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高中数学课课练必修2


第一章 立体几何初步
§1.1 棱柱、棱锥、棱台 1.C 2.C 3.D 4.B 5.④ 6.④
P

∴B、D、F、E 四点共面. (2)由(1)BE、DF 共面,EF//DB 且 EF< D?B? <DB, ∴EFDB 是梯形, BE、DF 必相交于一点 P,点 P 既属于面 DC? 又 属于面 BC? ? 点 P 属于这两个面的交线 CC? , ∴BE、DF、 CC? 三线交于同一点 P. §1.7 异面直线 4.A 6. 90? 7. ③④

7.六 9. 3 2 .

8. 这些集合间的包含关系为 Q 刎N 棱 面 数 数

10. 解: 多面体 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 三棱台 四棱台 6 4 8 5 9 5 12 6 9 5 12 6 1.B 2.D 3.A

5. 相交、平行或成异面直线.

发现有关系: n 棱锥的棱数有 2n 条,n 棱锥面数有 n+1 个; n 棱柱(棱台)的棱数有 3n 条, n 棱柱(棱台)的面数有 n+2 个. §1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 6. 1 7. 3? 8.略 2? 9. 上底面半径为 a,下底面半径为 2a,两底面面积之和为 5? a 2 . 10、 1 或 3 . 2 2 1.B 2.C 3.D 4.D 5. 12 §1.3 中心投影和平行投影 1.A 2.D 3.B 4.B 5.③

8. 提示:取 AB 中点 H,先证明 D1F / / A1H ,
D1 再证明 ?A1 AH ? ?ABE . 从而求得所求角是 90? C . E
1

9. 解:如图.

? A1 ?面DC1 , C ?面DC1 , 又EF ? 面DC1 , 且C ? EF , 由异面直线判定定理, 得EF与AC是异面直线。 1

A1

B1

F

C
A B

10.证:(用反证法)设 b 和 c 不是异面直线,则 b 和 c 是共面直线, 所以 b 和 c 不是平行就是相交. 由于 b 和 c 不相交,所以 b // c ;而 直线 c / /a, 由公理 4 得 a / /b ,这与 a, b 是异面直线相矛盾,故 b 和 c 是异面直线. §1.8 直线与平面平行 1. D 2. A 3. C 4. B 提示:令 DH ? GH ? k , DA AC

6. 长度与高度,长度与宽度,宽度与高度 7. 84 8.略 9.略 10. 根据三视图可以画出该多面体形状如右: §1.4 直观图画法 1.C 7. 2a 2.C 3.C 4.B 5. ① 8. 略 9. 略. 6. 8 10. 如右图:

则 AH ? EH ?1? k , ? GH ? 5k , DA BD EH ? 4(1 ? k ) ,∴周长等于 8? 2k ,又? 0 ? k ? 1 ∴范围为(8,10),故选 B.
d

?

5.相交;平行 6. ①②③④ 7.① ②

b
c

8. 证明:如图,设过直线 a 的两个平面 与平面 α、β 分别交于直线 c, d, ?a / / ,a / / a /c/ a, / / ? ?? d ?c / / d ,? c 平面?, / /
而 b 为过 c的平面? 与平面 ? 的交线,
?c / / b, 而 a / / c, ?a / / b

a

§1.5 平面的基本性质 1.B 2.C 3.D 4.B 5.④ 6. ②③⑤ 7. 4; 6; 7; 8

?

8. 提示:只要证明点 P 同时在平面 ABD 与平面 BCD 内. 9.略 10. 证明: a // b ? a 、 b 确定一平面 ? ? a ?? ,

9. 提示:想办法证明 MN//BD. 10. 证明: 设 A1C1、B1D1 相交于 O1
,连结

a ?c ? A ? A?a 又 a ?? ? A?? ,
同理 B?? ,∴AB ? ? 即 c ?? , ∴直线 a 、 b 、 c 共面于一个平面 ? . §1.6 平行直线 1.D 2.C 3.D 4.C
5. 30?或150?

O1G,

∵ 1、G 分别是 B1D1 和 D1C1 的中点. O ∴ 1G / / 1 B1C1. 又 BE= 1 BC= 1 B1C1, O 2 2 2 且 BE//B1C1,∴ 1G / / BE O 6.平行四边形 A ∴ BEGO1 是平行四边形.∴ GE//BO1. ∴ GE//平面 BB1D1D. §1.9 直线与平面垂直 H E D G C 1. D 2. D 3. C 4. B 5. ① ② 6. 60 13 7. 12

7. DE / / AC 且 DE ? 1 AC 3 9. 证明:如图,连结 BD,

8. 略.

∵EH 是△ABC 的中位线, ∴EH//BD, EH= 1 BD, 2 CF ? CG ? 2 , 又在△BCD 中 CB CD 3 B ? F G/ / B D FG ? 2 BD. ?EH / / FG, , 3 又F G? E H 四边形 EFGH 是梯形。 , 10. 证明:(1)EF 和 DB 均平行于 D?B?

8.证明:∵ PA⊥ 平面 ABCD,∴ PA⊥ BC 又∵ ABCD 是矩形,∴ AB⊥ BC ∴ BC⊥ 平面 PAB ∴ BC⊥ 又 AE⊥ AE PB,

F

∴ AE⊥ 平面 PBC,∴ AE⊥ PC. 9. 证明:? ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, ? AB ? BB1 , 又 ?ABC ? 90? , 平面 BB1C1C ? AB ? B1D . -1-

? EF//DB ? EF 和 DB 共面,

由已知 BC ? CD ? DC1 ? B1C1 ? ?BDC ? ?C1DB1 ? 45? ,
??BDB1 ? 90?,? B1D ? BD .

§1.11 两平面平行 1.A 2.D 3.A ②⑤ 4.A 5. ① ③ 6.
3a 3

又 AB? BD ? B , ? B1D ? 平面 ABD . 10、证明: ∵ 垂直平分 SC, DE ∴ DE⊥ SC,且 E 为 SC 的中点, 又 SB=BC, ∴ BE⊥ SC,但 DE∩BE=E, ∴ SC⊥ BDE, 面 ∴ SC⊥ BD, 又 SA⊥ ABC,BD?面 ABC, 面 ∴ SA⊥ BD,而 SC∩SA=S, ∴ BD⊥ SAC. 面

S E D A

7. ③⑤ C

8. 证明: 设AC、BD相交于O,A1C1,B1D1 相交于 O1,连,结 O1H,OF、AC1.∵BB1 / / A1 A/ /D1D , ∴ 四边形 BB1D1D 是平行四边形, B ∴ 1D1//BD.∴ 1D1//平面 BDF. B B 又 O1H//AC1,OF//AC1,∴ 1H//平面 BDF. O ∴ 平面 BDF//平面 B1D1H 9. 解: 如图. 连结 AD ,并取其中点 G , 则 EG / / BD, GF / / AC ∴ EG // ? , GF // ? ∵ ? / / ? ,∴ GF / / ? , 而 EG?GF ? G ∴平面 EFG // ? ∴ EF // ? // ? 10. 90° 提示:过 C 点作 AB 的平行线交 B 于点 E,可证明四边形 ABE 是平行四边形,连接 ED,在△BDE 中 ∠DBE 即为所求的角,为 90° . §1.12 二面角 1.A 2.C 3.B 4.D 5. 14 a 4 6. 3 4 7. 60? A
? B ? A E G D C

§1.10 直线与平面所成的角 1.D 2.B 3.C 4.B 5. 30? 6. 3 3 7. 90?

F

8.解: ? BC ? CA, AB ? 2BC ,??C ? 90? , 又点 A1 在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上,
? A1O ? 侧面 ACC1 A1 , ? A1O ? 底面 ABC ,

? A1 O? B C ,又 AC ? BC , ?BC ? 侧面 ACC1 A1 ,

?AB 与侧面 ACC1 A1 所成的角为 ?BAC ? 45? .
9. (1)证明: 取 BC 的中点 D, 连 AD, B?D, B?C ? ?ABC , ?BB?C 为等边三角形, ? B?D ? BC , AD ? BC , ? BC ? 平面 AB?D, 则 AB? ? BC.

(2)解 :由(1)知B?D ? BC , 又由题意, ?B?BC为B?B与底面ABC所成的角, ? B?D ? 底面ABC , 则?B?AD为AB?与底面ABC所成的角. ? 易知B?D ? AD ? 3 a, 则 tan ?B?AD ? B D ? 1, 2 BD ??B?AD ? 45?. S 10、解: 如图.
(1)∵ SA、SB、SC 两两垂直, ∴ SC⊥ 平面 SAB, ∴ 是 BC 在平面 SAB SB 上的射影. ∴ 与平面 SAB BC 所成的角就是∠ SBC, ∴ 与平面 SAB 所成的角为 60?. BC (2)在 Rt△ASB 中, ∠ SBA = 45?, 设 SB = a , 则 SA = a ,AB = 2a ,在 Rt△CSB 中, ∠ SBC = 60?,则 SC = 3a ,BC = 2a, 在 Rt△ASC 中,AC = 2a, 在△ABC 中取 AB 中点 D,连接 CD、SD, 由 SA = SB ? SD⊥ AB. 由(1)知 SC⊥ 平面 SAB, ∴ SC⊥ AB,∴ AB⊥ 平面 SDC, 过 S 做 SE⊥ 于 E,则 SE⊥ DC AB. ∴ 是 SC 在平面 ABC 上的射影. EC ∠ SCE 为 SC 与平面 ABC 所成的角. 易知 SD = 2 a , 2 在 Rt△CSD 中 CD = SC 2 ? SD 2 ? 14 a , 2 cos∠ SCE = cos∠ SCD = SC ? 3a ? 42 . CD 7 14 a 2 -2∴ SE⊥ 平面 ABC, A D B E C

8.解:如图,在正四面体 ABCD 中, 点 A 在面 BCD 上的正投影 O 是三角形 BCD 的中心, 取 CD 的中点 E, 则 AE ? CD , BE ? CD , C B O E D

?AEB 是二面角 A?CD? B 的平面角,点 O 在 BE 上, 且 OE ? 1 BE ? 1 AE , cos ?AEO ? OE ? 1 . 3 3 AE 3 9.证明:如图,作 DE ? AB 于 E,连接 CE,
C A D E B ?CD ?? , ?CD ? AB , CD? DE ? D

α

?AB ? 面 CDE , ?AB ? CE ,
是二面角 C ? AB ? D 的平面角 ?C E D

?CED ?? , ?CAD ? ?1 , ?CBD ? ?2 ,
2 2 sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ? CD 2 ? CD 2 AC BC 2 2 2 2 2 2 AC ? BC ? CD ? ? CD2 ? AB2 ? CD2 ? sin 2 ? 2 2 AC ? BC CE ? AB CE 10.(1)证明:如图,? BF ? 平面ACE ,? BF ? AE ,

二面角 D ? AB ? E 为直二面角,

? 平面 ABCD? 平面 ABE .
又 BC ? AB,? BC ? 平面 ABE ,? BC ? AE , 又 BF ? 平面 BCE , BF ? BC ? B, ?AE ? 平面 BCE .

(2)解: 连结 AC , BD ∵ ABCD 为正方形, ∵ BF ⊥平面 ACE , ∴FG ? AC , 为二面角 ?F G B

交于 G ,连结 FG , ∴ BD ? AC ,

∴ A1D∥B1C.∴ MO∥B1C, 且 B1C ? 平面 B1BCC1 , MO ? 平面 B1BCC1 ,

D

C

∴ MO / / 平面 B1BCC1 . §1.14 空间几何体的表面积 1.A 2.B 3.D 4.D 5. 20 ? 6. 2 6 或 66

G
F
7. 1:( 3 ?1) 9.14; 8 3

B? A C E ? 的平面角,
由(1)可知, AE ⊥ 平面 BCE , ∴ AE ? EB , 又 AE ? EB, AB ? 2, AE ? BE ? 2 , 在直角三角形 BCE 中,
CE ? BC 2 ? BE 2 ? 6,

A E

B

8. 52 cm 2 ;4 cm 、3 cm 、2 cm .

BF ? BC ? BE ? 2 2 ? 2 CE 6 3

在正方形中, BG ? 2 ,在直角三角形 BFG 中,
sin ?FGB ? BF ? 6 , BG 3

10.解: (1) 设截去圆锥的母线长为 x, 则 r ? ? x ,即 x ? r ?l , r x?l r ? r? r ? 3 ? ? r ?r ? 6 0 ? ? r ?3 6 ? ? 0 60 ? ? 3 ?r l? l x? l l r ? r? (2) S侧 ? ? (r ? r?) ?l ? ? (r ? r?) ? r ? r? ? 360? ? 616? 135? 3 §1.15 空间几何体的体积

∴二面角 B ? AC ? E 的正弦值为 6 . 3 §1.13 两平面垂直 1.C 2.C 3.C 4. D 6. ① ④ 7. 6 5. 90?

S

1.D 6.

2.D 1∶3

3.B

4.C

5. 35 ? 12

7. 1 ? 2 6

8.证明:依题意知,AB=AC, 取 BC 的中点 O,连 AO,SO, 则 AO ? BC,SO ? BC,

A
O

C

? AOS 为二面角 S-BC-A 的平面角.
设 SA=SB=SC= a ,又 ? BSC= 90? , ? BC= 2a , SO= 2 a , AO ? AC 2 ? CO 2 ? 2 a 2 2

B

8. 解:(1)因为S上=402,S下=102,h=20 所以V正四棱台= 1 ( S上+S下+ S上 S下 )h 3 3 = 1 402+10 2 40 ?10) 20= ( + ? 14000 cm ) ( 3 (2)下底面周长 c'=4×10=40,下底面周长 c=4×40=160, 斜高 h'= 202 +( 40-10 ) 2 ? 25 (cm) 2 1 (c+c')h'= 1 (160+40)×25=2500(cm2) S正棱台侧= 2 2 答:这个下料斗的体积为 14000 cm3, 制造这样一个下料斗需铁板约 2500 cm2. 9. 解:如图, 过 S 作 SO1 ? 面 ABCD 于 O1 , 由已知 O1C ? 1 AC ?1 , 2 在 Rt ?SO1C 中, ? SC ? 2 , S D O1 A B

? SA2 ? AO 2 ? SO 2 , ? ?AOS ? 90?
故平面 ABC ? 平面 BSC. 9.(1)连 PM , MB ,由题可得 PM ? 6 a, MB ? 6 a , 2 2

?N 是 PB 的中点, ?MN ? PB .
又 PD⊥平面 ABCD, ?PD ? DC ,
? PC ? 2a, ?PC ? CB , ?N 是 PB 的中点,

?CN ? PB . ?PB ? 平面 MNC ,又 PB? 平面 PBC ,
因此平面 MNC⊥平面 PBC. (2)由(1) ?PB ? 平面 MNC ,

? SO1 ? SC ? O1C ?1
2 2

C

? O1S ? O1 A ? O1 B ? O1C ? O1 D

故 O1 是过 S, A, B, C, D 的球的球心.

? 点 B 到平面 MNC 的距离为 BN ? a .
10.证明:如图, (1)∵ 底面 ABCD 是正方形, ∴ BD⊥AC. ∴ BD⊥C1C. ∵ AC ? 平面 A1ACC1, C1C ? 平面 A1ACC1, 且 AC∩C1C=C, ∴ BD⊥平面 A1ACC1. ∵ BD ? 平面 A1BD, ∴平面 A1BD ? 平面 A1 ACC1 . (2)连接 B1C,在△ A1BD 中,∵O 是 BD 的中点, M 是 BA1 的中点,MO∥A1D.∵ A1B1∥DC, 且 A1B1=DC,∴四边形 A1DCB1 为平行四边形. -3A D O B ∵ C1C⊥底面 ABCD, A1 M C D1 B1 BD ? 底面 ABCD, C1

?V球 ? 4 ? r 3 ? 4 ? . 3 3 10. 解:(1)体积 V ? 8? 立方单位.
∴球的半径 r ?1 , (2)由 VP? AOC ? VO?PAC 得

1 ? S ? PO ? 1 ? S ? d (d 为 O 到平面 PAC 距离) 3 AOC 3 PAC 容易求得 d ? 2 6 . 3
立体几何初步单元测试题 1.D 2.D 3.D 4.C 5.A 6.C 7.D 8.C 12. ? 13. 84? 14. 2 5 6 15. 2 ab (提示: 连接 AC, VA?PCD ? 1 ab , 3 3 而 VP?ABCD ? 2VA?PCD ) 16. 解:设 E 是 AC 中点, 9.C 10.B 11. 30?

D? 1 E 1

? 则 DE ? AC , ? 二面角
A

C
B

2

D? ? AC ? B 为直二面角,
? D?E ? 面 ACB , ? ? DE ?CB .
由已知易得: AC ? BC ? BC ? 面 ACD? ,

同理可求 PA= 2 3 ,AM= 6 ∴ AM 2 ? PM 2 ? PA2 ∴ PMA=90° 即 PM⊥ ∠ AM (2)取 CD 的中点 E,连结 PE、EM ∵ PCD 为正三角形 ∴ △ PE⊥ CD,
?

? ?ACD? 是二面角 A―BC―D′的平面角.
由已知易得: ?ACD? 是等腰直角三角形, ?ACD? = 45 ,

PE=PDsin∠ PDE=2sin60° 3 = ∵ 平面 PCD⊥ 平面 ABCD ∴ PE⊥ 平面 ABCD 由(1) 可知 PM⊥ AM ∴ EM⊥ AM ∴ PME 是二面角 P-AM-D 的平面角 ∠ ∴ ∠ sin PME= PE ? 3 ? 2 PM 6 2

? 二面角 A? BC ? D? 为 45 .
?

17. 证明:(1)? BC ? 平面CDD1C1
DE ? 平面CDD1C1

?D E? B C

在?CDE中,CE ? DE ? 2a, 则有 CD 2 ? CE 2 ? DE 2

? ? E C? 0 ? ? E ?E C D 9 , D
又B C? E C , C ? ? D? E 平面

(2) 如图:连接 EF,AC,A1C1, 设 AC 交 BD 于 O, 连接 EO,

BCE A1

D1 F

E B1

C1

∴ PME=45° ∴ ∠ , 二面角 P-AM-D 为 45° ; (3)同解法(1)

?EF / / 1 AC 1 AO/ / 1 AC , 1 , 2 1 2 1 ?四边形 AOEF 是平行四边形. ?AF / /OE
又?OE ? 平面BDE , AF ? 平面BDE
? AF / / 平面BDE

D A O B

C

第二章

平面解析几何初步
§2.1 直线的斜率

P

1. A 2. D 3. B 4. C 5. (0, ? 2) 6. 7 7. (1) m ? 1 (2) m ? ?1 8. 解:A、B、C 三点共线, ?k AB ? k AC ,可得 a ? 2或a ? 2 9 9.解: 直线 AB 的斜率 k AB ? 1 ,直线 BC 的斜率 7 1 ,直线 CA 的斜率 k ? 1 , k BC ? ? CA 2 由 k AB ? 0, kCA ? 0 知,直线 AB, 直线 CA 的倾斜角均为锐角; 由 k BC ? 0 知,直线 BC 的倾斜角为钝角。 10. 解: k ? ( ??, ?1] ? [1, ??) 或不存在; 45??? ?135? . §2.2 直线的方程(点斜式) 1. B 2. D 3. D 4. B 5. -9 6.(2,3) 7. 2 个

18.如图, 解法 1: (1) 取 CD 的中点 E, 连结 PE、EM、EA ∵ PCD 为正三角形 △ ∴PE⊥CD, PE=PDsin∠PDE=2sin60° 3 = ∵平面 PCD⊥平面 ABCD, ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴△ADE、△ECM、△ABM 均为直角三角形 由勾股定理可求得 EM= 3 ,AM= 6 ,AE=3 ∴ EM 2 ? AM 2 ? AE2 ∴∠AME=90° ∴AM⊥PM (2)由(1)可知 EM⊥ AM,PM⊥ AM ∴ PME 是二面角 P-AM-D 的平面角 ∠ ∴ ∠ tan PME= PE ? 3 ? 1 EM 3 ∴ PME=45° ∠ ∴PE⊥平面 ABCD
? B E D M C

∴ 二面角 P-AM-D 为 45° ; (3)设 D 点到平面 PAM 的距离为 d ,连结 DM, 则 VP? ADM ? VD?PAM , ∴1 S?ADM ? PE ? 1 S?PAM ? d , 3 3

8. 解: (1) y ? 3 ? ? 3 ( x ?1) (2) y ? ? 3 x ? 5 3 3 9. 解: 设直线 l 的方程为 y ? ? 4 x ? b , 3 则它与两坐标轴的交点分别为 ( 3 b, 0), (0, b) , 4 3 b | ? | b | ? ( 3 b) 2 ? b 2 ? 9 ,解得 于是有 | b??3 , 4 4 所求直线的方程为 y ? ? 4 x ? 3 3 10. 解:设直线 l:y ? 4 ? k ( x ? 5), k ? 0 , 则直线 l 与 x 轴交点为 A( 4 ? 5,0) , k l 与 y 轴交点为 B (0,5k ? 4) 。

而 S?ADM ? 1 AD ?CD ? 2 2 . 2 在 Rt?PEM 中,由勾股定理可求得 PM= 6 ?S?PAM ? 1 AM ? PM ? 3 , 2 1 ? 2 2 ? 3 ? 1 ? 3? d , ∴d ? 2 6 所以: 3 3 3 即点 D 到平面 PAM 的距离为 2 6 3
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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( 5 ? 42 ) k S? ? 1 O A O B 1 4 5 5? k 4 ? ? ? ? ? 1 2 2k 2 k
当 k ? 0 时, (5k ? 4)2 ?10k ? k ? 2 或 k ? 8 , 5 5 8 ? 直线 l :x ? 5 y ? 20 ? 0或2 x ? 5 y ?10 ? 0 当 k ? 0 时, (5k ? 4)2 ? ?10k ? k 不存在。

5?

解法 2: (1) ∵ 四边形 ABCD 是矩形 ∴ BC⊥ CD ∴ BC⊥ PC ∵ 平面 PCD⊥ 平面 ABCD 同理 AD⊥ PD, 在 Rt△PCM 中, ∴ BC⊥ 平面 PCD, 而 PC ? 平面 PCD PM= MC 2 ? PC 2 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 -4-

§2.3 直线的方程(两点式) 1. D
y 2.D 3. C 4. C 5. ? x ? ? 1 3 5

6. y ? x ? 2 ;10

7. -2

y 8.解:用截距式求得直线方程为 x ? y ? 1 或 x ? ? 1 3 2 2

9. 解:所求的两点式方程为 l ?11 ? 17 ?11 ,即 l ? 2w?1 w?6 9?6 当弹簧长为 13cm 时,所挂物体的重量为 7kg。 10. 解:设 C ( x0 , y0 ) ,由条件得 C (?5, ? 3) ,
y ? (?2) 3 ? (?2) ? ,整理得: y ? 2 ? 5 ( x ? 5) . x ?5 7 ?5 2 1 ( x ? 5) , 直线 BC : y ? 3 ? 1 ( x ? 7) . 直线 AC : y ? 2 ? 10 2

又?l1 , l2 , l3 交于一点, ?P 的坐标满足 l3 的方程:

? 1 ? (k ?1) 3 ? k ? 5 ? 0 , 2? k 2? k 得 k ??7 或 k ??2 (舍去), ?k ??7 。
9. 解:三边所在直线的方程分别为 2 x ? y ? 10 ? 0 ,
3x ? 2 y ?1 ? 0 , y ? 2 ? 0

直线 AB :

10. 证明:以 AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为

§2.4 直线的方程(一般式) 1. B 2. B 3. C 4. B 6. 5 7. ? 1 3 8.解: ⑴ ABC ? 0 ;⑵B? 0 ;⑶ A? 0 ; 5. 4 x ? 3 y ?16 ? 0 ⑷ A ? C ? 0 ;⑸C? 0 ;⑹BC ? 0, AC ? 0 . 9. 解: 以长为 8 的对角线所在直线为 x 轴,另一条 对角线所在直线为 y 轴,建立直角坐标系. 可得 四边方程为 3 x ? 4 y ?12 ? 0 , 3 x ? 4 y ?12 ? 0 ,
3 x ? 4 y ? 12 ? 0 , 3 x ? 4 y ?12 ? 0
2 (m ? 2)(m ? 3) ? 1? m ? 2 ? 1, 10.解: ⑴ m 2? 5m ? 6 ? 1? (2m ?1)(m ? 3) 2m ?1 2m ? 7 m ? 3

y 轴建立直角坐标系,设 B (3a,0) ,
则 D(0, a), E ( a, a), F (2a, a) .

?BD 所在的直线方程为 x ? 3 y ? 3a ? 0 , AF 所在的直线方程为 y ? 1 x , 2 x ? 3 y ? 3a ? 0 6 a, 3 a) ? G( 由 x?2y ? 0 5 5 1 ? k ? k ? ?1 ,从而 EG ? AF . ?kEG ? ?2, k AF ? EG AF 2

?

§2.7 平面上两点间的距离 1. B 2. C 3. B 4. B ) , 7. (? 4, ?1 ,(4, 3) (4, ?5) 5 2 5 6. 5 5

?m ? ?; 1
⑵ 直线过 (0, ?3) , ?3(2m2 ? 7m ? 3) ? 3m ? 9 ? m ? 3 或 m?1 又直线不过原点,则 3m?9 ? 0 , ?m ? 3 , ?m ?1 。 §2.5 两条直线的平行与垂直 1. C 2. B 3. A 4. C P (1, 0) 或 P (6, 0) 2 x ? 3 y ?13 ? 0 5. 6. 7. 3x ? y ? 8 ? 0 ; x ? 3 y ? 6 ? 0 8. 解: k AB ? ? 1 , kCD ? ? 1 , kBC ? 3 , kDA ? 3 , 2 2 2 2 ?k A B? k C,D k B C k , A ? D
? AB / / CD, BC / / DA ,又 ?k AB ? kBC ? ?1 ,

8. 解: 求 B 关于 x 轴的对称点 B1(-3,-1),连 AB1 交 x 轴于 P,即为所求,所求点为 P(-2,0), 且 PA+PB 的最小值为 4 2
( 9. 解: 设 B x0 , y0 ) ,则有 2 x0 ? y0 ? 6 ? 0 ………⑴

( 又 AB ? 5 , ? x0 ?1)2 ? ( y0 ?1)2 ? 25 ……⑵

由⑴ ,⑵ 可得 x0 ? 1 或 x0 ? 5 , ? B (1, 4) 或
B (5, ?4)

? l1 : x ? 1或 3x ? 4 y ? 1 ? .0

10. 解: 由题意知直线 BC 与 AB 关于 ?B 的平分线

x ? 0 对称,∴点 A(3, ?1) 关于 x ? 0 的对称点
A1 (?3, ?1) 在直线 BC 上,同理点 A 关于 y ? x 的

对称点 A2 (?1, 3) 也在直线上, ? k BC ? k A1 A2 ? 2

? 四边形 ABCD 是平行四边形。
9. D(-11,2) 10. 解: (1) 设直线 l ? :3 x ? 4 y ? m ? 0 , 则在两坐标轴上的截距分别为 ? m 和 ? m 3 4 m ) ? (? m )|? 48 , m??24 得 ∴ |(? 3 4 直线方程 3 x ? 4 y ? 24 ? 0 ⑵ l? : y ? 4 x ? b ,它与 x 轴交点为 设 3 A(? 3 b,0) ,与 y 轴交点为 B (0, b ) , 4 ? 4 ? 1 ? 3 b ? b , ?b ? ? 4 6 , 2 4 3 ?: 4x ? 3 y ? 4 6 ? 0 。 则l §2.6 两条直线的交点 5. 相交;平行;重合 6. ⑴ A ? 3,C ??2 ;⑵ A? 3 ;⑶ A? ? 4 。 3 3. 7. a ??1 或 a ? ? 2 ?x ? ? 1 x ? y ?1 ? 0 ? 2?k , , ?? 8. 解:? kx ? 2 y ? 3 ? 0 ?y ? 3? k ? 2? k 1 , 3? k ) 。 ?l1 与 l 2 的交点是 P(? 2?k 2?k 1. C 2. A 3. A 4. C

? 直线 BC 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 .
§2.8 点到直线的距离 1. D 2. B 3. B 4. D 5.
a 2 ? b2

6. 4 x ? y ? 6 ? 0 或 3 x ? 2 y ? 7 ? 0 7. 最小值 ? 1 ;最大值 ? 2 2 2 8. 解: 直线 BC 的方程: 2 x ? 3 y ?1 ? 0 ,设 l :2 x ? 3 y ? m ? 0 设 d 0 为 A 到 PQ 的距离, d 为 A 到 BC 的距离.
? ?APQ ∽?ABC , ?

S?APQ d d ? ( AP )2 ? ( 0 )2 ? 0 ? 1 S?ABC AB d d 3

?8 m?7 , , d0 ? 22 ? 32 22 ? 32 可求得 m ? 13 或 m ? 29 (舍去), 3 3 ? 直线 PQ 的方程是: 6 x ? 9 y ?13 ? 0 .
其中 d ? 9. 解:(1)l1: y ? 0 ,l2: y ? 5 或 l1: 5 x ?12 y ? 5 ? 0 , l2: 5 x ?12 y ? 60 ? 0 . (2) 0 ? d ? 26 10. x ? 3 y ? 7 ? 0; y ? 3x ? 9; y ? 3x ? 3 . §2.9 圆的方程(1) 1. B 6. -52

?

2. A
2

3. C

4. D.

5. (??, ? 2) ? ( 2, ??)

x + (y-1) = 4

7. 内切圆为(x+3) 2 +(y-3) 2 =9; 外切圆为(x+4) 2 +(y- 15 ) 2 = 289 . 2 4 2 8. 证明(略); 9. (x+4) +(y+3) 2 =1; 10.解:设可求圆的圆心为 P(a, b),半径为 r, 则 P 到 x 轴,y 轴的距离分别为 | b | , | a | . 由条件(2)知,因截 x 轴可得弧所对圆心角为 90 度, 则圆截 x 轴所得弦长为 2 r ,故 r 2 =2b 2 . 又由条件(1)得 r =a +1,∴2b -a =1,
2 2 2 2

欲使其表示圆,需有 m? 5 . (2) 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,?OM ?ON ,
?kOM ? kON ? ?1 ,即

y1 y2 ? ? ?1 . ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1 x2

又 x1 ? 4 ? 2 y1 , x2 ? 4 ? 2 y2 , ?16 ? 8( y1 ? y2 ) ? 5 y1 y2 ? 0 . 又由

?

x ? 4?2y 得 5 y 2 ?16 y ? m ? 8 ? 0 , x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0

? ? y1 ? y 2? 1 6, y y ? 8 m 1 2 5 5
代入 16 ? 8( y1 ? y2 ) ? 5 y1 y2 ? 0 ,得 m ? 8 . 5 (3) 以 MN 为直径的圆的方程为 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 , 即 x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 . 而 y1 ? y2 ? 16 , x1 ? x2 ? 8 ? 2( y1 ? y2 ) ? 8 , 5 5 故所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? 8 x ? 16 y ? 0 . 5 5 10. 解:设所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ∵圆分别过点 A,B, ?4D? 2E ? F ? 20 ? 0 ……①

又点 P(a, b)到直线 x-2y=0 的距离为 a ? 2b d= = 5 ,∴a-2b= ? 1. 5 5 即

?

a ? 2b ? ?1 a ?1 a ? ?1 解方程组得 或 ,又 r=2b=2, b ?1 b ? ?1 2b 2 ? a 2 ? 1

?

?

∴可求圆的方程为(x?1)2+(y?1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2. §2.10 圆的方程(2) 1. C 2. C 3. B 4. D 5. (2- 2 , 2- 2 ); (2+ 2 , 2+ 2 ) 6. 2? 7. (x+2) 2 +( y- 3 ) 2 = 5 2 4 8. x 2 ? y 2 ? 7 x ? 3 y ? 2 ? 0 9. 解:设 D 为 ( x, y ) ,由已知得圆心 E 的坐标为 (3, 4) , 由 DE ? BC ,且 ?ABC 为 Rt? ,知

?D ? E ? F ? 0 ?0……② 3 1
∵圆在坐标轴上的截距是圆与坐标轴的交点在 y ?0 轴上的坐标, ? 2 2 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

?

故 x ? Dx ? F ? 0 , ? x1 ? x2 ? ? D .
2

AD ? DB ,在 Rt?DEB 中, DE ? DB ? EB ,
2 2 2

从而有 DE ? AD ? EB ,
2 2 2



?

x ?0 得 y 2 ? Ey ? F ? 0 , x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

? ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? ( x ? 5)2 ? ( y ? 3)2 ? 25

? y1 ? y2 ? ? E . ??D? E ? 2 ……③

故所求 D 点的轨迹方程为
x ? y ? 8 x ? 7 y ?17 ? 0 10. 解:(1)- 1 < t <1; 7
2 2

解①②③得: D ? ?2, E ? 0, F ? ?12 故所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ?12 ? 0 . §2.12 直线与圆的位置关系(1) 1. A 4. A 2 5. x-2y+5=0 6. 7. x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F 2 8. (1) x ? y ?1 ? 0 , (2) x ? 2 y ? 5 ? 0 9. 解:切线过原点时,y=(-1 ? 2 10 )x 切线不过原点时,y=-x+5 ? 10 或 y=x+1 ? 10. 解:配方得圆心(- 1 , 3),由(1), 2 直线 kx-y+4=0 过圆心,得 k=2 ∴PQ 的斜率 k=- 1 ,设 PQ 方程:y=- 1 x+b 2 2 代入圆方程消 y 得:5x 2 +4(4-b)x+4b 2 -24b+12=0 设 P(x 1 ,y 1 ),Q(x 2 ,y 2 ), ∵OP ? OQ,∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 由韦达定理代入得:b= 3 或 b= 5 2 4 ∴可求方程为 x+2y-3=0,2x+4y-5=0. §2.13 直线与圆的位置关系(2) 1. B 6. 3 2. B 3. A 4. C 5.
7

(2) ∵r ? ?7t ? 6t ?1 ? ?7(t ? 3 ) 2 ? 16 7 7 3 ? (- 1 ,1)时,r = 4 7 ,此时圆面 ∴ t= 当 max 7 7 7 24 ) 2 +( y+ 13 ) 2 = 16 ; 积最大,对应方程:(x- 7 49 7 (3) 0< t < 3 . 4
2

2. D

3. C

10 .

§2.11 圆的方程(3) 1. A 2. D 5. y ? ? x ? 3
x ? y ?1 ? 0 ( a ,a ? 1.) 又知圆 C 的半径

3. D 6. 3

4. C 7. {0} ? [1, 2] ①

8. 解:由题意,可求得 PQ 的中垂线方程为 ∵ 所求圆的圆心 C 在直线① 上,故可设其坐标为

r ? CP ? (a ? 4)2 ? (a ?1)2



又已知圆 C 截 y 轴所得线段长为 4 3 , 又圆 C 的圆心到 y 轴的距离为 a ,
?r ? a ? ( 4 3 ) 2 ,代入②式得 a 2 ? 6a ? 5 ? 0 , 2
2 2

7. (? 2, ?1]

得 a1 ?1, a2 ? 5. ? r1 ? 13, r2 ? 37 . 故所求圆的方程为 ( x ?1) 2 ? y 2 ? 13 或 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 37 . 9. 解:(1)原方程可化为 ( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m , -6-

8. 解:由已知设圆心为 ( a, a ?1) ,半径为 r.
(7 a ?11) 2 . 25 (7 a ? 6) 2 又圆心到直线 l3 的距离 d 2 ? , 25

∵此圆与直线 l 2 相切, ?r 2 ?

∴依题意有 32 ?

(7a ? 6) 2 (7a ?11) 2 ? ? a ? 2, r 2 ? 25 25 25

因为圆 C 与圆 C 1 关于 l 对称, ∴圆 C 的圆心为(-4-m, 2+m),半径 r=3, 又圆 C 与 x 轴相切∴ 2 + =3, m=1 或 m=-5 又 C 方程:(x-1) 2 +(y+3) 2 =-1-2m ∴-1-2m >0, ∴m=-5,圆 C 的方程为(x-1) 2 +(y+3) 2 =9. §2.15 圆的综合问题 1. C 2. C 3. A 4. C 5. 4? -2 3 ; 3

故所求圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ?1) 2 ? 25 . 9. 解:设 L 的方程为 y ? x ? b, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 由题意有 OA ? OB (O 为原点), ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 (*) 由

?

y ? x ?b 消去 y 得: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0

2 x 2 ? 2(b ?1) x ? b 2 ? 4b ? 4 ? 0
2 ? x1 ? x 2? ?(b ?1), x x ? b ? 4b ? 4 . 1 2 2 2 又 y1 ? x1 ? b, y2 ? x2 ? b , ? y1 y2 ? b ? 4b ? 4 ? b 2

x1 x2,

y1 y代入(*)得: b 2 ? 3b ? 4 ? 0 2

?b ?1 或 b??4 . 故 L 存在, 其方程为 y ? x ?1 或 y ? x ? 4 .
10. 解:设 Q ( x1 , y1 ) ,AM 边上的高为 QB, MQ 边上的高为 AC,连接 OQ, MQ ? OQ ,

6. 3 ? 3 ? m ? 3 ? 21 ; ?2 3 ? b ? 15 6 6 7. ( x ? 4) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 36 8. 解: 已知圆的标准方程是 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1, 它关于 x 轴的对称圆的方程是 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? 1. 设光线 L 所在直线方程是 y ? 3 ? k ( x ? 3). 由题设知对称圆的圆心 C'(2,?2)到这条直线的距离等于 1,即

x y 当 kOQ ? 0 时, kMQ ? ? 1 ? ? 1 , A(0,2), k AC ? 1 , kOQ y1 x1

? y ? 2 ? y1 x x ?x ? 联立 AC、QB 的方程: ? x1 ? 1 y1 ? y ? 2 ? x ? x1 ?
?Q ( x, y ? 2) 在 x 2 ? y 2 ? 4 上, ? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 .

?

d?

|5k ? 5| 1? k 2

?1 .

当 kOQ ? 0 时,此时垂心为点 B,也满足方程. 而点 M 与点 A 重合时,不能使 A、M、Q 构成三角形, 故 ? MAQ 的垂心的轨迹方程为 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ( x ? 0) . §2.14 圆与圆的位置关系 1. D 2. C 3. B 4. B 5. ( x ? 2) ? ( y ?1) ?1
2 2

整理得 12k 2 ? 25k ?12 ? 0, 解得 k ? ? 3 或k ? ? 4 . 4 3 3 ( x ? 3) ,或 y ? 3 ? ? 4 ( x ? 3) 故所求的直线方程是 y ? 3 ? ? 4 3 即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0. 9. 解:(1)设 P 点坐标为 ( x, y ) , 由题知,点 C 为 (2, 3) ,圆 C 的半径 r ?1 .
2 ?P M? P , ? ( x 22 ) ? ( y? 23 ) ? 1? 2 x ? y O ?

化简得: 2 x ? 3 y ? 6 故 P 点的轨迹方程为 2 x ? 3 y ? 6 . (2)由 PM 最小即 PO 最小,∴PO 最小值为 O 点到直线 2 x ? 3 y ? 6 的距离,即 d ? 6 . 13 设此时 P 点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则有
12 ? ? x 2 ? y 2 ? 36 ? x0 ? ? 0 13 0 13 ? ? ? ?2 x0 ? 3 y0 ? 6 ? y0 ? 18 ? ? 13

6. x ? 3 7. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 2 8. 解:对于圆 C 1 ,圆 C 2 的方程,经配方后,
C 1 : ( x ? m) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 , C 2 : ( x ?1) 2 ? ( y ? m) 2 ? 4 .

(1)如果 C 1 与 C 2 外切,则有

(m ?1) ? (m ? 2) ? 3 ? 2 , (m ?1) ? (m ? 2) ? 25 .
2 2
2 2

故所求 P 点坐标为 (12 , 18 ) . 13 13

m 2 ? 3m ? 1 0 ,得 m ? ?5, m ? 2 . ? 0

(2)如果 C 1 与 C 2 内含,则有

10.解:以直线 AB 为 x 轴,以线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立 直角坐标系. ∵ AB=10km, ∴ A(-5,0),B(5,0),C(x, y)是平面内任意一点,从 A 运货物到 设 P 处的运费为 2a/km, 则从 B 运到 P 的费用为 a/km, P 地居民 若 选择在 A 地购买商品, 则 2a ? ( x ? 5)2 ? y 2 ? a ? ( x ? 5)2 ? y 2 化简得 (x+ 25 ) 2 +y 2 <( 20 ) 2 3 3 25 ) 2 +y 2 =( 20 ) 2 的内部, 即 P 点在圆 C:(x+ 3 3 所以圆 C 内部的居民应在 A 地购物; 圆 C 上的居民可随意选择 A,B 两地之一购物; 圆外部的居民应在 B 地购物. §2.16 空间直角坐标系 1.B 2.B 3.B 4.B 9. 略 5.(2a-x,2b-y,2c-z)

(m ?1)2 ? (m ? 2)2 ? 3 ? 2 , (m ?1) 2 ? (m ? 2) 2 ? 1 .
m 2 ? 3m ? 2? 0,得 ?2 ? m ??1 .

∴当 m??5 或 m? 2 时, C 1 与 C 2 外切; 当 ?2 ? m ??1 时, C 1 与 C 2 内含. 9. 解:设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,
2 2

由两圆的公共弦方程为 Dx+(E+7)y+F-10=0, 由公共弦与 l 平行, ∴ D = E ? 7 ? F ?10 …………(1) 2 ?3 ?1 又圆过 A(-2,3),B(1,4), ∴-2D+3E+13+F=0 ………(2); D+4E+17+F=0 …………(3) 联解(1)(2)(3),得 D=2,E=-10,F=21 ∴圆的方程为 x 2 +y 2 +2x-10y+21=0. 10.解:两圆方程相减得,直线 l 的方程 x-y+m=0, 圆 C 1 为(x-2) 2 +(y+4) 2 =9 -7-

6. yoz 平面 8. (0, 0, 0);

7.(4)

10. 解:(1)B(2,4,0); P(0,0,2 3 )提示: 以 D 为原点, DA、DC、

DP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立坐标系. (2) V ? 10 3 . 3 §2.17 空间两点间的距离 1. C
2 2

2. A
2

3. C 6. 4, 1, 2

4. B 7. (0, 0,-3)

5. x +y +z =9

8. 表面积为 20? 平方单位; 另一端点坐标为(3, 0, 2). 9. 解: 点 N 关于平面 xoy 的对称点 N'的坐标为 (3, ?2, ?1) ,光线所经 过的路程为 MN ? ? 2 13 . 10. 提示:(1)只要证明 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 即可。(2)外心为(3, -3,-2) 平面解析几何初步单元检测题 1. C 6. C 2. B 7. D
2 2

3. C 8. B 12.

4. D 9. C 2; -2

5. B 10. C

11. (10,-15)

13. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8

14. 3x-2y+c=0

15. 解:设直线方程为 y+3=k(x-2), 分别与二直线联解得 x 1 = 2k ? 5 ,x 2 = 10 k ? 5 ,再由中点公式,得 k=4 k ?3 5k ? 1 ∴ 可求直线方程为 4x-y-11=0. 16. 解:设所求的圆 C 与直线 y ? x 交于 A、B, ∵ 圆心 C 在直线 x ? 3 y ? 0 上,∴ 设圆心为 C (3a , a ) ∵ 圆与 y 轴相切,∴R ? 3 a . 而圆心 C 到直线 x ? y ? 0 的距离 3a ? a CD ? ? 2 a .(D 为 AB 的中点) 2 又? AB ? 2 7, BD ? 7 , 在 Rt?CBD 中, R 2 ? CD ? ( 7)2 ,
2

?9a 2 ? 2a 2 ? 7 , a 2 ? 1 ,a ? ? 1 , a3 ?, 3 ?

∴ 圆心的坐标 C 方别为 (3, 1) 和 ( ?3, ?1) , 故所求的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1) 2 ? 9 或
( x ? 3) 2 ? ( y ?1) 2 ? 9

17. 解:(1)因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 且 AD 与 AB 垂直,所以直线 AD 的斜率为 ?3 . 又因为点 T (?1, 1) 在直线 AD 上, 所以 AD 边所在直线的方程为 y ?1 ? ?3( x ?1) . (2)由

?3xx??3yy ? 62 ? 00 解得点 A 的坐标为 ? =

(0, 2) , ?

0) 因为矩形 ABCD 两条线的交点为 M (2, .

所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的对角圆心. 又 AM ? (2 ? 0)2 ? (0 ? 2)2 ? 2 2 . 从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 8 . 18. 解:(1)∵圆心坐标为 (2m ?1, ? m ?1) , 令 x ? 2m ?1, y ? ?m ?1 , 消 m 得圆心在直线 l: x ? 2 y ? 3 ? 0 上; (2)设与 l 平行的直线 l? 方程为: x ? 2 y ? k ? 0 (k ? 3) 则圆心到直线的距离 d ?
k ?3 5



又 l? 截圆可得弦长为 ( L )2 ? d 2 ? 4 ,∴ L2 ? 16 ? 4d 2 , 2 ∵d 与 m 无关,而 d 为常数,L 也为常量,得证. -8-

高级中学课程标准教科书教辅用书

高中数学 2
课课练 单元测试

★参考答案

(2011 年 3 月)

汕头大学出版社


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