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2015理科数学之数列高考题汇编



10.(2009 全国卷Ⅰ理) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 答案 24 解析

?an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得?S9 ? 9a5 ,

a5 ? 8

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a

5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 .
11.(2009 浙江理)设等比数列 {an } 的公比 q ? 答案:15 解析 对于 s4 ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)
?

12.(2009 北京文)若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ) ,则 a5 ? 前 8 项的和 S8 ? 答案 225 解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 的考查. .(用数字作答)



属于基础知识、 基本运算

a1 ? 1, a2 ? 2a1 ? 2, a3 ? 2a2 4, a4 ? 2a3 ? 8, a5 ? 2a4 ? 16 ,
易知 S8 ?

28 ? 1 ? 255 ,∴应填 255. 2 ?1
×

13. (2009 全国卷Ⅱ文) 设等比数列{ an }的前 n 项和为 sn 。 若 a1 ? 1, s6 ? 4s3 , 则 a4 = 答案:3 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由 a1 ? 1, s6 ? 4s3 得 q =3 故 a4=a1q =3
3 3

14.(2009 全国卷Ⅱ理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? S5

解析

?an ? 为等差数列,?

S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

答案 9 15.(2009 辽宁卷理)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?
1 解析 ∵Sn=na1+ n(n-1)d 2

∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 答案
1 3

17.(2008 四川)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为 ______. 答案 4 .

18.(2008 重庆)设 Sn=是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16= 答案 -72

19.(2007 全国 I) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 S1 , 则 ?an ? 3S3 成等差数列, 2S2 , 的公比为 答案 .

1 3

20.(2007 江西)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? . 答案 7

, 2, 3, ) ,则此数列的通项公 21.(2007 北京)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ?10n(n ? 1
2

式为 答案

;数列 ?nan ? 中数值最小的项是第

项.

2n ? 11

22. ( 2006 湖 南 ) 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? 1, an?1 ? 2an .n ? 1 , 2 , 3 … . 则
a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

.

答案

2n ? 1

解析 数列 ?a n ?满足: ∴
a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

a1 ? 1, an?1 ? 2an , n ? 1 ,2,3…,该数列为公比为 2 的等比数列,

2n ? 1 n .2 ?1 ? 2 ?1
2
*

三、解答题 16. (2009 浙江文) 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,Sn ? kn ? n ,n ? N , 其中 k 是常数. (I) 求 a1 及 an ;

(II)若对于任意的 m ? N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

解(Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,

n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1 ( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? an ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m , 即 (4km ? k ? 1) 2 ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: m k(k ? 1) ? 0 , 对任意的 m ? N ? 成立,

? k ? 0或k ? 1
?

17.(2009 北京文)设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N , P ? 0) . 数列 {bn } 定义 如下:对于正整数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; 解(Ⅰ)由题意,得 an ?

1 1 1 1 20 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 2 3 2 3 3



1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1 , 对于正整数,由 an ? m ,得 n ? 根据 bm 的定义可知
* * 当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N ;当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 k ? N .

m ?1 . 2

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ?

? b2m ? ?b1 ? b3 ?

? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ?
? ? m ? 1? ? ?

? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ?

? m? ? ? ?2 ? 3 ? 4 ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2

1’ a2 ? 2, an+2= 25. (2009 陕西卷文)已知数列 ?an } 满足, a1=

an ? an ?1 ,n? N* . 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn} 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。 (1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ?

an ?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

1 为公比的等比数列。 2 1 2

n ?1 (2)解由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) ,

当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ?

1 ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? 2

1 ? (? ) n ? 2 2

1 1 ? (? ) n ?1 2 1 5 2 1 2 ? 1 ? [1 ? ( ? ) n ? 2 ] ? ? ( ? ) n ?1 , ? 1? 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2
当 n ? 1 时,

5 2 1 1?1 ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2

所以 an ?

5 2 1 n ?1 ? (? ) (n ? N * ) 。 3 3 2

(2011 高考) (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . 1.求数列 ?an ? 的通项公式.
?1? 2.设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前项和. ? bn ?

解:
2 3 2 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q 2 ? ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4

1 。有条件 9

1 可知 a>0,故 q ? 。 3 1 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以 a1 ? 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3

(Ⅱ ) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1
? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 2n 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

(辽宁理 17) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式;
? an ? ? n ?1 ? (II)求数列 ? 2 ? 的前 n 项和.

解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得

?a1 ? d ? 0, ? ?2a1 ? 12d ? ?10,

?a1 ? 1, ? d ? ?1. 解得 ?
故 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为 an ? 2 ? n. ………………5 分 ( II ) 设 数 列

{

an a2 } 的前 n 项和为 S S ? a ? ? n n 1 2 2n ?1 ,即 ? an . 2n

?

an , 故S1 ? 1 2n ?1 ,

Sn a1 a2 ? ? ? 2 2 4

所以,当 n ? 1 时,

Sn a ?a a a ? a1 ? a1 ? 2 ? ? n n ?1n ?1 ? n 2 2 2 2n 1 1 1 2?n ? 1 ? ( ? ? ? n ?1 ? n ) 2 4 2 2 1 2?n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n 2 2
n . 2n

所以

Sn ?

n 2 n ?1

.

an n }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 综上,数列 2 {
(天津理 20) 已知数列 {an } 与 {bn } 满足:

………………12 分
3 ? (?1)n * 2 , n ? N ,且

bn an ? an?1 ? bn?1an? 2 ? 0, bn ?

a1 ? 2, a2 ? 4 .
(Ⅰ)求 a3 , a4 , a5 的值; (Ⅱ)设

cn ? a2n?1 ? a2n?1, n ? N *
bn ?

,证明:

?cn ? 是等比数列;

(I)解:由

3 ? (?1)n , n ? N *, 2

?1, n为奇数 bn ? ? ?2,n为偶数 可得

又 bn an ? an?1 ? bn?1an?2 ? 0,
当n=1时,a1 +a 2 +2a 3 =0,由a1 =2,a 2 =4,可得a 3 ? ?3; 当n=2时,2a 2 +a 3 +a 4 =0,可得a 4 ? ?5; 当n=3时,a 3 +a 4 +2a 5 =0,可得a 4 ? 4.
* (II)证明:对任意 n ? N ,

a2n?1 ? a2n ? 2a2n?1 ? 0, 2a2n ? a2n?1 ? a2n?2 ? 0,

① ②

a2n?1 ? a2n?2 ? 2a2n?3 ? 0, ③
②—③,得 a2n ? a2n?3. ④ 将④代入①,可得 a2n?1 ? a2n?3 ? ?(a2n?1 ? a2n?1 ) 即

cn?1 ? ?cn (n ? N * )

又 c1 ? a1 ? a3 ? ?1, 故cn ? 0,
cn?1 ? ?1, 所以{cn } cn

因此

是等比数列.

3.(17) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3 22n?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn (17)解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ? 3(22n?1 ? 22n?3 ?
? 22( n ?1) ?1 。

? (a2 ? a1 )] ? a1

? 2) ? 2

而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 。 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ?
从而

? n ? 22n?1



22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ?
①-②得

? n ? 22n?1



(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ?

? 22n?1 ? n ? 22n?1



1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}满足 a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N+) (1)证明:数列{an+1-an }是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式



(1)证明: an?2 ? 3an?1 ? 2an ,

? an ? 2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ), a1 ? 1, a2 ? 3, ? an ? 2 ? an?1 ? 2(n ? N * ). an ?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
(2)解:由(1)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ), [来源:学科网]

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
17. (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* . (1)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,求 S n?1 ? 4S n 的最大值。 17.证明: (Ⅰ)由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得 an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* . 又 a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n?1 ? n .所以

4n ? 1 n(n ? 1) ? . 3 2 ? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) Sn ?1 ? 4Sn ? ? ? 4? ? ? 3 2 2 ? ? 3 1 = ? (3n 2 ? n ? 4) 故 n=1,最大 0. 2 .(2011·东莞期末)(本小题满分 14 分)
数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 已知数列 ?an ? 的各项满足: a1 ? 1 ? 3k (k ? R) , an ? 4n?1 ? 3an?1 .

(1) 判断数列 {a n ?

4n } 是否成等比数列; 7

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; 解: (1) a n ?1 ?
4 n?1 4 n?1 3 ? 4 n ? 3a n ? ? ?3a n ? ? 4 n 7 7 7 n 4 ? ?3(a n ? ) , 7 4 4 3 a1 ? ? 1 ? 3k ? ? ? 3k . 7 7 7 1 4 4n k ? a ? ? 0 当 时, 1 ,则数列 {a n ? } 不是等比数列; 7 7 7 n 1 4 4 当 k ? 时,a1 ? ? 0 , 则数列 {a n ? } 是公比为 ? 3 的等比数列. 7 7 7 n 1 4 3 ? ( ? 3k ) ? (?3) n?1 , (2)由(1)可知当 k ? 时, a n ? 7 7 7 n 3 4 a n ? ( ? 3k ) ? (?3) n?1 ? . 7 7 1 4n k ? 当 时, a n ? ,也符合上式, 7 7 3 4n n ?1 a 所以,数列 ? n ? 的通项公式为 a n ? ( ? 3k ) ? (?3) ? . 7 7

(2011·佛山一检)(本题满分 14 分) 已知正项等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 12 ,且 2a1, a2 , a3 ? 1 成等比 数列. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ?
an 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 3n

解: ( Ⅰ ) ∵ S3 ? 12 , 即 a1 ? a2 ? a3 ? 12 , ∴ 3a2 ? 12 , 所 以 a2 ? 4 , --------------------------------2 又∵ 2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列,
2 2 ? 2(a2 ? d ) ? (a2 ? d ? 1) , ? 2a1 ? (a3 ?1) ,即 a2 ∴ a2

解得, d ? 3 或 d ? ?4 (舍去) , ∴ a1 ? a2 ? d ? 1 ,故 an ? 3n ? 2 ;

(Ⅱ)法 1: bn ?

an 3n ? 2 1 ? ? (3n ? 2) ? n , n n 3 3 3 ? (3n ? 2) ? 1 , 3n ? (3n ? 5) ?

1 1 1 ∴ Tn ? 1? ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? 3 3 3


1 1 ? (3n ? 2) ? n ?1 n 3 3

1 1 1 1 1 ① ? 得, Tn ? 1? 2 ? 4 ? 3 ? 7 ? 4 ? 3 3 3 3 3



2 1 1 1 1 ① ? ②得, Tn ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? 3 3 3 3 3

? 3?

1 1 ? (3n ? 2) ? n ?1 n 3 3

1 1 (1 ? n ?1 ) 2 1 1 5 1 1 1 3 ? ? 3? 3 ? (3n ? 2) ? n?1 ? ? ? n?1 ? (3n ? 2) ? n?1 1 3 3 6 2 3 3 1? 3
∴ Tn ?
5 1 1 3n ? 2 1 5 6n ? 5 1 ? ? n?2 ? ? n ? ? ? n . 4 4 3 2 3 4 4 3

9.(2011·三明三校一月联考) (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 和正项等 比数列 ?bn ? , a1 ? b1 ? 1 , a3 ? a7 ? 10 , b3 = a4 (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式 (2)若 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 解(1)依题意, ?an ? 为等差数列,设其公差为 d ; ?bn ? 为正项等比数列,设 其公比为 q ,则可知 q ? 0 ∵

a3 ? a7 ? 10

∴可知 2 a5 ? 10 ,即 a5 ? 5 ∴ a5 ? a1 ? 4d ? 4 ,解得 d ? 1
2 ∴ q ?

又 a1 ? 1

故 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n 由已知 b3 = a4 =4, ∴ bn ? b1q n?1 ? 2 n?1 所以 ∴

b3 ? 4 ,即 q ? 2 b1

n ?1 an ? n , bn ? 2 n?1 (2)∵ cn ? an ? bn = n ? 2

Tn = 1? 2 0 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1



2Tn



1? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? n ? 2 n
1 ? (1 ? 2 n ) ? n ? 2n = 1? 2

0 1 2 n ?1 n 以上两式相减,得- Tn = 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2 =

(1 ? n) ? 2 n ? 1


Tn = (n ? 1) ? 2 n ? 1

10.(2011 ·杭州一检 ) (本题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且

Sn ? 4an ? 3 (n ? 1, 2, ) ,
(1)证明:数列 ?an ? 是等比数列; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn?1 ? an ? bn (n ? 1, 2, ) , b1 ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公 式. 解: (1)证:因为 Sn ? 4an ? 3 (n ? 1, 2, ) ,则 Sn ?1 ? 4an ?1 ? 3 (n ? 2,3, ) , 所以当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 4an ? 4an?1 , 整理得 an ?
4 an ?1 . 3

5分

由 Sn ? 4an ? 3 ,令 n ? 1 ,得 a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? 1 . 所以 ?an ? 是首项为 1, 公比为 分
4 n ?1 (2)解:因为 an ? ( ) , 3 4 n ?1 由 bn?1 ? an ? bn (n ? 1, 2, ) ,得 bn ?1 ? bn ? ( ) . 3 4 的等比数列. 3

7

9分

由累加得 bn ? b1 ? (b2 ? b`1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn ?1 )

4 1 ? ( ) n ?1 4 3 ? 3( ) n ?1 ? 1 , =2? (n ? 2 ) , 4 3 1? 3

4 n ?1 当 n=1 时也满足,所以 bn ? 3( ) ? 1 . 3

(2011·泰安高三期末) (本小题满分 12 分) 在数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是常数,n=1,2,3…),且 a1, a2,a3,成公 比不为 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求{an}的通项公式. 解: (1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,(1 分) 因为 a1,a2,a3 成等比数列, 所以(2+c) =2(2+3c), 解得 c=0 或 c=2. 当 c=0 时,a1=a2=a3,不符合题意舍去 故 c=2. (2)当 n≥2 时,由于 a2 – a1 =c, a3 – a2 =2c, an – an-1=(n-1)c, 所以 an –a1 =[1+2+…+(n-1) ]c=
n ( n ? 1) c. 2
2

又 a1=2,c=2,故 an=2+n(n -1)= n 2- n +2(n =2,3,…). 当 n=1 时,上式也成立, 所以 an= n 2- n +2(n =1,2,…). (2011·温州十校期末联考) (本题满分 14 分)已知等差数列 ?an ? 满足前 2 项 的和为 5,前 6 项的和为 3. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? (4 ?an ) ? 2n , (n ? N ? ) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn 。

2 ?1 ? ? 2a1 ? 2 d ? 5 解: (1)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d,则 ? 6?5 ?6a1 ? d ?3 2 ?


————2

?a ?3 解 得? 1 ?d ? ?1

———4 分

? an ? a1 ? (n ?1)d ? 4 ? n
————7 分

————6 分

(2) bn ? (4 ?an ) ? 2n ? n ? 2n , (n ? N ? )

Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n
?

? 2Sn ?

1? 22 ? 2 ? 23 ??? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1

?-?,得 ? Sn ? 2 ? 2 ??2 ? n ? 2
1 2 n

n?1

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 —11 分 ? 1? 2

—13 分

?Sn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2

-------------14 分

学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞



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