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3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示



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3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

数学

自主预习 课堂探究

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自主预习
课标要求
1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题. 2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐

标系中写出向量的坐标.

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知识梳理
1.空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组 {x,y,z},使得p= xa+yb+zc . 其中{a,b,c}叫做空间的一个 基底 ,a,b,c都叫做 基向量 .

2.空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底 有公共起点的三个 两两垂直 的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底.

(2)空间直角坐标系
以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴,y轴,z轴的正 方向建立空间直角坐标系Oxyz.

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(3)空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量 p,一定可以把它平移,使它的起点与原点 O 重合,得 ??? ? 到向量 OP =p.由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z}使得 p=xe1+ye2+ze3.把 x,y,z 称作向量 p 在单位正交基底 e1,e2,e3 下的坐标,记作 p= (x,y,z) .

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自我检测
1.(空间向量的坐标表示)已知e1,e2,e3是空间直角坐标系中分别与x轴、

y轴、z轴同向的单位向量,且p=e1+2e2-3e3,则p的坐标是(
(A)(1,2,3) (C)(1,2,-3) (B)(-1,-2,3) (D)(1,-2,-3)

C )

2.(空间向量的坐标表示)(2015白鹭洲中学高二月考)若点A(x2+4,4-y,
1+2z)关于y轴的对称点是B(-4x,9,7-z),则x,y,z的值依次为( (A)1,-4,9 (B)2,-5,-8 B )

(C)2,5,8

(D)-2,-5,8

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??? ? ??? ? ???? 3.(空间向量基本定理的理解)O,A,B,C 为空间四点,且向量 OA , OB , OC 不

能构成空间的一个基底,则( ??? ? ??? ? ???? (A) OA , OB , OC 共线 ??? ? ???? (C) OB , OC 共线

) ??? ? ??? ? (B) OA , OB 共线 (D)O,A,B,C 四点共面
.

D

4.(坐标表示)设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,且m=2i+3j4k,n=-i+2j-5k,则m,n的坐标分别为 答案: (2,3,-4),(-1,2,-5)

5.(空间向量基本定理的应用)从空间一点 P 引出三条射线 PA,PB,PC,在 PA, ??? ? ???? ??? ? PB,PC 上分别取 PQ =a, PR =b, PS =c,点 G 在 PQ 上,且 PG=2GQ,H 为 RS 的中 ???? ? 点,则 GH = .(用 a,b,c 表示)
1 1 2 答案: b+ c- a 2 2 3

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课堂探究
题型一 空间向量基本定理的理解
【教师备用】

(1)空间中怎样的向量能构成基底?
(2)基底与基向量的概念有什么不同? 提示: (1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底.

(2)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是
相关联的不同概念.

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??? ? ??? ? 【例 1】 已知{e1,e2,e3}为空间一基底,且 OA =e1+2e2-e3, OB =-3e1+e2+2e3, ???? ??? ? ??? ? ???? OC =e1+e2-e3,能否以 OA , OB , OC 构成空间的一个基底?

??? ? ??? ? ???? 解:能.假设 OA , OB , OC 共面, ??? ? ??? ? ???? 根据向量共面的充要条件有: OA =x OB +y OC ,

即 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.
??3x ? y ? 1, ? 所以 ? x ? y ? 2, 此方程组无解. ?2 x ? y ? ?1. ? ??? ? ??? ? ???? 所以 OA , OB , OC 不共面. ??? ? ??? ? ???? 所以 OA , OB , OC 可构成空间的一个基底.

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题后反思

判断某一向量组能否作为基底,关键是判断它们是否共面.如

果从正面难以入手,可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.

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即时训练 1 1:已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量 p=a+b,q=a-b 构 成基底的向量是( (A)2a (C)2a+3b ) (B)2b (D)2a+5c

解析:由于{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b,c不共面,在四个选

项中,只有选项D与p,q不共面,因此,2a+5c与p,q能构成基底,故选D.

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题型二

空间向量基本定理的应用

【例 2】 如图,四棱锥 P OABC 的底面为一矩形,PO⊥平面 OABC,设 ??? ? ???? ??? ? OA =a, OC =b, OP =c,E,F 分别是 PC 和 PB 的中点,试用 a,b,c 表
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 示: BF , BE , AE , EF .

解:连接 BO,
??? ? 1 ??? ? 1 ???? ??? ? 1 1 1 1 则 BF = BP = ( BO + OP )= (c-b-a)=- a- b+ c. 2 2 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ? ? 1 ??? 1 ???? ??? 1 1 BE = BC + CE =-a+ CP =-a+ ( CO + OP )=-a- b+ c. 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 1 ???? ???? 1 1 1 AE = AP + PE = AO + OP + ( PO + OC )=-a+c+ (-c+b)=-a+ b+ c. 2 2 2 2 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 EF = CB = OA = a. 2 2 2

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题后反思

(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则

和平行四边形法则,以及数乘向量的运算进行.
(2)若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方 便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.

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即时训练 2 1:(2015 北京大兴高二期中)如图,在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中,
??? ? ???? ???? ???? ? 已知 AB =a, AD =b, AA1 =c,则用向量 a,b,c 可表示向量 BD1 等于(

)

(A)a+b+c (B)a-b+c (C)a+b-c (D)-a+b+c

? ???? ???? ??? ? ???? ? ???? ? ??? 解析: BD1 = AD1 - AB = AA1 + AD - AB =c+b-a.故选 D.

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【备用例题】 如图,已知正方体 ABCD A′B′C′D′,点 E 是上底面 A′B′C′D′的
??? ? ???? ???? 中心,分别取向量 AB , AD , AA? 为基底,若

???? ? ???? ??? ? ???? (1) BD ? =x AD +y AB +z AA? ; ??? ? ???? ??? ? ???? (2) AE =x AD +y AB +z AA? .

试分别确定 x,y,z 的值.

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???? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ???? ? 解:(1)因为 BD ? = BD + DD ? = BA + AD + DD ? ??? ? ???? ???? =- AB + AD + AA? , ???? ? ???? ??? ? ???? 又 BD ? =x AD +y AB +z AA? ,
??? ? ???? ???? ? ???? 1 ????? ???? 1 ????? ????? (2)因为 AE = AA? + A?E = AA? + A?C ? = AA? + ( A?B ? + A?D? ) 2 2 ???? 1 ????? 1 ???? 1 ???? 1 ??? ? ???? = AA? + A?B ? + AD = AD + AB + AA? , 2 2 2 2 ??? ? ???? ??? ? ???? 又 AE =x AD +y AB +z AA? ,

所以 x=1,y=-1,z=1.

所以 x=

1 1 ,y= ,z=1. 2 2

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题型三 空间向量的坐标表示
【例 3】 在直三棱柱 ABO A1B1O1 中,∠AOB=
π ,AO=4,BO=2,AA1=4,D 为 A1B1 的中点, 2

???? ???? 在如图所示的空间直角坐标系中,求 DO , A1B 的坐标.

???? ? ???? ? ???? ???? 解:因为 DO =- OD =-( OO1 + O1 D )

???? ? 1 ??? ? ??? ? =-[ OO1 + ( OA + OB )] 2 ???? ? 1 ??? ? 1 ??? ? =- OO1 - OA - OB . 2 2

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???? ? ???? ??? ? ??? ? 又| OO1 |=| AA1 |=4,| OA |=4,| OB |=2,
???? 所以 DO =(-2,-1,-4);

???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? 因为 A1B = OB - OA1 = OB -( OA + AA1 )
??? ? ??? ? ???? = OB - OA - AA1 .

???? ??? ? ??? ? 又| OB |=2,| OA |=4,| AA1 |=4, ???? 所以 A1B =(-4,2,-4).

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题后反思

用坐标形式表示向量需解决两个问题:一是恰当建立空间直

角坐标系,通常选取互相垂直的直线为坐标轴,顶点或中点为原点;二是正 确求出向量的坐标.确定向量的坐标一般有两种方法,①运用基底法,即把 空间向量正交分解,用相互垂直的三向量为一组基底表达某一向量,进而 得坐标;②运用投影法,求出起点和终点坐标.

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即时训练 3 1:如图所示,PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC
???? ? 的中点,并且 PA=AB=1.试建立适当的空间直角坐标系,求向量 MN 的坐标.

解:因为 PA=AB=AD=1, PA⊥平面 ABCD,AB⊥AD,
??? ? ???? ??? ? 所以 AB , AD , AP 是两两垂直的单位向量. ??? ? ???? ??? ? 设 AB =e1, AD =e2, AP =e3,

以{e1,e2,e3}为基底建立空间直角坐标系 Axyz.

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法一

? ???? ???? ? ???? ??? 因为 MN = MA + AP + PN

? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? =- AB + AP + PC 2 2 ? ??? ? 1 ??? ? ???? 1 ??? =- AB + AP + ( PA + AC ) 2 2 ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ???? 1 ??? =- AB + AP + ( PA + AB + AD ) 2 2 ? 1 1 ???? 1 ??? 1 AD AP = + = e2 + e 3 , 2 2 2 2

???? ? 1 1 MN 所以 =(0, , ). 2 2

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法二

如图所示,连接 AC,BD 交于点 O.

则 O 为 AC,BD 的中点,连接 MO,ON,
???? ? 1 ??? ? 1 ???? 所以 MO = BC = AD , 2 2
? ???? 1 ??? ON = AP , 2 ? 1 ???? ? ???? ? ???? 1 ???? 1 ??? 1 AD AP 所以 MN = MO + ON = + = e2+ e3. 2 2 2 2

???? ? 1 1 所以 MN =(0, , ) 2 2

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