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广东地区期末四校联考(华附、省实、广雅、深中)高三数学试题及解答(三份试题)



数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 f : x ? x 2 是集合 A 到 B 的映射,如果 B={1,2},则 A∩B 只可能是( A.φ 或{1} B.{1} C.φ 或{2} D.φ 或{1}或{2} ) )

2.要得到函数 y ? si

n(2 x ? A.向左平移

?
4

) 的图象,可以把函数 y ? sin 2 x 的图象(
? 个单位 8 ? D.向右平移 个单位 4

? 个单位 8 ? C.向左平移 个单位 4

B.向右平移

3.与直线 l1: mx ? m 2 y ? 1 ? 0 垂直于点 P(2,1)的直线 l2 的方程为( A. x ? y ? 1 ? 0 4.函数 y ? y 1 O -1 (A) x B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 ) y 1 x -1 (B) ) B.若? ⊥β ,则 a⊥b O -1 (C) x

)

D. x ? y ? 3 ? 0

xa x (0 ? a ? 1) 的图象的大致形状是( x
y 1 O

y 1 O -1 (D) x

5. 已知 a、b 为两条不同的直线, ? 、β 为两个不同的平面,且 a⊥? , b⊥β ,则下列命题中的假命题是( ... A.若 a∥b,则? ∥β C.若 a、b 相交,则? 、β 相交

D.若? 、β 相交,则 a、b 相交 )

? x ? cos2 ? ? 6. ? ? R, 那么曲线 ? 与 x 2 ? y 2 ? 4 一定( 2 ? y ? ? sin ? ? 2 ?
A.无公共点 C.有且仅有两个公共点 B.有且仅有一个公共点 C.有三个以上公共点

?n 2,当n为奇数时 ) ? ( 7.已知函数 f (n) ? ? 2 且 an ? f (n) ? f (n ? 1) , a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 则 0 ?? n ,当n为偶数时 ) ( ?
等于( A.0 ) B.100 C.-100 D.10200

8. 已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足下列三个条件: ①对任意的 x∈R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x); ②对于任意的 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ), ③ y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对 称,则下列结论中,正确的是( )
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A. f (4.5) ? f (6.5) ? f (7) C. f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) 9.计算: (1 ? i)(2 ? i) ? 10.若 x ? y ? 5, 则 xy 的最大值是 11.

B. f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) D. f (7) ? f (6.5) ? f (4.5)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. . . .

? (4 ? 2 x ? x
0

2

2

)dx =

12.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界) 内,目标函数 z ? 2 x ? ay 取得最大值的最优解有无数个, 则 a 为_______________. 13.若平面上三点 A、 C 满足 AB ? 3 ,BC ? 4 ,CA ? 5 ,则 AB? BC ? BC ? CA ? CA ? AB B、 的值等于 。

14.在 R 上定义运算 ? : x ? y = x ( 1-y ) , 若不等式 (x-a ) ? (x + a ) < 1 对一切实数 x 都成 立, 则实数 a 的取值范围是__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)如图. 在 ?ABC 中, B ? (1)求 sin A ; (2) 记 BC 的中点为 D , 求中线 AD 的长.

?
4

, AC ? 2 5, cos C ?
A

2 5 . 5

16. (本小题满分 13 分)如图所示,在矩形 ABCD 中, B
AD=2AB=2,点 E 是 AD 的中点,将△DEC 沿 CE 折起 EC 的位置,使二面角 D′—EC—B 是直二面角. (1)证明:BE⊥C D′; (2)求二面角 D′—BC—E 的正切值.

D

C

到△D′

D' A E

D C

B

17. (本小题满分 13 分)某投资公司计划投资 A 、 B 两种金融产品,根据市场调查与预测,

A 产品的利润与投资金额成正比例, 其关系如图 1,B 产品的利润与投资金额的算术平
方根成正比例,其关系如图 2, (注:利润与投资金额单位:万元) (1)分别将 A 、 B 两产品的利润表示为投资金额的函数关系式; (2)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A 、 B 两种产品中,问:怎样分配这 10 万 元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

y

y
2 .4 1 .6 第 2 页 共 15 页 o 4

0 .3 0 .2

o
图1

1

1 .5

x

9

x

图2

18. ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 A ( - 2 , 0 ) B ( 2 , 0 ) 点 C 、 点 D 依 次 满 足 、 ,

| AC |? 2, AD ?

1 ( AB ? AC ). 2

(1)求点 D 的轨迹方程; (2)过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的 距离为

4 ,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程. 5

19. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

an?1 1 , an ? (n ? 2, n ? N ) . n 4 ?? 1? an?1 ? 2

(1)试判断数列 ? (2)设 bn ?

?1 n? ? ?? 1? ? 是否为等比数列,并说明理由; ? an ?
,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ;

1 an
2

(3)设 c n ? a n sin

(2n ? 1)? ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .求证:对任意的 n ? N , 2

Tn ?

2 . 3

20. (本小题满分 14 分)已知 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 是定义在 R 上的函数, 其图象交 x 轴 于 A, B, C 三点, 若点 B 的坐标为(2, 0 ), 且 f (x) 在[-1, 0 ]和[4, 5]上有相同的单调性, 在[0, 2]和[4, 5]上有相反的单调性. (1)求 b 的取值范围; a

(2)在函数 f (x) 的图象上是否存在一点 M ( x0 , y0 ), 使得 f (x) 在点 M 的切线斜率为 3b ? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由; (3)求| AC |的取值范围.

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数学(理科)参考答案
一.ABDD 二. 9. 3-i DBBB 25 10. 4
11. 4 3 12. -2, 或 6 13. -25 1 14. (- 2 , 3 2 )

15. 解: (1)由 cos C ?

2 5 , C 是三角形内角, 5
2 2

?2 5? 5 ? 得 sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? ? ? 5 ? ? 5 ? ? ? ? sin A ? sin[? ? ( B ? C )] ? sin( B ? C ) ? sin cos C ? cos sin C 4 4
? 2 2 2 5 3 10 ? 5? ? ? 2 5 2 5 10
BC AC AC 2 5 3 10 ?6 ? , BC ? sin A ? ? sin A sin B sin B 2 10 2
,

(2) 在△ABC 中,由正弦定理,

? CD =

1 2 5 BC = 3 , 又在△ADC 中, AC=2 5 , cosC = 2 5

由余弦定理得, AD ?

AC2 ? CD2 ? 2 AC ? CD ? cos C
2 5 ? 5 5

= 20 ? 9 ? 2 ? 2 5 ? 3 ?

16. 解: (1)∵AD=2AB=2,E 是 AD 的中点, ∴△BAE,△CDE 是等腰直角三角形, 易知, ∠BEC=90°,即 BE⊥EC. 又∵平面 D′EC⊥平面 BEC,面 D′EC∩面 BEC=EC, ∴BE⊥面 D′EC,又 C D′? 面 D′EC , ∴BE⊥CD′; (2)法一:设 M 是线段 EC 的中点,过 M 作 MF⊥BC 垂足为 F,连接 D′M,D′F,则 D′M⊥EC. ∵平面 D′EC⊥平面 BEC, ∴D′M⊥平面 EBC, A ∴MF 是 D′F 在平面 BEC 上的射影,由三垂线定理得: D′F⊥BC B ∴∠D′FM 是二面 D′—BC—E 的平面角. 在 Rt△D′MF 中,D′M= ∴ tan ?D ?FM ?

D' E M F C

D

1 1 1 2 EC= ,MF= AB= 2 2 2 2

D ?M ? 2, MF
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即二面角 D′—BC—E 的正切值为 2 . 法二:如图,以 EB,EC 为 x 轴、y 轴,过 E 垂直于平面 BEC 的射线为 z 轴,建立空间 直角坐标系. 则 B( 2 ,0,0) ,C(0, 2 ,0) ,D′(0,

2 2 , ) 2 2

设平面 BEC 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ;平面 D′BC 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 )

BC ? (? 2 , 2 ,0), D ?C ? (0, ?n2 ? BC ? 0 ? 由? ? ?n2 ? D ?C ? 0 ?

2 2 ,? ), 2 2
A

z D' E

?? 2 x 2 ? 2 y 2 ? 0 ? ? 2 2 y2 ? z2 ? 0 ? 2 ? 2 n1 ? n2

D C y

B x

取x 2 ? 1, 得n2 ? (1,1,1), ? cos ? n1 , n2 ??
? tan ? n1 , n2 ? =
? ?

| n1 | ? | n2 |
2

?

3 3

∴二面角 D′—BC—E 的正切值为 2 . 17. 解: (1)设投资为 x 万元, A 产品的利润为 f (x) 万元, B 产品的利润为 g (x) 万元. 由题意设 f ( x) ? k1 x , g ( x) ? k 2 x .由图知 f (1) ? 又 g (4) ? 1.6 ,? k 2 ? 从而 f ( x ) ?

1 1 ,? k1 ? . 5 5

4 . 5

1 4 x ( x ? 0) , g ( x ) ? x ( x ? 0) . 5 5

(2)设 B 产品投入 x 万元,则 A 产品投入( 10 ? x )万元,设企业利润为 y 万元.

y ? f (10 ? x) ? g ( x) ?


10 ? x 4 ? x (0 ? x ? 10) , 5 5

x ? t ,则 y ?

1 14 10 ? t 2 4 ? t ? ? (t ? 2) 2 ? (0 ? t ? 10) . 5 5 5 5

14 ? 2.8 ,此时 x ? 4 . 5 答:当 A 产品投入 6 万元,则 B 产品投入 4 万元时,该企业获得最大利润,利润为 2.8 万
当 t ? 2 时, y max ? 元. 18. 解: (1)设 C、D 点的坐标分别为 C( x0 , y 0 ) ,D ( x, y ) ,则 AC ? ( x0 ? 2, y0 ) ,

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AB ? (4,0) , 则 AB ? AC ? ( x0 ? 6, y0 ) ,故 AD ?

x y 1 ( AB ? AC) ? ( 0 ? 3, 0 ) 2 2 2

? x0 ? 3 ? x ? 2, ? ? x 0 ? 2 x ? 2, ? 又 AD ? ( x ? 2, y ), 故? 2 解得 ? ? y 0 ? 2 y. ? y 0 ? y. ? 2 ?
2 代入 | AC |? ( x0 ? 2) 2 ? y 0 ? 2 中, 整理得 x 2 ? y 2 ? 1 ,即为所求点 D 的轨迹方程.

(2)易知直线 l 与 x 轴不垂直,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2)

①.

又设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1(a 2 ? 4) 2 a a ?4

②.

因为直线 l :kx-y+2k=0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切.故

| 2k |

1 2 ? 1 ,解得 k ? . 3 k 2 ?1


将①代入②整理得, (a 2 k 2 ? a 2 ? 4) x 2 ? 4a 2 k 2 x ? 4a 2 k 2 ? a 4 ? 4a 2 ? 0 将k ?
2

1 3 代入上式,整理得 (a 2 ? 3) x 2 ? a 2 x ? a 4 ? 4a 2 ? 0 , 3 4
a2 , a2 ? 3

设 M( x1 , y1 ) ,N( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 由题意有

a2 4 2 ? 2 ? (a 2 ? 3) ,求得 a ? 8 .经检验,此时③的判别式 ? ? 0. 2 5 a ?3

故所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 4

19. 解: (1)?

1 2 1 1 ,? ? (?1) n ? ? (?1) n ? (?2)[ ? (?1) n?1 ] , an an?1 an a n?1

又?

?1 1 n? ? (?1) ? 3 ,∴数列 ? ? ?? 1? ? 是首项为 3 ,公比为 ? 2 的等比数列. a1 ? an ?

(2)依(Ⅰ)的结论有

1 1 ? (?1) n ? 3(?2) n?1 ,即 ? 3(?2) n ?1 ? (?1) n ?1 . an an

bn ? (3 ? 2n?1 ? 1) 2 ? 9 ? 4n?1 ? 6 ? 2 n?1 ? 1.
Sn ? 9 ? 1 ? (1 ? 4 n ) 1 ? (1 ? 2 n ) ? 6? ? n ? 3 ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? 9 . 1? 4 1? 2

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共 15 页

(3)? sin

(2n ? 1)? (?1) n ?1 ? (?1) n ?1 ,又由(Ⅱ)有 a n ? 2 3 ? 2 n ?1 ? 1

3? 2 ?1 1 1 1 1 ? ? ??? 则 Tn ? 2 n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 1 1? n 1 1 1 1 1 2 ? 3 ( 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) = 3 1 2 2 2 1? 2 1 2 2 = ( 1- n )< 3 3 2 2 ? ∴ 对任意的 n ? N , Tn ? . 3
20. 解: ( 1 )因为 f (x) 在[-1, 0 ]和[0, 2]上有相反的单调性.所以 x = 0 是 f (x) 的一个极值 点, 故 f /( 0 ) = 0, 即 3ax2 + 2bx + c = 0 有一个解为 x = 0, 则 c = 0. 此时, 易得 3ax2 + 2bx = 0 的另一解 x = - 反的单调性, 所以, - 2b 3a ≥2 且- 2b 3a 2b 3a , 因为 f (x) 在[0, 2]和[4, 5]上有相 b ≤-3. a b + 9 ), a

? cn ?

1
n ?1



≤4 ?-6 ≤

( 2 )假设存在点 M ( x0 , y0 ), 使得 f (x) 在点 M 的切线斜率为 3b, 即 f /( x0 ) = 3b, 即 3ax02 + 2bx0 -3b = 0 , ∵ △ = ( 2b )2 - 4×3a×(-3b) = 4b2 +36 ab = 4 ab ( 而-6 ≤

b ≤-3, ∴△< 0. 故不存在一点 M ( x0 , y0 ), 使得 f (x) 在点 M 的切线斜 a

率为 3b. (3 ) 依题意可令 f (x) = a (x―2) (x―? ) ( x―? ) = a [ x3 ― (2+? +? )x2 + ( 2? + 2? +? ? )x ―2? ? ]
? b=-a (2 + ? ? ? d=-2a? ?



+?)

? ? +? = ―a ―2 ? ? d ?? ? =―2a
b d b = -4 ( + 2), a a b b + 2 )2-8 ( +2) = a a b ―2)2―16 , a

因为 f (x) 交 x 轴于点 B ( 2, 0 ), 所以 8a + 4b + d = 0 , 即 d = -4 ( b + 2a ) , 于是, ∴ | AC |=| ? ―? | = =

(? +? )2 -4? ? ( (

b 2d (― ―2 )2 + = a a

b b b 因为-6 ≤ ≤-3, 所以, 当 =―6 时, | AC |max = 4 3 , 当 =―3 时, | AC |min = 3 a a a 故 3≤| AC |≤4 3 .

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2011 届高三上学期期末四校联考 高三数学(文科)
命题学校:广东广雅中学 命题人:何其峰 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

1 参考公式:1、锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 n 1 2、方差公式 s 2 ? ? ( xi ? x ) 2 ,其中 x 是平均数. n i ?1
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? {1,3,5,7,9} ,集合 A ? {1,| a ? 5 |,9} , ? A ? {5,7} ,则实数 a 的值是 U A、2 B、8 C、 ?2 或 8 D、2 或 8 1? i 2.在复平面内,复数 z ? ( i 是虚数单位)的共轭复数 z 对应的点位于 i A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3.某简单几何体的三视图如图所示,其正视图、侧视图、俯视图 均为直角三角形,面积分别是 1,2,4,则这个几何体的体积为 4 8 A、 B、 C、4 D、8 3 3 正视图 俯 视 图 侧视图

4.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? A、3
2 2

B、4

C、5

D、6

5.过圆 x ? y ? 4 外一点 P(4, 2) 作圆的两条切线,切点分别为 A, B ,则 ?ABP 的外接圆方 程是 A、 ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 B、 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 C、 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 D、 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5

6.下图是把二进制数 11111(2) 化成十进制数的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是 是 S=1+2× S 否 输出 S 结束

开始

i=1, S=1

i=i+1

A、 i ? 4 B、 i ? 5 C、 i ? 4 D、 i ? 5 7.已知凸函数的性质定理:“若函数 f ( x) 在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意 x ? x2 ? ? xn 1 x1 , x2 ,?, xn ,有: [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn )] ? f ( 1 ) ”.若函数 y ? sin x 在区间 n n (0,? )上是凸函数,则在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C 的最大值是 A、

1 2

B、

3 2

C、

3 3 2

D、

3 2

第 8 页

共 15 页

1 8.设 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? ? cos? ? ,则方程 x2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 表示的曲线是 5 A、焦点在 x 轴上的双曲线 B、焦点在 x 轴上的椭圆 C、焦点在 y 轴上的双曲线 D、焦点在 y 轴上的椭圆 ? 3 1 9.已知平面上直线 l 的方向向量 e ? ( , ? ) ,点 O(0, 0) 和 P(?2, 2) 在直线 l 的正射影分别 2 2 ????? ? ? O ' 和 P ' ,且 O ' P ' ? ? e ,则 ? 等于 是
A、 ?2( 3 ? 1) B、 2( 3 ? 1) C、 ?( 3 ? 1) D、 3 ? 1
f ( x) ? g ( x) 1 ? ,则称在区间 [a, b] 上, f ( x) 10

10.若对于任意的 x ? [a, b] ,函数 f ( x), g ( x) 总满足

g ( x) 可以代替 f ( x) . 若 f ( x) ? x ,则下列函数中,可以在区间 [4,16] 上代替 f ( x) 的是 1 1 A、 g ( x) ? x ? 2 B、 g ( x) ? x C、 g ( x) ? ( x ? 6) D、 g ( x) ? 2 x ? 6 4 5

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14、15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分。 11. 期末考试后, 班长算出了全班 50 名同学的数学成绩的平均分为 x , 方差为 s12 . 如果把 x 当成一个同学的分数,与原来的 50 个分数一起,算出这 51 个分数的方差为 s2 2 ,那么 ** . ** .
s12 ? s2 2

12.若关于 x 的方程 a x ? 1 ? 2a ? 0 有两个相异的实根,则实数 a 的取值范围是

13.在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a ? 7, b ? 8, c ? 9 ,则 AC 边上的中线 长为 ** . 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,点 A 在曲线 ? ? 2sin(? ? ) 上,点 B 在直线 ? cos ? ? ?1 上,则 | AB | 的最小 4 值是 ** . 15. (几何证明选讲选做题) 如图,已知 PA 与圆 O 相切于 A ,半径 OC ? OP , AC 交 PO 于 B ,OC ? 1 , OP ? 2 ,则 PB ? ** .
A

?

O

B

P

C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

第 9 页

共 15 页

?? ? ?? ? x x x 已知向量 m ? (2sin ,cos ) , n ? (cos , 3) ,函数 f ( x) ? m ? n 4 2 4
(1) 求 f ( x) 的最小正周期; (2) 若 0 ? x ? ? ,求 f ( x) 的最大值和最小值.

17. (本小题满分 12 分) 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F , G, H 分别是棱 AB, CC1 , D1 A1 , BB1 的中点. (1)证明: FH // 平面 A1 EG ; (2)证明: AH ? EG ; D1 C1 (3)求三棱锥 A1 ? EFG 的体积.

G A1 B1 F

D

H C

A
18. (本小题满分 14 分)

E

B

1 已知函数 f ( x) ? x3 ? (a ? 1) x2 ? b2 x ,其中 a , b 为常数. 3 (1)当 a ? 6, b ? 3 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间;
(2)若任取 a ? [0, 4], b ? [0,3] ,求函数 f ( x) 在 R 上是增函数的概率.

第 10 页

共 15 页

19. (本小题满分 14 分) 某单位为解决职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 A(m2 ) 的宿舍楼. 已 知土地的征用费为 2388 元/ m 2 ,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第一层的 2.5 倍. 经工程技术人员核算,第一、二层的建筑费用都为 445 元/ m 2 ,以后每增高一层,其建 筑费用就增加 30 元/ m 2 . 试设计这幢宿舍楼的楼高层数, 使总费用最小, 并求出其最小费用. (总费用为建筑费用和征地费用之和)

20. (本小题满分 14 分)

???? ???? ???? ??? ? ? 设 F (1,0) , M 点在 x 轴的负半轴上,点 P 在 y 轴上,且 MP ? PN , PM ? PF . (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹 C 的方程; (2)若 A(4,0) ,是否存在垂直 x 轴的直线 l 被以 AN 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存
在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ?
x ,方程 x ? f ( x) 有唯一解,其中实数 a 为常数, a ( x ? 2)

2 , f ( xn ) ? xn?1 (n ? N * ) 2013 (1)求 f ( x) 的表达式; f ( x1 ) ?
(2)求 x2011 的值; (3)若 an ?
2 a 2 ? an 4 ? 4023 且 bn ? n ?1 (n ? N* ) ,求证: b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ? 1 xn 2an ?1an

2011 届高三上学期期末四校联考
命题学校:广东广雅中学



学(理科)

命题人:廖健红

第一部分选择题(共 40 分)
一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题的 4 个选项中,只有一项是 符合题目要求的)

第 11 页

共 15 页

1.集合 P ? ?? 1,0,1?,Q={ y | y ? cos x, x ? R },则 P ? Q ? A.P
2

( * ) D. ?0,1? ( * ) D.1 ( * )

B.Q

C.{—1,1}

2 .若复数 ?1 ? a ? i ? ( i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a ? A. ? 1 B. ? 1 C. 0

3.下列有关命题的说法正确的是
2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” .

B. x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. “
2

C.命题“存在 x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “对任意 x ? R, 均有
2

x2 ? x ? 1 ? 0 ” .
D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 4.已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? 完全相同,若 x ? [0, A. [? ,3]

?
6

) (? ? 0) 和 g ( x) ? 3cos(2 x ? ? ) 的图象的对称中心
( * )

?
2

] ,则 f ( x) 的取值范围是
C. [? ,

3 2

B. [?3,3]

1 3 ] 2 2

D. [0,

3 ] 2

5.阅读如图的程序框图.若输入 m ? 4, n ? 6 ,则输出的 a, i 分别等于 A.12,2 C.24,2 B.12,3 D.24,3

( * ) 开始
输入 m,n

i =1

6.

?

1

?1

( 1 ? x 2 ? x)dx ?
B.

a =m×i ( * ) C. ? ? 1 D. ? ? 1 n 整除 a ?

i = i +1 否

是 7.位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动:电子兔每次移动一个单位,移动 输出 a,i 的方向向左或向右,并且向左移动的概率为 次后位于点 (?1, 0) 的概率是 A.

A. ?

? 2

2 1 ,向右移动的概率为 ,则电子兔移动五 3 3 结束
( * ) (第 5 题图)

4 243

B.

8 243
第 12 页

C.

40 243

D.

80 243

共 15 页

8.已知等差数列 ?an ? 首项为 a ,公差为 b ,等比数列 ?bn ? 首项为 b ,公比为 a ,其中 a , b 都是大于 1 的正整数,且 a1 ? b1 , b2 ? a3 ,对于任意的 n ? N ,总存在 m ? N ,使得
* *

则 am ? 3 ? bn 成立, an ? A. 2n ? 1 B. 3n ? 1 C. 5n ? 3 D. 6n ? 2

( * )

第二部分非选择题(110 分)
二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分). (一)必做题(9~13 题) : 9.在 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ??? ? ?1 ? x ? 的展开式中,含 x 项的系数是
3 4 7

***

. (用数字作

答)

?log 3 x, x ? 0, ? 10.已知函数 f ( x ) ? ?? 1 ? x 那么不等式 f ( x ) ? 1 的解集为 , x ? 0, ?? ? ?? 3 ?
11.如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB=2,M 为 BC 的中点,若 N

***



D N

C M B

???? ? 为正方形内(含边界)任意一点,则 AM · AN 的最大值为 ***

A
12 从正方体的八个顶点中任意选择 4 个顶点,它们可能是如下几种几何体(或平面图形) 的 4 个顶点, 这些几何体 (或平面图形) 是_____***______ (写出所有正确的结论的编号) ①矩形 ②不是矩形的平行四边形 ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体 ④每个面都是等边三角形的四面体

13.如图放置的边长为 1 的正三角形 PAB 沿 x 轴滚动,设顶点

A( x, y) 的纵坐标与横坐标的函数关系式是 y ? f ( x) ,则 f ( x)
在区间 ? ?2,1? 上的解析式是 ; 说明: 正三角形 PAB 沿 ( “

x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动.沿 x 轴正方向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转, 当顶点 B 落在 x 轴上时, 再以顶点 B 为中心顺时针旋转, 如此继续.; PAB 也可以沿 x 轴负方向逆时针滚动) 类似地,正三角形 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都选的只计算 14 题的得分.) 14. 《坐标系与参数方程》选做题:

第 13 页

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? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . ?y ? 4 t 5 ?

设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,则 MN 的最大值为 15. 《几何证明选讲》选做题: 如图,圆 O 的直径 AB ? 8 , C 为圆周上一点, BC ? 4 ,过 C 作圆 的切线 l ,过 A 作直线 l 的垂线 AD , D 为垂足, AD 与圆 O 交于 A 点 E ,则线段 AE 的长为 *** .
E

***
D C

.

O

B

l

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).. 16.(本题满分 12 分)在三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a、 b、 c 且

b2 ? c 2 ? bc ? a 2
(1)求∠A; (2)若 a ? 3 ,求 b ? c 的取值范围。
2 2

17. (本题满分 13 分)高三第一学期期末四校联考数学第 I 卷中共有 8 道选择题,每道选择 题有 4 个选项,其中只有一个是正确的;评分标准规定: “每题只选一项,答对得 5 分, 不答或答错得 0 分。 ”某考生每道题都给出一个答案,已确定有 5 道题的答案是正确的, 而其余选择题中,有 1 道题可判断出两个选项是错误的,有一道可以判断出一个选项是 错误的,还有一道因不了解题意只能乱猜,试求出该考生: (1)得 40 分的概率 (2)得多少分的可能性最大? (3)所得分数 ? 的数学期望 18. (本题满分 13 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ,顶点 A1 在底面 ABC 上 的射影恰为点 B,且 AB ? AC ? A1B ? 2 . (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小;
C1 B1 A1

(2)在线段 B1C1 上确定一点 P,使 AP ? 14 ,并求出二面角

P ? AB ? A1 的平面角的余弦值.
A

19..(本题满分 14 分)已知椭圆的中心为坐标原点 O,椭圆短半轴长为 1,
B

C

第 14 页

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动点 M (2, t ) (t ? 0) 在直线 x ? (1)求椭圆的标准方程

a2 (a为长半轴,c为半焦距) 上。 c

(2)求以 OM 为直径且被直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N, 求证:线段 ON 的长为定值,并求出这个定值。 20. (本题满分 14 分)某园林公司计划在一块 O 为圆心, R ( R 为常数,单位为米)为半径的 半圆形(如图)地上种植花草树木,其中弓形 CMDC 区域用于观赏样板地, ?OCD 区 域用于种植花木出售, 其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米 2 .. 元,花木的利润是每平方米 8 元,草皮的利润是每平方米 3 元. .. .. (1)设 ?COD ? ? (单位:弧度) ,用 ? 表示弓形 CMDC 的面积 S弓 ? f (? ) ; , (2)园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? 并求相对应的 ? (参考公式:扇形面积公式 S ?

1 2 1 R ? ? Rl , l 表示扇形的弧长) 2 2

M
观赏样板地

D

C
花木地 草皮地 草皮地

A
21.(本题满分 14 分)
k

O

B

已知函数 f ( x) ? x ? b (常数 k , b ? R )的图像过点 (4, 2) 、 (16, 4) 两点. (1)求 f ( x ) 的解析式; ( 2 ) 若 函 数 g ( x) 的 图 像 与 函 数 f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 若 不 等 式

g ( x)? g ( x? 2 )? 2a x? 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2
(3)若 P , P , P ,?, Pn , ? 是函数 f ( x ) 图像上的点列, Q1 , Q2 , Q3 ,?, Qn ,? 是 x 正半轴 1 2 3 上的点列, O 为坐标原点, ?OQ1P , ?Q1Q2 P ,?, ?Qn?1Qn P ,? 是一系列正三角形,记 1 2 n 它们的边长是 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,探求数列 ?an ? 的通项公式,并说明理由.

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