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重庆市第一中学2015届高三上学期第一次诊断考试模拟数学文



重庆市第一中学 2015 届高三上学期第一次诊断考试模拟数学(文)试题 一.选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)
2 N ? {x x ? 1或x ? ?7} 1.设集合 M ? {x | x ? 2 x ? 15 ? 0} , ,则 M ? N ? (



A. [1,3)

B

. (?5,3)

C. (?5,1]

D. [?7,3) )

2、对于非零向量 a,b,“a∥b”是“a+b=0”的( A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

?4 x 2 ? 2, ?2 ? x ? 0, f ( x) ? ? f ( x ) ? x, 0 ? x ? 1. 3 3. 设 是定义在 R 上的周期为 的函数, 当 x∈[-2, 1)时, ,
5 f( ) 则 2 =(



A. 0

B.

1


1 C. 2

D. ?1

4.下列结论正确的是(

x ?1?
A.

1 ?1 x
2

x?
B.
2

1 ?2 x

x? y?
C.

1 1 ? x y

D. x ? y ? x ? y
a

log 3 18 ? ( 5.若 2 ? 3 ,则
3?
A.



1 a

3?
B.

1 a

2?
C.

1 a

2?
D.

1 a

6.如图所示,四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅 助作用),则四面体 ABCD 的正视图,左视图,俯视图依次是(用①②③④⑤⑥代表图 形)( )

A.①②⑥
[来源:Z_xx_k.Com]

B. ①②③

C.④⑤⑥

D.③④⑤

1? ,若点 M ? x, y ? 为平面区域 7. 已知 O 是坐标原点,点 A?? 1,
OA ? OM 的取值范围是(


?x ? y ? 2 ? ?x ? 1 ?y ? 2 ?

上的一个动点,则

0? A. ?? 1,
A. ?2 9. 抛物线

1? B. ?0,
B. ?1

2? C. ?0,


2? D. ?? 1,

8. 执行如右图所示的程序框图,则输 出的结果为( C.1

D.2

的焦点为 F,M 足抛物线 C 上的点,若三角形 OFM 的外接圆与 的值为( D.8 )

抛物线 C 的准线相 切,且该圆的面积为 A.2 B.4 C.6

? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? ?2 x ? 2 ? 1, x ? 0, ?1 ? , x ? 0. x ? 2, x ? 0, g ( x) ? ? ?x 10. 已知函数 f ( x) ? ? 则函数 f [ g ( x)] 的所有零
点之和是( )

?
A.

1 ? 3 2

1 ? 3 B. 2

?1?
C.

3 2

1?
D.

3 2

二.填空题(本大题共 5 个小题,每题 5 分,共 25 分) 11. 设数列{

an }的前 n 项和为 S n ? n 2 ,中 a5 =

.

m ? ni ? 12. 已知 i 是虚数单位, m 和 n 都是实数,且 m(1 ? i ) ? 7 ? ni ,则 m ? ni ? ? ? ? ? ? a ? 1, b ? 2, ? a, b ?? 60? a ? 2b
13.已知 ,则 =

? 2 ? ? cos(? ? ) ? ?? ? 6 3 ,且 6 2 ,则 cos 2? = 14.已知
15. 设等比数列 一项,若

.

[来源:Z&xx&k.

Com]

?an ? 满足公比 q ? N ? , an ? N ? ,且 ?an ? 中的任意两项之积也是该数列中的
,则 q 的所有可能取值的集合为

a1 ? 281

三.解答 题(本大题共 6 个小题,共 75 分) 16.(13 分)已知等差数列 (1)求数列

{an } 的前 n 项和为 S n , S3 ? 0, S5 ? ?5 .

{an } 的通项公式;

1 } a a (2)求数列 2 n ?1 2 n ?1 的前 n 项和. {
17. (13 分)随机抽取某中学高三年级甲乙两班各 10 名同学,测量出他们 的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图,其中甲班有一个数据 被污损. (Ⅰ)若已知甲班同学身高平均数为 170cm,求污损处的数据; (Ⅱ)现从乙班这 10 名同学中随机抽取 两名身高不低于 173cm 的同学,求身高 176cm 的 同学被抽中的概率.

18.(13 分) 已知 ?ABC 的三边分别是 a, b, c ,且满足 b ? c ? bc ? a
2 2

2

(1)求角 A; ( 2)若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值.

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

f ( x) ? 2 x ?
19.(12 分)(原创)已知

1 ?1 x

(1)求函数 f ( x) 在 x ? 4 处的切线方程(用一般式作答); (2)令 F ( x) ? 2 x x ? (1 ? m) x ? 1 ,若关于 x 的不等式 F ( x) ? 0 有实数解.求实数 m 的取 值范围.

2 0.(12 分)如图,几何体 EF ? ABCD 中, CDEF 为边长为 2 的正方形, ABCD 为直角
? 梯形, AB / / CD , AD ? DC , AD ? 2 , AB ? 4 , ?ADF ? 90 .

E

F

D A

C B

( 1)求证: AC ? FB (2)求几何体 EF ? ABCD 的体积.

命题人:周波涛 审题人:张志华

2015 年重庆一中高 2015 级 高三上期一诊模拟考试 数 学 答 案 解 析 (文科)2015.1
2 N ? {x x ? 1或x ? ?7} 1.设集合 M ? {x | x ? 2 x ? 15 ? 0} , ,则 M ? N ?
[来源:Zxxk.Com]

A. [1,3)

B. (?5,3)

C. (?5,1]

D. [?7,3)

答案:A 2、对于非零向量 a,b,“a∥b”是“a+b=0”的 A、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件 答案:B

?4 x 2 ? 2, ?2 ? x ? 0, f ( x) ? ? f ( x ) ? x, 0 ? x ? 1. 3 3. 设 是定义在 R 上的周期为 的函数, 当 x∈[-2, 1)时, ,
5 f( ) 则 2 = 1 C. 2

A. 0

B.

1


D. ?1

答案:D 4.下 列结论正确的是(

x ?1?
A. 答案:A

1 ?1 x

x?
B.

1 ?2 x

x? y?
C.

1 1 ? x y

D. x ? y ? x ? y
2

2

log 3 18 ? ( 5.若 2 ? 3 ,则
a



3?
A.

1 1 1 1 3? 2? 2? a B. aC a .D. a

答案:C 6.如图所示,四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助 作用),则四面体 ABCD 的正视图,左视图,俯视图依次是(用①②③④⑤⑥代表图形) ( )

A.①②⑥ 答案:B

B.①②③

C.④⑤⑥

D.③④⑤

1? ,若点 M ? x, y ? 为平面区域 7. 已知 O 是坐标原点,点 A?? 1,
OA ? OM 的取值范围是

?x ? y ? 2 ? ?x ? 1 ?y ? 2 ?

上的一个动点,则

0? A. ?? 1,

1? B. ?0,

2? C. ?0,


2? D. ?? 1,

答案:C 8. 执行如右图所示的程序框图,则输出的结果为( A. ?2 答案:C 9. 抛物线 B. ?1 C.1

D.2

的焦点为 F,M 足抛物线 C 上的点,若三角形 OFM 的外接圆与 的值为 D.8

抛物线 C 的准线相切,且该圆的面积为 A.2 答案:D B.4 C.6

? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? ?2 x ? 2 ? 1, x ? 0, ?1 ? , x ? 0. x ? 2, x ? 0, g ( x) ? ? ?x 10. 已知函数 f ( x) ? ? 则函数 f [ g ( x)] 的所有零
点之和是( )

?
A.

1 ? 3 2

1 ? 3 B. 2

?1?
C.

3 2

1?
D.

3 2

答案:B 11. 设数列{ 答案:9

an }的前 n 项和为 S n ? n 2 ,中 a5 =

.

[来源:学科网]

m ? ni ? m (1 ? i ) ? 7 ? ni 12. 已知 i 是虚数单位, m 和 n 都是实数,且 ,则 m ? ni
答案: i 13.已知

? ? ? ? a ? 1, b ? 2, ? a, b ?? 60?

,则

? ? a ? 2b

=

答案: 13

? 2 ? ? cos(? ? ) ? ?? ? 6 3 ,且 6 2 ,则 cos 2? = 14.已知
1 ? 4 15 18 答案: ?
15. 设等比数列 一项,若

.

?an ? 满足公比 q ? N ? , an ? N ? ,且 ?an ? 中的任意两项之积也是该数列中的

a1 ? 281 ,则 q 的所有可能取值的集合为

16.已知等差数列 (1)求数列

{an } 的前 n 项和为 S n , S3 ? 0, S5 ? ?5 .

{an } 的通项公式;
{

1 } a a 2 n ? 1 2 n ? 1 (2)求数列 的前 n 项和.

17.随机抽取某中学高三年级甲乙两班各 10 名同学,测量出他们的身高(单位:cm),获得 身高数据的茎叶图如图,其中甲班有一个数据被污损. (Ⅰ)若已知甲班同学身高平均数为 170cm,求污损处的数据;

(Ⅱ)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学, 求身高 176cm 的同 学被抽中的概率. 解答: (1)
x? 158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? a ? 182 10

? 170

解得 a =179 所以污损处是 9 (2)设“身高为 176 cm 的同学被抽中”的事件为 A, 从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有: {181,173}, {181,176}, {181,178} , {181,179},{179,173},{179,176},{1 79,178},{178,173},{178,176},{176,173}共 10 个 基本事件, 4 2 而事件 A 含有 4 个基本事件,∴P(A)= = 10 5 18. 已知 ?ABC 的三边分别是 a, b, c ,且满足 b ? c ? bc ? a
2 2 2
[来源:Z&xx&k.Com]

(1)求角 A; (2)若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值.
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

f ( x) ? 2 x ?
19.(原创)已知

1 ?1 x

(1)求函数 f ( x) 在 x ? 4 处的切线方程(用一般式作答); (2)令 F ( x) ? 2 x x ? (1 ? m) x ? 1 ,若关于 x 的不等式 F ( x) ? 0 有实数解.求实 数 m 的取 值范围. 解答:

f ?( x) ?
(1)由题

1 1 7 21 ? 2 f ?(4) ? , f (4) ? x x 16 4 , ,则
21 7 ? ? x ? 4? 4 16

y?
则所求 切线为

[来源:学科网]

即 7 x ? 16 y +56 ? 0

(2) F ( x) ? 0 ? mx ? 2 x x ? x ? 1 ,显然 x ? 0 时不是不等式的解,故 x ? 0 ,

F ( x) ? 0 ? mx ? 2 x x ? x ? 1 ? m ? 2 x ?
故 由(1)可知

1 ? 1 ? f ( x) x

f ( x) min ? f (1) ? 4 ,则 m ? 4 .

20. 如图,几何体 EF ? ABCD 中, CDEF 为边长为 2 的正方形, ABCD 为直角梯形,

AB / / CD , AD ? DC , AD ? 2 , AB ? 4 , ?ADF ? 90? .
E
[来源:Zxxk.Com]

F

D A
(1)求证: AC ? FB (2)求几何体 EF ? ABCD 的体积.

C B

(2)连结 EC ,过 B 作 CD 的垂线,垂足为 N , 易见 BN ? 平面 CDEF ,且 BN ? 2 .????8 分

E

F

D C A B

N

[来源:Z*xx*k.Com]



VEF ? ABCD ? VE ? ABCD ? VB ? ECF

?????9 分

1 1 16 ? S△ABCD ? DE ? S△EFC ? BN ? 3 3 3 16 ∴ 几何体 EF ? ABCD 的 体积为 3

?????11 分

????12 分

2 F,F 21.(原创)已知椭圆 C 的中心为原点,焦点 1 2 在坐标轴上,其离心率为 2 ,且与 x 轴
的一个交点为 (1, 0) . (1)求椭圆 C 的标准方程;

(0,
(2)已知椭圆 C 过点 到 l 的距离分别为
2 2

2 ) 2 ,P 是椭圆 C 上任意一点,在点 P 处作椭圆 C 的切线 l , F1 , F2

d1 , d 2 .探究:d1 ? d 2 是否为定值?若是,求出定值;若不是说明理由(提示:

(x , y ) mx x ? ny0 y ? 1 ); 椭圆 mx ? ny ? 1 在其上一点 0 0 处的切线方程是 0
(3)求(2)中

d1 ? d 2 的取值范围.

设 P (m, n) ,则 l 的方程是 mx ? 2ny ? 1 ,

? d1 ? d 2 ?


2 m ?1 2 m 2 ? 4n 2

1 1 ? m2 2 1 ? 2 1 ? m2 ? 0 2 2 2 m ? 4n ,因为 ?1 ? m ? 1 ,故 2 m ? 4n ,

2 m ?1 2

1 1 ? m2 1 1 d1 ? d 2 ? 2 2 2 d1d 2 ? 2 2 m ? 4n ,又因为 m ? 2n ? 1 ,代入可得 2 ,故 d1 ? d 2 为定值 2 ; 故
由 题

? d1 ? d 2 ?

2 m ?1 2 m 2 ? 4n 2

?

2 m ?1 2 m 2 ? 4n 2

?

1?

2 2 m ?1? m 2 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 m ? 4n m ? 4n 1 ? 2n 2

0 ? n2 ?
因为

1 2 ,故 d1 ? d 2 ? [ 2, 2] .



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