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冲刺60天2012年高考文科数学解题策略 专题六 解析几何第三节 直线与圆锥曲线的位置关系



近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置,且选择、填空也有涉 及,有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等.分析这类问题,往往利用数形 结合的思想和“设而不求”的方法,对称的方法及韦达定理等直线与圆锥曲线的关系是高考的必考内容, 是命题的热点也是难点.一般出现一小(选择题或填空题)一大(解答题)两道,小题通常属于中低档题, 难度系数为

0.5-0.7 左右,大题通常是高考的压轴题,难度系数为 0.3~0.5 左右. 考试要求:(1) 直线与圆锥曲线的位置关系,是高考考查的重中之中,在高考中以高难度题、压轴题出 现,主要涉及弦长,弦中点,对称,参变量的取值范围,求曲线方程等问题.突出考查了数形结合,分类 讨论,函数与方程,等价转化等数学思想方法. (2)直线与圆锥曲线联系在一起的综合题要充分重视韦达定理和判别式的应用,解题的主要规律 可以概括为“联系方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”.

题型一

直线与圆锥曲线的交点问题
x2 ? y 2 ? 1 有两个不同的交点 P 2

例 1 在平面直角坐标系 x0 y 中,经过点( 0, 2 ) 且斜率 k 的直线 l 与椭圆

和 Q.(1)求 k 的取值范围.(2)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k , 使的向量 OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 点拨:(1)设出 L 的方程 y ? kx ? 2 与椭圆组成联立方程组,再利用判别式法求出 k 的范围. (2)利用向量共线的充要条件及韦达定理即可解出 k ,再根据 k 的取值范围确定 k 是否存在. 解: (1)由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 代入椭圆方程得 整理得( ( ? k ) x ? 2 2kx ? 1 ? 0
2 2

?

?

?

x2 ? (kx ? 2 ) 2 ? 1 2



1 2

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 解得 k ? ?

△ = 8k ? 4(
2

1 ? k 2 ) ? 4k 2 ? 2 ? 0 2

2 2 或k ? . 2 2

即 k 的的取值范围为 (??,?

2 2 )?( ,??). 2 2
则 OP ? OQ = ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )

(2) 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) , 又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 等价于 x1 ? x2 ? ? 2 ( y1 ? y2 )

?

?

由方程① 得 x1 ? x2 ?

4 2k , 1 ? 2k 2
?

而 A ( 2,0), B(0,1), AB ? (? 2,1), 所以 OP ? OQ 与 AB 共线 解得 k ?

?

?

?

2 , 2

由(1)知 k ? ?

2 2 或k ? . 矛盾,故没有符合题意的常数 k . 2 2

易错点: 忽视 k 的取值范围导致错误. 变式与引申 1.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 600 的直线与双曲线的右支有 y 2 A a b
) D. (2,??)
B

且只有一个交点,则此双曲线离心率是( A.(1,2 ] B. (1,2)

O

x

C.[2,+∞ )

图 6 ? 3 ?1 题型二 直线与圆锥曲线的弦长问题 解(1) : 设 点 A 的坐标为

( x1,b)
,点 B 的 坐 标 为

( x2,b)
1 x2 2 b x1 ? x 2 = 2b 1 ? b 2 ≤ b2 ? 1 ? b2 ? 1 . ? b 2 ? 1,解得 x1, ,由 2 ? ?2 1 ? b ,所以 S ? 2 4
当且仅当 b ?

2 时, S 取到最大值 1 . 2
得?k ?
2

? y ? kx ? b ? (2) :由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?4

? ?

1? 2 2 2 2 ? x ? 2kbx ? b ? 1 ? 0 , ? ? 4k ? b ? 1 , 4?
4k 2 ? b 2 ? 1 ?2 1 2 ?k 4

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x1 | ? 1 ? k 2

…………②

设 O 到 AB 的距离为 d ,则

d?

2S |b| ? 1 ,又因为 d ? , | AB | 1? k 2
4 2

2 2 所以 b ? k ? 1 ,代入② 式并整理,得 k ? k ?

1 ?0, 4

解得 k ?
2

1 3 2 , b ? ,代入① 式检验, ? ? 0 ,故直线 AB 的方程是 2 2

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 x? x? x? x? 或y? 或y?? ,或 y ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2

易错点: (1)忘记均值不等式的应用导致寸步难行.(2)忘记弦长公式与点到直线的距离公式导致出

错. 变式与引申 2.设椭圆 ax2 ? by2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A ﹑B 两点,点 C 是 AB 的中点,若 AB ? 2 2 , OC

的斜率为

2 , 求椭圆的方程. 2

题型三

直线与圆锥曲线中点弦的问题
2

y2 ? 1. 例 3 已知双曲线的方程为 x ? 3
(1)求以 A(2,1)为中点的弦所在直线的方程; (2)以点 B(1,1)为中点的弦是否存在?若存在,求出弦所在直线的方程;若不存在,请说明理由. 点拨:(1)利用设而不求法和点差法构建方程,结合直线的斜率公式与中点坐标公式求出斜率 .也可 设 点斜式方程,与双曲线方程联立,利用韦达定理与中点坐标公式求出斜率 k. (2)仿照(1)求出方程,但要 验证直线与双曲线是否有交点.

y1 y 2 解: (1)设 P ? 1, x2 ? 2 ? 1. 1 ( x1 , y 2 ), P 2 ( x2 , y 2 ) 是弦的两个端点,则有 x1 ? 3 3
2

2

2

两式相减得

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ?

( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0. 3



∵ A(2,1)为弦 P 得 x1 ? x2 ? 4, y1 ? y 2 ? 2 , 代入① 1P 2 的中点,∴

4( x1 ? x 2 ) ?

2( y1 ? y 2 ) . ∴ k p1 p2 ? 6 .故直线 P1 P2 的方程为 y ? 1 ? 6( x ? 2),即6 x ? y ? 11 ? 0 3

(2)假设满足条件的直线存在,同(1)可求 3x ? y ? 2 ? 0.

? ? 3 x ? y ? 2?0 2 ? 由 x 2 ? y ?1 得 6 x ? ? 3

2

? 12x ? 7 ? 0.

∵ △ = 12 ? 4 ? 6 ? 7 ? 0,
2

∴ 所求直线与双曲线无交点. ∴ 以 B(1,1)为中点的弦不存在. 易错点:存在性问题的结果通常是难以预料的,求时通常可求得,但不是充要条件,因此学生容易忽视.
变式与引申 3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M,N 两点,MN 中点的横

坐标为 ?

2 ,则此双曲线的方程是 ( 3
B.



A.

x2 y2 ? ?1 3 4

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 5 2

D.

x2 y2 ? ?1 2 5

题型四 有关对称问题

解: (1) 因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 6即 a ? 3 在 Rt?PF F1 F2 ? 1 F2中,
2 2 2

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5 ,故椭圆的半焦距 c = 5 ,
x2 y2 ? ? 1. 9 4
2

从而 b ? a ? c ? 4 所以椭圆 C 的方程为
2

(2)法一:已知圆的方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 5 所以圆心 M ?? 2,1? ,设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ?. 8 由题意得 x1 ? x 2

x y 且 1 ? 1 ?1 9 4
?

2

2

x2 y ? 2 ?1 9 4
?0
1 ○

2

2



?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? y1 ? y 2 ?? y1 ? y 2 ?
9 4

1得 因为 A,B 关于点 M 对称,所以 x1 ? x2 ? ?4, y1 ? y 2 ? 2 代人○

y1 ? y 2 8 ? x1 ? x 2 9

即直线 L 的斜率为

8 , 9

所以直线 L 的方程为 y ? 1 ?

8 ?x ? 2?,即 8x ? 9 y ? 25 ? 0 (经检验,所求直线方程符合题意) 9
2 2

法二: 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ?. 已知圆的方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 5 所以圆心 M ?? 2,1? .从而可设直 线 L 的方程为 y ? k ?x ? 2? ? 1 代入椭圆 C 方程得 4 ? 9k x ? 36k ? 18k x ? 36k ? 36k ? 27 ? 0 因
2 2 2 2

?

?

?

?

为 A,B 关 于 点 M 对 称 , 所 以

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k 8 ?? ? ?2, 解得k ? , 所 以 直 线 L 的 方 程 为 2 2 9 4 ? 9k

8x ? 9 y ? 25 ? 0 (经检验,所求直线方程符合题意)
易错点:单独求解 A,B 两点运算量很大,容易出错.采用“设而不求”简单方便. 变式与引申 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C ?0, p ?作直线与抛物线 x 2 ? 2 py? p ? 0? 相交于 A, B 两点. (1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 ?ANB 面积的最小值; (2)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值? 若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. 本节主要考查:1. 直线L:Ax ? By ? C ? 0与圆锥曲线 C:f ?x, y ? ? 0 的位置 关系可分为,相交,相离,相切.对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物
C
A B

O
x

N

图6?3?2

线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但不相 切.有一个公共点是直线与抛物线,双曲线相切的必要条件,但不是充分条件. 2.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程组是否 有实数解或实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 点评:当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求来计算弦长(即应用 弦长公式) ;涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率,弦的中点坐标联系起 来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往能事半功倍.

习题 6-3
x2 y2 2 1. 设双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点, 则双曲线的离心率为( a b
A. ).

5 4

B. 5

C.

5 2

D. 5

2. 已知 P (1,1)为椭圆 的直线方程.

x2 y2 ? ? 1 内一定点,经过 P 引一弦,使此弦在 P (1,1)点被平分,此弦所在 4 2

3.直线 L:y=kx+1,抛物线 C: y 2 ? 4 x ,当 k 为何值时 L 与 C 有: (1)一个公共点; (2)两个公共点; (3) 没有公共点. 4. 直线 y=kx+1 与双曲线 3x2-y2=1 相交于 A、B 两点 (1)当 k 为何值时,A、B 两点在双曲线的同一支上; (2)当 k 为何值时,A、B 两点在双曲线的两支上; (3)当 k 为何值时,以 A、B 为直径的圆过坐标原点.

5. (2011 年高考重庆卷·文)如图 6-3-3,椭圆 的中心为原点 0,离心率 e= 的方程是 x ? 2 2

2 ,一条准线 2

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足: OP ? OM ? 2ON ,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积 为?

1 ,问:是否存在定点 F,使得 PF 与点 P 到直线 l: x ? 2 10 的距离之比为定值;若存 2

在,求 F 的坐标,若不存在,说明理由。

【答案】
变式与引申 1. C 提示:过点 F 且倾斜角为 60 的直线 L 与双曲线的右支有且只有一个交点的充要条件是:直线 L 与双曲 线的渐近线平行(即一条渐近线的斜率
0

b 0 = tan 60 )或直线 L 与双曲线的左,右两支各有一交点.即 a

b b tan 60 ? .综合得 3 ? a a
0

c 所以 e ? ? a

a2 ? b2 ?b? ? 1 ? ? ? ? 1 ? 3 ? 2, 故选C 2 a ?a?

2

2. 解:设 A ?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 ?

?ax2 ? by2 ? 1 2 2 2 2 的解由 ax1 ? by1 ? 1, ax2 ? by2 ? 1. 两式相减得 ?x ? y ? 1 ? 0

a?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? b? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0

?

y1 ? y 2 ? ?1 x1 ? x2

?

y1 ? y 2 a 2y a ? 即 c ? x1 ? x2 b 2 yc b

yc a 2 ? ? xc b 2

? b ? 2a ?? ①

再由方程组消去 y 得 ?a ? b?x 2 ? 2bx ? b ? 1 ? 0 由 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

?2 2

? ?x1 ? x2 ?

2

b ?1 ? 2b ? ? 4 x1 x2 ? 4即? ? 4?? ② ? ? 4? a?b ?a?b?
1 3

2

由① ② 解得 a ?
3. D

b?

2 x2 2y2 故所求的椭圆的方程为 ? ?1 3 3 3

提示:依题意有 c ? 7
2

c 2 ? a 2 ? b 2 则双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 .设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y2 ?, a2 7 ? a2



x1 y ? 1 2 ?1 2 a 7?a

2

2

x2 y ? 2 2 ?1 2 a 7?a

2

2












2 , 3

1 ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 1 2 ? y1 ? y 2 ?? y1 ? y 2 ? 2 a 7?a

再由 x1 ? x2 ? 2 x,

y1 ? y2 ? 2 y , x ? ?

y ? y2 5 y ? x ? 1 ? ? ,所以由 k ? 1 ? 1 ,得 a 2 ? 2 3 x1 ? x2
所以双曲线的方程为
x2 y2 ? ? 1 ,故选 D 2 5

4. 解法一:(1)依题意,如图 6-3-1,点 N 的坐标为 N (0, ? p) ,可设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) , 直线 AB 的方程为 y ? kx ? p ,与 x ? 2 py 联立得 ?
2

? x 2 ? 2 py,

? y ? kx ? p.

消去 y 得 x ? 2 pkx ? 2 p ? 0 .
2 2

由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 p2 . 于是 S△ ABN ? S△ BCN ? S△ ACN ? · 2 p x1 ? x2 .

1 2

? p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2
? p 4 p2k 2 ? 8 p2 ? 2 p2 k 2 ? 2 ,
∴ 当 k ? 0 时, (S△ABN )min ? 2 2 p2 .
(2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,如 图 6-3-2

AC 的中点为 O? , l 与 AC 为直径的圆相交于点
的中点为 H , 则 O?H ? PQ , Q? 点的坐标为 ?

P , Q,PQ

? x1 y1 ? p ? , ?. 2 ? ?2

∵ O?P ?

1 1 2 1 AC ? x1 ? ( y1 ? p ) 2 ? y12 ? p 2 , 2 2 2

O?H ? a ?

y1 ? p 1 ? 2a ? y1 ? p , 2 2
2 2

∴ PH ? O?P ? O?H ?

2

1 2 1 p? ? ( y1 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p) 2 ? ? a ? ? y1 ? a( p ? a) , 4 4 2? ?

?? p? ? 2 ∴ PQ ? (2 PH ) 2 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? . 2? ?? ?
令a?

p p p ? 0 ,得 a ? ,此时 PQ ? p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? , 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线. 解法二:(1)前同解法 1,再由弦长公式得

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2· ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2· 4 p 2 k 2 ? 8 p 2 ? 2 p 1 ? k 2· k 2 ? 2
, 又由点到直线的距离公式得 d ?

2p 1? k 2

.

从而 S△ ABN ? · d · AB ? · 2 p 1 ? k 2· k 2 ? 2 ·

1 2

1 2

2p 1? k
2

? 2 p2 k 2 ? 2 ,

∴ 当 k ? 0 时, (S△ABN )min ? 2 2 p2 .
(2)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a , 则以 AC 为直径的圆的方程为 ( x ? 0)( x ? x1 ) ? ( y ? p)( y ? y1 ) ? 0 , 将直线方程 y ? a 代入得 x2 ? x1x ? (a ? p)(a ? y1 ) ? 0 ,
2 则 △? x1 ? 4(a ? p)(a ? y1 ) ? 4 ?? a ?

?? ??

p? ? ? y1 ? a( p ? a) ? . 2? ?

设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P( x3,y3 ),Q( x4,y4 ) , 则有 PQ ? x3 ? x4 ? 令a?

?? p? ? p? ? 4 ?? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? ? 2 ? a ? ? y1 ? a ( p ? a) . 2? 2? ? ?? ?

p p p ? 0 ,得 a ? ,此时 PQ ? p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? , 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线.

习题 6-3
1.D

b ? b x2 y2 ? y? x 提示:双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x ,由方程组 ? a ,消去 y, a a b 2 ? ? y ? x ?1
得x ?
2

b b x ? 1 ? 0 有唯一解,所以△= ( ) 2 ? 4 ? 0 , a a

b c a 2 ? b2 b 所以 ? 2 , e ? ? ? 1 ? ( )2 ? 5 ,故选 D. a a a a
2.解法一:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,弦的两端点( x1 , y1 ) ,

( x2 , y 2 ).
? y ? 1 ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 消去 y 得 ( 2k 2 ? 1) x 2 ? 4k (k ? 1) x ? 2(k 2 ? 2k ? 1) ? 0 y2 ?1 ? ? 2 ?4
4k (k ? 1) 4k (k ? 1) 1 又 ? x1 ? x 2 ? 2 ∴ 2 ? 2得k ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 1 故弦所在的直线方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 1) .即 x ? 2 y ? 3 ? 0 . 2 x1 ? x 2 ? ∴
解法二:由于此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为 k ,且设弦的两端点坐标为( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) ,

( x ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) x y x y ? ?0 则 1 ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 ,两式相减得 1 4 2 4 2 4 2
∵ x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 ∴

2

2

2

2

x1 ? x 2 y ? y2 1 ? ( y1 ? y 2 ) ? 0 .∴ k? 1 ?? . 2 x1 ? x2 2
1 ( x ? 1), 即x ? 2 y ? 3 ? 0 . 2


∴ 此弦所在的直线方程为 y ? 1 ? ?

? y ? kx ? 1 2 2 3. 解:将 l 和 C 的方程联立 ? 2 ,消去 y 得 k x ? (2k ? 4) x ? 1 ? 0 ? y ? 4x
当 k=0 时,方程① 只有一个解 x ? ∴ 直线 l 与 C 只有一个公共点(

1 .此时 y ? 1 4

1 ,1 ) ,此时直线 l 平行于抛物线的对称轴. 4

当 k≠0 时,方程① 是一个一元二次方程, △ = (2k ? 4) ? 4k ? ?16k ? 16 ? ?16(k ? 1) .
2 2

(1) 当 ? ? 0 时,即 k﹤1 且 k≠0 时,与 C 有两个公共点,此时称直线 l 与 C 相交; (2) 当 ? ? 0 时,即 k=1 时, l 与 C 有一个公共点,此时称直线 l 与 C 相切; (3) 当 ? ? 0 时,即 k>1 时, l 与 C 没有公共点,此时称直线 l 与 C 相离. 综上所述,当 k=1 或 k=0 时,直线与 l 与 C 有一个公共点;当 k﹤1 且 k≠0 时,直线 l 与 C 有两个公共点; 当 k>1 时,直线 l 与 C 没有公共点.

? y ? kx ? 1 ? 2 2 2 2 4. 解:由 ?3x ? y ? 1 消去 y,得 (3 ? k ) x ? 2kx ? 2 ? 0 ①
2 当 3 ? k ? 0 时,由 ? ? 4 ? 8(3 ? k ) ? 0 ? ? 6 ? k ?

2

6且k ? ? 3

(1)当交点 A、B 在同一支上,则

x1 x 2 ? 0即

?2 ?0 3? k2

? k ? ? 3 或 k ? 3 ,又 ? 6 ? k ? 6
(3)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由① 得: x1 ? x 2 ?

? k ?(? 6, ? 3) ? ( 3, 6)
2k ② , 3?k2 ?2 ③ 3? k2

(2)A、B 在双曲线两支上时, x1 x 2 ? 0 ,? k ?(? 3, 3)

x1 x2 ?

又 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 把② ③ 代入上式得: k ? ?1 . 5.解: (I)由 e ?

c 2 a2 ? , ? 2 2, 解得 a ? 2, c ? 2, b2 ? a2 ? c2 ? 2 , a 2 c
x2 y2 ? ? 1. 4 2

故椭圆的标准方程为

(II)设 P( x, y), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由 OP ? OM ? 2ON 得

( x, y) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), 即x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
2 2 2 因为点 M,N 在椭圆 x ? 2 y ? 4 上,所以 x1 ? 2 y12 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4,
2 2

2 2 2 故 x2 ? 2 y2 ? ( x1 ? 4x2 ? 4x1 x2 ) ? 2( y12 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )
2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 )

? 20 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ).
设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知 kOM ? kON ?

y1 y2 1 ?? , x1 x2 2



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