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2017届甘肃省兰州第一中学高三9月月考数学(文)试题



甘肃省兰州一中 2017 届高三第一次月考试题(文)
第 I 卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.设集合 A={x|x>a},集合 B={-1,1,2},若 A∩B=B,则实数 a 的取值范围是 ( A.(1,+∞) 2.已知复数 B.(-∞,

1) ( C.(-1,+∞) ) C. 1

)

D.(-∞,-1)

a?i 为纯虚数,那么实数 a ? 1? i
B. ?

A. ?1

1 2

D.

1 2

3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示,为了了解该地区中小学生的近视形成 原因,用分层抽样的方法抽取错误!未找到引用源。的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视 人数分别为 ( )
小学生 3500名
近视率/%

A.错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用 B.错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。

高中生 2000名

50 30

源。

初中生 4500名 图1

10 O 小学 初中 图2 高中 年级

D.错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。

4.已知等差数列错误!未找到引用源。前 9 项的和为 27,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 ( ) A.100 5.设函数 f ( x) ? ? A.3 B.99 C.98 D.97 ( )

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

, f (?2) ? f (log 2 12) ? C.9 D.12

B.6

6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗实线画出的是某几何体的三视 则该几何体的的体积为 ( )

图,

A.

8 ? 2? 3

B.

8 ?? 3

C. 4 ? 2?
2 2

D. 4 ? ?

[]

7.已知直线 l: x ? ay ? 1 ? 0 (a ? R)是圆 C: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称轴.过点 A(-4,a)作

圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|= ( A.2 B. 4 2

) C.6 D. 2 10

8.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出的 s 的值是 ( A.1 9.函数 ) B.4 C.2 D.7 )

f ( x) ? e x ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是(
B. y ? ex ? 1 D. y ?

A. y ? 2e( x ? 1) C. y ? e( x ? 1)

x?e


10.函数 y ? x sin x ? cos x 的图象大致为(

11. 已知抛物线 y ? 8 x 的焦点到双曲线 E :
2

x2 y2 则双 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线的距离不大于 3 , a2 b2

曲线 E 的离心率的取值范围是( A. (1, 2 ] B. (1,2]

) C. [ 2 ,??) D. [2,??)

12.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [?2, 0] 时,

?1? f ( x) ? ? ? ? 1 .若在区间 ? ?2, 6? 内关于 x 的方程 f ( x) ? log a ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数 ?2?
根,则实数 a 的取值范围是( A. ) C. 1, 3 4

x

?

3

4, 2

?

B. ? 2, ?? ?

?

?

D. ?1, 2 ?

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设向量 a=(m,1), b=(1,2), 且|a+b|2=|a|2+|b|2, 则 m= .

?x ? y ≤ 0 , ? 14.若 x , y 满足 ? x ? y ≤ 1 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ≥ 0 , ?



15.设△ABC 的内角为 A,B,C,所对的边分别是 a , b , c .若 (a ? b) ? c ? ab ,则角
2 2

C=__________________. 16.若等比数列错误!未找到引用源。的各项均为正数,且错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 . 三、解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)
x x x 已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin2 . 2 2 2

(1) 求 f ( x) 的最小正周期; (2) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f ? C ? ? 0 , 若向量 m ? ?1,sin A ? 与向量 n ? ( 2 , sin B) 共线,求 a, b . 18. (本小题满分 12 分) 为贯彻落实教育部等 6 部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》,全面提高我市中学生的体 质健康水平,普及足球知识和技能,市教体局决定举行春季校园足球联赛,为迎接此次联赛,甲中学选拔了

20 名学生组成集训队,现统计了这 20 名学生的身高,记录如下表:
身高 ? cm ? 人数

168
1

174
2

175
4

176
3

178
5

182
1

185
3

188
1

(1)请计算这 20 名学生的身高中位数、众数,并补充完成下面的茎叶图:

(2)身高为 185cm 和 188cm 的四名学生分别为 A, B, C , D ,现从这四名学生中选 2 名担任正副门将,请利 用列举法列出所有可能情况,并求学生 A 入选正门将的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,

AD ∥ BC , ?ADC ? 90? ,平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点, PA ? PD ? 2 , BC ?
1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2

(1)求证:平面 MQB ⊥平面 PAD ; (2)若 M 是棱 PC 的中点,求四面体 M-PQB 的体积. 20.(本小题满分12分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : y ? kx ? m(k ? R ) ,使得 OA ? OB ? 0 成立?若存在, 求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) a 已知函数 f(x)=lnx- x,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中 a∈R. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (2)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22.(本小题满分10分) 选修4-1《几何证明选讲》 已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线,AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点 (1)求证:BD 平分∠ABC; (2)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长. 23(本小题满分 10 分)选修 4—4《坐标系与参数方程》

1 ,右焦点到右顶点的距离为 1 . 2

x?t ? ? 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),若以直角坐标 2 y ? ? 3 t ? ? 2



xOy 的 O 点为极点,Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为 ρ= π 2cos(θ- 4 ). (1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程;

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,设点 P (0,

2 ) ,求 PA ? PB . 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5《不等式选讲》 已知函数 f ( x) ?| x ? a | (1)若不等式 f ( x) ? 2 的解集为 [0, 4] ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 ?x 0 ? R ,使得 f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 5) ? m ? 4m ,求实数 m 的取值范围.
2

甘肃省兰州一中 2017 届高三第一次月考试题答案(文)
第 I 卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 ) 1. D 7.C 2.C 8. B 3.A 9. C 4. C 10.D 5.C 11.B 6.D 12.A

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?2 14. 2 15.

2? 16. 50 3

三、解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (Ⅰ)

f(x ) ?

2 sin

x
2

cos

x
2

?

2 sin2

x
2

?

2?

1 sin x ? 2

2?

1 ? cos x ? 2

?

2 2 2 ? 2 sin x ? cos x ? ? sin(x ? ) ? ………6 分 2 2 2 4 2

? f (x )的最小正周期为T ?

2? ? 2? ; 1

(2)

? f (C) ? 0?C ? ? a ? 1, b ? 2

?
2

又 ? m与n共线 ? b ? 2a

………12 分

18. (1)中位数为 177cm ,众数为 178cm .茎叶图如下:………2 分

………6 分 (2)正副门将的所有可能情况为

? A, B ? , ? B, A? , ? A, C ? , ? C , A? , ? A, D ? , ? D, A ? , ? B, C ? , ? C , B ? , ? B, D ? , ? D, B ? , ? C , D ? , ? D, C ? 共12 种,
其中学生 A 入选正门将有 ? A, B ? , ? A, C ? , ? A, D ? 共 3 种, 故学生 A 入选正门将的概率为 12 分

3 1 ? .……… 12 4

19. (1)证明:

? ?ADC ? 90?, 平面PAD ? 平面ABCD ? CD ? 平面PAD ? AD // BC , Q为AD中点, BC ? 1 AD ? DCBQ为矩形 2 ? QB ? PAD ? MQB ? PAD........6分

? PA ? PD ? 2,Q是AD中点? PQ ? 平面ABCD ? PQ ? BC ?由(1 )平面DCBQ为矩形 ? BC ? QB ? BC ? 平面PQB 1 1 1 1 1 1 ?VM ? PQB ? S ?PQB ? BC ? ? ? PQ ? QB ? BC ? .......12分 3 2 3 2 2 4
20. (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 c 1 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? ,半焦距为 c . 依题意 e ? ? ,由右焦点到右顶 2 a b a 2

点的距离为 1 ,得 a ? c ? 1 .解得 c ? 1 , a ? 2 .所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 . 所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1 .………4 分 4 3 ……12 分

(2)解:存在直线 l ,使得 OA ? OB ? 0 成立.理由如下:

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 . ? ? 1, ? 3 ?4

? ? (8km) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m 2 ? 12) ? 0 ,化简得 3 ? 4k 2 ? m 2 .
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

4m 2 ? 12 8km , . x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

若 OA ? OB ? 0 .所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,

??? ? ??? ?

4m 2 ? 12 8km ? km ? ? m2 ? 0 , (1 ? k ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0 , (1 ? k ) ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2 2

2

化简得, 7 m 2 ? 12 ? 12k 2 .将 k 2 ?

7 2 7 m ? 1 代入 3 ? 4k 2 ? m 2 中, 3 ? 4( m 2 ? 1) ? m 2 ,解得, 12 12

m2 ?

3 12 .又由 7 m 2 ? 12 ? 12k 2 ? 12 , m 2 ? , 4 7
从而 m 2 ?

12 2 2 ,m ? 21 或 m ? ? 21 . 7 7 7

所以实数 m 的取值范围是 (??, ?

2 2 21] ? [ 21, ??) . 7 7

…12 分

21.(1)由f(x)=lnx- ,得f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= 当 a=1 时,f′(x)=

a x

x+a , x2

x+1 >0(x>0),f(x)在(0,+∞)上单调递增.………5分 x2

a (2)由已知得,g(x)=ax- -5lnx,其定义域为(0,+∞), x
2 a 5 ax -5x+a g′(x)=a+ 2- = . x x x2

因为 g(x)在其定义域内为增函数,所以? x∈(0,+∞), 5x g′(x)≥0,即 ax2-5x+a≥0,即 a≥ 2 . x +1 而 5x 5 5 = ≤ ,当且仅当 x=1 时,等号成立, 1 2 x +1 x+ x
2

5 所以 a≥ . 2

………12分

22.(本题满分 10 分) 选修 4-1《几何证明选讲》 已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线, AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点 (1)求证:BD 平分∠ABC; (2)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长. 22. 解 : 证 明 :(1) ∵ AC ∥ DE, ∴ ?CDE=?DCA, 又 ∵ ?DBA=?DCA, ∴ ?CDE=?DBA ∵直线 DE 为圆 O 的切线,∴?CDE=?DBC 故?DBA=?DBC,即 BD 平分∠ABC …………………………………5 分

AH AB (2)∵?CAB=?CDB,且?DBA=?DBC,∴?ABH∽?DBC,∴ = CD BD 又?EDC=?DAC=?DCA,∴AD=DC ……………………………8 分

AH AB ∴ = , ∵AB=4,AD=6,BD=8∴AH=3 ……………………………10 分 AD BD 23. (本小题满分 10 分)《选修 4—4:坐标系与参数方程》

x?t ? ? 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,Ox 方向为极 2 ? 3t ?y ? ? 2
π 轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos(θ-4). (1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程;

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,设点 P (0,

2 ) ,求 PA ? PB . 2

[]



(1)直线 l 倾斜角为

?
3

……………2 分

2 2 曲线 C 的直角坐标方程为(x- 2 )2+(y- 2 )2=1……………5 分 (2)容易判断点 P (0,

2 ) 在直线 l 上且在圆 C 内部,所以 PA ? PB ? AB ……………6 分 2

2 直线 l 的直角坐标方程为 y= 3x+ 2 ……………8 分 2 2 6 10 所以圆心( 2 , 2 )到直线 l 的距离 d= 4 .所以|AB|= 2 ,即 PA ? PB ? (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | (1)若不等式 f ( x) ? 2 的解集为 [0, 4] ,求实数 a 的值; (2)在(Ⅰ)的条件下,若 ?x 0 ? R ,使得 f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 5) ? m ? 4m ,求实数 m 的取值范围.
2

10 ……………10 分 2

解: (Ⅰ)∵ | x ? a |? 2 ,∴ a ? 2 ? x ? a ? 2 , ∵ f ( x ) ? 2 的解集为 [0, 4] ,∴ ?

?a ? 2 ? 0 ,∴ a ? 2 .………5 分 ?a ? 2 ? 4

(Ⅱ)∵ f ( x) ? f ( x ? 5) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |?| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 , ∵ ?x 0 ? R ,使得 f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 5) ? m ? 4m ,即 f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 5) ? 4m ? m 成立,
2 2

∴ 4m ? m 2 ? f ( x) min ,即 4m ? m 2 ? 5 ,解得 m ? ?5 ,或 m ? 1 , ∴实数 m 的取值范围是 (??, ?5) ? (1, ??) .………10 分



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