinxcosx-3sin x 的最大值为 2
.

1 x ?? sin ( A ? 0) 的最小正周期为 3 ? ,则 A= 2 A

.

13.已知方程 cos2 x ? 4 sin x ? a ? 0 有解,那么 a 的取值范围是 14.函数 y=

3 cos x ? 1 的值域是__________ cos x ? 2

______________.

15.定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数,若 f (x) 的最小正周期是 ? ,且当

? 时, f ( x) ? sin x ,则 5? 的值为 f( ) ] 3 2 三、解答题(本大题共 75 分,16—19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分)
x ? [0,

16.已知函数 f ( x) ? 5 sin x ? cos x ? 5 3 cos x ?
2

5 3 ( x ? R) 2

(1)求 f (x) 的最小正周期;(2)求 f (x) 的单调区间; (3)求 f (x) 图象的对称轴,对称中心.

17.如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b . (Ⅰ)求这段时间的最大温差; (Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式.

3

18.已知函数 y=sin x+2sinxcosx+3cos x. x∈R. (1)求函数的最小正周期. (2)函数的图象可由函数 y= 2sin2x 的图象经过怎样的变换得出?

2

2

19.已知函数 y=a-bsin(4x-

?
3

) b>0)的最大值是 5,最小值是 1,求 a,b 的值. (

20.函数 f(x)=1―2acosx―2a―2sin x 的最小值为 g(a),(a∈R).求: (1)g(a); 1 (2)若 g(a)= ,求 a 及此时 f(x)的最大值. 2

2

21.已知函数 f(x)=2asin(2x- 和 b 的值.

?
3

)+b 的定义域为[0,

?
2

] ,值域为[-5,1] ,求 a

4

答案 一、选择题 1.B 2.C3.B 4.C 5.C6.A7.D 8.B 9.B10.C 二、填空题

3 11. 3 12.
2

2

13.

3 4

14. [?4,4)

15.-2≤y≤

4 3

三、解答题 16.解析: (1)T=π ; (2) [k? ?

5 ? ]为f ( x) 的单增区间, 12 12 5 11 [k? ? ? , k? ? ? ]为f ( x) 的单减区间; 12 12 k? ? ? , k ? Z. (3)对称轴为 x ? 2 6 , k? ?
30 ? 10 ? 20 ( ? C )………2 分
(Ⅱ)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的半个周期的图象, ∴

?

17. 解析: (Ⅰ)由图示知,这段时间的最大温差是

? 1 2? ? ? 14 ? 6 ,解得 ? ? ………5 分 8 2 ? y 温度 / ? C
30
20 10

1 由图示, A ? (30 ? 10) ? 10 2 1 b ? (30 ? 10) ? 20 ………7 分 2
这时 y ? 10 sin(

o

6

8 10

x

12 14

时间 / h

?

8

x ? ? ) ? 20
3? ………10 分 4

将 x ? 6 , y ? 10 代入上式,可取 ? ? 综上,所求的解析式为

y ? 10 sin(

?
8

x?

3? ) ? 20 , x ? [6,14] .………12 分 4

π 18.y=sin2x+cos2x+2= 2sin(2x+ )+2. 4 (1)T=π ,

5

π (2)将 y= 2sin2x 的图象向左平移 个长度单位,再向上平移 2 个单位长度即得. 8 19.解析: 由 y=a-bsin(4x-

?
3

)的最大值是 5,最小值是 1 及 b>0 知:

?a ? b ? 1 ?a ? 3 解得? ? ?a ? b ? 5 ?b ? 2
a 2 a 20.解:f(x)=2cos x―2acosx―2a―1=2(cosx― ) ― ―2a―1. 2 2
2 2

a (1)当 <-1 即 a<-2 时.g(a)=1 . 2

(此时 cosx=-1).
2

a a 当-1≤ ≤1 即-2≤a≤2 时.g(a)=― ―2a―1. 2 2 当 a>2 时,g(a)=2―2a―2a―1=1-4a.

a (此时 cosx= ). 2

(此时 cosx=1).

?1.(a<-2) a ∴g(a)=?― ―2a―1 (―2≤a≤2) . 2 ?1-4a (a>2).
2

(2)∵g(a)=1.显然 a<-2 和 a>2 不成立.

?―a ―2a―1=1. ? 2 ∴? 2 ?a=-1 或-3(舍). ?-2≤a≤2. ?
1 2 1 2 ∴f(x)=2cos x+2cosx+1=2(cosx+ ) + . 2 2 ∴当 cosx=1 时,f(x)max=5.

2

21.解析: ∵0≤x≤ ∴- ∴-

?
2

,

?
3

≤2x-

?
3

≤π -

?
3

=

2 π. 3

3 ? ≤sin(2x- )≤1. 2 3

当 a>0 时,则 ?

? ?2a ? b ? 1 ?? 3a ? b ? ?5. ?

?a ? 12 ? 6 3 ? 解得 ? ?b ? ?23 ? 12 3. ? ?a ? ?12 ? 6 3 ? 解得 ? ?b ? 19 ? 12 3. ?

当 a<0 时,则 ?

?2a ? b ? ?5 ? ?? 3a ? b ? 1, ?

6



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