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高中数学必修一 集合与函数



集合与函数概念
(1)集合的有关概念
1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能 意识到这 些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set), 也 简称集。 3.关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对

象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象), 因此,同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)无序性:集合中的元素的排列没有特定顺序。 3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 4. 元素与集合的关系:(1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A, 记作 a∈A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记作 a?A 5. 常用数集及其记法 非负整数集(或自然数集),记作 N; 正整数集,记作 N*或 N+;整数集,记作 Z ; 有理数集,记作 Q ;实数集,记作 R.

(2)集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合, 但这将给我们带来很多不便, 除此之外还常用列 举法和描述法来表示集合。 (1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。 如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},?; (2)描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在 大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 如: {x|x-3>2} , {(x,y)|y=x2+1} , { 直角三角 形},?; 强调: 描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同, 只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这 里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集},{R}也是错误的。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法, 要注意,一般 集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。

(3) 集合与集合之间的“包含”关系
1. A={1,2,3},B={1,2,3,4} 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合,我们说集 合 B 包含集合 A; 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合 有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset)。记作:(A? B)或 ( B? A) 读作:A 包 含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 。 当集合 A 不包含于集合 B 时,记 作 A B 。 2.集合与集合之间的 “相等”关系; A ? B 且 B? A,则 B 与 A 中的元素是

一样的,因此 B=A。 结论: 任何一个集合是它本身的子集。

4.真子集的概念 5.空集的概念

若集合 A ? B, 存在元素 X∈B 且 X?A , 则称集合 A 是集合 B 的

真子集。记作:A B(或 B A)读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A)。 不含有任何元素的集合称为空集(empty set),记作:? 。

规定: 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 结论: 1.A? A; 2 . A ? B,且 B ? C,则 A? C。 归纳小结: 两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数 间的大小关系,同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法。

6.集合的基本运算
1. 并集 一般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集(Union) 记作:A∪B 读作: “A 并 B” 即:A∪B={x|x∈A,或 x∈B} 。 说明: 两个集合求并集, 结果还是一个集合, 是由集合 A 与 B 的所有元素组成 的集合 (重 复元素只看成一个元素) 2. 交集 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的 交集(intersection)。 记作:A∩B 读作: “A 交 B”即: A∩B={x|∈A,且 x∈B} 。 说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 3.全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么 就称这个 集合为全集(Universe),通常记作 U。 4.补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素 组成的 集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set),简称为集合 A 的补集, 记 作:CUA 即:CUA={x|x∈U 且 x?A} 。 说明:补集的概念必须要有全集的限制 5. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集 与并集的 关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两 个字眼出发去揭示、 挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达, 增强数形结合的思想方法。 6. 集合基本运算的一些结论: A∩B? A, A∩B? B, A∩A=A, A∩?=?,A∩B=B∩A , A ? A∪B,B? A∪B,A∪A=A,A∪?=A, A∪B=B∪A ,(CUA)∪A=U,(CUA)∩A=? 若 A ∩B=A,则 A? B,反之也成立 。若 A∪B=B,则 A? B,反之也成立。 若 x∈(A∩B), 则 x∈A 且 x∈B 若 x∈(A∪B),则 x∈A,或 x∈B 。 习题 1.(2012 江西,1,5 分,★☆☆)若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个 数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2

思路点拨 根据集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}的特点,逐个求解其中的元素,当 x+y 的结 果相同时算一个元素.答案:C 解析:因为 x∈A,y∈B,所以当 x=-1 时,y=0,2,此时
z=x+y=-1,1.当 x=1 时,y=0,2,此时 z=x+y=1,3,所以集合{z|z=-1,1,3}={-1,1,3}共有三个元 素,选 C.

2.(2013 江西,2,5 分,★★☆)若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则 a=( A.4 B.2 C.0 D.0 或 4

)

思路点拨 集合 A 是方程的解构成的集合,元素的个数为方程的解的个数.答案:A 解析:若 a=0,则 A=? ,不符合要求;若 a≠0,则Δ =a2-4a=0,得 a=4,故选 A. 3.(2016 山东寿光月考,★☆☆)若 2? {x|x-a>0},则实数 a 的取值范围是________. 思路点拨 2 不在给定集合中→2 不满足不等式 x-a>0→2 满足不等式 x-a≤0→得到 a 的取 值范围。答案:{a|a≥2} 解析:因为 2? {x|x-a>0},所以 2 不满足不等式 x-a>0,即 2 满足不等式 x-a≤0,所以 2-a≤0, 解得 a≥2. 所以实数 a 的取值范围是{a|a≥2}. 4.(2013 陕西,1,5 分,★★☆)设全集为 R,函数 f(x)= A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) 的定义域为 M,则? RM 为( )

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

思路点拨 先求 f(x)的定义域 M,再求? RM.答案: D.解析: 由 1-x2≥0 得-1≤x≤1,故? RM=(∞,-1)∪(1,+∞).

函数的概念
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看 成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段 更注重函数模型 化的思想. (一)函数的有关概念 1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f: A→B 为 从 集合 A 到集合 B 的一个函数(function). 记作: y=f(x) ,x∈A. 其中,x 叫做自变 量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 (domain) ; 与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range). 注意: 1. “y=f(x)”是函数符号,可 以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; 2. 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数 值,一个数,而不是 f 乘 x. 2. 构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域 。 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数 轴表示.

说明: 1 .函数的定义域通常由问题的实际背景确定. 2 .如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子 有意义的实数的集合;3 .函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 4.判断两个函数是否为同一函数 1. 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应 关系决定 的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函 数)。 2 .两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致, 而与表示自变量和函数值的 字母无关。

2.映射: 我们已经知道, 函数是建立在两个非空数集间的一种对应, 若将其中的条件 “非
空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对 应关系,这种的对应就叫映射(mapping)。 什么叫做映射? 一般地, 设 A、 B 是两个非空的集合, 如果按某一个确定的对应法则 f, 使对于 集合 A 中 的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就 称对应 f:A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射(mapping). 记作“f:A→B”。 说明: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其 中 f 表示具体的对应法则,可以用汉字叙述. (2)“都有唯一”什么意思? 包含两层意 思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。

习题:
(2012 四川,13,4 分,★★☆)函数 f(x)= 的定义域是________.(用区间表示)

思路点拨 根据函数解析式,列出不等式求解. 解析: 要使函数解析式有意义,应满足 1-2x>0, ∴x< . ∴函数的定义域为 . )

(2016 浙江杭州期末,★☆☆)下列表示函数图象的是(

答案:C

解析:根据函数的定义可知选 C.

(2016 河北唐山期末,★★☆)已知函数 y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则 y=f(2x-1)的定义域 是( A. 答案:A 解析:∵函数 y=f(x+1)的定义域为[-2,3],∴x∈[-2,3],则 x+1∈[-1,4],即函数 f(x)的定义域为 [-1,4],再由-1≤2x-1≤4,得 0≤x≤ ,∴函数 y=f(2x-1)的定义域为 .故选 A. ) B.[-1,4] C.[-5,5] D.[-3,7]

(二)函数的表示法
(1)解析法; (2)图象法; (3)列表法. 注意: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意 :判 断一个图形是否是函数图象的依据; 2 解析法:必须注明函数的定义域; 3 图象法:是否 连线;(区间的连续性) 4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.

(三)函数的单调性
函数单调性定义 (1) 增函数: 一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内 的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增 函数(increasing function). 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义. (2)注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;2 必 须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2)。 (3)函数的单调性定义: 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函 数 y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (4).判断函数单调性的方法步骤:利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的 一般步骤:1 .任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;2 .作差 f(x1)-f(x2);3 变形(通常是因式分解 和配方) ;4 .定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负);5 .下结论(即指出函数 f(x)在给定的 区间 D 上的单调性)。 归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助 计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域, 单调性的证明一般分五步:取值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论。

习题:(2014 四川成都检测,★★☆)下列函数在区间(-∞,0)上为增函数的是(
A.f(x)=3-x B.f(x)= C.f(x)=x2-2x-1 D.f(x)=-|x|

)

思路点拨 利用图象法判断函数在(-∞,0)上的单调性.答案:D。解析:由 f(x)=3-x 的图象 可知 f(x)=3-x 在 R 上递减;由 f(x)= 的图象可知 f(x)= 在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递减;

由 f(x)=x2-2x-1 的图象可知 f(x)=x2-2x-1 在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)递增;由 f(x)=-|x|的图 象可知 f(x)=-|x|在(-∞,0)上递增,在(0,+∞)上递减.故选 D. (2012 安徽,13,5 分,★★☆)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=________. 思路点拨 把函数 f(x)化简,求出 f(x)的递增区间.答案:-6

解析:∵f(x)= ∴f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,∴- =3,∴a=-6.

(四)函数的奇偶性
(1)函数的奇偶性定义: 图象关于 y 轴对称的函数即是偶函数, 图象 关于原点对称的函 数即是奇函数. (2)偶函数(even function)一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么 f(x)就 叫做偶函数.仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 (3)奇函数(odd function) 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么 f(x)就 叫做奇函数. (4) 注意: 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体 性质; 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的 任意一个 x,则- x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (5)判断函数的奇偶性 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是 否关于原点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x) -f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 说明:函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对称,所以判断函数的奇偶性应 应首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若不是即可断定函数是非奇非偶函数. 规律: 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. 说明:这也可以作 为判断函数奇偶性的依据. (6)函数的奇偶性与单调性的关系 .已知 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上也是增函数 。 规律: 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反; 奇函数在关于原点对称的区间上单调 性一致. 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法 和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关 于原点对称. 单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点, 需要学生结合函数的图象充分 理解好单调性和奇偶性这两个性质.

习题:(2015 广东,3 改编,5 分,★☆☆)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(
A.y= B.y=x+ C.y=2x+ D.y=x+πx

)

思路点拨 先求定义域→判断 f(-x)与 f(x)的关系→下结论,得答案答案:D 解析:对于 A,令 f(x)=y= ,

易知函数的定义域为 R,关于原点对称, ∵f(-x)= =f(x),∴y= 是偶函数;

对于 B,令 f(x)=y=x+ ,它的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, ∵f(-x)=-x+ =∴y=x+ 是奇函数; 对于 C,令 f(x)=y=2x+ ,它的定义域为 R,关于原点对称, ∵f(-x)=2-x+ =2x+ =f(x), =-f(x),

∴y=2x+ 是偶函数,故选 D. (2014 湖南,4,5 分,★★☆)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A.f(x)= B.f(x)=x2+1 C.f(x)=x3 D.f(x)=2-x )

思路点拨 逐项判断即可.答案:A 解析:f(x)= 是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,A 符合题意;f(x)=x2+1 是偶函数,但在(-∞,0) 上单调递减,B 不符合题意; f(x)=x3 是奇函数,C 不符合题意; f(x)=2-x 是非奇非偶函数,D 不符 合题意.故选 A.

(五)函数的最大(小)值
(1)函数最大(小)值定义 1.最大值: 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存 在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M , 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value). 仿照函数最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值(Minimum Value)的定义. 注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M;2 函

数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≤M(f(x) ≥M). 2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法。 (1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 。 (2)利用图象求函数的 最大(小)值。(3)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 : 如果函数 y=f(x)在区 间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b); 如 果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有 最小值 f(b)。 归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.求函数的单调区间时必 须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 . 习题:求函数 Y=2/(X-1)在区间[2,6]上的最大值和最小值. 利用函数的单调性求函数的最大(小)值的方法与格式.



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