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贵州省天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中2013届高三上学期期末联考数学理试题(1)



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贵州省天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中 2013 届高三上学 期期末联考数学理试题
考试说明:
1.本试卷考试时间 120 分钟. 2.答卷前,考生务必在答题卡上写好班级、姓名、考号. 3.将每题的答案写在答题卡上的指定位置. 4.考试结束,将答题卡交回,答案写在试

卷上视为无效答案.

一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.已知集合 M ? {x | x ? 1 ? 0} , N ? { y | y ? log 2 ( x ? 2), x ? M } ,则 M ? N ? (
2



A. (0,1)

B. (?1,1)

C. (?1, 0) )

D. ?

2. 在复平面内,复数 ? 1 所对应的点位于 ( A.第一象限 B. 第二象限
2

1 i

C. 第三象限

D. 第四象限

3. 设 a = lg e , b = (lg e ) , c = lg A.

e ,则(



a> b> c B. c > a > b C. a > c > b D. c > b > a ? ? ? ? ? ? ? 4. 若 a ? 2 , b ? 4 且(a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角是( )
A.

2? 3

B.

?
3

C.

4? 3

D. ?

2? 3
)

5.已知 x 为实数,条件 p: x 2 ? x ,条件 q: A.充要条件

1 ? 2 ,则 p 是 q 的( x


B.必要不充分条 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 若棱长均为2的正三棱柱内接于一个球,则该球的半径为 ( A.

2 3 21 D. 3 3 2 7. 若数列 ?a n ? 的通项为 an ? ,则其前 n 项和 S n 为( ) n(n ? 2) 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 A. 1 ? B. ? ? C. ? ? D. ? ? n?2 2 n n ?1 2 n n?2 2 n ?1 n ? 2 ? 8. 要得到函数 y ? 2 cos(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的图象( ) 3 ? ? ? ? A.向左平移 个单 B.向右平移 个单位 C.向右平移 个单 D.向左平移 个单 4 2 3 8
B.

3 3

7

C.

位 9. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两 名学生不能分到同一个班,则不同的分法的种数为 ( ) A.24 种 B.30 种 C.36 种 D. 81 种 10. 如图是某几何体的三视图,其中正视图为正方形, 俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形,则该几何体的 体积是 ( )

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正视图 侧视图 俯视图

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A.

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D.

8 3

B.

8 2 3

C.

4 3

4 2 3

11. 双曲线

为 y ? 2 x ,则该双曲线的离心率等于( A.

y2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线 a 2 b2


5 6 B. 5 C. 6 D. 2 2 1 2 3 12. 如果 ( + x ) 的展开式中的常数项为 a ,则直线 y = ax 与曲线 y = x 2 围成图形的面

x

积为( A.



27 2

B. 9

C.

9 2

D.

27 4
。 开始

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. 已知 ? ? (? , 2? ), tan ? ? ?2, 则cos? ?

14. 若某算法流程图如右图所示,则该程序运行后输出的 B 等于 。

A=1,B=1 A=A+1

?x ? y ? 1 ? 0 ? 15.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 2 x + y 的最 ?x ? 1 ?
大值是 __ __ 。 16. 对 于 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) , 若 实 数

A<6? 否 输出 B



B=2B+1

x0 满 足

f ( x 0 ) = x 0 ,则称 x 0 是函数 f ( x ) 的一个不动点,若二
次函数 f ( x ) = 取值范围是

x 2 + 2ax + a 2 没有不动点,则实数a的
。 结束

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 已 知 向 量

m ? (cos A, cos B), n ? (2c ? b, a ) ,且 m ? n 。
(Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a = 4 3 , b ? c ? 8 ,求△ABC 的面积。

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18. (本小题满分 12 分) 某产品在投放市场前,进行为期 30 天的试销,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 3 2 6 3 10 4 6 5 4

试销结束后(假设商品的日销量的分布规律不变) ,在试销期间,每天开始营业时商品有 5 件,当天营业结束后,进行盘点存货,若发现存量小于 3 件,则当天进货补充到 5 件,否则 不进货。 (Ⅰ)求超市进货的概率; (Ⅱ)记 ? 为第二天开始营业时该商品的件数,求 ? 的分布列和数学期望。 19. (本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是 边长为 2 3 的正三角形,点 A1 在底面 ABC 上的射影 O 恰是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:A1A⊥BC; (Ⅱ)当侧棱 AA1 和底面成 45°角时, 求二面角 A1—AC—B 的余弦值;
A O A1 B1 D C1

C B

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

2 x2 y 2 , + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 2 2 a b

其中左焦点 F (?2,0) 。 (Ⅰ) 求出椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y = x + m 与曲线 C 交于不同的 A、B 两点,且线段 AB 的中点 M 在圆

x 2 + y 2 = 1 上,求 m 的值。

21. (本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x) ?

( x ? 1) ln x ( x ? 0, 且x ? 1) x ?1

(Ⅰ)讨论函数 f (x) 的单调性; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 2 。

选考题(本小题满分 10 分) (请考生在 22、23、24 三题中选一题做答,如果多做, 则按所做的第一题记分。 ) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、C,?APC 的平分线分别交 AB、AC 于点 D、E,
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A E D C O B P

(Ⅰ)证明: ?ADE ? ?AED ; (Ⅱ)若 AC=AP,求

PC 的值。 PA

23.选修 4-4:极坐标与参数方程 已 知 点 P (1 ? cos ? , sin ? ) , 参 数

? ? ?0, ? ?

,点 Q 在曲线 C:

r?

9 2 sin(? ?

?
4

上。

)

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 P 与点 Q 之间的最小值。

24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ? x ? 2 ? m) 。 (Ⅰ)m=7 时,求函数 f (x) 的定义域; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R,求 m 的取值范围。

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第一节 1-12 依次为 第二节 13、

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四校联考(理科)数学参考答案 ADCAB,DDABA,AC

5 ; 14、63 ; 15、4; 16、 (4,? ?) 5

三.解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.解: (Ⅰ)?

m?n
(2 分)

m ? n ? (cos A, cos B) ? (2c ? b, a ) ? 0 即 (2c ? b) cos A ? a cos B ? 0 由正弦定理可得 (2 sin C ? sin B ) cos B ? sin A cos B ? 0 整理得 sin C ? 2 sin C cos A ? 0 ? 0 ? C ? ? ,? sin C ? 0 1 2? ? cos A ? ? ,? A ? 2 3 2 2 2 (II)由余弦定理可得 a ? b ? c ? 2bc cos A, 48 ? b 2 ? c 2 ? bc ? (b ? c) 2 ? bc ? 64 ? bc 即 bc ? 16
?
故 S? ?

(5 分) (6 分) (8 分) (10 分) (12 分)

1 1 3 bc sin A ? ?16 ? ?4 3 2 2 2
=

18.解: (1)P(进货)= P(销售 3 件)+ P(销售 4 件)+ P(销售 5 件)

10 6 4 2 ? ? ? 30 30 30 3 p(? ? 3) ? 6 1 ? 30 5

(5 分)

(2) ? 的取值是 3,4,5.

?
P

3
1 5

4
1 10

5
7 10

p(? ? 4) ?

3 1 7 ? p(? ? 5) ? 30 10 10 1 1 7 ? E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 4 ? 5 5 10 10

即分布列是: (12 分) …………………1 分 …………………3 分 …………………4 分 ………(6 分) ………7 分

19.解法一: (Ⅰ)连结 AO, A1O⊥面 ABC, AO 是 A1 A 在面 ABC 的射影 ∵ AO⊥BC ∴ A1A⊥BC. (Ⅱ)由(Ⅰ)得∠A1AO=45°

A1 D B1

C1

由底面是边长为 2 3 的正三角形,可知 AO=3 …………8 分 ∴A1O=3,AA1=3 2 过 O 作 OE⊥AC 于 E,连结 A1E, 则∠A1EO 为二面角 A1—AC—B 的平面角 ………9 分 A B ………10 分 ………11 分 E F O C

AO ∵OE= 3 ,∴tan∠A1EO= 1 ? 3 ? 2 2 OE 3 2
即二面角 A1—AC—B 的余弦值为

5. ………12 分 5 解法二:以 O 点为原点,OC 为 x 轴,OA 为 y 轴,OA1 为 z 轴建立空间直角坐标系. (Ⅰ)由题意知∠A1AO=45°,A1O=3.
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∴O(0,0,0) C( 3 ,0,0) A(0,3,0) A1(O,0,3) B(- 3 ,0,0) , , , , .……… 2分

???? ??? ? ∵ AA1 =(0,-3,3) BC =(2 3 ,0,0)………3 分 , ???? ??? ? ∴ AA1 · BC =0×2 3 +(-3)×0+3×0=0.………4 分
∴AA1⊥BC. ………6 分) (Ⅱ)设面 ACA1 的法向量为 n1=(x,y,z) , ???? ?n1 ? AC ? ( x, y, z ) ? ( 3, ?3,0) ? 3 x ? 3 y ? 0 ? 则 ? ???? ………8 分 ?n1 AA1 ? ( x, y, z ) ? (0, ?3,3) ? ?3 y ? 3 z ? 0 ? 令 z=1,则 x= 3 ,y=1,∴n1=( 3 ,1,1) 而面 ABC 的法向量为 n2=(0,0,1) cos(n1,n2)= ………10 分 ………12 分 A1 D B1 z C1

y

A B O

C

x

3 ? 0 ? 1? 0 ? 1?1 ? 1 5 12 ? 12 ? ( 3) 2 ? 1

20.解:(1)由题意得,

c 2 ,c ? 2 ? a 2

………2 分

解得: ?

?a ? 2 2 ?b ? 2

………4 分

所以椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ?1 8 4

………6 分

(2)设点 A,B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,线段 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) ,

? x2 y2 ?1 ? ? 由? 8 ,消去 y 得 3 x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 8 ? 0 4 ?y ? x ? m ?
? ? ? 96 ? 8m 2 ? 0,? ?2 3 ? m ? 2 3

………8 分

………9 分

? x0 ?

x1 ? x 2 2m m ?? , y 0 ? x0 ? m ? 2 3 3

………10 分

? 点 M ( x0 , y 0 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,

? (?

2m 2 m 2 3 5 ) ? ( ) ? 1,即m ? ? 3 3 5

………12 分

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? 2 ln x ? x ? ( x ? 1) 2

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1 x

21. 解:(1) f / ( x) ?

设 g ( x) ? ?2 ln x ? x ?

1 ( x ? 1) 2 , 则g (0) ? 0, 且g / ( x) ? ?0 x x2

上单调递增。 g (x)在(0, ? ) ? 当 x ? (0,1)时,g ( x) ? 0, 从而f ( x) ? 0, f ( x)单调递减 ;
/

当 x ? (1,? ?)时,g ( x) ? 0, 从而f ( x) ? 0, f ( x)单调递增 。
/

1)上单调递减,在( , ? )上单调递增 。 1? 因此, f (x)在(0,
(x ? 1) ln x ?2?0 x ?1 x ?1 2( x ? 1) 即 [ln x ? ]?0 x ?1 x ?1
(2)原不等式就是 令 h( x) ? ln x ?

(6 分)

2( x ? 1) ( x ? 1) 2 , 则h(1) ? 0, h / ( x) ? ?0 x ?1 x( x ? 1) 2

h(x)在(0, ? ) ? 上单调递增, ? 当 x ? (0,1)时,h( x) ? 0, 当x ? (1,? ?)时,h(x) 0 ,
所以当 x ? 0, 且x ? 1时,f ( x) ? 2 22. 解:(1)? PA 是切线,AB 是弦,? ?BAP ? ?C 又? ?APD ? ?CPE ,? ?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE (12 分)

? ?ADE ? ?BAP ? ?APD, ?AED ? ?C ? ?CPE ? ?ADE ? ?AED
(2)由(1)知 ?BAP ? ?C , 又 ? ?APC ? ?BPA,

(5 分)

? ?APC ~ ?BPA ,

PC CA ? ,? AC ? AP,? ?APC ? ?C ? ?BAP, PA AB
?

由三角形内角和定理可知, ?APC ? ?C ? ?CAP ? 180 ,

? BC 是圆 O 的直径,? ?BAC ? 90 ? ,

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? ?APC ? ?C ? ?BAP ? 180 ? ? 90 ? ? 90 ? , ? ?C ? ?APC ? ?BAP ? 30 ?
CA PC CA 在Rt?ABC中, ? 3 ,? ? ? 3 AB PA AB
23.解:(1)由 ? (10 分)

? x ? 1 ? cos ? , ? y ? sin ? ,
2 2

得点 P 的轨迹方程 ( x ? 1) ? y ? 1( y ? 0), 又由 ? ?

(2 分)

9 2 sin(? ?

?
4

, 得? ? )

9 , sin ? ? cos ?

? ? sin ? ? ? cos ? ? 9

? 曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 9 。
2 2

(5 分)

(2)半圆 ( x ? 1) ? y ? 1( y ? 0) 的圆心(1,0)到直线 x ? y ? 9 的距离为 4 2 , 所以 PQ min ? 4 2 ? 1 24. 解:(1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7, 则有: ? (10 分)

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 或? 或? ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7

(3 分)

解得函数 f (x) 的定义域为 (? ?,?3) ? (4,? ?) 。 (2)不等式 f ( x) ? 2 ? log 2 4,即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4

(5 分) (7 分) (9 分) (10 分)

? x ? R时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,


m ? 4 ? 3,

即 m 的取值范围范围是 (? ?,?1]

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