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浙江省杭州二中2013学年第一学期高二年级数学(理科)期末试卷



2013 学年第一学期杭州二中高二年级数学(理科)期末试卷
考试时间 100 分钟 满分 100 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.直线 x ? 3 y ? 1 的倾斜角为( (A) ) (C)

? 3

(B)

5? 6

? 6

(D)

2? 3
)条件

2.命题 p : “直线 l 上不同的两点 A, B 到平面 ? 的距离为1 ”,命题 q : “ l // ? ”,则 p 是 q 的( (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 )

2 2 3.直线 ? x ? 1? a ? y ? 1 与圆 x ? y ? 3 的位置关系是(

(A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)与实数 a 的大小有关 4.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是( (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5.已知实数 x, y 满足: x ? y ? 1,则 x ? y 的取值范围是(
2 2





(A) ? ? 2, 2 ?

?

?

(B) ? ?1,1?

(C) ?1, 2 ?

?

?

(D) 1, 2 ?

?

?


6.对于平面 ? 和两条不同的直线 m 、n ,下列命题是真命题的是( (A)若 m, n 与 ? 所成的角相等,则 m// n (C)若 m ,则 n//? ? ? ,m ? n

(B)若 m // ? ,n // ? ,则 m// n (D)若 m ,则 m// n ? ? ,n ? ?

x2 1 2 2 7.已知双曲线 2 ? y ? 1 (a ? 0) 的一个焦点与抛物线 x ? y 的焦点重合,则此双曲线的离心率为( ) a 8
(A)

3 3 2

(B) 3

(C)

2 3 3

(D)

4 3 3

8.过点 P ? 2,1? 的直线 l 与坐标轴分别交 A, B 两点,如果三角形 OAB 的面积为 4,则满足条件的直线 l 最 多有( (A) 1 )条 (B) 2 (C) 3 (D) 4

9.在空间直角坐标系中,已知 A ?1, 0, 0? , B ? ? 1, 0, 0? ,C 0,1, 2 , D 0,? 1, 2 ,则四面体 ABCD 的体 积为( (A) ) (B)

?

? ?

?

D
2 3
(C)

C B

2 2 3

4 3

(D)

4 2 3

A D1 A1

10.如图,棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,点 M 在与正方体的各

C1 B1

棱都相切的球面上运动,点 N 在三角形 ACB1 的外接圆上运动,则线段 MN 长度的最小值是(



(A)

3 ?1 2

(B)

2 ?1 2

(C)

3? 2 2

(D) 3 ? 2

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填写在题中的横线上. 11.命题 P :直线 y ? 2 x 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直;命题 Q :异面直线在同一个平面上的射影可能为两条 平行直线,则命题 P ? Q 为
2

命题(填真或假).

12.若圆 C 以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心, 且与抛物线的准线相切,则该圆的标准方程是 __ ___.
?

13.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 90 , AC ? BC ? 2 ,

C A N C1 B M B1
.

AA1 ? 4 ,若 M , N 分别是 BB1 , CC1 的中点,则异面直线 AM 与 A1 N 所成的
角的大小为 14.椭圆 . .

x2 y2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则实数 m 的值为 m 4 2

A1

2 15. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,则 AF ?BF 的最小值是_

16. 如图,已知球 O 的面上有四点 A, B, C , D , DA ? 平面 ABC , AB ? BC ,

DA ? AB ? BC ? 2 ,则球 O 的体积与表面积的比值为__________.
x2 y 2 b 17.已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 作斜率为 的直线与 a b a
椭圆交于 A, B 两点, 若 FB ? 2 FA , 则椭圆的离心率 e 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 4 小题,共 42 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
2 18. (本大题满分 10 分)已知直线 l : mx ? y ? 2 ? m ? 1? ? 0 与曲线 C : y ? 1 ? x .

(Ⅰ)若直线 l 与直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,求实数 m 的值; (Ⅱ) 若直线 l 与曲线 C 有且仅有两个交点,求实数 m 的取值范围.

19. (本大题满分 10 分)已知四面体 ABCD , ?ADB ? ?CDB ? 120? ,且平面 ABD ? 平面 BCD . (Ⅰ)若 AD ? CD ,求证: BD ? AC ; (Ⅱ)求二面角 B ? CD ? A 的正切值.

A

B

D C

20. (本大题满分 10 分) 已知四边形 ABCD 是菱形,?BAD ? 60 , 四边形 BDEF 是矩形, 平面 BDEF ? 平面 ABCD , G、H 分别是 CE、CF 的中点. (Ⅰ)求证:平面 AEF / / 平面 BDGH ;
0

(Ⅱ)若平面 BDGH 与平面 ABCD 所成的角为 60 ,求直线 CF 与平面 BDGH 所成的角的正弦值.

0

E F D A B
21. (本大题满分 12 分)设点 P ( x, y ) 到直线 x ? 2 的距离与它到定点 (1, 0) 的距离之比为 2 ,并记点 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ) 设 M (?2, 0) ,过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E , F 两点,当线段 EF 的中点落在由四点

G H C

C1 (?1, 0), C2 (1, 0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) 构成的四边形内(包括边界)时,求直线 l 的斜率的取值范围.

高二理科期末答案
1.B 2.D 11.真 3.B
2

4.B

5.A 13.

6.D

7.C 14.

8.C

9.A

10.C

2 12. ? x ? 1? ? y ? 4

? 2

16 或3 3

15. 4

16.

3 3

17. ?

? 5 ? ,1 ? ? ? 5 ?

18. (Ⅰ)直线 l 的斜率 k ? ?m ,直线 l1 的斜率 k ' ? 2 ? k ? ? ∴m ?

1 2
4分

1 2

(Ⅱ)∵ l : m( x ? 2) ? y ? 2 ? 0 ,∴ l 恒过点 P ? 2, 2 ? 又∵曲线 C : y ? 1 ? x 是单位圆在 x 轴的上方部分
2

且直线 l 与曲线 C 有且仅有两个交点,先求直线 l 与曲线 C 相切时的斜率与点 P ? 2, 2 ? 与点

Q ? ?1, 0? 连线的斜率
当直线 l 与曲线 C 相切,即

2m ? 2 1? m
2

? 1 ? 3m 2 ? 8m ? 3 ? 0 ? m ?

?4 ? 7 3

经检验知 m ?

?4 ? 7 3
10 分

而 k PQ

? 2 ?4 ? 7 ? 2 ? ,所以 m ? ? ? , ? ? 3 3 ? 3 ?
?

A M B D C
A

19. (Ⅰ)∵ AD ? DC , ?ADB ? ?CDB ? 120 , BD ? BD ∴ ?ADB ? ?CDB ∴ AB ? BC ,取 AC 中点 M , 则 MB ? AC, DM ? AC ∴ AC ? 平面 BDM , ∴ AC ? BD 4分 (Ⅱ)过点 A 作 AH ? BD 交 BD 延长线于 H 。过 H 作 HG ? CD 于 G ,连结 GA ∵ 平 面 ABD ? 平 面 B C D, ∴ AH ? 平 面 B C D, ∴ AH ? CD 根据三垂线定理知, ?AGH 为二面角 A ? CD ? H 的平 面角

B

D G

H C

? 由已知可知 ?ADH ? 60 ,设 AD ? 2a ,则 AH ? 3a, HD ? a

在 Rt ?HDG 中, ?HDG ? 60 ? HG ?
?

3 a ,∴ tan ?AGH ? 2 2
10 分

∴ 二面角 B ? CD ? A 的正切值为 ?2 注:用空间向量做,酌情给分。 20.解: (Ⅰ) G、H 分别是 CE、CF 的中点 所以 EF / /GH ------------① 连接 AC 与 BD 交与 O , 因为四边形 ABCD 是菱形 , 所以 O 是 AC 的中点 连 OG , OG 是三角形 ACE 的中位线 OG / / AE ---------② 由①②知,平面 AEF / / 平面 BDGH 4分 (Ⅱ) BF ? BD, 平 面 BDEF? 平 面 ABCD, 所 以 BF ? 平 面

ABCD
取 EF 的中点 N , ON / / BF ?ON ? 平面 ABCD , 建系 {OB,OC ,ON } 设 AB ? 2,BF ? t ,

??? ? ???? ????

0, 0 ? , C 0,3, 0 , F ?1, 0,t ? 则 B ?1,

?

?

?1 3 t ? H? ?2, 2 ,2? ? ? ?

?? ??? ? ???? ? 1 3 t ? n OB ? ?1, 0, 0 ? , OH ? ? , , 设平面 的法向量为 BDGH 1 ? ? x, y , z ? ?2 2 2? ? ? ? ?? ??? ? ? n1 ? OB ? x ? 0 ?? ? n , 所以 ? ?? ???? 1 1 ? 0, ?t , 3 3 t y? z ?0 ? n1 ? OH ? x ? ? 2 2 2 ?? ? 平面 ABCD 的法向量 n2 ? ? 0, 0,1?

?

?

?? ?? ? | cos ? n1 , n2 ?|?
??? ?

3 3?t
2

?

1 2 ,所以 t ? 9, t ? 3 2

所以 CF ? 1, ? 3,3 ,设直线 CF 与平面 BDGH 所成的角为 ?

?

?

sin ? ?| cos?CF , n1 ? |?

6 3 3 13 ? 13 13 ? 2 3

10 分

注:用几何法做酌情给分

21.解:(Ⅰ)由题意

| x?2| ( x ? 1) 2 ? y 2

? 2,

整理得

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,所以曲线 C 的方程为 ? y 2 ? 1 2 2

4分

(Ⅱ)显然直线的斜率 k 存在,所以可设直线的方程为 y ? k ( x ? 2) . 设 点 E , F 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), 线 段 EF 的 中 点 为

G ( x0 , y0 ) ,
? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?2
得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0
2 2 2 2

由 ? ? (8k ) ? 4(1 ? 2k )(8k ? 2) ? 0 解得 ?
2 2 2 2

2 2 .(1) ?k? 2 2

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

?8k 2 ,于是 1 ? 2k 2

x0 ?

4k 2 x1 ? x2 2k =? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

4k 2 ? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边, 因为 x0 ? ? 1 ? 2k 2
又直线 C1 B2 , C1 B1 的方程分别为 y ? x ? 1, y ? ? x ? 1 所以点 G 在正方形内(包括边界)的充要条件为

? 2k ?4k 2 ? ?1 2 ? ? ? y0 ? x0 ? 1 ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?2k ? 2k ? 1 ? 0, 即 亦即 ? ? ? 2 2 ? ? y0 ? ? x0 ? 1 ? 2k ? 4k ? 1 ?2k ? 2k ? 1 ? 0. 2 2 ?1 ? 2k 1 ? 2k ?
解得 ?

3 ?1 3 ?1 ,(2) ?k? 2 2 3 ?1 3 ?1 , ]. 2 2
12 分

由(1)(2)知,直线斜率的取值范围是 [?
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