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四川省大竹县文星中学2015年春高一下期6月月考数学 Word版含解析



四川省大竹县文星中学 2015 年春高一下期 6 月月考 数学试卷
考试时间:120 分钟;满分:150 分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 一、选择题:共 12 题 每题 5 分 共 60 分
1.下列叙述中正确的是

A.若 B.命题“

>为假,则一定是 p 假 q 真 ”的否定是“ ”

C.若 a,b,c∈R,则“

”的充分不必要条件是“a>c” ,则 a//b

D.设 是一平面 a,b 是两条不同的直线,若 【答案】D

【解析】本题主要考常用逻辑用语、充要条件的判断及两条直线的位置的关系.A 选项, 若 “ 为假,可能是 p 假 q 假;B 选项命题“ ”;C 选项:“a>c”不一定推断“ ,则 a//b 是正确的. ”的否定是 ”; D 选项,设 是一平面,a,b 是

两条不同的直线,若

2.若直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△OAB 的面积

2

2

为”的. A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系及充要条件的判断.当 圆 O:x2+y2=1,交于 A,B 两点,可知 时, 与 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

,当“△OAB 的面积为”

时,根据图象可知

,不一定推断“k=1”,故选 A.

y y=-x+1 y=x+1

O

x

3.若

,

, 则 ? 所在的象限是 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 【答案】B

【解析】本题主要考查角的终边所处的象限,解答本题时要注意利用三角函数值的正负 进行判断.由 与 可知,该角 ? 所在象限为第二象限,故选 B.

4.函数 f(x)=sin xcos x+ cos 2x 的最小正周期和振幅分别是

A.π,1 【答案】A

B.π,2

C.2π,1

D.2π,2

【解析】本题主要考查三角函数的性质.解答本题时要注意利用倍角公式以及辅助角公 式,转化为 的形式,然后求解.由题, ,所以最小正周期为 ? ,振幅为.故选 A.

5.已知全集为 R,集合 A=

,B= B.{x|2≤x≤4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4}

,则 A∩(?RB)等于

A.{x|x≤0} C.{x|0≤x<2 或 x>4} 【答案】C

试卷第 2 页,总 13 页

【解析】 本试题主要考查集合的基本运算。 由题意, 集合 A=



B= 或 x>4},选 C

,故?RB ={x|x<2 或 x>4},则 A∩(?RB)= {x|0≤x<2

6.给定函数

,则

A. 【答案】D

B.

C.

D.

【解析】本试题主要考查函数解析式的运用.由题意,函数

∵ ∴ = =

7.如图,圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 外一个定点,P 是圆上任意一点,线段 AP 的

垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是

A.圆 【答案】C

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

【解析】本题主要考查利用圆锥曲线的定义求轨迹方程的方法,根据函数的图象连接 AQ,可知 为焦点的双曲线方程 ,即 ,所以点 Q 为以 A,O

8.已知函数

的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线

是其图象的一条对称轴,则下列各式中符合条件的解析式是

A.

B.

C. 【答案】D

D.

【解析】本题主要考查三角函数的解析式问题.解答本题时要注意题中所给的条件,对 函数中的参数的值进行逐一确定,从而得到最终的解析式.由最大值为 4,最小值为 0 故 可知 A=2,m=2, 由最小正周期为 知 , 故此时 , 由直线 是

对称轴可知,

,解得: 的一个解为 ,故函数解析式为

.故选 D.

9.如图,正方体 ABCD-

中,E,F 分别为棱 AB,

的中点,在平面

内且与平面

平行的直线

试卷第 4 页,总 13 页

A.不存在 【答案】D

B.有 1 条

C.有 2 条

D.有无数条

【解析】本题主要考查了线面平行的性质.由题设知平面 ADD1A1 与平面 D1EF 有公共点 D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线 m,在平面 ADD1A1 内与 m 平行的线有无数条,且它们都不在平面 D1EF 内,由线面平行的判定定理知它们都与面 D1EF 平行,故选 D.

10.若正实数

满足

,则

A.

有最大值 4

B.

有最小值

C. 【答案】C

有最大值

D.

有最小值

【解析】 本题主要考查基本不等式的应用.解答本题时要注意根据各选项进行判断.由题, 因为 , 所以 , 故有最小值 4,

所以 A 错误;

,即有

,故

有最大值,故 B 错误;

,所以

,故 C 正确.故选 C.

11.在 x 轴、y 轴上截距相等且与圆

相切的直线 L 共有( )

条 A.2 【答案】B 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.解答本题时要注意利用直线与圆相切的关 系,利用圆心到直线的距离等于半径建立方程来解题.由题,若直线的截距不为 0,则设 所求直线方程为 ,因为直线与圆相切,故有 ,解得 (舍去) B.3 C.4 D.6



.若直线的截距为 0,则设所求直线方程为

,则

,解





,故这样的直线有 3 条.故选 B.

12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为

, 若直线



至少存在一点, 使得以该点为圆心, 半径为 1 的圆与圆 C 有公共点, 则 k 的最小值是 A. 【答案】A 【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,解答本题时要注意利用两圆的位置关系, 结合圆心到直线的距离与半径的关系建立不等式,通过解不等式获取结论.由题,将圆 方程转化为标准方程为: ,故该圆是以 为圆心,半径为 1 的圆. B. C. D.

由条件可知,只要圆心到直线的距离不大于 2,即

.解得

.故的

最小值为

.故选 A.

第 II 卷(非选择题) 二、填空题:共 4 题 每题 5 分 共 20 分
13.已知幂函数

的图像不过坐标原点,则 的值是_______.

【答案】1 或 2 【解析】本试题主要考查幂函数的定义以及性质。由题意,幂函数 的图像不过坐标原点,则说明

14.已知向量

设与的夹角为 ,则 =



【答案】

试卷第 6 页,总 13 页

【解析】本题主要考查向量的夹角.解答本题时要注意利用向量的坐标形式,结合数量 积进行求解.由题, ,所以 ,所以该向量的夹角满



,解得

.

15. 已知数列

为等差数列, 若



, 则

的前项和

_____.

【答案】 【解析】本题主要考查等差数列的前 n 项和.解答本题时要注意利用条件求得数列的首 项与公差,然后利用前 n 项和公式进行表示.因为 所以两式相

减可得:

,所以

,所以前 n 项和为

.

16.判断下列说法:

①已知用二分法求方程



内的近似解过程中得:

则方程的根落在区间(1.25,1.5); ② 在它的定义域内是增函数;

③函数 y=

的最小正周期为 π

④函数 f(x)=

是奇函数;

⑤已知 其中说法正确的是____________ 【答案】①③

,若∠BAC 是钝角, 则的取值范围是



【解析】本试题主要考查命题的真值判定.由题意,对于①已知用二分法求方程 在 内的近似解过程中得: 则方程的根落在区间(1.25,1.5),正确;对于②

在它的定义域内是增函数,错误,因为不是连续函数;对于③函数 y=

=

的最小正周期为 π,正确.利用分子和分母的周期都是 π,取最小公倍数可得.对于④函数 f(x)= , f(-x)= , 则不符合奇函数与偶函数定义, 故是非奇非偶函数;

对于⑤已知

,若∠BAC 是钝角,则的取值范

围是

,且排除当

,故错误

三、解答题:共 6 题 每题 12 分 共 72 分
17.设两个非零向量、不共线

(1)若 (2)试确定实数 k 的值,使 【答案】(1)因为, 所以, 和 共线.

,求证:A、B、D 三点共线;

, ,即

??? ? ???? AB, AD 共线,又它们有公共点,所以,A、B、D 三点共线。
(2)因为, 即? 和 共线.所以,存在唯一实数 ? ,使 k a ? b = ? ( a ? k b ),

?k ?? 1。 ,解得,k=± ?? k ? 1

【解析】本题主要考察平面向量的线性表示.解答本题时要注意利用向量的线性关系表 示向量共线.高考中对于此类问题的高考主要是表示向量的共线、垂直问题;平面向量 的基本定理等.解答时要注意利用向量共线的表示来解答.

18.已知函数

(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间;

试卷第 8 页,总 13 页

(2)在 值.

中,A、B、C 分别为三边

所对的角,若 a=

f(a)=1,求

的最大

【答案】(1)



所以函数的最小正周期为

.





所以函数的单调递增区间为

.

(2)由

可得

,又

,所以



由余弦定理可得

,即



,所以

,故

,当且仅当

,即

时等号成立.因此

的最大值为



【解析】本题主要考查三角函数的恒等变形,辅助角的公式及三角函数的性质,考查三 角形的边角的关系及利用重要不等式求最值的方法.

19.设向量 a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ),

(1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值. 【答案】(1)b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ), 又 a 与 b-2c 垂直, ∴4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0, 即 4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=0, ∴4sin(α+β)-8cos(α+β)=0, 得 tan(α+β)=2. (2)由 b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),

∴|b+c|= = 当 sin2β=-1 时,|b+c|max= =4 .

【解析】本题主要考查向量数量积的坐标运算.解答本题时要注意利用向量数量积的坐 标表示,结合三角函数的恒等变换,进行计算求值,同时利用三角函数的有界性确定向 量模的最大值.高考对于此类问题的考查主要有:利用数量积判断垂直;利用数量积求 向量的模,利用数量积求解不等式等.

20.2009 年推出一款新型家用轿车,购买时费用为 14.4 万元,每年应交付保险费、 养

路费及汽油费共 0.7 万元,汽车的维修费为:第一年无维修费用, 第二年为 0.2 万元, 从第三年起,每年的维修费均比上一年增加 0.2 万元. (1)设该辆轿车使用 n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为 f(n),求 f(n)的表达式; (2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年,年平均费用最少)? 【答案】(1)由题意得:每年的维修费构成一等差数列,n 年的维修总费用为 (万元)

所以 (2)该辆轿车使用 n 年的年平均费用为

(万元)

(万元).

当且仅当 0.1n=

时取等号,此时 n=12.

答:这种汽车使用 12 年报废最合算. 【解析】 本题主要考查数列的实际应用.解答本题时要注意根据条件建立关于使用年数 n 的函数,然后构造基本不等式,应用基本不等式求解最值.高考对于数列的主要考查方 式有:等差、等比数列的定义及通项公式;等差、等比数列的前 n 项和;一般数列的求 和,数列与不等式等.

试卷第 10 页,总 13 页

21.已知数列

满足:



.数列

的前 n 项和为 ,

.

(1)求数列 (2)设

, ,

的通项公式; .求数列 的前项和 .

【答案】(1)由







,所以数列

是以 1 为首项,为公差的等差数列,于





.



时,



时,









,所以



.

(2)由(Ⅰ)知







所以

.

所以 等式两边同乘以得

………(1)

………(2) (1)-(2)得

所以

.

【解析】本题主要考查求数列的通项及求和问题.解答本题时要注意利用题中所给的递 推关系,找到从中隐含的等差、等比情况,然后利用该数列的特征,表示通项.同时掌 握错位相减法求和的步骤,并会应用.数列有关高考的主要考查方式有:等差、等比数 列的定义及通项公式;等差、等比数列的前 n 项和;一般数列的求和,数列与不等式等

22.已知函数

.

(Ⅰ)求

的值;

(Ⅱ)若数列{ 项公式; (Ⅲ)若数列{ 不等式 请说明理由. 【答案】



,求数列{

的通

满足 对于一切的

是数列{

的前 n 项和,是否存在正实数 k,使

恒成立?若存在, 请求出 k 的取值范围; 若不存在,

.

(Ⅱ)





.

上两式相加得:

;

(Ⅲ) .
试卷第 12 页,总 13 页

.

. 要使不等式 对于一切的 恒成立,即 恒

成立,即

.



.



是单调递增的.

的最小值为

.

.

【解析】本题主要考查了函数,数列与不等式的综合应用. (Ⅱ)利用 结论

直接代入化简得到. . (Ⅲ)首先利用

,再用倒序相加法求出

错位相减法求出 ,再代入

,化简孤立 k 转化为恒成立问题.



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