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1983年全国高中数学联赛试题及解答



1983 年全国高中数学联赛
第一试 1.选择题(本题满分 32 分,每题答对者得 4 分,答错者得 0 分,不答得 1 分) ⑴ 设 p、q 是自然数,条件甲:p3-q3 是偶数;条件乙:p+q 是偶数.那么 A.甲是乙的充分而非必要条件 B.甲是乙的必要而非充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 1 1 ⑵ x= + 的值是属于

区间 1 1 log1 log1 23 53 A.(-2,-1) B.(1,2) C.(-3,-2) D.(2,3) ⑶ 已知等腰三角形 ABC 的底边 BC 及高 AD 的长都是整数,那么,sinA 和 cosA 中 A.一个是有理数,另一个是无理数 B.两个都是有理数 C.两个都是无理数 D.是有理数还是无理数要根据 BC 和 AD 的数值来确定 2 2 ⑷ 已知 M={(x,y)|y≥x },N={(x,y)|x +(y-a)2≤1}.那么,使 M∩N=N 成立的充要条件是 1 A.a≥1 4 1 B.a=1 4 C.a≥1 D.0<a<1

⑸ 已知函数 f(x)=ax2-c,满足 -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5. 那么,f(3)应满足 A.7≤f(3)≤26 B.-4≤f(3)≤15 C.-1≤f(3)≤20 28 35 D.- ≤f(3)≤ 3 3

⑹ 设 a,b,c,d,m,n 都是正实数, P= ab+ cd,Q= ma+nc· b d + ,那么 m n

A.P≥Q B.P≤Q C.P<Q D.P、Q 的大小关系不确定,而与 m,n 的大小有关. ⑺ 在正方形 ABCD 所在平面上有点 P,使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 都是等腰三角形,那么具 有这样性质的点 P 的个数有 A.9 个 B.17 个 C.1 个 D.5 个 ⑻ 任意△ABC,设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为 l、R 与 r,那么 A.l>R+r B.l≤R+r l C. <R+r<6l 6 D.A、B、C 三种关系都不对

2.填充题(本题满分 18 分,每小题 6 分) 3 5 ⑴ 在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,那么 cosC 的值等于 5 13 .

⑵ 三边均为整数,且最大边长为 11 的三角形,共有 个. ⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这样两个多面体的内切球 m 半径之比是一个既约分数 ,那么积 m?n 是 n .

1.(本题满分 8 分)求证:arc sinx+arc cosx=

?
2

,其中 x∈[-1,1]

2. (本题满分 16 分)函数 f(x)在[0, 1]上有定义, f(0)=f(1). 如果对于任意不同的 x1, x2∈[0, 1], 都有|f(x1) -f(x2)|<|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|< 1 . 2

3.(本题满分 16 分) 在四边形 ABCD 中,⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC 的面积比是 3∶4∶1,点 M、N 分别在 AC、CD 上满足 AM∶AC=CN∶CD,并且 B、M、N 三 点共线.求证:M 与 N 分别是 AC 与 CD 的中点.

A E B M C N

D

4. (本题满分 16 分)在在六条棱长分别为 2,3,3,4,5,5 的所有四面体中,最大体积是多少?证明你 的结论.

5.(本题满分 18 分) 函数 F(x)=|cos2x+2sinxcosx-sin2x+Ax+B| 3 在 0≤x≤ π 上的最大值 M 与参数 A、B 有关,问 A、B 取什么值时,M 为最小?证明你的结论. 2

1983 年全国高中数学联赛解答 第一试 1.选择题(本题满分 32 分,每题答对者得 4 分,答错者得 0 分,不答得 1 分) ⑴ 设 p、q 是自然数,条件甲:p3-q3 是偶数;条件乙:p+q 是偶数.那么 A.甲是乙的充分而非必要条件 B.甲是乙的必要而非充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 3 3 2 2 解:p -q =(p-q)(p +pq+q ).又 p+q=p-q+2q,故 p+q 与 p-q 的奇偶性相同. ∴ p+q 为偶数,?p-q 为偶数,?p3-q3 为偶数. p+q 为奇数,?p、q 一奇一偶,?p3-q3 为奇数.故选 C. 1 1 ⑵ x= + 的值是属于区间 1 1 log1 log1 23 53 A.(-2,-1) B.(1,2) C.(-3,-2) D.(2,3) 解:x=log32+log35=log310∈(2,3),选 D. ⑶ 已知等腰三角形 ABC 的底边 BC 及高 AD 的长都是整数,那么,sinA 和 cosA 中 A.一个是有理数,另一个是无理数 B.两个都是有理数 C.两个都是无理数 D.是有理数还是无理数要根据 BC 和 AD 的数值来确定 A 解:tan 为有理数,?sinA、cosA 都是有理数.选 B. 2 ⑷ 已知 M={(x,y)|y≥x2},N={(x,y)|x2+(y-a)2≤1}.那么,使 M∩N=N 成立的充要条件是 1 A.a≥1 4 1 B.a=1 4 C.a≥1 D.0<a<1

解:M∩N=N 的充要条件是圆 x2+(y-a)2≤1 在抛物线 y=x2 内部(上方).即 a≥1,且方程 1 y2-(2a-1)y+a2-1=0 的△=(2a-1)2-4(a2-1)≤0,?a≥1 ,选 A. 4 ⑸ 已知函数 f(x)=ax2-c,满足 -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5. 那么,f(3)应满足 A.7≤f(3)≤26 B.-4≤f(3)≤15 C.-1≤f(3)≤20 28 35 D.- ≤f(3)≤ 3 3

解:f(1)=a-c,f(2)=4a-c,f(3)=9a-c.令 9a-c=λ(a-c)+μ(4a-c), 5 8 5 8 ∴ λ+4μ=9,λ+μ=1.∴ λ=- ,μ= .即 f(3)=- f(1)+ f(2). 3 3 3 3 5 5 40 8 8 40 但 ≤- f(1)≤ ,- ≤ f(2)≤ , 3 3 3 3 3 3 5 8 ∴-1≤- f(1)+ f(2)≤20..选 C. 3 3 ⑹ 设 a,b,c,d,m,n 都是正实数, P= ab+ cd,Q= ma+nc· b d + ,那么 m n

A.P≥Q B.P≤Q C.P<Q D.P、Q 的大小关系不确定,而与 m,n 的大小有关. 解:由柯西不等式,Q≥P.选 B. ⑺ 在正方形 ABCD 所在平面上有点 P,使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 都是等腰三角形,那么具 有这样性质的点 P 的个数有 A.9 个 B.17 个 C.1 个 D.5 个 解:如图,以正方形的顶点为圆心,边长为半径作 4 个圆,其 8 个交点满足要求,正方形的中心满足

要求,共有 9 个点.选 A. ⑻ 任意△ABC,设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为 l、R 与 r,那么 A.l>R+r B.l≤R+r l C. <R+r<6l 6 D.A、B、C 三种关系都不对

A 解:R= ,当 A→180° 时,a 最大,而 R 可大于任意指定的正数 M.从而可有 R<6l,否定 A、C. 2sinA 又正三角形中,R+r= 3 a<l, 否定 B.故选 D. 2

2.填充题(本题满分 18 分,每小题 6 分) 3 5 ⑴ 在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,那么 cosC 的值等于 5 13 .

4 12 4 5 4 解:cosA=± ,sinB= ,但若 cosA=- ,则 A>135° ,cosB= <cos60° ,B>60° ,矛盾.故 cosA= . 5 13 5 13 5 5 4 3 12 16 ∴ cosC=cos(π-A-B)=-cosAcosB+sinAsinB=- ·+ · = . 13 5 5 13 65 ⑵ 三边均为整数,且最大边长为 11 的三角形,共有 个. 解:设另两边为 x,y,且 x≤y.则得 x≤y≤11,x+y>11,在直角坐标系内作直线 y=x,y=11,x=11, x+y=11,则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数.(含 y=11,y=x 上的整点,不含 x+y=11 上的整点)共有 122÷4=36 个.即填 36. ⑶ 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这样两个多面体的内切球 m 半径之比是一个既约分数 ,那么积 m?n 是 n .

解:此六面体可看成是由两个正四面体粘成.每个正四 面体的高 h1= 6 6 a,于是,利用体积可得 Sh1=3Sr1,r1= a. 3 9

同样,正八面体可看成两个四棱锥粘成,每个四棱锥的 高 h2= ∴ 2 3 6 a,又可得 a2h2=4× a2r2,r2= a. 2 4 6 r1 2 = ,∴ m?n=6. r2 3

第二试 π 1.(本题满分 8 分)求证:arc sinx+arc cosx= ,其中 x∈[-1,1] 2 证明:由于 x∈[-1,1],故 arcsinx 与 arccosx 有意义, π π π π sin( -arccosx)=cos(arccosx)=x,由于 arccosx∈[0,π],∴ -arccosx∈[- , ]. 2 2 2 2 π 故根据反正弦定义,有 arcsinx= -arccosx.故证. 2 2. (本题满分 16 分)函数 f(x)在[0, 1]上有定义, f(0)=f(1). 如果对于任意不同的 x1, x2∈[0, 1], 都有|f(x1) 1 -f(x2)|<|x1-x2|.求证:|f(x1)-f(x2)|< . 2 1 1 证明:不妨取 0≤x1<x2≤1,若|x1-x2|≤ ,则必有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|< . 2 2 1 1 1 1 若|x1-x2|> ,则 x2-x1> ,于是 1-(x2-x1)< ,即 1-x2+x1-0< . 2 2 2 2

而|f(x1)-f(x2)|= |(f(x1)- f(0))-(f(x2)-f(1))|≤|f(x1)-f(0)|+ |f(1)-f(x2)|<| x1-0|+|1-x2| 1 =1-x2+x1-0< .故证. 2 3.(本题满分 16 分) 在四边形 ABCD 中,⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC 的面积比是 3∶4∶1,点 M、N 分 别在 AC、CD 上满足 AM∶AC=CN∶CD,并且 B、M、N 三点共线.求证:M 与 N 分别是 AC 与 CD 的中 点. 证明 设 AC、BD 交于点 E.由 AM∶AC=CN∶CD,故 AM∶MC=CN∶ND,令 D CN∶ND=r(r>0), 则 AM∶MC=r. A 由 SABD=3SABC,SBCD=4SABC,即 SABD∶SBCD =3∶4. E N 从而 AE∶EC∶AC=3∶4∶7. B M SACD∶SABC=6∶1,故 DE∶EB=6∶1,∴DB∶BE=7∶1. r 3 AM∶AC=r∶(r+1),即 AM= AC,AE= AC, r+1 7 4r-3 r 3 1 ∴EM=( - )AC= AC.MC= AC, r+1 7 7(r+1) r+1 4r-3 CN DB EM ∴EM∶MC= .由 Menelaus 定理,知 · · =1,代入得 7 ND BE MC 4r-3 r· 7· =1,即 4r2-3r-1=0,这个方程有惟一的正根 r=1.故 CN∶ND=1,就是 N 为 CN 中点, 7 M 为 AC 中点. 4. (本题满分 16 分)在在六条棱长分别为 2,3,3,4,5,5 的所有四面体中,最大体积是多少?证明你 的结论. 解:边长为 2 的三角形,其余两边可能是: ⑴ 3,3;⑵ 3,4;⑶ 4,5;⑷ 5,5. A A A 按这几条棱的组合情况,以 2 为公共棱的两个 侧面可能是: 5 4 5 5 4 5 5 2 ① ⑴,⑷;② ⑴,⑶;③ ⑵,⑷. 4 3 3 3 B D B D B D 先考虑较特殊的情况①:由于 32+42=52,即图 2 3 3 2 3 5 中 AD⊥平面 BCD, C 11 8 ∴ V1= ·· 2 32-12· 4= 2; 32 3 1 情况③:高<2,底面积= · 5 2 15 5 8 ∴ V3< · 11= 11< 2. 34 6 3 8 ∴ 最大体积为 2. 3 5.(本题满分 18 分) 函数 F(x)=|cos2x+2sinxcosx-sin2x+Ax+B| 3 在 0≤x≤ π 上的最大值 M 与参数 A、B 有关,问 A、B 取什么值时,M 为最小?证明你的结论. 2 解:F(x)=| 2 sin(2x+ 5 5 32-( )2= 11. 2 4
情况1

C

C

情况2

情况3

C

情况②:由于此情况的底面与情况②相同,但 AC 不与底垂直,故高<4,于是得 V2<V1.

?
4

)+Ax+B|.取 g(x)=

2 sin(2x+

?
4

),则 g(

?
8

9? 5? )=g( )= 2 .g( )=- 2 . 8 8

取 h(x)=Ax+B,若 A=0,B≠0,则当 B>0 时,F(

?
8

5? )> 2 ,当 B<0 时,F( )< 2 .从而 M> 8

2 .

5? 5? 5? 若 A≠0,则当 h( )<0 时,F( )> 2 ,当 h( )≥0 时,由于 h(x)是一次函数,当 A>0 时 h(x)递增, 8 8 8 9? 5? 9? 5? ? ? h( )>h( )>0, 此时 F( )> 2 ; 当 A<0 时 h(x)递减, h( )>h( )>0, 此时 F( )> 2 . 故此时 M> 8 8 8 8 8 8 若 A=B=0,显然有 M= 2 . 从而 M 的最小值为 2 ,这个最小值在 A=B=0 时取得. 2 .



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