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6.理科 概率



概率
复习练习:
1.已知抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为 0.5 .现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币 三次恰有两次正面朝上的概率: 先由计算器产生 0 或 1 的随机数, 用 0 表示正面朝上, 用 1 表示反面朝上; 再以每三个随机数做为一组,代表这三次投掷的结果.经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数: 101 000 A. 0.30

111 011 010 010 101 001 B. 0.35 010 111 100 011 100 100 011 000 111 101 110 101 ). D. 0.65

据此估计,抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为( C. 0.40

2.把一个骰子连续抛掷两次,第一次得到的点数为 a ,第二次得到的点数为 b ,则事件“ a ? b ”的概率 为( A. ) B.

1 6

1 36

C.

1 12

D.

1 4

3.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了下表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 19 9 不喜爱打篮球 6 16 合 计 25 25

28 22 50 2 根据表中的数据及随机变量 ? 的公式,算得 ? 2 ? 8.12 . 临界值表: P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

0.001 10.828

根据临界值表,你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是 A.97.5% B.99% C.99.5% D.99.9%

4.甲、 乙两位同学在高二 5 次月考的数学成绩统计如茎叶图所示, 若甲、 乙两人的平均成绩分别是 x甲 、x乙 , 则下列正确的是( )

A. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定

B. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定
39

概率 1. 二项式分布 总结:每次抽一个,多次实验(可以重复试验下去),实验概率一样。
例 1..“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动,活动规定:被邀请者要么在 24 小时内接受挑
战,要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战),并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战,则他需在 网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容, 然后便可以邀请另外 3 个人参与这项活动.假设每个人接受挑 战与不接受挑战是等可能的,且互不影响. (Ⅰ)若某被邀请者接受挑战后,对其他 3 个人发出邀请,则这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战的概 率是多少? (Ⅱ)假定(Ⅰ)中被邀请到的 3 个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定,现记 X 为接下来被邀请 到的 6 个人中接受挑战的人数,求 X 的分布列和均值(数学期望).

解:因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,
1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ,不接受挑战的概率也为 . · 2 2 (Ⅰ)设事件 M 为“这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战”,
所以每个人接受挑战的概率为
2

?1? 则 P( M ) ? C32 ? ? ?2?

1 ?1? 3?1? ? ? ? ? C3 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ? ?2? ?2? 2

3

(Ⅱ)因为 X 为接下来被邀请的 6 个人中接受挑战的人数, ? 1? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 所以 X ~ B ? 6, ? .· ? 2?
1 6 3 0?1? ?1? 1?1? ?1? 所以 P ? X ? 0 ? ? C6 ? 2 ? ? 2 ? ? 64 , P ? X ? 1? ? C6 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 64 ? 32 , ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? P ? X ? 2 ? ? C62 ? ? ?2? ?1? P ? X ? 4 ? ? C64 ? ? ?2?
6 6 2 0 6 5

? 1 ? 15 3?1? ? ? ? ? , P ? X ? 3? ? C6 ?2? 2 64 ? ? ? ?
2

4

3

? 1 ? 20 5 ?? ? ? ? , ? 2 ? 64 16 6 3 ?1? ?? ? ? ? , 2 64 32 ? ?
1

3

4

? 1 ? 15 5?1? ? ? ? ? , P ? X ? 5? ? C6 ?2? 2 64 ? ? ? ?
0

5

1 ?1? ?1? P ? X ? 6? ? C ? ? ? ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 64 ?2? ?2?

6

故 X 的分布列为:

X P
10 分 所以 E ? X ? ? 6 ?

0 1 64

1 3 32

2 15 64

3 5 16

4 15 64

5 3 32

6 1 64

1 ? 3. 2 故所求的期望为 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分
40

2. 超几何分布 总结:每次抽一堆,一次实验,实验结果不同的集合构成。
例 1..2014 年 11 月 6 日,第十届海峡两岸林业博览会暨投资贸易洽谈会在福建三明召开.为了做好林博会
期间的接待服务工作,三明学院学生实践活动中心从 7 名学生会干部(其中男生 4 人,女生 3 人)中选 3 人 参加志愿者服务活动. (Ⅰ)所选 3 人中女生人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望; (Ⅱ)在男生甲被选中的条件下,求女生乙也被选中的概率.

解:(1) ? 得可能取值为 0,1,2,3
由题意 P( ? =0)=
2 1 1 2 0 3 3 C4 C3 18 C4 C3 12 C4 C3 C4 4 1 ? ? ? , P ( =1)= , P ( =2 )= , P ( =3)= ?4 分 ? ? ? ? 3 3 3 3 C7 35 C7 35 C7 35 C7 35

∴ ? 的分布列、期望分别为:

?
p

0

1

2

3

4 35

18 35
????8 分

12 35

1 35

Eξ =0×

4 18 12 1 9 +1× +2× +3× = 35 35 35 35 7

(2)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为 C
2 1 男生甲被选中的种数为 C6 ? 15 ,男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为 C5 ?5

????10 分

1 C5 5 1 ∴P(C)= 2 ? ? C6 15 3

??12 分

在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为

1 3

??13 分.

41

例 2.学校为了解同学们对年段和班级管理的满意程度,通过问卷调查了高一年的学生、高二年的学生、
高三年的学生共 250 人,结果如下表: 高一年的学生 满意 不满意 78 12 高二年的学生 高三年的学生 75 5

y

z

(Ⅰ)现用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取 25 人,则高二年的学生应抽取多少人? (Ⅱ)若 y ? 70, z ? 2 ,求问卷调查中同学们对年段和班级管理的满意度不小于 0.9 的概率.
满意人数 ) 总人数 (Ⅲ)若高三年级的某班级中的 10 个学生中有 2 个对年段和班级的管理不满意,老师从这 10 个学生 中随机选择 2 个学生进行问卷调查,求这 2 个学生中对年段和班级的管理不满意的人数 ? 的期望。

(注: 满意度=

解:(Ⅰ)∵高三年的学生人数为 80,高一年的学生人数 90,
∴高二年的学生人数为: 250 ? 80 ? 90 ? 80 ,????????1 分 80 可得高二年的学生应抽取 25 ? ? 8 人.???????3 分 250 (II)由 y ? 70, z ? 2 ,且 y ? z ? 80 ,则基本事件 ( y, z ) 为 (70,10),(71,9),(72,8),(73,7),(74,6),(75,5),(76, 4),(77,3),(78, 2) . 共有 9 组.???5 分 由
75 ? y ? 78 ? 0.9, 得 y ? 72 ,所以满足条件的基本事件共有 7 组,????7 分 250 7 .????9 分 9

故所求的概率 P ? (III) P?? ? 0? ?

1 1 2 C82 28 C8 C2 16 C2 1 , , ? ? ? ? ? P ? ? 1 ? ? P ? ? 2 ? ? 2 2 2 45 C10 45 C10 C10 45 28 16 1 2 E? ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 13 分 45 45 45 5

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例 3.学校从高一各班随机抽取了部分同学参加了一次安全知识竞赛,其中某班参赛同学的成绩(满分为
100 分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏,但可见部分,如图所示,据此解答下列问题:

(1)求该班的参赛人

数在 ?80,90? 之间的人数; (2)若要从分数在 ?80,100? 之间的试卷中任取两份分析学生的失分情况,在抽取的试卷中, 设分数在 ?90,100? 之间的份数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? .

数及分

解: (1)由图知: ?50,60? 的频率为 0.08,频数为 2,所以该班参赛人数为

2 ? 25 人, 0.08

所以分数在 ?80,90? 的人数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 人;????6 分 (2)因为分数在 ?80,90? 之间的人数为 4, ?90,100? 之间的人数为 2,所以 ? ? 0,1, 2 , 且 P(? ? 0) ? 所以 ? 的分
2 1 1 2 C4 C4 ? C2 C2 2 8 1 , , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C6 5 C6 15 C6 15

布列为:

2 8 1 2 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? ????13 分 5 15 15 3
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3. 几何分布 总结:每次抽一个,一次实验不成功或者 2 次不成功则停止试验,实验概率一 样。
例 1.有一个射手在练习射击时,中靶的概率为 0.8 若一次不中则停止训练,请问该选手射击 次数的分布列为?

例 2.果蝇实验中的笼子里有 6 只果蝇,混进去 2 只苍蝇;现在打开笼子口,让蝇一只一只跑 出去,当苍蝇全部跑出去后关闭笼子,请问现在笼子里还剩下的果蝇只数的分布列?

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4.排列组合分布(考的最少,已经基本不考了)
例 1.某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满 300 元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如
下: 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球.顾客不放回的每次摸出 1 个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励 10 元,摸到 白球或黄球奖励 5 元,摸到黑球不奖励. (Ⅰ)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率; (Ⅱ)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

解:设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A ,则 P( A) ?
故 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率为

2 A3 1 ? , 3 A4 4

1 . 4

??????4 分 ??????5 分

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 0,5,10,15, 20 .

P( X ? 0) ?

A2 1 1 A2 1 1 2 ? P ( X ? 10) ? ? 3 ? , , P ( X ? 5) ? 2 , 2 2 A4 6 A4 A4 6 4
??????10 分

P( X ? 15) ?

2 A3 C1 1 1 3 2 ? A2 ? P ( X ? 20) ? ? . , 3 4 A4 6 A4 4 所以,随机变量 X 的分布列为: 0 5 10 X

15

20

P

1 4

1 6

1 6

1 6

1 4
???11 分

1 1 1 1 1 EX ? 0 ? ? 5 ? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 10 . 4 6 6 6 4
45

??????13 分

现场练习:
1.某公园准备在植树节种植一批景观树,公园园林处分别从甲、乙两种树苗中各随机抽取 100 棵测量其高 度,得到如下的频率分布表: 高度(cm) 甲种树苗 频率 乙种树苗 [60,70) 0.18 0.20 [70,80) 0.24 0.30 [80,90) 0.26 0.30 [90,100] 0.32 0.20

2 2 (Ⅰ)根据样本数据可算得两个方差: S甲 ? 105.0 ,如果你是公园园林处主管,你将根 ? 120.16 , S乙

据上述两个标准差的数值而选择哪种树苗?说明你的观点; (Ⅱ)为进一步了解乙种树苗的情况,公园园林处准备用分层抽样方法从乙种树苗的样本中抽取了 10 棵进行试种,记从这 10 棵试种树中随机挑选 2 棵,其高度在[90,100]范围内的棵树为 X ,求 X 的分 布列和数学期望.

2.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分 层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一 道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)

(Ⅰ)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (Ⅱ)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟,乙每次解答一道几何题所用的 时间在 6—8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (Ⅲ)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生 被抽到的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X). 附表及公式

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3.2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选 取 70 后和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得到数据如下表: 生二胎 70 后 80 后 合计 30 45 75 不生二胎 15 10 25 合计 45 55 100

(Ⅰ)以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市 70 后公民中随机抽取 3 位,记其中生二胎的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望。 (Ⅱ)根据调查数据,是否有 90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由; 参考数据:

P( K 2 ? k )
k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

4.为了解某地脐橙种植情况,调研小组在该地某 脐橙种植园中随机抽出 30 棵,每棵挂果情况 编成如图所示的茎叶图(单位:个) :若挂果 在 175 个以上(包括 175 )定义为“高产” , 挂果在 175 个以下(不包括 175 )定义为“非高产” . (Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取 5 棵,再从这 5 棵中选 2 棵,那么至少有一 棵是“高产”的概率是多少? (Ⅱ)用样本估计总体,若从该地所有脐橙果树(有较多果树)中选 3 棵,用 ? 表示所选 3 棵中“高产” 的个数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.
15 16 17 18 19 7 1 0 0 1 7 2 2 1 8 4 3 1 9 5 4 2 9 8 5 4 9 8 5 7 9 6 9 6 8

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5.甲、乙各两人射击一次,击中目标的概率分别是

2 3 和 .假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影 3 4

响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响. (Ⅰ) 求甲射击 4 次,至少有 1 次未击中 目标的概率; ... (Ⅱ) 求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (Ⅲ) 假设某人连续 2 次未击中 目标,则中止其射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率是多 ... 少?

6.户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关,对本单位的 50 名 员工进行了问卷调查,得到了如下列联表:

已知在 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是

3 , 5

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5%以上的把握认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由。; (Ⅲ)经进一步调查发现,在喜欢户外运动的 10 名女性员工中,有 4 人还喜欢瑜伽。若从喜欢户外运动 的 10 位女性员工中任选 3 人,记 ? 表示抽到喜欢瑜伽的人数,求 ? 的分布列和数学期望,下面的临界值 表仅供参考:

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7.某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠。已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客,假设每位乘客 在 2、3、4 层下电梯是等可能的。 (Ⅰ)求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率; (Ⅱ)用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数,求 X 的分布列和数学期望。

8.我国新发布的《环境空气质量标准》指出:空气质量指数在 0 ? 50 为优秀,人类可正常活动。某市环保 局对该市 2015 年进行为期一年的空气质量监测,得到每天的空气质量指数,从中随机抽取 50 个作为样本 进行分析报告,样本数据分组区间为 ? 5,15? , 量指数频率分布直方图,如图. (1) 求 a 的值,并根据样本数据,试估计这一年度 的空气质量指数的平均值; (2) 如果空气质量指数不超过 15 ,就认定空气质量为 “特优等级”,则从这一年的监测数据中随机抽取

?15, 25? , ? 25,35? , ? 35, 45? ,由此得到样本的空气质

2 天的数值,其中达到“特优等级”的天数为 ? .
求 ? 的分布列和数学期望。

9.为了解某市高三学生身高情况,对全市高三学生进行了测量,经分析,全市高三 学生身高X(单位:cm)服从正态分布N(160, ),已知P(X<150)=0.2,P(X≥ 180)=0.03.

(1) 现从该市高三学生中随机抽取一位学生,求该学生身高在区间[170,180)的概率; (2) 现从该市高三学生中随机抽取三位学生,记抽到的三位学生身高在区间 [150,170)的人数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望E .

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10.2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,给当地人民造成了 巨大的财产损失,适逢暑假,小张调查了当地某小区的 100 户居民由于台风造成的经济损失,将收集

?, ?2000,4000?, ?4000,6000?, ?6000,8000?, ?8000,10000 ? 五组,并作出如下 的数据分成 ?0,2000
频率分布直方图(图 1): (1)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小张调查的 100 户居民捐款情况如右下表格,在图 2 表格空白处填写正确数字, 并说明是否有 95% 以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失 是否到 4000 元有关? (2)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量受灾居民中,采用随机抽样方法每次抽取 1 户居民,抽取 3 次,记被抽取的 3 户居民中自身经济损失超过 4000 元的人数为 ? 。若每次抽取的结果是 相互独立的,求 ? 的分布列,期望 E (? ) 和方差 D (? ) .

经济损失不超过 4000 元 捐款超过 500 元 捐款不超 过 500 元 合计 (图 1) (图 2)

经济损失超过 4000 元

合计

60 10

附:临界值表

P( K 2 ? k ) k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5 .024

随机量变 K 2 ?

(a ? b ? c ? d )(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

50

现场练习参考答案:
2 ? 120.16 , 1.解:(Ⅰ)由已知得 X甲=65 ? 0.18 ? 75 ? 0.24 ? 85 ? 0.26 ? 95 ? 0.32=82.2 , S甲 2 2 2 X乙=65 ? 0.20 ? 75 ? 0.30 ? 85 ? 0.30 ? 95 ? 0.30=82.0 , S乙 ? 105.0 ,所以 X甲 ? X 乙,s甲 ? s乙 .

观点一:选择乙种树苗,因为其提供的树苗高度的方差较小 ,成长较整齐 ,种在公园里比较好看. ....... ..... 观点二:选择甲种树苗,因为其提供的树苗平均高度较大 ,说明长势较好 ,且方差较大,种在公园里 ...... .... 显得高矮错落有致,更能体现空间美感. (Ⅱ)从乙种树苗的样本中抽取 10 棵,其中高度在[90,100]的有 2 棵,所以 X 的可能取值为 0,1,2. 因为 P( X ? 0) ?
2 C0 28 C1 C1 16 C2C0 1 2C8 , P( X ? 1) ? 2 2 8 ? , P( X ? 2) ? 2 2 8 ? , ? 2 C10 45 C10 45 C10 45

所以 X 的分布列为:
X

0
28 45

1
16 45

2
1 45

p

从而, X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

28 16 1 2 ? 1? ? 2 ? ? . 45 45 45 5
2 2

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8 ? 50 2.解:(Ⅰ)由表中数据得 K 的观测值 K ? ? ? 5.556 ? 5.024 30 ? 20 ? 30 ? 20 9
2

所以根据统计有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关.) (Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则基本事件满足的区域为 ? 设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y

?5 ? x ? 7 (如图所示) ?6 ? y ? 8
y

1 ? 1? 1 1 2 ? ? 由几何概型 P ( A) ? 2? 2 8

即乙比甲先解答完的概率为

1 . 8
1 O 1 x

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人, 抽取方法有 C8 2 ? 28

种,其中甲、乙两人没有一个人被抽到有 C6 2 ? 15 种;恰有一人被抽到有 C21 ? C61 =12 种;两人都被抽 到有 C2 2 ? 1 种

? X 可能取值为 0,1, 2 , P( X ? 0) ? X 的分布列为:

15 12 3 1 , P ( X ? 1) ? ? , P( X ? 2) ? 28 28 7 28

X
P

0
15 28

1

2

12 28

1 28

51

3.解:(Ⅰ)由已知得 70 后“生二胎”的概率为 所以 P( X ? k ) ? C3 ( ) ( )
k k

2 2 ,并且 X ~ B (3, ) ,???2 分 3 3

2 3

1 3

3? k

(k ? 0,1, 2,3) ???????3 分

其分布列如下 X P 0 1 2 3

1 27

2 9

4 9

8 27

(每算对一个结果给 1 分) 所以, EX ? 3 ?
2

2 ? 2。 3

n(ad ? bc)2 100 ? (30 ?10 ? 45 ?15)2 (Ⅱ) K ? ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 75 ? 25 ? 45 ? 55
? 100 ? 3.030 ? 2.706 33

所以有 90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”.

4.解:(Ⅰ)根据茎叶图,有“高产” 12 棵, “非高产” 18 棵,用分层抽样的方法,每棵被抽中的概率是

5 1 ? . 30 6
所以选中的“高产”有 12 ? 中,则 P( A) ? 1 ?

1 1 ? 2 棵, “非高产”有 18 ? ? 3 棵,用事件 A 表示至少有一棵“高产”被选 6 6

C32 3 7 ? 1? ? . 2 C5 10 10

因此至少有一棵是“高产”的概率是

7 10

(Ⅱ)依题意,抽取 30 棵中 12 棵是“高产” , 所以抽取一棵是“高产”的频率为

12 2 ? . 30 5

频率当作概率,那么从所有脐橙果树中抽取一棵是“高产”的概率是 又因为所取总体数量较多,抽取 3 棵可看成进行 3 次独立重复试验, 所以 ? 服从二项分布 B (3, ) .

2 , 5

2 5

2 27 2 2 54 1 2 ? 的取值为 0 , 1, 2 , 3 , P(? ? 0) ? C30 (1 ? )3 ? , P(? ? 1) ? C3 (1 ? ) ? , 5 125 5 5 125 2 2 36 8 3 2 3 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 (1 ? ) ? , P (? ? 3) ? C3 ( ) ? . 5 5 125 5 125
52

所以 ? 的分布列如下:

?

0

1

2

3

27 54 36 8 125 125 125 125 2 6 27 54 36 8 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? (或 E? ? 3 ? ? ). 所以 E? ? 0 ? 5 5 125 125 125 125 5

P

5.解:(Ⅰ)设事件 A ? {甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标}, 则 A ? {甲射击 4 次,全部击中目标}.

2 65 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ( )4 ? . 3 81
答:甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率为

65 . 81

( Ⅱ ) 事件 B ? { 甲射击 4 次,恰好 2 次击中目标 } , C ? { 乙射击 4 次,恰好 3 次击中目标 } ,则

2 2 1 2 3 3 31 1 . P( B ? C) ? P( B) ? P(C) ? C2 4 ( ) ( ) C4 ( ) ( ) ? 3 3 4 4 8
1 答:两人各射击 4 次,甲恰好 2 次击中目标且乙恰好 3 次击中目标的概率为 . 8
(Ⅲ)事件 D ? {乙恰好射击 5 次后,被中止射击}={乙射击 5 次,前 2 次至少 1 次击中目标,第 3 次击 中目标,后 2 次未击中目标}.

1 3 1 45 . P( D) ? [1 ? ( )2 ] ? ? ( )2 ? 4 4 4 1024
答:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率为

45 . 1024

6.解:(Ⅰ)∵在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率的概率是

3 . 5

∴喜欢户外活动的男女员工共 30,其中女员工 10,男员工 20 人, 不喜欢户外活动的男女员工共 20,其中男员工 5,女员工 15 人.………..2 分 列联表补充如下 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 20 5 25 男性 10 15 25 女性 30 20 50 合计 ………………………3 分 (Ⅱ)∵ K ?
2

50(20 ?15 ? 10 ? 5)2 ? 8.333 ? 7.879, 30 ? 20 ? 25 ? 25 ∴有 99.5% 的把握认为喜欢户外运动与性别有关;. …………………….…5 分
53

(Ⅲ) ? 所有可能取值为 0 ,1,2,3.………………….…………………………6 分

P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?
∴ ? 的分布列为

3 C6 1 ? ; 3 C10 6

P(? ? 1) ?

1 2 C4 C6 1 ? ; 3 C10 2

2 1 3 C4 C6 3 C4 1 ; .……….…………10 分 ? P ( ? ? 3) ? ? 3 3 C10 10 C10 30

?

P

0 1 6

1 1 2

2 3 10

3 1 30

∴ ? 的数学期望 E (? ) ? 0 ?

1 1 3 1 6 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? 1.2 .…..…12 分 6 2 10 30 5

7.解:(Ⅰ) 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A ,

1 由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 , 3
4

?????? (2 分)

? 2 ? 65 .??????????????(4 分) 则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? 81
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4, ??????????????(5 分)

由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为

1 ,且每个人下电梯互不影响, 3

所以 X ? B (4, )

1 3

?????????????????????(6 分) 1 2 3 4

X

0

P

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

??????????(10 分)

1 4 E ( X ) ? 4 ? ? . ?????????????????????(11 分) 3 3
所以所求的期望值为

4 . 3

?????????????????(12 分)

8.解: (1)由题意,得 (0.032 ? a ? 0.02 ? ?0.018) ?10 ? 1, 解得 a ? 0.03 50 个样本中空气质量指数的平均值为
X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6
54

???2 分 ???3 分 ???5 分

可估计 2015 年这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 ????6 分 (2)利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 0,15? 内为“特优等级”,且指数达到“特优等级”的概 率为 0.2,则 。 ? 的可能取值为 0,1,2, ???????7 分
0 1 2 P(? ? 0) ? C2 (0.2)0 ? (0.8)2 ? 0.64, P(? ? 1) ? C2 (0.2) ? (0.8) ? 0.32, P(? ? 2) ? C2 (0.2)2 ? 0.04

? ? 的分布列为:

?
P

0
0.64

1
0.32

2
0.04

E? ? 0 ? 0.64 ? 1? 0.32 ? 2 ? 0.04 ? 0.4 .(或者 E? ? 2 ? 0.2 ? 0.4 )。

???????10 分 ???????12 分

9.

55

10.解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,经济损失不超过 4000 元的有 70 人,经济损失 超过 4000 元的有 30 人,则表格数据如下
经济损失不超过 4000 元 捐款超过 500 元 捐款不超 过 500 元 合计 经济损失超过 4000 元 合计

60 10 70

20 10 30

80 20 100

??????????2 分

K2 ?

100 ? (60 ?10 ? 10 ? 20) 2 ? 4.76 80 ? 20 ? 70 ? 30

因为 4.762 ? 3.841 , p(k ? 3.841) ? 0.05 所以有 95% 以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关. ????????????????????????????????4 分 (2)由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000 元居民的频率为 0.3,将频率视为概率. 由题意知 ? 的取值可能有 0,1, 2,3 ,??????????????????5 分

? ~ B (3,

3 ) 10 ,

3 7 343 p(? ? 0) ? C30 ( )0 ? ( )3 ? ??????????????6 分 10 10 100 , 7 441 1 3 1 p(? ? 1) ? C3 ( ) ? ( )2 ? ??????????????7 分 10 10 100 , 3 7 189 p(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ( )1 ? ??????????????8 分 10 10 100 , 7 27 3 3 3 p(? ? 3) ? C3 ( ) ? ( )0 ? ??????????????9 分 10 10 100 ,
从而 ? 的分布列为

?

0

1
441 100

2
189 100

3

p

343 100

27 100

?????????10

3 E (? ) ? np ? 3 ? ? 0.9 ,?????????????????11 分 10 3 7 D(? ) ? np(1 ? p) ? 3 ? ? ? 0.63 ????????????12 分 10 10
56



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