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答案 高三数学综合练习三



高三数学综合练习三 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知 R 为实数集, M ? {x | x2 ? 2x ? 0}, N ? {x | x ? 1},则 M ? (C R N ) ? 答案: {x | 0 ? x ? 1} 2.命题:“ ?x ? (0, ??) , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
2

>.

.

答案: ?x ? (0,??), x ? x ? 1 ? 0 3.已知 z ? ? a ? i ??1 ? i ? (a∈R, i 为虚数单位) ,若复数 z 在复平面内
2

对应的点在实轴上,则 a= 4.设不等式组 ?

.1

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个 ?0 ? y ? 2 4 ?? 点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是______. 4 5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 s 值等于____. ? 3
6.椭圆

x2 y 2 + ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过点 F1 且垂 a2 b2
. 1 2

直于 x 轴的弦的弦长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是

7.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? DC 的最大值为__.1 8.设 a, b ? R, 且 a ? 2, 若定义在区间 ? ?b, b ? 内的函数 f ? x ? ? lg 则 a ? b 的取值范围是 . ( ?2,? ]

1 ? ax 是奇函数, 1? 2x

9.巳知函数 f ( x) ? cos x( x ? (0,2? )) 有两个不同的零点 x1 , x 2 ,且方程 f ( x) ? m 有两个不同 的实根 x3 , x 4 .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为_____. ?

3 2

3 2

10.关于 x 的不等式 x 2 +25+| x 3 -5 x 2 |≥ ax 在[1,12]上恒成立,则实数 a 的取值范围是 答案: (??,10] 1 11.已知正数 x,y 满足(1+x)(1+2y)=2,则 4xy+ 的最小值是____.12 xy
4 3 2

12.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? 2x ? b ,其中 a, b ? R .若函数 f ? x ? 仅在 x ? 0 处有极值, 则 a 的取值范围是 . ?? , ? 3 3

13.已知 a, b, c(a ? b ? c) 成等差数列,将其中的两个数交换,得到

? 8 8? ? ?

a2 ? c2 的三个数依次成等比数列,则 的值为 2b2
14.如图,用一块形状为半椭圆 x 2 ?

y A

.10

D

y2 ? 1 ( y ? 0) 的铁皮截取 4 一个以短轴 BC 为底的等腰梯形 ABCD ,记所得等腰梯形
ABCD 的面积为 S ,则

1 的最小值是 S



2 3 9

B

o

C

x

-1-

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分)在△ABC 中, A, B, C 为三个内角 a, b, c

b sin 2C ? . 3 2 a ? b sin A ? sin 2C ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? (I)判断△ABC 的形状; (II)若 | BA ? BC |? 2 ,求 BA ? BC 的取值范围. b sin 2C ? 解:(Ⅰ)由 及正弦定理有: sin B ? sin 2C a ? b sin A ? sin 2C ? ? 2 ∴ B ? 2C 或 B ? 2C ? ? 若 B ? 2C ,且 ? C ? ,∴ ? ? B ? ? , B ? C ? ? (舍) ; 3 2 3 ∴ B ? 2C ? ? ,则 A ? C ,∴ ?ABC为等腰 三角形.………………7 分 ??? ??? ? ? 2 ? a2 2 2 (? a ? c) , (Ⅱ)∵ | BA ? BC |? 2 ,∴ a ? c ? 2ac ? cos B ? 4 ,∴ cos B ? a2 ??? ??? ? ? 2 1 4 2 而 cos B ? ? cos 2C ,∴ ? cos B ? 1 ,∴ 1 ? a ? ,∴ BA ? BC ? ( ,1) .…………14 分 2 3 3
为三条边,

?

?C?

?

,且

16. (本题满分 14 分)如图,在矩形 ABCD 中,AD=2,AB=4,E、F 分别为边 AB、AD 的中点, 现将△ADE 沿 DE 折起,得四棱锥 A—BCDE. (1)求证:EF∥平面 ABC;(2)若平面 ADE⊥平面 BCDE,求四面体 FDCE 的体积.

-2-

17. (本小题满分 15 分)如图, AB 是沿太湖南北方向道路, P 为太湖中观光岛屿, Q 为停车 场, PQ ? 5.2 km.某旅游团游览完岛屿后,乘游船回停车场 Q,已知游船以 13 km/h 的速度沿 方位角 ? 的方向行驶, sin ? ?

5 .游船离开观光 13

岛屿 3 分钟后,因事耽搁没有来得及登上游船的游 客甲为了及时赶到停车地点 Q 与旅游团会合,立即 决定租用小船先到达湖滨大道 M 处,然后乘出租汽 车到点 Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租 车).假设游客甲乘小船行驶的方位角是 ? ,出租汽 车的速度为 66km/h. (Ⅰ)设 sin ? ?

4 ,问小船的速度为多少 km/h 时, 5

游客甲才能和游船同时到达点 Q; (Ⅱ)设小船速度为 10km/h,请你替该游客设计 小船行驶的方位角 ? ,当角 ? 余弦值的大小是多少时,游客甲能按计划以最短时间到达 Q .
-3-

解:(Ⅰ) 如图,作 PN ? AB , N 为垂足. 5 4 sin ? ? , sin a ? , 5 13 在 Rt △ PNQ 中, 5 PN ? PQ sin ? ? 5.2 ? ? 2 (km), 13 12 QN ? PQ cos? = 5.2 ? ? 4.8 (km). 13 PN 2 ? ? 1.5 (km) .………3 分 在 Rt △ PNM 中, MN ? tan a 4 3

A Q

?
P

?

M

N B

设游船从 P 到 Q 所用时间为 t1 h, 游客甲从 P 经 M 到 Q 所用时间为 t 2 h, 小船的速度为 v1 km/h, 26 PM MQ 2.5 3.3 5 1 PQ 2 ? ? ? ? ? ? 5 ? (h), t2 ? 则 t1 ? (h) ……5 分 . v1 66 v1 66 2v1 20 13 13 5 5 1 1 2 1 25 ? ? ? ,∴ v1 ? 由已知得: t2 ? .…………7 分 ? t1 , 2v1 20 20 5 20 3 25 ∴小船的速度为 km/h 时,游客甲才能和游船同时到达 Q . 3 PN 2 PN 2cos a (Ⅱ)在 Rt △ PMN 中, PM ? (km), MN ? (km). ? ? sin a sin a tan a sin a 2cos a ∴ QM ? QN ? MN ? 4.8 ? (km). ……9 分 sin a PM QM 1 4 cos a 1 33 ? 5cos a 4 ∴t ? = .……11 分 ? ? ? ? ? ? 10 66 5sin a 55 33sin a 165 sin a 55 1 5sin 2 a ? (33 ? 5cos a )cos a 5 ? 33cos a ∵ t? ? , ………13 分 ? ? 165 sin 2 a 165sin 2 a 5 5 5 ∴令 t ? ? 0 得: cos a ? .当 cos a ? 时, t ? ? 0 ;当 cos a ? 时, t ? ? 0 . 33 33 33 ? 5 ∵ cosa 在 ? ? (0, ) 上是减函数,∴当方位角 a 满足 cos a ? 时,t 最小, 33 2 即游客甲能按计划以最短时间到达 Q .…15 分

-4-

18.(本题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 A(-4,0)、B(4,0),动点 P 与 A、B 1 连线的斜率之积为- .(1)求点 P 的轨迹方程; 4 (2)设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C.半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的垂直平分线上, 且在 y 轴右侧,圆 M 被 y 轴截得的弦长为 3r. (ⅰ)求⊙M 的方程;(ⅱ)当 r 变化时,是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切?如果存在,求出定 直线 l 的方程;如果不存在,说明理由.

-5-

19.(本小题满分 16 分)已知各项均为正数的等差数列 {an } 的公差 d 不等于 0,设 a1 , a3 , ak 是 公比为 q 的等比数列 {bn } 的前三项, (I)若 k=7, a1 ? 2 (i)求数列 {anbn } 的前 n 项和 Tn; (ii)将数列 {an } 和 {bn } 的相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列 {cn } , 设其前 n 项和为 Sn,求 S2n ?n?1 ? 22n?1 ? 3? 2n?1 (n ? 2, n ? N * ) 的值; (II)若存在 m>k, m ? N 使得 a1 , a3 , ak , am 成等比数列,求证 k 为奇数.
*
2

解:(Ⅰ) 因为 k ? 7 ,所以 a1 , a3 , a7 成等比数列,又 ?an ? 是公差 d ? 0 的等差数列, 所以 ? a1 ? 2d ? ? a1 ? a1 ? 6d ? ,整理得 a1 ? 2d ,又 a1 ? 2 ,所以 d ? 1 , a b a ? 2d ? 2 ,所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? 1, bn ? b1 ? qn?1 ? 2n , 3 分 b1 ? a1 ? 2 , q ? 2 ? 3 ? 1 b1 a1 a1 ①用错位相减法或其它方法可求得 ?anbn ? 的前 n 项和为 Tn ? n ? 2n ?1 ; …………6 分 ② 因为新的数列 {cn } 的前 2n ? n ? 1 项和为数列 ?an ? 的前 2 n ? 1 项的和减去数列 ?bn ? 前 n 项 的和,所以 S 2n ? n ?1 ?

(2n ? 1)(2 ? 2n ) 2(2n ? 1) ? ? (2n ? 1)(2n ?1 ? 1) . 2 2 ?1 2n?1 n?1 所以 S2n ?n?1 ? 2 ? 3? 2 (n ? 2, n ? N* ) =1. …………11 分

(Ⅱ) 由 (a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? (k ? 1))d ,整理得 4d 2 ? a1d (k ? 5) , 因为 d ? 0 ,所以 d ?
*

a1 (k ? 5) a a ? 2d k ? 3 ? ,所以 q ? 3 ? 1 . a1 a1 2 4

? k ? 3? 因为存在 m>k,m∈N 使得 a1 , a3 , ak , am 成等比数列,所以 am ?a1 q ? a1 ? ? , ? 2 ? a (m ? 1)( k ? 5) 又在正项等差数列{an}中, am ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ? 1 , 4
3 3

a (m ? 1)(k ? 5) ? k ? 3? 所以 a1 ? 1 ? a1 ? ? ,又因为 a1 ? 0 , 4 ? 2 ?
3

所以有 2? 4 ? (m ? 1)(k ? 5)? ? (k ? 3)3 , 因为 2 ?4 ? ( m ? 1)( k ? 5) ? 是偶数,所以 (k ? 3)3 也是偶数, 即 k ? 3 为偶数,所以 k 为奇数. …………16 分

-6-



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