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第8课时-函数的解析式及定义域


一.课题:函数的解析式及定义域
二.教学目标:掌握求函数解析式的三种常用方法:待定系数法、配凑法、换元法,能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来;掌握 定义域的常见求法及其在实际中的应用. 三.教学重点:能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系,列出函数关系式;含字母参数的函数,求其定义域要对字母参数分类讨论; 实际问题确定的函数,其定义域除满足函数有意义外,还要符合实际问题的要求. 四.教学过程: (一)主要知识:1.函数解析式的求解;2.函数定义域的求解. (二)主要方法: 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x )] 或已知 f [ g ( x )] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 2.求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义; (3)已知 f ( x ) 的定义域求 f [ g ( x )] 的定义域或已知 f [ g ( x )] 的定义域求 f ( x ) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x ) 的定义域 ? a , b ? ,其复合函数 f (三)例题分析: 例 1.已知函数 f ( x ) ?

? g ( x ) ? 的定义域应由 a ?

g ( x ) ? b 解出.

1? x 1? x

的定义域为 A ,函数 y ? f ? f ?

? x ? ? 的定义域为 B ?

,则

( A) A ? B ? B
解法要点: A ? 令 ?1 ?

(B) A ? B
?

(C ) A ? B

(D ) A ? B ? B ( D )

? x | x ? 1? , y

? f [ f ( x )] ? f (

1? x 1? x

) ? f (?1 ?

2 1? x

)? ?

1 x



2 1? x

? 1 且 x ? 1 ,故 B ? ? x | x ? 1? ? ? x | x ? 0 ? . 1 x )? x ?
3

例 2. (1)已知 f ( x ?

1 x
3

,求 f ( x ) ;

(2)已知 f (

2 x

? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ; (3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足

3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x )
解: (1)∵ f ( x ? (2)令

(4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f (

1 x

) ? 3 x ,求 f ( x ) .

1 x

)? x ?
3

1 x
3

? (x ? 2

1 x

) ? 3( x ?
3

1 x

), 2

∴ f ( x) ? x ? 3 x ( x ? 2 或 x ? ?2 ) .
3

( x ? 1) . x t ?1 t ?1 x ?1 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3 ax ? 3 a ? 3 b ? 2 ax ? 2 a ? 2 b ? ax ? b ? 5 a ? 2 x ? 17 ,
∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f ( x ) ? 2 x ? 7 .

2

? 1 ? t (t ? 1) ,则 x ?

,∴ f ( t ) ? lg

,∴ f ( x ) ? lg

2

(3)设 f ( x ) ? ax ? b ( a ? 0) ,

(4) 2 f ( x ) ? f (

1 x

) ? 3x

①,

把①中的 x 换成

1 x

,得 2 f (

1 x

) ? f (x) ?

3 x

②,

① ? 2 ? ②得 3 f ( x ) ? 6 x ?

3 x

,∴ f ( x ) ? 2 x ?

1 x



注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第(4)题用方程组法. 例 3.设函数 f ( x ) ? lo g 2 (1)求函数的定义域; (2)问 f ( x ) 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明理由.

x ?1 x ?1

? lo g 2 ( x ? 1) ? lo g 2 ( p ? x ) ,

? x ?1 ?0 ? x ?1 ? ?x ? 1 解: (1)由 ? x ? 1 ? 0 ,解得 ? ?x ? p ? ?p?x ?0 ?



当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? ;当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? x | 1 ? x ? p ? ,

∴ f ( x ) 的定义域为 (1, p )( p ? 1) .

(2)原函数即 f ( x ) ? lo g 2 [( x ? 1)( p ? x )] ? lo g 2 [ ? ( x ? 大值又无最小值; 当1 ?

p ?1 2

) ?
2

( p ? 1) 4

2

], 当

p ?1 2

? 1 ,即 1 ? p ? 3 时,函数 f ( x ) 既无最

p ?1 2

? p ,即 p ? 3 时,函数 f ( x ) 有最大值 2 log 2 ( p ? 1) ? 2 ,但无最小值.

例 4. 《高考 A 计划》考点 8,智能训练 15:已知函数 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T ? 5 ,函数 y ? f ( x )( ? 1 ? x ? 1) 是 奇函数.又知 y ? f ( x ) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4 ] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ? 5 . ①证明: f (1) ? f ( 4 ) ? 0 ;②求 y ? f ( x ), x ? [1, 4 ] 的解析式;③求 y ? f ( x ) 在 [ 4 , 9 ] 上的解析式. 解:∵ f ( x ) 是以 5 为周期的周期函数,∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f ( ? 1) , 又∵ y ? f ( x )( ? 1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f ( ? 1) ? ? f (4) , ∴ f (1) ? f ( 4 ) ? 0 . ②当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x ) ? a ( x ? 2 ) ? 5 ( a ? 0 ) ,
2

由 f (1) ? f ( 4 ) ? 0 得 a (1 ? 2 ) ? 5 ? a (4 ? 2 ) ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 ,
2 2

∴ f ( x ) ? 2( x ? 2) ? 5(1 ? x ? 4) .
2

③∵ y ? f ( x )( ? 1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0 ) ? 0 , 又知 y ? f ( x ) 在 [0,1] 上是一次函数,∴可设 f ( x ) ? kx (0 ? x ? 1) ,而 f (1) ? 2(1 ? 2) ? 5 ? ? 3 ,
2

∴ k ? ? 3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? ? 3 x , 从而当 ? 1 ? x ? 0 时, f ( x ) ? ? f ( ? x ) ? ? 3 x ,故 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x ) ? ? 3 x . ∴当 4 ? x ? 6 时,有 ? 1 ? x ? 5 ? 1 ,∴ f ( x ) ? f ( x ? 5) ? ? 3( x ? 5) ? ? 3 x ? 15 . 当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 ,∴ f ( x ) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2 ] ? 5 ? 2 ( x ? 7 ) ? 5
2 2

∴ f (x) ? ?

? ? 3 x ? 1 5, ? 2 ( x ? 7 ) ? 5,
2

4? x?6 6? x?9



例 5.我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的,某地用水收费的方法是:水费=基本费+超额费 +损耗费.若每月用水量不超过最低限量 a m 时,只付基本费 8 元和每月每户的定额损耗费 c 元;若用水量超过 a m 时,除了付同上的基 本费和定额损耗费外,超过部分每 m 付 b 元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过 5 元. 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示: 月份 1 2 3 用水量 ( m ) 9 15 22
3
3 3

3

水费(元) 9 19 33

根据上表中的数据,求 a 、 b 、 c . 解:设每月用水量为 x m ,支付费用为 y 元,则有 y ? ?
3

?8 ? c, 0 ? x ? a

(1) (2)
3

?8 ? b ( x ? a ) ? c, x ? a
3 3

由表知第二、第三月份的水费均大于 13 元,故用水量 15 m ,22 m 均大于最低限量 a m ,于是就有 ?

?1 9 ? 8 ? b (1 5 ? a ) ? c ?33 ? 8 ? b(22 ? a ) ? c

,解之得

b ? 2 ,从而 2 a ? c ? 1 9
(3)矛盾.∴ 9 ? a .

(3)
3

再考虑一月份的用水量是否超过最低限量 a m ,不妨设 9 ? a ,将 x ? 9 代入(2)式,得 9 ? 8 ? 2(9 ? a ) ? c ,即 2 a ? c ? 17 ,这与 从而可知一月份的付款方式应选(1)式,因此,就有 8 ? c ? 9 ,得 c ? 1 . 故 a ? 10 , b ? 2 , c ? 1 . (四)巩固练习: 1.已知 f ( x ) 的定义域为 [ ? 1,1] ,则 f ( 2 ) 的定义域为 ( ? ? , 0 ] .
2 x

1 2 2.函数 y ? 1 2

? s in x
的定义域为 { x | x ? k ? ? ( ? 1)
k

?
6

,k ? Z}.

? s in x

五.课后作业: 《高考 A 计划》考点 8,智能训练 4,5,10,11,12,13.

2


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