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重庆市南开中学2016届高三3月月考数学(文)试题


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重庆南开中学高 2016 级高三(下)3 月月考 数学试题(文科)
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1、已知 A ? ??1,0,1,2,3?, B ? x log 2 ? x ?1 ? ?1 ,则 A ? B 的元素个数为( A、0
2

?

?



B、2

C 、3 ) C 、1

D、5

2、如果复数 A、 ? 2

m ?i 是实数,则实数 m ? ( 1 ? mi
B、 ?1

D、 2 )

3、已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 1 ? n ? N? ? ,且 a2 ? a4 ? a6 ? 18 ,则 a 5 的值为( A、8 B、7 C 、6 D、5

4 、已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点到直线 3 y ? x ? 0 的距离为 2 ,则抛物线 C 的方程为 ( ) A、 y 2 ?

16 3 x 3

B、 y 2 ?

8 3 x 3

C、 y 2 ? 16 x

D、 y 2 ? 8 x )

5、已知命题 p : x ? y ? ?2 ,命题 q : x, y不都是 ? 1 ,则 p是q 的(

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 6、如图所示,墙上挂有一边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是 以正方形的顶点为圆心,半径为

a 的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中 2


木板, 且击中木板上每个点的可能性都一样, 则他击中阴影部分的概率是 ( A、 1 ? C、 1 ?

?
4

B、

?
4

?
8

D、与 a 的取值有关

7、函数 y ? 2sin

?x
2

?1 的部分图象如下图所示,则


? OA ? 2OB ? ? AB ? (

??? ?

??? ? ??? ?

A、 ?10 B、 ? 5 C、5 D、10 8、利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点,则打印的点 落在坐标轴上的个数是( )

1

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A、0

B、1

C、2

D、3

9、过点 A ? 3,2 ? 作圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 20 ? 0 的弦,其中弦长为整数 的共有( A、6 条 C、8 条 ) B、7 条 D、9 条

10、如图点 M , N 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 A1 D1CC1 的中 点,过点 D, M , N 做截面去截正方体得到的新几何体(体积较大部 分) ,则该新几何体的主视图、左视图、俯视图依次为( A、①④⑤ B、②③⑥ C、①③⑤ D、②④⑥ 11、已知点 A 为双曲线 )

x2 y2 ? ? 1 右支上一点, F1 , F2 为双曲线的左 a2 b2
2

B ?B F 右焦点,AF1 交双曲线左支于点 B , 若A
A、 2 B、

, 则

AF2 BF1

?(



3 2

C、 3

D、2

12、已知函数 g ? x ? ? x ? 1 ,函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 1? ? ?2 f ? x ? ? 1 ,当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? x2 ? x , 对于 ?x1 ? ?1,2? , ?x2 ? R ,则 ? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 的最小值为(
2 2



A、

1 2

B、

49 128

C、

81 128

D、

125 128

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生概括要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13、 如图是甲、 乙两名篮球运动员 2013 年赛季每场比赛得分的茎叶图, 则甲、 乙两人比赛得分的中位数之和为

?x ? 0 ? 14、已知 x, y 满足的条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? y ? 2 x 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
15、已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2bx 的图象在点 A? 0, f ? 0? ? 处的切线 l 与直线 x ? y ? 3 ? 0 平行,若数列

? ? 1 ? ? ? ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S2016 ? f n ? ? ? ? ? ?
16、已知三棱锥 A ? BCO , OA 、 OB 、 OC 两两垂直且长度均为 4,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动, 另一个端点 N 在 ?BCO 内运动 (含 边界) ,则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为
2

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三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (12 分)已知在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 3b cos C ? c sin B ; (1)求角 C ; (2)若 c ? 3 ,求 ? ABC 周长的取值范围。

18、 (12 分)某统计部门随机抽查了 3 月 1 日这一天新世纪百货童 装部 100 名顾客的购买情况, 得到如右数据统计表, 已知购买金额 在 2000 元以上(不含 2000 元)的频率为 0.4. (1)确定 x, y, p, q 的值;

购买金额

频数 5

频率 0.05

? 0,500? ? 500,1000?

x
15 25 30

p
0.15 0.25 0.3

?1000,1500?
(2)为进一步了解童装部的购买情况是否与顾客性别有关,对这 100 名顾客调查显示:购物金额在 2000 元以上的顾客中女顾客有 35 人,购物金额在 2000 元以下(含 2000 元)的顾客中男顾客有 20 人;

?1500, 2000? ? 2000, 2500? ? 2500,3000?

y
100

q
1.00

①请将列联表补充完整: 女顾客 购物金额在 2000 元以上 购物金额在 2000 元以下 合计 35 20 男顾客

合计 合计

100

②并据此列联表,判断是否有 97.5%的把握认为童装部的购买情况与顾客性别有关? 参考数据:

P?K2 ? k ?
k

0.01 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.01 6.635

K2 ?

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?

n ? ad ? bc ?

2

19、 (12 分) 如图, 斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 , 面 AA1B1B ? 面ABC , 且 ?A1 AB ? 60? , AA1 ? 2 , ?ABC 为边长为 2 的等边三角形,

G 为 ?ABC 的重心, 取 BC 中点 F , 连接 B1 F 与 BC1 交于 E 点:
(1)求证: GE // 面AA1 B1 B ; (2)求三棱锥 B ? B1 EA 的体

3

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积。 20 、 ( 12 分 ) 已 知 椭 圆 C :

x2 y 2 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的 离 心 率 e ? ,点 P 在椭圆上运动,当 a 2 b2 2

2 3 ; 3 (1)求椭圆的标准方程;

?F1 PF2 ? 60? , S ?F1PF2 ?

(2)过原点直线 l 与椭圆交于 A, B ,斜率为 k1 ,直线 OP 斜率为 k 2 , k1 ? k2 ? ? ,判断 ?APB 的面 积是否为定值,若为定值,则求出这个定值,若不为定值,则说明理由。 21、 (12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? ae x ; (1)若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ? 在点 ? 0, g ? 0? ? 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,求实数 a 的值; (2)当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 存在两个零点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求证: ln x1 ? ln x2 ? ln a ? 1 。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写清题 号 22、 (10 分)如图所示,已知 ? O1 和 ? O2 相交于 A, B 两点,过点 A 作 ? O1 的切线交 ? O2 相交于点 C ,过点 B 作两圆的割线,分别交

1 2

? O1 、 ? O2 于点 D, E , DE 与 AC 相交于点 P 。
(1)证明: AD // CE ; (2)若 AD 是 ? O2 的切线,且 PA ? 6 , PC ? 2 , BD ? 9 ,求 AD 的长。 23、 (10 分)在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的

? x ? ?1 ? cos ? ?? 2 ? a ,曲线 C2 的参数方程为 ? 极坐标方程为 ? sin ? ? ? ? ? ( ? 为参数且 0 ? ? ? ? ) 。 4? 2 ? ? y ? ?1 ? sin ?
(1)求曲线 C1 的直角坐标方程和曲线 C2 的普通方程; (2)当曲线 C1 和曲线 C2 有两个公共点时,求实数 a 的取值范围。 24 、 ( 10 分 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? x ? sin 2 ? , g ? x ? ? 2 x ? cos2 ? ,? ? ?0,2? ? , 且 关 于 x 的 不 等 式

2 f ? x? ? a? g x对 ?x ? R 恒成立。 ? ?
(1)求实数 a 的最大值 m ; (2)若正实数 a , b, c 满足 a ? 2b ? 3c ? 2m ,求 a 2 ? b 2 ? c 2 的最小值。

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