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奥数辅导之不等式



提升数学能力

培养数学思维

2011 年高中数学奥赛辅导资料系列

不等式
知识梳理
1.不等式的概念与性质(要注意不等式性质成立的条件) 不等式的概念与性质(要注意不等式性质成立的条件) 2.基本不等式 基本不等式 利用基本 基本不等式证明不等式 运用基本 基本不等式求值 (1)利用基本不等式证

明不等式 (2)运用基本不等式求值

a+b 2 ) ;②“积定和最小” a + b ≥ 2 ab . 积定和最小” : 2 运用重要不等式最值要注意满足三个条件: 都是正数,和或积是定值, 运用重要不等式最值要注意满足三个条件: 正、定、等”.即 a 、 b 都是正数,和或积是定值, a “ 能相等. 与 b 能相等.
: ①“和定积最大” ab ≤ ( 和定积最大” 补充: 均值不等式 设 a1 , a 2 ,? ? ?, a n 是 n 个正实数, H n = 个正实数, 补充: 记

n 1 1 1 + + ??? + a1 a 2 an

;G n =

n

a1 a 2 ? ? ? a n ,

a + a2 + ? ? ? + an An = 1 ; Qn = n

2 2 a12 + a 2 + ? ? ? + a n 他们分别称为 个正数的调和平均数、 他们分别称为 n 个正数的调和平均数、几何平 n

均数、算术平均数、平方平均数,这四个平均数具有如下关系: 均数、算术平均数、平方平均数,这四个平均数具有如下关系:

H n ≤ Gn ≤ An ≤ Qn ,上式等号成立的条件是 a1 = a 2 = ? ? ? = a n .
3.不等式的证明 综合法、分析法、换元法、三角换元法、构造(方程、函数) 放缩法、 3.不等式的证明 综合法、分析法、换元法、三角换元法、构造(方程、函数)法、放缩法、反证法 4.不等式的解法 一元一次不等式、一元二次不等式相信同学们都应该能熟练求解了. ① 一元一次不等式、一元二次不等式相信同学们都应该能熟练求解了. 对于分式不等式、对数不等式、指数不等式, ② 对于分式不等式、对数不等式、指数不等式,我们需进行同解变形为熟悉的不等式后再利用已 学过的知识解答. 学过的知识解答. 对于含参不等式的求解则需进行必要的讨论. ③ 对于含参不等式的求解则需进行必要的讨论. 一元高次不等式用根轴法. ④ 一元高次不等式用根轴法. 解不等式的方法中,尤其需要注意的是换元法、图象法、根轴法, ⑤ 解不等式的方法中,尤其需要注意的是换元法、图象法、根轴法, 5.不等式的综合应用 5.不等式的综合应用 应用基本不等式求最 基本不等式求 和一定,积最大;积一定,和最小) (1)应用基本不等式求最值(和一定,积最大;积一定,和最小). 恒成立”问题. (2) 有解”与“恒成立”问题. “有解” 应用不等式求值范围,在与解析几何的综合考查中较常见. (3)应用不等式求值范围,在与解析几何的综合考查中较常见.

例题选讲
例 1.若 (log 2 3) ? (log 5 3) ≥ (log 2 3) 若
x x ?y

? (log 5 3) ? y ,则下列关系成立的是
D. x + y ≤ 0

A. x ? y ≥ 0

B. x + y ≥ 0

C. x ? y ≤ 0

2 至少有一个负数解, 的取值范围是____. 例 2.若关于 x 的不等式 2? | x ? a |> x 至少有一个负数解,则实数 a 的取值范围是 .

1

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中分别填入两个正整数, 例 3.在算式 4×□+9×△=?的□和△中分别填入两个正整数,使它们的倒数之和的最小值为 . 则正整数?的值为_________. 则正整数?的值为_________.

5 , 6

例 4:解关于 x 的不等式 :

a ( x ? 1) ≥1 x?2

( a > 0)

求证: 例 5: 1)已知 a + b + c = 1 ,求证: ? : ) (
2 2 2

1 ≤ ab + bc + ca ≤ 1 2

2 2 求证: (2)已知 1 ≤ x + y ≤ 2 ,求证: )

1 ≤ x 2 ? xy + y 2 ≤ 3 2

1 <c<0 3 a b c 为正数,求证: + > 的三边长是 (4)已知△ABC 的三边长是 a, b, c ,且 m 为正数,求证: )已知△ a+m b+m c+m
求证: (3)设 a + b + c = 1 , a + b + c = 1 ,且 a > b > c ,求证: ? )
2 2 2

例 6:证明: :证明:

1 1 1 1 < + + ??? + <1 2 m +1 m + 2 2m 1 1 1 7 (2)1 + 2 + 2 + ? ? ? + 2 < ) 4 2 3 n
(1) ) (3) n < 1 + )

1 2

+

1 3

+ ??? +

1 n

<2 n

2

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2 2 是实数。 例 7:已知两个函数 f ( x) = 8 x + 16 x ? k g ( x) = 2 x + 5 x + 4 其中 k 是实数。 :

(1)对任意 x ∈ [?3,3] ,都有 )

f ( x) ≤ g ( x) 成立,求 k 的取值范围 成立,

成立, (2)存在 x ∈ [?3,3] ,使 f ( x ) ≤ g ( x ) 成立,求 k 的取值范围 ) 成立, (3)对于任意的 x1 , x 2 ∈ [ ?3,3] ,都有 f ( x1 ) ≤ g ( x 2 ) 成立,求 k 的取值范围 )

练习巩固
1.已知正数 a, b, c 满足 a + b + c = 3 ,则 8a + 1 + 8b + 1 + 8c + 1 的最大值为 1.已知正数 A.9 B. 3 3 C.16 D. 4 3

2. (a ? 3) x 2 < ( 4a ? 2) x 对 a ∈ (0,1) 恒成立,则 x 的取值范围是 恒成立, 的取值范围是____________。 。

3.Mn(n=3,4,5,…… 为正整数,若 a>b>c 且对满足条件的任意 a,b,c 都有 . ……)为正整数 …… 为正整数, > > 时,M3 的最大值为

1 1 M3 + + ≥0 a?b b?c c?a

……> ……), ,若 a1>a2>a3……>an(n=3,4,5,…… ,且对满足条件的任意 an 都有 ……

1 1 Mn + +…… ……+ …… ≥0,则 Mn 的最大值为 , a1 ? a2 a2 ? a3 an ? a1
4. 解下列不等式 (1)

(x ?1)(x ? 4)2 (x ? 3) 2 ≤0; (2)解关于 x 的不等式 ax ? ( a + 1) x + 1 < 0 x +1

5.已知 a >0,解关于 x 的不等式

ax 2 ? 2 ax + 1

<x

3

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6. 1)已知 a,b,c 是不全相等的正数,求证: lg a + lg b + lg c < lg . ) ( 是不全相等的正数,求证:

a+b b+c c+a + lg + lg 2 2 2

求证: (2)已知 a > 0 , b > 0 , a + b = 2 ,求证: a + b ≤ 2 , ab ≤ 1 )
3 3

,求证: (3)若 a >0,求证: a + )

1 1 ? a2 + 2 ≤ 2 ? 2 a a

求证: (4)已知 a > 0 , b > 0 , a ≠ b ,且 a ? b = a ? b ,求证: 1 < a + b < )
2 2 3 3

4 3

7.求证: 1)1 + 求证: ) 求证 (

1 2 2

+

1 3 3 1 3

+ ??? + 1 5

1 n n

<3 (n = 1,2,3,? ? ?)

(2) (1 + 1)(1 + )(1 + ) ? ? ? (1 + )

1 ) > 2n + 1 2n ? 1

4



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