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【数学】1.2.2 空间中的平行关系(3) 课件(人教B版必修2)



人教B版必修2

第一章 立体几何初步
1.2.2 空间中的平行关系(三)

一、两个平面的位置关系
前、后两面房顶γ和δ 则有一条交线AB. 相交

?
第一、二层的底面α和β 无论怎样延展都没有公共点;

?
?

?
平行<

br />二层楼房示意图

如何判定面面平行
探究:
a
?
a

a // ?

?

?

?

(两平面平行) (两平面相交)

( 1)、若?内有一条直线a与? 平行, 则? 与? 平行。
命题错误

×

探究:

(2)、若?内有两条直线a、b分别与? 平行, 则? 与? 是否平行?
?
a

?

a
b

b

b

?

P

a

?

?

?

(两平面平行) (两平面相交)

三、平面与平面平行

1、 平行平面:如果两个平面没有公共点,
那么这两个平面叫做平行平面. 记作α//β. 两个平面的位置关系

两平面平行

两平面相交

2、平行平面的画法:在画两个平面平行 时,通常把表示这两个平面的平行四边 形的相邻两边分别画成平行线.

一般画法

错误画法

3. 平面与平面平行的判定定理 (1)判定定理:
①文字语言:如果一个平 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面,那么这 两个平面平行. ②图形语言:

?
?

A

b

a

③符号语言:a ?α,b?α,a∩b=A且a//β, b//β ?α//β.

a

?α,b? α,a∩b=A 且 a//β,b//β ? α//β.
面面平行

线面平行

线线平行

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.

判定定理:一个平面内两条相交直线分别 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
?1〉两条 ? 条件要点:?内有?2〉相交 直线 ?3〉分别和?平行 ? 结论:? // ?
判定定理剖析:
b

?

P

a

?

证题思路:要证明两平面平行,关键是在其中 一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一 个平面.
化归思想

(2)推论:如果一个平面内有两条相交 直线分别平行于另一个平面内的两条直 线,则这两个平面平行.

a ?α,c ?α,a∩c=A,b ? β,d ? β,

a //b,c //d,? α//β.

4、平面与平面平行的性质定理:

(1)如果两个平面平行,那么其中一个 平面内的任意直线均平行于另一个平面.
a

?
?

符号语言 若α//β,a ?α,则a//β.

讲拓展 两平面平行还有以下性质 (1)夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度相等. (2)经过平面外一点,有且仅有一个平面和已知平面平行. (3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么该直线 也垂直于另一个平面. (4)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它和另 一个也相交.

(2)如果两个平行平面同时和第三个平 面相交,那么它们的交线平行.

符号语言 α//β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a//b.

例2、 判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行,则α与β 平行; (2)若平面α内有无数条直线分别与平面β平行,则α 与β平行;

(3)平行于同一直线的两个平面平行;
(4)两个平面分别经过两条平行直线,这两个平面平 行; (5)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平 行的平面.

讲拓展 两平面平行还有以下性质 (1)如果两个平面平行,那么在一个平面内的任何一条直线都 与另一个平面平行,即 α∥β,a?β?a∥α. (2)夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度相等. (3)经过平面外一点,有且仅有一个平面和已知平面平行. (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么该直线 也垂直于另一个平面. (5)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它和另 一个也相交.

类型一 平面与平面平行的判定 【例 1】

在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、M、N、 Q 分别是棱 A1A、A1B1、A1D1、CB、CC1、CD 的中点,求证:平 面 EFG∥平面 MNQ.

思维启迪:只要证明平面 EFG 内的两条相交直线 EF、FG 分 别与平面 MNQ 平行即可.

证明:连结 AB1、DC1, ∵E、F 分别为棱 A1A、A1B1 的中点, ∴EF∥AB1.

∵N、Q 分别是 C1C、CD 的中点,∴NQ∥C1D. 又∵在正方形中 AB1∥C1D, ∴EF∥NQ,NQ?平面 MNQ. ∴EF∥平面 MNQ. 同理可得 FG∥平面 MNQ. ∴平面 EFG∥平面 MNQ.

变式训练 1 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D 为 BC 边上的中点, D1 为 B1C1 边上的中点,连结 AD,DC1,A1B,AC1,A1D1,BD1. 求证:平面 A1BD1∥平面 ADC1.

证明:连结 DD1. ∵D 是 BC 的中点,D1 是 B1C1 的中点, ∴DD1 綊 AA1,BD 綊 D1C1. ∴AD∥A1D1,DC1∥BD1. 又∵AD∩DC1=D,BD1∩A1D1=D1, ∴平面 A1BD1∥平面 ADC1.

类型二 平面与平面平行的性质 【例 2】

如图,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 E 在 AB′上, 点 F 在 BD 上,且 B′E=BF.求证:EF∥平面 BB′C′C.

思维启迪:找过 EF 的一个平面与平面 BB′C′C 平行即可.

证明:作 FH∥AD 交 AB 于 H,连结 HE.

∵AD∥BC,∴FH∥BC. 又 BC?平面 BB′C′C,FH?平面 BB′C′C. ∴FH∥平面 BB′C′C.

BF BH 由 FH∥AD,可得BD= BA . 又∵BF=B′E,BD=AB′, B′E BH ∴ = .∴EH∥B′B. B′A BA 又∵B′B?面 BB′C′C,EH?面 BB′C′C, ∴EH∥平面 BB′C′C. 又 EH∩FH=H,∴平面 FHE∥平面 BB′C′C. 又 EF?平面 FHE,∴EF∥平面 BB′C′C.

类型三 线线平行、线面平行、面面平行的综合应用 【例 3】

如图所示,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F, P,Q 分别是 BC,C1D1,AD1,BD 的中点. (1)求证:PQ∥平面 DCC1D1; (2)求证:EF∥平面 BB1D1D.

证明:

如图所示, (1)证法一:连结 AC、CD1, ∵P,Q 分别是 AD1,AC 的中点, ∴PQ∥CD1. 又 PQ?平面 DCC1D1,CD1?平面 DCC1D1, ∴PQ∥平面 DCC1D1.

证法二:取 B1C1 的中点 E1,连结 EE1,FE1, 则有 FE1∥B1D1,EE1∥BB1. ∴平面 EE1F∥平面 BB1D1D. 又 EF?平面 EE1F,∴EF∥平面 BB1D1D.

变式训练 3

如图所示,四面体 ABCD 被一平面所截,截面与四条棱 AB、 AC、CD、BD 相交于 E、F、G、H 四点,且截面 EFGH 是一个平 行四边形. 求证:BC∥平面 EFGH,AD∥平面 EFGH.

证明:截面 EFGH 是一个平行四边形,∴EF∥GH. 又∵GH?平面 DCB,EF?平面 DCB, ∴EF∥平面 DCB. 又∵EF?平面 ABC, 平面 ABC∩平面 DCB=BC,∴EF∥BC. ∵EF?平面 EFGH,∴BC∥平面 EFGH. 同理,可证 AD∥平面 EFGH.

1.已知 a∥α,b∥β,α∥β,则 a 与 b 的位置关系是( A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面或相交

)

答案:D

2.若平面 α∥平面 β,直线 a?α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中( ) A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线
解析: ∵过 a 与 B 点可以作一个平面, 并且只可以作一个平面, ∴这个平面与 α 的交线为 a,与 β 也只有一条交线,故 D 正确. 答案:D

3.下列命题中,真命题的个数是( ) ①如果两个平面没有公共点,那么两个平面平行 ②如果两个平面平行,那么两个平面没有公共点 ③如果两个平面不相交,那么两个平面平行 ④如果两个平面不平行,那么两个平面相交 A .1 B.2 C.3 D .4

答案:D

4.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,下列结论 一定成立的是( ) A.这两个角相等 B.这两个角互补 C.这两个角所在的两个平面平行 D.这两个角所在的两个平面平行或重合
答案:D

5.下列说法不正确的是( ) A.平面 α∥平面 β,一条直线 a 平行于平面 α,则 a 一定平行 于平面 β B.平面 α∥平面 β,则 α 内的任意一条直线都平行于平面 β C.一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面,那 么该三角形所在的平面与这个平面平行 D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面 直线

答案:A



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