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高中数学课课练必修2



第 1 章

立体几何初步

几何学的简洁美正是几何学之所以完美的核心所在. ——[英] 牛顿

§1.1
【学习目标】

棱柱、棱锥和棱台

?1. 通过观察实物和模型,认识棱柱、棱锥和棱台的特点,能画出它们的图形; ?2. 理解棱柱、棱锥、棱台的定义和性质; ?3.

提高认识空间图形的能力和空间想象力. 【知识要点】 ●1. 多面体——由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.多面体有几个面就称为几面体. 棱柱 棱柱——由一个平面多边形沿某 定 义 一方向平移形成的空间几何体 ⑴两个底面与平行于底面的截面 是对应边互相平行的全等多边形; 性 ⑵侧面都是平行四边形. 侧棱都 质 相等 ⑶过棱柱不相邻的两条侧棱的截 面都是平行四边形 ●2.
底面是平 行四边形 四棱柱 平行六面体 侧棱与 底面垂直 直平行六面体 底面 是矩形 长方体 棱长 相等 正方体

棱锥 棱锥——当棱柱的底面 收 缩 为 一 点 时 , 得 到的 几何体 ⑴底面是多边形; ⑵平行于底面的截面与 底面相似. ⑶侧面是有一个公共顶 点的三角形.

棱台 棱台——棱锥被一个平行于 底面的平面所截后, 截面和底 面之间的部分 ⑴两个底面以及平行于底面 的截面是对应边互相平行的 相似多边形; ⑵侧面都是梯形. ⑶侧棱延长后必相交于一点.

【课时练习】 1.如图 1 的棱柱可看成是平移哪一个四边形而成的( A.ABCD C.AA1B1B B.AA1D1D D.A1B1C1D1 ) A A.四面体 C.八面体 3.下面命题正确的是( B.六面体 D.九面体 ) 图1 B 图2 D1 B1 A1 D C ) C1

2.如图 2 是明矾晶体的直观图,它是(

2

几何学的简洁美正是几何学之所以完美的核心所在. ——[英] 牛顿

A. 棱柱至少有 6 个面. C. 棱柱的侧面沿侧棱剪开展平后成为矩形. 4.某民居外部结构示意图如图 3,这个多面体是( A.四棱柱 C.六棱柱 B.五棱柱 D.四棱锥 )

B. 棱锥的面都是三角形. D. 棱台的侧棱必相交于一点.

图3

5.下列命题正确的是______________.(填写正确答案的序号) ①棱柱的底面一定是四边形; ②棱锥被一个平面分成的两部分分别是棱锥和棱台; ③棱锥的底面一定是三角形; ④棱柱被平面分成的两部分不一定是棱柱. 6.棱长全等的棱锥一定不是_____________棱锥.(填写正确答案的序号) ①三棱锥; ②四棱锥; ③五棱锥; ④六棱锥.

7.经过正方体中心的所有截面中, 正方体被截得的截面图形中边数最多的是_______边形. 8.设 N ??长方体? , P??四棱柱? , Q??正方体? ,请写出这些集合间的包含关系.

9.如图 5,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,AD=2,CC1=1,一条绳子从点 A 沿表面拉到 点 C1,求绳子最短的长. A1 D A 图5 B D1 B1 C C1

10.填表:

3

几何学的简洁美正是几何学之所以完美的核心所在. ——[英] 牛顿

多面体 棱 数 面 数

三棱锥

四棱锥

三棱柱

四棱柱

三棱台

四棱台

你发现 n 棱锥的棱数与 n 有何关系?n 棱锥的面数与 n 有何关系? 你发现 n 棱柱的棱数与 n 有何关系?n 棱柱的面数与 n 有何关系?

4

一个人就好像一个分数,他的实际才能好比分子,而他对自己的估价好比 分母,分母越大,则分数的值就越小. ——[俄] 托尔斯泰

§1.2
【学习目标】

圆柱、圆锥、圆台和球

?1. 观察实物和模型,认识圆柱、圆锥、圆台和球的旋转构成特点; ?2. 理解圆柱、圆锥、圆台和球及有关概念和性质; ?3. 提高认识空间图形的能力和空间想象力. 【知识要点】 ?1. 圆柱、圆锥、圆台 圆柱
轴 底面

圆锥
轴 底面

圆台
轴 底面



母线

母线

母线

底面

底面

圆柱——将矩形绕着它的 圆锥——将直角三角形绕着它 圆台——将直角梯形绕着它的 定 义 一边所在的直线(轴)旋转 的一条直角边所在的直线(轴) 垂 直 于 底 边 的 腰 所 在 的 直 线 一周,形成的几何体. 旋转一周,形成的几何体. (轴)旋转一周,形成的几何体. ?2. 旋转面——一条平面曲线绕它所在的平面内的一条直线旋转而成的曲面叫做旋转面,封 闭的旋转面围成的几何体称为旋转体. ?3. 圆柱的轴截面都是全等的矩形,垂直于轴的截面都是与两底面平行且全等的圆面. ?4. 圆锥的轴截面都是全等的等腰三角形,垂直于轴的截面都是与底面平行且相似的圆面. ?5. 圆台的轴截面都是全等的等腰梯形,垂直于轴的截面都是与两底面平行且相似的圆面. ?6. 球的截面都是圆面,经过球心的截面都是全等的圆面. 【课时练习】 1.如图 1,矩形 ABCD 中,AB=10,AD=4,将矩形 ABCD 绕直线 AB 旋转一周形成的圆柱的底面直径和高分别为( A.4 和 10 2.下列命题正确的是( B.8 和 10 ) ) D.20 和 8 图1
C D A

B

C.20 和 4

A.直角三角形绕一边旋转一周得到的旋转体是圆柱. B.夹在圆柱的两个平行截面之间的间的几何体还是旋转体. C.一个圆锥被截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台. D.一矩形的一边为旋转轴将矩形旋转,其余的边都是旋转所成圆柱的母线.

A
5

D
B
C

一个人就好像一个分数,他的实际才能好比分子,而他对自己的估价好比 分母,分母越大,则分数的值就越小. ——[俄] 托尔斯泰

3.如图 2,直角梯形 ABCD 绕直线 AB 旋转一周形成的几何体是( A.一个圆台 C.一个圆锥和一个圆台 B.一个圆锥 D.一个圆锥和一个圆柱

)

图2

6

一个人就好像一个分数,他的实际才能好比分子,而他对自己的估价好比 分母,分母越大,则分数的值就越小. ——[俄] 托尔斯泰

4.如图 3,在一个圆柱形桶内恰好装有一个球,球在桶内无法移动.这个几何体可以是下列哪一个 平面图绕轴旋转而成?( )
O' O' O' O'

O

O

O

O

图3

A

B

C

D

5.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上,下底面半径之比是 1∶ 4,母线长是 9cm,则圆锥的母线 长为__________cm. 6.沿圆柱的侧面母线剪开,得到圆柱的侧面展开图为正方形,则圆柱的底面半径与母线长的比 是__________ . 7.一个球的半径为 2cm,A 为球面上一点,O 为球心,经过 OA 的中点 B 的一个平面截球体所得 截面中,截面面积的最小值是_________. 8.如图 4,画出平面图形绕轴 OO?旋转一周形成的几何体.
O

O'

图4 9.圆台的侧面母线长为 2a,母线与轴的夹角为 30?,一底面半径是另一底面半径的 2 倍,求两底 面的半径与两底面面积之和.

7

一个人就好像一个分数,他的实际才能好比分子,而他对自己的估价好比 分母,分母越大,则分数的值就越小. ——[俄] 托尔斯泰

10.用长、宽分别是 3 ? 与 ? 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,试求圆柱底面的半径.

8

时间是个常数,但对勤奋者来说,是个“变数” 用“分”来计算时间的人 。 比用“小时”来计算时间的人时间多 59 倍。 ——[俄] 雷巴柯夫

§1.3
【学习目标】

中心投影和平行投影

?1. 了解空间图形的不同表现形式,对中心投影和平行投影有初步认识; ?2. 理解视图的意义,并会画简单几何体的三视图. 【知识要点】 ?1. 投影——是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投影面)投射,并在该面上得到图 形的方法. 投射线交于一点的投影称为中心投影. 投射线相互平行的投影称为平行投影. 平行投 影按投射方向是否正对着投影面,可分为斜投影和正投影. ?2. 视图——物体按正投影向投影面投射所得的图形. 光线从物体的前面向后投射所得的投 影称为主视图或正视图,自上向下的称为俯视图,自左向右的称为左视图. 用这三种视图刻画空间 物体的结构,称为三视图. ?3 画三视图时应注意:主视图与左视图的高要保持平齐,主视图与俯视图的长要保持对正, 俯视图与左视图的宽度要保持相等,简记为“长对正、高平齐、宽相等”. 【课时练习】 1.平行投影中的光线是( A.平行的 ) C.不平行的 D.向四面八方发散的 )

B.聚成一点的

2.如图 1,正方体的一个截面在正方体的一个面上的正投影图形不可能是(

图1

A

B )

C

D

3.某几何体的三视图如图 2,这个几何体是( A.三棱柱 B.三棱锥 C.三棱台 D.四棱锥 主视图

左视图 图2

俯视图

9

时间是个常数,但对勤奋者来说,是个“变数” 用“分”来计算时间的人 。 比用“小时”来计算时间的人时间多 59 倍。 ——[俄] 雷巴柯夫

4.有一实物如图 3,那么它的主视图是(



图3

A

B

C

D

5.如图 4 是一个学校教学楼的示意图(阴影部分为前面),从空中向下看时的图形是______.

图4









6.在主视图中,原几何体的_________不变; 在俯视图中,原几何体的_________不变; 在左视图中,原几何体的_________不变.
6 1 3 4

7.一个几何体的三视图如图 5 所示,则 这个几何体的体积是__________. 8.已知一几何体的三视图如图 6,试画出这个几何体的大致形状.

图5

图6

9.已知一工件的三视图如图 7,试画出这个几何体的大致形状.

图7

10

时间是个常数,但对勤奋者来说,是个“变数” 用“分”来计算时间的人 。 比用“小时”来计算时间的人时间多 59 倍。 ——[俄] 雷巴柯夫

10.如图 8,它是某个多面体的三视图, 请画出它的大致形状.

图8

11

数学的本质在於它的自由. ——[德] 康扥尔

§1.4

直观图画法

【学习目标】 ?1 会用斜二测法画水平放置的平面图形和空间图形的直观图. 能正确画出直棱柱、 正棱锥的 直观图. 【知识要点】 ?1. 用斜二测画法画直观图时应注意:与 x 轴、z 轴平行的线段其长度不变,与 y 轴平行的线 段其长度折半. ?2. 用斜二测画法画得一个平面图形的直观图图形的面积 S ' 与其原图形的面积 S 之间的关系 是S'? 2 S .

4

【课时练习】 1.如图 1,用斜二测画法作出正三角形的直观图得三角形?A?B?C?, AD 是?ABC 的高,则下列关系正确的是( ) B

A

D A'

C

1 AB,B?C?=BC 2 1 C.A?D?= AD,B?C?=BC 2
A.A?B?=

1 BC 2 1 D.A?D?=AD,B?C?= BC 2
B.A?B?=AB,B?C?= )

B'

D' 图1

C'

2.用斜二测画法作出如图 2 矩形的直观图为( 6 4
图2

4 45? 6

2 60? 6

2

4 45? 6 60? 6

A

B

C )

D

3.如图 3,下列各物体直观图中采用中心投影画法的共有(

图3 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

4.已知某个几何体的三视图如下, 根据图中标出的尺寸(单位:cm), 可得这个几何体的体积是(
10 20 10 20 20 20

正视图

左视图

俯视图

12

数学的本质在於它的自由. ——[德] 康扥尔

图4 A. 4000 cm3 3 B. 8000 cm3 3 C. 2000cm3 D. 4000cm3

13

数学的本质在於它的自由. ——[德] 康扥尔

5.由若干个大小相同的立方体木块堆成的一个几何体的三视图如图 5,其直观图不可能是______.

主视图

左视图 图5

俯视图





③ C'
2

④ y'

6.用斜二测画法画得一个三角形 ABC 的直观图如图 6 所示, 则这个三角形的面积是_____________. 7.用斜二测画法画得一个矩形的直观图的面积是 a, 则这个矩形的面积是______________. A'
2

O' 2 B' x' 图6

8.按 1∶ 的比例画一个长为 12cm、 3 宽为 9cm、高为 6cm 的长方体的 直观图.

9.⑴ 已知正三棱锥 P-ABC 的底边长 为 4cm,它的高为 5cm,请用斜二测画 法画出该三棱锥的直观图. ⑵ 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底边长 为 4cm,它的高为 5cm,请用斜二测画法 画出该三棱柱的直观图.

10.根据以下三视图想象物体原形,并画出物体的实物图。

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数学的本质在於它的自由. ——[德] 康扥尔

主视图

左视图

俯视图

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数学是无穷的科学. ——[德] 赫尔曼·外尔

§1.5

平面的基本性质

【学习目标】 ?1. 掌握描述点、直线、平面之间关系的符号语言; ?2. 会运用 3 个公理以及 3 个推论判断空间点、直线、平面之间的关系. 【知识要点】 ?1. 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内. ?2. 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公共点,这些公共点的集合是经 过这个公共点的一条直线. ?3. 公理 3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面; 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面; ? 公理 1 与公理 2 是证明点共线与线共点的依据. ? 公理 3 及其推论是确定平面的依据. 【课时练习】 1.若点 Q 在直线 b 上,b 在平面 β 内,则 Q、b、β 之间的关系可写作( A.Q∈ β b∈ B.Q∈ ? β b C.Q ? b ? β ) D.既不相交也不重合 D.Q ? b∈ β )

2.若平面 α 与平面 β 有三个公共点,则这两个平面( A.重合 B.相交 C.相交或重合 )

3.在空间内,可以确定一个平面的条件是( A.两两相交的三条直线.

B.三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交. C.四个点,其中任意三个点共面. D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点. 4.下列命题中正确的是( A. 三点确定一个平面 C. 一条直线和一个点确定一个平面 5.下列四个推理过程,错误的是___________. ①若 A ??, B ??; 且 A ? l, B ? l, 则l ? ? ②若 A ??, B ??; 且 A ? ? , B ? ? , 则 ? ? ? ? AB ) B. 与一条直线相交的三条平行直线确定一个平面 D. 两条互相垂直的直线确定一个平面

? ③若 A, B, C ??;A, B, C ? ? 且 A, B, C不共线,则 与?重合
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数学是无穷的科学. ——[德] 赫尔曼·外尔

④若 A ? a, a ? ?,则A ?? 6.辨别下列命题的正误: ① 因为平面型斜屋面不与地面相交,所以屋面所在的平面与地面不相交; ② A、B、 C ?? , A、B、 C ? ? , 且 A、B、C 不共线 ? ? 与 ? 重合; ③ 平面 ? 和平面 ? 若有公共点,就不只有一个; ④ 三个平面两两相交,得三条交线,则这三条交线必交于一点。 ⑤“平面 α 外的两条直线 a 和 b 相交于平面 α 内的一点 P”用符号表示为 “ a ? b ? P, P ?? 且a ? ? , b ? ? ”. 其中正确命题的序号是__________________. 7.三个平面可以把空间分为_________________________________部分. 8.在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、BC 中点, G ?CD, H ? AD, EH 与 FG 相交于点 P, 求证:交点 P 必在直线 BD 上.

9.如图 1,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,试画出平面 ABC1D1 和平面 A1B1CD 的交线. 1 请写出作图步骤,并说明理由.
D1 A1 B1 C1

D A B

C

图1

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数学是无穷的科学. ——[德] 赫尔曼·外尔

10.证明:若两条平行直线和第三条直线相交,则这三条直线共面.

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讯问者智之本,思虑者智之道也. —— 刘向《说苑》

§1.6
【学习目标】 ?1. 理解平行直线的定义和公理 4; ?2. 会运用定义及公理 4 判断两线平行. 【知识要点】

平行直线

?1. 平行两直线:在同一个平面内,没有公共点的两条直线. ?2. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ?3. 空间等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两 个角相等. 【课时练习】 1.在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,与棱 C1D1 平行和不共面的棱的条数为( 1 A.4 和 8 B.6 和 6 C.6 和 4 D.3 和 4 )

2.给出三个命题:① 若两条直线与第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行; ② 若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行; ③ 若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行. 其中不正确命题的个数为( . A.0 个 B. 1 个 ) C.2 个 D. 3 个 ) D.相交或不共面

3.设 a,b 为两条不共面直线,若直线 c//a,则 b 与 c 为( A.不共面直线 B.相交直线

C.平行直线

4.在空间四边形 ABCD 中, E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,若 AC=BD, 则四边形 EFGH 是( A.平行四边形 ) B.梯形 C.菱形 D.正方形

5.在空间两个角?ABC 和 ?A1B1C1 中,若 AB // A B1 , BC // B1C1 ,?ABC=30?, 1

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讯问者智之本,思虑者智之道也. —— 刘向《说苑》

则 ?A1B1C1 的大小为_______________. 6.在三棱锥 A-BCD 中,若 M、N、E、F 分别是 AB、AC、DB、DC 的中点, 则四边形 MNEF 为___________________. 7.若 S 为?ABC 所在平面外一点,D、E 分别为?SAB 和?SBC 的重心, 则 DE 和 AC 的关系为____________________________. 8.如图 1,在长方体木块 ABCD-A1B1C1D1 的 A1C1 面上有 一点 P,过点 P 画条一直线和棱 CD 平行,应怎样画? 若要求过 P 点画一条直线和 BD 平行,又该怎样画?
A1 B1 D1 C1

P

D

C

A

B

图1 9.如图 2,在空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 CB、CD 上 的点,且 CF ? CG ? 2 ,求证:四边形 EFGH 是梯形. CB CD 3
A

H E D G C

B

F

图2

10.如图 3,在四棱台 ABCD ? A?B?C?D? 中,E、F 是为上底边 B?C? 和 D?C ? 中点.

20

讯问者智之本,思虑者智之道也. —— 刘向《说苑》

(1)证明 B、D、F、E 四点共面; (2)证明 BE、DF、 CC? 三线交于一点.
A'

D'

F E B'

C'

D

C

A

B

图3

21

求学问,需学问,只学答,非学问. ——[中] 李政道

§1.7
【学习目标】 ?1. 理解异面直线的定义;

异面直线

?2. 会用反证法证明两条直线是异面直线; ?3. 理解异面直线所成角的定义及求法. 【知识要点】 ?1. 异面直线的判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异 面直线; ?2. 求两条异面直线所成角:先平移相交找到角,再解三角形求角. 【课时练习】 1.已知直线 a,b 是异面直线,b 与 c 也是异面直线,则直线 a 与 c 的位置关系是( A.平行或异面 B.相交,平行或异面 C.相交或异面 ) ) D.异面

2.三条直线 a,b,c 中, a // b ,b 与 c 相交,则 a 与 c 的位置关系一定是( A.共面 B.异面 C.相交

D.相交或异面 )

3.在空间四边形 ABCD 中,M、N 分别是 AB、CD 之中点,则 MN 与 AC+BD 的关系是( A. MN ? 1 ( AC ? BD) 2 C. MN ? B. MN ? D. MN ?

1 ( AC ? BD) 2
1 ( AC ? BD) 2

1 ( AC ? BD) 2

4.分别与两条异面直线都相交的两条直线( A.不可能是两条平行直线. C.不可能是两条互相垂直的直线.

) B.不可能是两条相交直线. D.不可能是两条异面直线.

5.两条直线 a,b 和直线 l 所成的角相等,那么直线 a,b 的关系是__________________. 6.E、F 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、CD 的中点,且 EF=5,BD=8,AC=6, 则 AC 与 BD 所成的角为__________________. 7.如图 1 是正方体平面展开图,在这个正方体中
22 E

N D C M

A

B F

求学问,需学问,只学答,非学问. ——[中] 李政道

① BM 与 ED 平行; ② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60°角; ④ DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是______________ . 8.如图 2,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 BB1 与 CD 的中点, 求直线 AE 与 D1F 所成角的大小.
A1 D1 C1

图1

B1

E D F A B C

图2

9.如图 3,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 C 1 D1 与 C1C 上的点,且 F 异于 C. 试证明直线 EF 与 A1C 是异面直线.
E D1 A1 F C D B A C1 B1

图3

10.已知 a, b 是异面直线,直线 c // a ,但 b 和 c 不相交, 求证: b 和 c 是异面直线.

23

没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性. ——[美] 卡鲁斯

§1.8
【学习目标】 ?1. 理解直线与平面平行的定义;

直线与平面平行

?2. 掌握直线与平面平行的判定定理及性质定理. 【知识要点】 ?1. 线面平行的定义:直线与平面无公共点. ?2. 线面平行的判定定理: l // m, l ? ? , m ? ? ? l // ? . ?3. 线面平行的性质定理: l // ? , l ? ? , ? ? ? ? m ? l // m . 【课时练习】 1.已知直线 a,b 都平行于平面 α,则 a,b 的位置关系是( A.平行 B.相交 ) C.异面 )

D.以上三种答案均有可能

2.下列命题是真命题的是(

A.若一条直线和一个平面平行,则这条直线和该平面内的无数条直线都平行. B.若一条直线和一个平面平行,则这条直线和该平面内的任何直线都平行. C.平行于同一平面的两条直线互相平行. D.一条直线和平面内的一条直线平行,则这条直线就和这个平面平行. 3.已知 m,n 为异面直线,m∥平面?,n∥平面?,?∩?=l,则 l( A.与 m,n 都相交 C.与 m,n 都不相交 )
A H E B D F G C

B.与 m,n 中至少一条相交 D.与 m,n 中一条相交

4.如图 1,已知空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 的长分别 为 4、5,则平行于这两条对角线的截面四边形 EFGH 在平移过程 中周长的取值范围是( A. (5,10) ) C. (3,6) D. (6,9)

B. (8,10)

图1

5.在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, A1 B1 与截面 A1 D1C 的位置关系是___________________.
A1 B 与截面 AD1C 的位置关系是_________________.

6.以下命题(其中 a,b 表示直线,?表示平面) ①若 a∥b,b ? ?,则 a∥? ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b

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没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性. ——[美] 卡鲁斯

③若 a∥b,b∥?,则 a∥?

④若 a∥?,b ? ?,则 a∥b

其中错误命题的序号是____________. 7.① 直线 a 与平面 α 的关系可分为 a 在平面 α 外或 a 在平面 α 内两类; ② 过两异面直线中的一条且与另一条直线平行的平面必存在; ③ 与一个平面内的一条直线平行的直线,必与此平面平行; ④ 两平行线中有一条与平面 α 平行,则另一条也与平面 α 平行. 上述命题中其中真命题的序号是_________________. 8.求证:若一条直线和两个相交平面都平行,则这条直线就和它们的交线平行.

9.如图 2,在四面体 ABCD 中,M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心. 求证:MN //平面 BCD
B M

A

N D

C

图2

10.如图 3,在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,E、G 分别是 BC、C1D1 的中点. 求证: EG // 平面BB1D1D .

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没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性. ——[美] 卡鲁斯

D1 A1

G

C1

B1

D
A
图3

C

B

E

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人不光是靠他生来就拥有的一切,而是靠他从学习中所得的一切来造就自己。 ——[德] 歌德

§1.9

直线与平面垂直

【学习目标】 ?1. 掌握直线与平面垂直的概念,理解点到平面的距离、直线和平面的距离等概念; ?2. 掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理; ?3. 了解三垂线定理,会证明有关线面垂直问题. 【知识要点】 ?1. 线面垂直的定义:如果一条直线 a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 a 与平面α互相垂直,记作 a ? ? . ?2. 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这 条直线垂直于这个平面. ?3. 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. ?4. 直线与平面垂直的定义强调的是直线和平面内的“任意”一条直线垂直,而不是“无数” , 其判定定理强调的是直线和平面内的两条“相交”直线垂直. 【课时练习】 1.下列命题中,正确的是( )

A.若一条直线垂直于一个平面内的一条直线,则这条直线与这个平面垂直 B.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线与这个平面垂直 C.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线与这个平面垂直 D.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线 2.如果直线 l 与平面 α 内的两条平行直线都垂直,则 l ( A.必与平面 α 相交 C.必在平面 α 内 B.必与平面 α 平行 D.与平面 α 相交、平行或在平面 α 内 )

3. ① 直线 a 平行于一个平面 ? ,则 a 平行于 ? 内的所有直线; ② 直线 a 垂直于一个平面 ? ,则 a 垂直于 ? 内的所有直线; ③ a ? 平面 ? , b ? 平面 ? ,且 a // b , 则 a // ? ; 若 ④ a ? 平面 ? , b ? 平面 ? ,若 a ? b 则 a ? 若 以上命题正确的是( A.① ④ ③ )
A1

?.
D1 C1 B1 D A B

B.② ④ ③

C.② ③

D.① ④

4.如图 1,在棱长为 3 的正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, 则点 A 到平面 BDD1 B1 的距离是( )
27

C

人不光是靠他生来就拥有的一切,而是靠他从学习中所得的一切来造就自己。 ——[德] 歌德

B. 3 2 2 5.下列四个命题中正确的命题有 A.3

C. 3 2 .

D. 3 2

图1

a // b ? a ??? a ??? a //? ? ① ? ? b ? ? ;② ? ? b // ? ;④ ? ? a // b ;③ ? ? b //? a ??? a ? b? b ??? a ? b?

6.在长方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中,棱 AA1=5,AB=12,则直线 B1C1 与平面 A1BCD1 的距离 等于 .

7.直角三角形 ABC 所在平面 α 外一点 P 到直角顶点的距离为 24,到两直角边的距离都是 6 10 , 那么点 P 到平面 α 的距离为 . P

8.如图 2,在四棱锥 P ? ABCD 中,ABCD 是矩形,PA⊥面 ABCD. 作 AE⊥PB,垂足为 E,求证:AE⊥PC. E B A C

D

图2

9.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ABC ? 90? , BC ? 2, CC1 ? 4, D 是 CC1 的中点. 求证: B1 D ? 平面 ABD.

10.如图 3,在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥ ABC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC、SC 于 D、E, 面 又 SB = BC,求证:BD⊥ SAC. 面
S E D A

28

C

B

人不光是靠他生来就拥有的一切,而是靠他从学习中所得的一切来造就自己。 ——[德] 歌德

图3

29

历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细,哲学使人 深邃,道德使人严肃,逻辑与修辞使人善辩. ——[英] 培根

§1.10
【学习目标】

直线与平面所成的角

?1. 理解射影、直线与平面所成角的概念; ?2. 会求直线与平面所成的角. 【知识要点】 ?1. 直线与平面所成角的范围是 [0?, 90?] ,平面的斜线和这个平面所成角的范围是(0?,90?) ; ?2. 求直线与平面所成的角,要过直线上一点向平面作垂线,关键是要找垂足落在何处,然 后解直角三角形,求出该角. 【课时练习】 1.如果平面的一条斜线上一点与其斜足所确定线段的长是其在平面内的射影长的 2 倍,那么这条 斜线与平面所成的角的大小为( A.0? B.30? ) C.45? D.60? )

2.设 a,b 表示直线,α 表示平面,则下列三个命题中正确命题的个数是(

① 若直线 a、b 和 α 所成的角相等,则 a // b;② a、b 是异面直线,若 a//平面 α 则 b 与 α 相交; 设 ③ 若直线 a、b 在平面 α 内的射影依次是一个点和一条直线,且 a⊥ b,则 b ? ? 或 b // ? . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

3.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC= 4 , CC1 ? 2 ,则直线 BC1 与平面 DBB1 D1 所成的 角的正弦值为( A. 3 ) B. 5 C. 10 D. 10

2

2

5

10

4.若 P 是等边三角形 ABC 所在平面外一点, PA ? PB ? PC ? 2 ,?ABC 的边长为 1, 3 则 PC 与平面 ABC 所成的角是( A.90? B.30? ) C.45? D.60?

30

历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细,哲学使人 深邃,道德使人严肃,逻辑与修辞使人善辩. ——[英] 培根

5.在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱长为 2 ,底面三角形的边长为 1,则 BC1 与侧面 ACC1 A1 所 成的角为 . .

6.如果?APB=?BPC=?CPA=60?,则 PA 与平面 PBC 所成角的余弦值为

7.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1 、DC 的中点,直线 FD1 与平面 ADE 所成角的 大小是 .

8.三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? CA, AB ? 2 BC, 点 A1 在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上, 求 AB 与侧面 ACC1 A1 所成的角.

9.如图 1,所有棱长均为 a 的斜三棱柱 A?B?C?-ABC 的侧棱与底面成 60?角,且 ?B?BC ? 60? (1) 求证:AB?⊥ BC; (2) 求 AB?与底面 ABC 所成角的大小. B? A? C?

A B 图1 C

10.如图 2,在四面体 SABC 中,SA、SB、SC 两两垂直,?SBA=45?,?SBC=60?.

31

历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细,哲学使人 深邃,道德使人严肃,逻辑与修辞使人善辩. ——[英] 培根

求:(1) BC 与平面 SAB 所成的角;(2) SC 与平面 ABC 所成的角的余弦值. S

A

C

B 图2

32

人,只要有一种信念,有所追求,什么艰苦都能忍受,什么环境也都能适应. —— [中] 丁玲

§1.11

两平面平行

【学习目标】 ?1. 理解两平面平行的概念、掌握两平面平行的判定定理和性质定理; ?2. 会证明空间平行问题; ?3. 能作出公垂线,求平行平面间的距离. 【知识要点】 ?1. 面面平行的定义:两个平面没有公共点. ?2. 面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行. ?3. 面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线 平行. ?4. 两平行平面间的距离:公垂线段的长度. 【课时练习】 1.下列命题中不正确的命题是( )

A.若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 B.若一个平面内任何一条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 C.若两个平面没有公共点,则这两个平面平行 D.若两条直线 a、b 分别垂直于两个平行平面中的一个,则 a 与 b 平行 2.α、β 是两个不重合的平面,在下列条件中,可确定平面 α 和平面 β 平行的是 ( A.α 内不共线的三点到 β 的距离相等 C.l、m 是 α 内两条直线,且 l∥ β,m∥ β D.l、m 是两条异面直线,且 l∥ α,m∥ α,l∥ β,m∥ β 3. 下列命题中,正确的是( ) B. 若l // m, l // ? , m // ? , 则? // ? D. 若a ? ? , a ? b, 则b // ? B. ? ? ? ? m, ? ? ? ? l , m // l. )

A. 若l // m, l ? ? , m ? ? , 则? // ? C. 若a // ? , b // a, a ? ? , b ? ? , 则? // ? 4.下列命题中正确的命题个数是( )

①若两个平面 ? // ? , a ? ? , b ? ? ,则 a // b ; ②若两个平面 ? // ? , a ? ? , b ? ? ,则 a 与 b 异面; ③若两个平面 ? // ? , a ? ? , b ? ? ,则 a 与 b 一定相交; ④若两个平面 ? // ? , a ? ? , b ? ? ,则 a 与 b 平行或异面.

33

人,只要有一种信念,有所追求,什么艰苦都能忍受,什么环境也都能适应. —— [中] 丁玲

A.1

B.2

C.3 .

D.4

5.下列四个命题中正确的命题为 ①一条直线与两个平行平面所成的角相等;

②一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面必平行; ③一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行; ④一条直线与两个相交平面的交线平行,则它必与这两个平面都平行. 6.在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离是 7.已知平面 ? , ? 和直线 m ,给出条件:① m // ? ;② m ? ? ;③ m?? ;④ ? ? ? ;⑤ ? // ? . (1)当满足条件 时,有 m // ? ; (2)当满足条件 时,有 m ? ? .(填条件序号) .

8.如图 1,在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,F、H 分别是 CC1、AA1 的中点. 求证: 平面BDF // 平面B1D1H . A1 H A 图1 D1 B1 F D B C C1

9.如图 2,已知平面 ? // 平面 ? , AB, CD 是异面直线,A、C ?? ,B、D?? ,E、F 分别是 AB、CD 的中点. 求证: EF // ? // ? .
?
E A C

F

?

B

D

图2

34

人,只要有一种信念,有所追求,什么艰苦都能忍受,什么环境也都能适应. —— [中] 丁玲

10.设平面 α∥平面 β,两条异面线段 AC 和 BD 分别在平面 α、β 内,设 AC=6,BD=8, AB=CD=10,且 AB 与 CD 所成的角为 60° ,求 AC 与 BD 所成角的大小.

35

成功的秘诀在于随时随地把握时机. ——英·迪斯累利

§1.12

二面角

【学习目标】 ?1. 理解二面角有关概念及二面角的表示方法; ?2. 会通过解直角三角形求解简单的二面角问题. 【知识要点】 ?1. 半平面:平面内一条直线把这平面分成两部分,其中的一部分叫做半平面. ?2. 二面角:一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形;直线叫做二面角的棱, 每个半平面叫做二面角的面. ?3. 二面角的平面角:过二面角的棱上任意一点在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条 射线所成的角;平面角是直角的二面角叫做直二面角. ?4. 二面角的范围: 0? ? ? ? 180? . 【课时练习】 1.二面角的取值范围是( A. [0, ? ] ) C. (0, ? ] 2 ) D. 150? D. (0, ? ]

B. (0, ? )

2.正八棱柱两个相邻的侧面所成二面角的大小为( A. 90? B. 120? C. 135?

3.自二面角内部一点分别向二面角的两个面作垂线,则这两条垂线所成的角与这个二面角的平 面角的关系是( A.相等 ) B.互补 C.相等或互补 D.互余

4.如图 1,一间房子的屋顶有三种不同的盖法,即单向倾斜、双向倾斜、四向倾斜,要求屋顶的 斜面与水平面所成的二面角都等于角 ? ,三种盖法对应的屋顶的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ,

单向倾斜 则 S1 、 S 2 、 S 3 的大小关系是( A. S1 < S 2 < S 3

双向倾斜 图1 ) C. S1 = S 2 < S 3

四向倾斜

B. S 3 < S 2 < S1

D. S1 = S 2 = S 3
A1 C1 B1

5.如果把边长为 a 的正三角形 ABC 沿高 AD 折成直二面角 B ? AD ? C 后, 则点 A 到 BC 的距离为 .

6.如图 2,在正三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, AB ? 1 .
A 36 B C

成功的秘诀在于随时随地把握时机. ——英·迪斯累利

若二面角 C ? AB ? C1 的大小为 60? ,则点 C 到 平面 ABC 的距离为_____________. 1 7.已知二面角 ? ? l ? ? 的半平面 ? 内一点 A 到平面 ? 的距离 为 4,且点 A 在平面 ? 上的正投影点 B 在半平面 ? 内, 点 B 到平面 ? 的距离为 2,则二面角的大小为 . 图2

8.在正四面体 ABCD 中,求侧面 ABC 与底面 BCD 所成二面角的余弦值.

9.如图 3,已知直角三角形 ABC 中,?C ? 90? ,AB ? ? ,C ?? ,CD ? ? ,D?? , 二面角 C ? AB ? D 的大小为 ? ( 0??? ? 90? ) ,AC、BC 与平面 ? 所成的角分别为 ? 1 、 ?2 . 求证: sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ? sin 2 ? .
A D E C

α

B

图3

10.如图 4,在直二面角 D? AB?E 中,ABCD 是边长为 2 的正方形, AE ?EB ,F 为 CE 上的点, 且 BF ? 平面 ACE. (1)求证 AE ? 平面 BCE; (2)求二面角 B ? AC ? E 的正弦值. F D C

A
37

B E

成功的秘诀在于随时随地把握时机. ——英·迪斯累利

图4

38

我探求人类需要什么,然后我就迈步向前,努力把它发明出来. ——美·爱迪生

§1.13
【学习目标】

两平面垂直

?1. 理解两个平面垂直的概念,能根据定义判定两个平面垂直; ?2. 掌握两个平面垂直的判定定理,能应用它判定面面垂直; ?3. 掌握两个平面垂直的性质定理,能应用它证明线面垂直. 【知识要点】 ?1. 面面垂直的定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直. ?2. 面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相 垂直. ?3. 面面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直 线垂直于另一个平面. 【课时练习】 1.过平面外一条直线作和平面垂直的平面,则所作平面的个数为( A.1 个 B.无数个 C.1 个或无数个 )

D.0 个 )

2. 在正四面体 P-ABC 中, E, 分别是 AB, D, F BC, 的中点, CA 下面四个结论中不成立的是 ... ( A.BC // 平面 PDF C.平面 PDF⊥平面 ABC B.DF⊥平面 PAE D.平面 PAE⊥平面 ABC )

3.在互相垂直的两个平面中,下列命题中正确命题的个数为( ① 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数多条直线 ③ 一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面

④ 过一个平面内任意一点做交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面 A.0 B.1 C.2 D.3 )

4.设 a,b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列判断正确的是( A.若 a ? b, a ?? ,则 b // ? C.若 a ? ? , ? ?? ,则 a // ? B.若 a // ? , ? ?? ,则 a // ? D.若 a ? b, a ?? , b ? ? ,则 ? ??

5.已知点 O 在二面角 ? ? AB ? ? 的棱上,点 P 在 ? 内,且 ?POB ? 45? . 若对于 ? 内异于 O 的任 意一点 Q,都有 ?POQ ? 45? ,则二面角 ? ? AB ? ? 的大小是 6.已知 m、l 是直线, ? 、 ? 是平面,给出下列命题: .

39

我探求人类需要什么,然后我就迈步向前,努力把它发明出来. ——美·爱迪生

① l 垂直于 ? 内的两条相交直线,则 l ? ? ;② l 平行于 ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线; 若 若 ③ m ?? , l ? ? , 且 l ? m ,则 ? ? ? ; ④ l ? ? , 且l ? ? ,则 ? ? ? . 若 若 其中正确命题的序号为 . D C F B A 图1 D E B C F

7.如图 1,正方形 ABCD 的边长为 2,E、F 分别为 AD、 E BC 中点,沿 EF 把正方形 ABCD 折成直二面角, 则顶点 A 和 C 之间的距离为 . A

40

我探求人类需要什么,然后我就迈步向前,努力把它发明出来. ——美·爱迪生

8.如图 2, S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、 SC, ?ASB ? ?ASC ? 60?, ?BSC ? 90? , 过 SB、 且 求证:平面 ABC ? 平面 BSC.
S

A
B
图2

C

9.如图 3,已知 ABCD 是矩形,PD⊥ 平面 ABCD,PD=CD=a, AD ? 2a ,M、N 分别是 AD、 PB 的中点. (1)求证:平面 MNC⊥ 平面 PBC; (2)求点 B 到平面 MNC 的距离.
N D M A B C P

图3

10.如图 4,在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中,O 是底面正方形 ABCD 的中心,M 是线段 A1 B 的中点. (1)证明:平面 A1BD ? 平面 A1 ACC1 ; (2)证明: MO // 平面 B1 BCC1 .
A1 M D A O B C D1 C1 B1

图4

41

杀了“现在” 也便杀了“将来” ——将来是子孙的时代。 , 。 ——[中] 鲁迅

§1.14
【学习目标】

空间几何体的表面积

?1. 理解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念; ?2. 了解柱、锥、台的侧面展开图,并能以此研究柱、锥、台的侧面积公式; ?3. 会求一些简单几何体的表面积. 【知识要点】 ?1. 柱、锥、台的侧面积公式:

S直棱柱侧 ? ch, S圆柱侧 ? cl ? 2? rl

S正棱锥侧 ? 1 ch?, S圆锥侧 ? 1 cl ? ? rl 2 2 ; S正棱台侧 ? 1 (c ? c?)h?, S圆台侧 ? 1 (c ? c?)l ? ? (r ? r ?)l 2 2

?2. 曲面上的距离问题,往往利用空间图形展开图解决. 【课时练习】 1.下图是各棱长相等的棱锥的表面展开图, 其中正确的是( ① A.① ② ② B.② ③ ③ C.① ③ D.③ ) )

2.正四棱台的两底边长分别为 2 和 6,侧棱长为 4,则棱台的侧面积为( A. 14 B. 32 3 C.30 D. 24 2

3.把边长为 4 的正方形剪成如图 1 所示的扇形(阴影) , 把此扇形卷成一个圆锥,则此圆锥的高为( A. 2 5 B. 17 C. 3 2 ) D. 15

图1

P F E A B C

4.如图 2,三棱锥 P-ABC 中,∠ APB=∠ BPC=∠ CPA=30○, PA=PB=PC= a ,E、F 分别为 PB、PC 上的点,则△AEF 周长的最小值等于( A. 5a B. 2a ) C. 3a D. 2a

图2

5.线段 AB 为圆柱的母线,且 AB=30cm,从 A 点绕圆柱侧面到达 B 点所用的

42

杀了“现在” 也便杀了“将来” ——将来是子孙的时代。 , 。 ——[中] 鲁迅

细线最短为 50cm,则此圆柱的底面半径为____________. 6.用一张长,宽分别为 8cm 和 4cm 的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面,则此正四棱柱的对角线长 为______________. 7.用平行于圆锥底面的截面截圆锥,所得小圆锥侧面积与原来大圆锥侧面积的比是 1∶3,则这截 面把圆锥高分为两段的比是______________. 8.已知长方体中有一个公共顶点的三个面的面积分别为 6 cm 2 、8 cm 2 、12 cm 2 ,求这个长方体的 表面积和长、宽、高.

9.如图 3,边长为 4 的正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、DC 的中点,按图中的虚线折成封闭的 四面体,求这个四面体的侧面积和体积. A D

F

B

E 图3

C

10.设圆台的的上、下底面半径为 r? 和 r ,母线长为 l ,圆台侧面展开后所得扇环的圆心角为是 ? .

? (1)求证: ? ? r ? r ? 360? l
(2)求上、下底面半径分别为 2cm 和 9cm,侧面展开图圆心角为 135?圆台侧面积.

43

杀了“现在” 也便杀了“将来” ——将来是子孙的时代。 , 。 ——[中] 鲁迅

44

事业常成于坚韧,毁于急燥. ——伊朗·萨迪

§1.15
【学习目标】

空间几何体的体积

?1. 了解柱、锥、台、球的体积公式,了解球表面积公式,并能应用它们解决有关问题; ?2. 了解一些不规则的几何体体积求法,从中体会转化的数学思想方法. 【知识要点】

1 1 4 ?1. 柱、锥、台、球的体积公式:V柱体 ? Sh ; V锥体 ? Sh; V台体 = h(S ? SS ? ? S ?); V球 ? ? R3 3 3 3 2 ?2. 球表面积公式: S球面 ? 4? R
?3. 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系: 1 1 S ?? S S ??0 V柱体 ? Sh ??? V台体 = h(S ? SS ? ? S ?) ??? V锥体 ? Sh ? ? 3 3 ?4. 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥,分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积, 在立体几何中,割补法是非常重要的方法. ?5. 解决与球有关的接、切问题时,一般作一个适当的截面,将问题转化为平面问题解决. ?6. 点面距离问题常常用“等体积法”解决. 【课时练习】 1.将边长为 a 的正方形沿对角线 AC 折起,使得 BD ? a ,则三棱锥 D ? ABC 的体积是( A. a 6
3



B. a 12

3

C. 3 a 3

12

D. 2 a3

12

2.圆台上、下底面面积分别是 ? 、 4? ,侧面积是 6? ,则这个圆台的体积是( A. 2 3 ?

) C A

3

B. 2 3?

C. 7 3 ?

6

D. 7 3 ?

3

3.如图 1 是一个底面半径为 r 的圆柱截下的一部分几何体, 已知 AB=a,CD=b,则这个几何体的体积为( ) B 图1 A1 S C B C1 B1 D

1 A. ? r 2 ( a ? b) 2

1 B. ? r 2 ( a ? b) 2

1 C. ? r 2 2a ? b 2

1 D. ? r 2 (a ? 2b) 2

4.如图 2,在体积为 15 的斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,S 是 C1C 上的一点, S-ABC 的体积为 3,则三棱锥 S-A1B1C1 的体积为( A.1 B. ) A

3 2

C.2

D.3

45

事业常成于坚韧,毁于急燥. ——伊朗·萨迪

5.在平面直角坐标系 xoy 中,已知 A(0,0), B(1,0), C (2,1), D(0,3) . 若四边形 ABCD 绕 y 轴旋转 210? ,则所得几何体的体积为_____________.

图2

6.有两个球和一个正方体,球 O1 与正方体的各个面相内切,球 O2 过正方体的各顶点,则球 O1 与 球 O2 的表面积之比是_____________. 7.已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均为 1,其平面展开图 如图 3 所示,则该凸多面体的体积为_____________. 8.粉碎机的下料斗是正四棱台形,如图 4 所示,它的两底面边长分 别是 10cm 和 40cm,高是 20cm, (1)求这个下料斗的体积; (2)求制造这样一个下料斗所需铁板的面积. 图3

图4

9.正四棱锥 S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点 S,A,B,C,D 都在同一球面上, 求该球的体积.

10.如图 5,平面 PAB 为圆锥 PO 的轴截面,C 为它底面圆周上的一个点,
?CPB ? 90? , ?CPA ? 60? ,PA=4.

P

46

A

O C

B

事业常成于坚韧,毁于急燥. ——伊朗·萨迪

(1)求圆锥的体积; (2)求 O 点到平 PAC 的距离.

图5

47

人的价值蕴藏在人的才能之中。 ——[德] 马克思

立体几何初步单元测试题
一、选择题: (本题满分 40 分,每小题 4 分,在每题给出的四个选项中选择唯一正确的选项代号填 到题后括号中) 1.下列几何体各自的三视图中, 有且仅有两个视图相同的是( A.①② C.①④ B.①③ D.②④ ①正方体 ②圆锥 ③三棱台
D1 A1 E D B1



④正四棱锥
C1 G C

2.如图 1,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB=2, AD=1, 点 E, F, G 分别为 DD1, AB, CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成的角为( A.30° ) C.60° D.90° )
A

B.45°

F

B

3.在棱长为 1 的正方体 AC1 中,点 A 到平面 BB1D1D 的距离是( A.1 B. 2 C.

1 2

D.

2 2

图1 )

4.已知各顶点都在球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积为( A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?

5.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 A 在面 A1 BD 上的射影是 P,则 P 是 ?A1 BD 的( A.垂心 B.外心 C.内心 D.重心
P
?



6.如图 2,三棱锥 P-ABC 中,AB=BC= a ,∠ ABC= 90 , PA=PB=PC= 2 a ,则 PB 与面 ABC 所成的角等于( A.30? B.45? C.60? D.90? ) 图2 )
C A B

7.已知直线 a, b, m ,平面 ? , ? , ? . 下列命题中,正确的是( A.若 a ? m, b ? m, 则 a ? b C.若 a // ? , b // ? ,则 a // b B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? m, ? ? m, 则 ? // ?

8.已知直线 l⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列四个命题: ① ? // ? , l ? ? ? l ? m ; ② ? ? ? ? l // m ; ③ l // m ? ? ? ? ; ④ l ? m ? ? // ? . 其中正确的两个命题是( )
S F

G C

48
A

E

B

人的价值蕴藏在人的才能之中。 ——[德] 马克思

A.①②

B.③④
EA

C.①③
FS GC

D.②④

9.如图 3,三棱锥 S-ABC 中, SE ? BF ? SG ? 2 ,则截面 EFG 把 三棱锥分成的两部分的体积之比为( A.1∶9 B.1∶7 C.4∶23 ) D.2∶25

10.轴截面为正方形的圆柱叫等边圆柱,若一个等边圆柱和一个球、 一个正方体的的表面积相等,则体积的大小关系为( A. V球 ? V正 ? V柱 B. V球 ? V柱 ? V正 ) 图3 D. V柱 ? V正 ? V球

C. V正 ? V柱 ? V球

二、填空题: (本题满分 16 分,每小题 4 分,在每题的空白处填写正确的内容) 11.两个平行平面的距离是 10,夹在这两个平面间的线段 AB 长为 20,则 AB 与这两个平面所成 的角为_______________. 12.将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球, 则该球的体积为_______________. 13.圆台的高是 4,母线长是 5,侧面积是 45? ,则它的体积 V=___________. 14.如图 4 所示的圆锥中,底面半径 r ?1,母线长为 l ? 4 , M 为 SA 中点,现从 A 经圆锥侧面绕一条细线到 M, 则细线最短长为__________. 图4
A M S

三、解答题: (本题满分 44 分,要求写出每题的解答过程,15、16 题各 10 分,17、18 题各 12 分) 15.在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, ?PCD 的面积为 a , AB 到面 PCD 的距离 为 b , 求此四棱锥的体积.

49

人的价值蕴藏在人的才能之中。 ——[德] 马克思

16.如图 5,在直角梯形 ABCD 中, ?D ??BAD ? 90? , AD ? DC ? 1 AB ?1 ,将 ?ADC 沿 AC 折起, 2 使 D 到 D? . 若二面角 D?? AC ? B 为直二面角,求二面角 A ? BC ? D? 的大小.
D' D C C A B A B

图5

17.如图 6,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1A=AD=a, AB=2a, E, F 分别为 C1D1, A1D1 的中点. (1)求证:DE?平面 BCE;
D1 E B1 D A B C

(2)求证:AF//平面 BDE.

F A1

C1

图6

18.如图 7,边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC= 2 2 , M 为 BC 的中点.
P

50 C M A B

D

人的价值蕴藏在人的才能之中。 ——[德] 马克思

(1)证明:AM⊥ PM; (2)求二面角 P-AM-D 的大小; (3)求点 D 到平面 AMP 的距离.

图7

51

第 2 章

平面解析几何初步

凡在小事上对真理持轻率态度的人,在大事上也是不足信的. ——[美] 爱因斯坦

§2.1
【学习目标】 ?1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念; ?2. 掌握过两点的直线斜率的计算公式. 【知识要点】

直线的斜率

?1. 直线的倾斜角?的范围是: 0? ? ? ? 180? ; ?2. 直线的倾斜 k = tan α(α≠90° ) ?3. 经过两点 P(x1 , y1) , P ( x2 , y2) 的斜率 k ? 1 2

y2 ? y1 (x ? x ) , x2 ? x1 2 1

若 x2 ? x1 时,斜率不存在,倾斜角 ? ? 90? . 【课时练习】 1.如果过点 A(x, 4)和 B(?2, x)的直线的斜率等于 1,那么 x 的值是( A.1 B.4 ) C.1 或 3 D.1 或 4 )

2.下列命题正确的是(

A.若直线的倾斜角为?,则此直线的斜率为 tan? ; B.若直线的斜率为 tan? ,则此直线的倾斜角为 ? ; C.平行于 x 轴的直线的倾斜角可以是 0?或 180? ; D.若直线的斜率不存在,则此直线的倾斜角为 90?. 3.如图 1,直线 l1、l2、l3 的斜率分别是 k1、k2、k3,则有( A. k1 ? k2 ? k3 C. k3 ? k2 ? k1 B. k1 ? k3 ? k2 D. k2 ? k1 ? k3 ) 图1 ) l1 l3 o x y l2

4.经过 P(0, 0),Q (?1, 3) 两点的直线的斜率和倾斜角分别是( A. ? 3 , 120? 3 B. ? 3 , 60? 3

53

凡在小事上对真理持轻率态度的人,在大事上也是不足信的. ——[美] 爱因斯坦

C. ? 3, 120?

D. ? 3, 60? .

5.已知点 M (? 3, 1) ,点 N 在 y 轴上,若直线 MN 的斜率为 ? 3 ,则 N 点的坐标为 6.斜率为 2 的直线经过(3, 5)、(a, 7)、(?1, b)三点,则 a ? b ? 7.已知直线 l 经过两点 A(-1, m)、B(m, 1). (1) 若直线 l 与 x 轴平行,则 m =_______________; (2) 若直线 l 与 y 轴平行,则 m =_______________. 8.已知 A(a, 2)、B(3, 7)、C(-2,-9a)三点在同一条直线上,求 a 的值? .

9.如图 2,已知 A(3, 2)、B(-4, 1)、C(0, -1),求直线 AB、BC 和 CA 的斜率,并判断这些直线的 倾斜角是锐角还是钝角. y
A B

o
C

x

图2

10.已知点 A(?2,1), B(3, 2) ,若直线 l 过点 P(0, ? 1) 且与线段 AB 相交,求直线 l 的斜率 k 及倾斜 角的取值范围.

54

一切推理都必须从观察与实验得来. ——[意] 伽利略

§2.2
【学习目标】

直线的方程(点斜式)

?1. 掌握直线的点斜式、斜截式方程; ?2. 能熟练写出直线的点斜式、斜截式方程并能简单应用. 【知识要点】 ?1. 直线的点斜式方程:经过 P(x0 , y0) ,斜率为 k 的直线方程为 y ? y0 ? k (x ? x0) ; ?2. 直线的斜截式方程:斜率为 k,在 y 轴上的截距为 b(即经过点(0,b) )的直线方程为:

y ? kx ? b .
【课时练习】 1.经过点(2, 3),且斜率为 1 的直线方程是( A. x ? y ? 5 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 2.方程 y ? k ( x ? 5) ,(k?R)表示( A.经过点(5, 0)的一切直线 C.经过点(?5, 0)的一切直线 3.直线 y ? ?2x ? b 一定经过( A.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 ) B.第一、三象限 D.第二、四象限 ) )

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 5 ? 0 ) B.经过点(5, 0)且除 x=5 外的一切直线 D.经过点(?5, 0)且除 x=-5 外的一切直线

4.如图,在同一坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是( y o o A x

y x

y o x

y o x

B

C

D

55

一切推理都必须从观察与实验得来. ——[意] 伽利略

5.已知直线 l 的方程是 9x ? 4 y ? 36 ,则 l 在 y 轴上的截距为 6.不论 m 为何值,直线 y ? mx ? 3 ? 2m 恒过定点,该定点为 7.设 a >1,则直线 y ? a | x |? 0 与直线 y ? x ? a 交点的个数是

. . .

8.求斜率是直线 y ? ? 3x ? 1 斜率的 1 ,且分别满足下列条件的直线方程: 3 (1) 经过点 (?1, 3) ; (2) 在 y 轴上的截距是-5.

9.求与两坐标轴围成的三角形周长为 9,且斜率为 ? 的直线 l 的方程.

4 3

10.过点(?5, ?4)作一直线 l,使它与两坐标轴相交且与两坐标轴所围成的三角形面积为 5 个平方 单位,求直线 l 的方程.

56

在科学上最好的助手是自己的头脑,而不是别的东西. ——[法] 法布尔

§2.3
【学习目标】

直线的方程(两点式)

? 掌握直线的两点式方程和截距式方程,并能运用解决相关数学问题. 【知识要点】 ?1. 直线的两点式方程:

y ? y1 x ? x1 ? (x ? x , y ? y ) 注意这里的直线不能平行于坐标轴; y2 ? y1 x2 ? x1 2 1 2 1

y ?2. 直线的截距式方程: x ? ? 1 (a、b 分别为 x、y 轴上的截距, ab ? 0 ). a b

【课时练习】 1.经过点 A(-4,-1)和 B(4,3)的直线在 x 轴上的截距为( A.1 B.-1 ) C.2 )

D.-2

2.下列说法正确的是( A.

y ? y1 ? k 是过点 M ( x1 , y1 ) 且斜率为 k 的直线方程. x ? x1

B.在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a、b 的直线方程是 C.直线 y ? kx ? b 与 y 轴的交点到原点的距离为 b.

x y ? ? 1. a b

D.不与坐标轴平行或重合的直线一定可以写成两点式或斜截式. 3.直线 l 在 x 轴,y 轴上的截距的倒数之和为常数 A. (0,0) B. (1,1)

1 ,则该直线必过定点( k
D. ( )



C. (k,k)

1 1 , ) k k

4.过点 M(4, 1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( A. x ? y ? 5 C. x ? y ? 5 或 x ? 4 y ? 0 B. x ? y ? 5

D. x ? y ? 5 或 x ? 4 y ? 0

57

在科学上最好的助手是自己的头脑,而不是别的东西. ——[法] 法布尔

5.过点(0, 5),且在两坐标轴上截距之和为 2 的直线方程是 6.过 A(5, 7)与 B(1, 3)两点的直线方程为 若 P(m, 12)在 AB 上,则 m= . ;

.

7.直线 ax ? 6 y ? 12a ? 0 (a ? 0) 在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 3 倍, 则 a 的值是 .

8.已知直线 l 在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1,且过定点 P(6,-2),求直线 l 的方程.

9.一根弹簧,挂 6 kg 的物体时,长 11cm,挂 9 kg 的物体时,长 17cm. 已知弹簧长度 l(cm)和所 挂物体重量 w (kg)的关系可以用直线方程来表示. 用两点式表示这个方程; 并根据这个方程求 弹簧长为 13cm 时所挂物体的重量.

10.如图,在△ABC 中,已知 A(5, ?2)、B(7, 3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中点 N 在 x 轴上,求这个三角形三边所在直线的方程. y B
58

O N C M A

x

在科学上最好的助手是自己的头脑,而不是别的东西. ——[法] 法布尔

59

困难只能吓倒懦夫懒汉,而胜利永远属于敢于攀登科学高峰的人. ——[中] 茅以升

§2.4
【学习目标】 ?1. 理解直线的一般式方程;

直线的方程(一般式)

?2. 掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式之间的互化. 【知识要点】 ?1. 直线的一般式方程 Ax ? By ? C ? 0 (A、B 不同时为 0) ; ?2. 方程 Ax ? By ? C ? 0 (A、B不全为0),当B不为0时,直线的斜截式方程是: y ? ? A x ? ? C . B B 【课时练习】 1.方程 Ax ? By ? C ? 0 表示倾斜角为锐角的直线,则必有( A. A ? B ? 0 C. A ? 0 且 B ? 0 B. A ? B ? 0 D. A ? 0 或 B ? 0 ) )

2.若方程 (2m ? 1) x ? (2m2 ? m ? 1) y ? m ? 0 表示一条直线,则 m 的取值范围是( A.m ≠ 0 B. m ?

1 2

C.m ≠-1

D. m ? )

1 且 m ≠-1 2

3.直线 mx ? ny ? 1 ? 0 同时过第Ⅰ 、Ⅲ 、Ⅳ 象限的条件是( A. mn ? 0 B. mn ? 0 C. m ? 0, n ? 0

D. m ? 0, n ? 0 )

4.如图,直线 l1 : ax ? y ? b ? 0 与直线 l 2 : bx ? y ? a ? 0(ab ? 0) 的图像应是( y l1 l1 o l2 A B x o x l2 C D l1 l2 o x o l2 y y

y

l1

x

4 5.若直线 l 在 x 轴上的截距是-4,斜率 k ? ? ,则直线 l 的一般式方程是 3

.

60

困难只能吓倒懦夫懒汉,而胜利永远属于敢于攀登科学高峰的人. ——[中] 茅以升

6.直线 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 与坐标轴围成的三角形的面积是

.

7.若直线 l 沿 x 轴向左平移 3 个单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位后,回到原来的位置, 则直线 l 的斜率为 .

61

困难只能吓倒懦夫懒汉,而胜利永远属于敢于攀登科学高峰的人. ——[中] 茅以升

8.直线 Ax ? By ? C ? 0 (A、B 不同时为零)的系数 A、B、C 满足什么关系时,这条直线有以下 性质:(1)与两条坐标轴都相交;(2)只与 x 轴相交;(3)只与 y 轴相交;(4)是 x 轴所在直线; (5)过原点;(6)经过一、三、四象限.

9. 已知菱形的两条对角线长分别为 8 和 6,试建立适当的直角坐标系,求出菱形各边所在直线的方程.

10.设直线 l 的方程为 (m2 ? 5m ? 6) x ? (2m2 ? 7m ? 3) y ? 3m ? 9 , 根据下列条件分别求实数 m 的值. (1) 斜率为 1; (2) 在 y 轴上的截距为 ?3.

62

问号是开启任何一门科学的钥匙. ——[前苏联] 巴甫洛夫

§2.5
【学习目标】

两条直线的平行与垂直

? 掌握两条直线平行和垂直的条件与判定方法. 【知识要点】 ?1. 直线 l1 : y ? k1 x ? b1 ,直线 l2 : y ? k 2 x ? b2 , (1) k1 ? k 2 且 b1 ? b2 时, l1 // l 2 ;
l1 // l 2 时,若斜率存在,则 k1 ? k 2 且 b1 ? b2 .

(2) k1 ? k 2 ? ?1 ? l1 ? l 2 .
l1 ? l2 ? k1 ? k 2 ? ?1 (斜率都存在)

?2. 直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , 直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 . (1) l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? B2C1 ? 0 或 A1C2 ? A2C1 ? 0 . (2) l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 【课时练习】 1.下列命题中正确的是( )

A.两条斜率相等的直线必平行 B.两条互相垂直的直线的斜率必互为负倒数 C.如果两条直线互相平行,那么它们的斜率或相等,或都垂直于 x 轴 D.一条直线有斜率,另一条直线斜率不存在,则此两条直线必互相垂直 2.下列各组中,两条直线 l1、l2 互相垂直的是( )

1 2 ,l2 经过 A(?1, 1) 、 B(0, ? ) 3 2 P(?2, ? 1) 、 Q(3, ? 6) B.l1 的斜率为 1,l2 经过
A.l1 的斜率为 ? C.l1 经过点 M (1, 0) 、 N (4, ? 5) ,l2 经过 R(?6, 0) 、 S (?1, ? 3) D. l1 :

3x ? y ? 1 ? 0, l2 :

3x ? 3 y ? 5 ? 0

3.已知?ABC 的三个顶点 A(4,-6)、B(-4, 0)、C(-1, 4),则 AC 边上的高 BD 所在直线的方程 是( ) B. x ? 2 y ? 4 ? 0 D. x ? 2 y ? 4 ? 0

A. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. x ? 2 y ? 4 ? 0

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问号是开启任何一门科学的钥匙. ——[前苏联] 巴甫洛夫

4.若直线 (3a ? 2) x ? (1 ? 4a) y ? 8 ? 0 和直线 (5a ? 2) x ? (a ? 4) y ? 7 ? 0 互相垂直,则 a 的值为( A.0 B.1 C.0 或 1 D.0 或-1 . .

)

5.已知点 M(2, 2)和 N(5, ?2),点 P 在 x 轴上,且?MPN 为直角,求点 P 的坐标 6.经过点 P(2, 3),且与直线 2x+3y+4=0 平行的直线方程为 7.已知直角梯形 ABCD 的上底 AB 的方程为 3x ? y ? 2 ? 0 ,点 C(3, 1),则: 下底 CD 的方程为 ;直角腰 BC 的方程为

.

8.已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0, 0)、B(2, ?1)、C(4, 2)、D(2, 3). 试判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明.

9.在直角梯形 ABCD 中,A(?5,?10), B(15, 0), C(5, 10), AD 是腰且垂直于两底,求顶点 D 的坐标.

10.已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,求直线 l ? 的方程,使得: (1) l ? 与 l 平行,且直线 l ? 与两坐标轴围成的三角形面积为 24; (2) l ? 与 l 垂直,且直线 l ? 与两坐标轴围成的三角形面积为 4.

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问号是开启任何一门科学的钥匙. ——[前苏联] 巴甫洛夫

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学习知识要善于思考,思考,再思考,我就是靠这个方法成为科学家的. ——[美] 爱因斯坦

§2.6
【学习目标】

两条直线的交点

?1. 能用解方程组的方法求两条直线的交点. ?2. 理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关 系. 【知识要点】 ? 直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , 直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 . (1) l1 // l2 ? 方程组无解; (2) l1 与 l2 重合 ? 方程组有无数解; (3) l1 与 l2 相交 ? 方程组有一解. 【课时练习】 1.直线 3x ? 5 y ? 1 ? 0 与 4x ? 3y ? 5 ? 0 的交点是( A.(?2, 1) B.(?3, 2) C.(2, ?1) ) D.(3, ?2) )

2.过直线 2x ? y ? 4 ? 0 与 x ? y ? 5 ? 0 的交点且垂直于直线 x ? 2 y ? 0 的直线方程是( A. 2x ? y ? 8 ? 0 C. 2x ? y ? 8 ? 0 B. 2x ? y ? 8 ? 0 D. 2x ? y ? 8 ? 0

3.经过两条直线 4x ? 3y ? 6 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,且平行于直线 4x ? 3y ? 7 ? 0 的直线 方程为( ) B. 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 D. 4x ? 3y ? 6 ? 0

A. 4x ? 3y ? 6 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 6 ? 0

4.已知两直线 a1 x ? b1 y ? 1 ? 0 与 a2 x ? b2 y ? 1 ? 0 的交点是 P (2, 3) ,则过两点 Q1 (a1 , b1 ), Q2 (a2 , b2 ) 的直线方程是( A. 3x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 5.判断下列各对直线的位置关系: ) B. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 D. 3x ? 2 y ? 1 ? 0

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学习知识要善于思考,思考,再思考,我就是靠这个方法成为科学家的. ——[美] 爱因斯坦

(1) 2x ? y ? 7 ? 0,

x ? y ?1 x?5 (2) x ? 3 y ? 10 ? 0, y ? 3 (3) 3x ? 5 y ? 10 ? 0, 9 x ? 15 y ? 30 ? 0
6.A 和 C 取什么值时,直线 Ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 6x ? 4 y ? C ? 0 : (1)平行 7.三条直线 x ? y ? 1 ? 0, ;(2)相交 ;(3)垂直 . .

x ? ay ? 8 ? 0, 2x ? 3y ? 5 ? 0 共有两个不同的交点,则 a 值为

8.设三条直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 , l2 : kx ? 2 y ? 3 ? 0 , l3 : x ? (k ? 1) y ? 5 ? 0 ,若这三条直线交于一点, 求 k 的值.

9. 已知三角形的一个顶点 A(-3, 4), 且这个三角形的两条高线所在的直线方程分别为 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 和 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,求三角形的三边所在直线的方程.

10.如图,在矩形 ABCD 中,已知 AB=3AD,E、F 为 DC 的两个三等分点,DB、AF 交于 G, 建立适当的直角坐标系. 证明:EG?AF
D E G A B F C

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学习知识要善于思考,思考,再思考,我就是靠这个方法成为科学家的. ——[美] 爱因斯坦

68

生命如流水,只有在他的急流与奔向前去的时候,才美丽,才有意义. ——[中] 张闻天

§2.7
【学习目标】

平面上两点间的距离

?1. 掌握平面上两点间的距离公式和线段的中点坐标公式; ?2. 能运用距离公式和中点坐标公式解决一些简单的问题. 【知识要点】 ?1. 平面上两点的距离公式已知两点 P( x1, y1) , P (x2, y2) 则 PP ? (x2 ? x1)2 ? ( y2 ? y1)2 ,这个 1 2 1 2 公式是计算平面直角坐标系内两点间的距离,线段长度、多边形边长的常用公式,它是用勾股定理 来推导的;特别地,当 P1, P2 所在直线与 x 轴平行时,P1P2 = |x1- x2 |;当 P1, P2 所在直线与 y 轴平 行时,P1P2 =|y1- y2 |;当 P1, P2 在直线 y= kx + b 上时, PP ? 1? k 2 | x1 ? x2 | . 1 2

P ?2. 中点坐标公式: 一般地, 对于平面上的两点 P (x1, y1) , 2(x2, y2) 线段 P P2 的中点是 M (x0, y0) , 1 1

x1 ? x2 ? ? x0 ? 2 则? ,这个公式可用斜率公式和两点间的距离公式来推证,已知两点可求中点坐标;已 y ?y ? y0 ? 1 2 2 ?
知一点和中点,可求另一点坐标. 【课时练习】 1.已知两点 P(m, ?5)、Q(1, ?2)之间的距离是 5,则实数 m 的值是( A.5 B.?3 或 5 C.?4 D.?3 ) )

2.已知过两点(-a, 3)、(5,-a)的直线的斜率为 1,则这两点间的距离是( A. 2 13 B. 130 C. 2 D. 2 2 )

3.已知点 A(1, 2)、B(3, 1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A. 4 x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5 C. x ? 2 y ? 5

D. x ? 2 y ? 5

4.已知 A、B 是 x 轴上两点,点 P 的横坐标为 2,且 PA=PB,若直线 PA 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 则直线 PB 的方程为( A. 2x ? y ? 1 ? 0 ) B. x ? y ? 5 ? 0

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生命如流水,只有在他的急流与奔向前去的时候,才美丽,才有意义. ——[中] 张闻天

C. 2x ? y ? 7 ? 0

D. 2 y ? x ? 4 ? 0

5.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,线段 AB 的中点 M 的坐标是(-1, 2), 则线段 AB 的长度是 . . .

6.从 M(2, 2)射出一条光线,经过 x 轴上的 P 点反射后过点 N(?8, 3),则 MP+PN= 7.点 A 与点 B(1,-1)相距为 5,且到 y 轴的距离为 4,则 A 点的坐标是

8.已知点 A(1, 3),B(-3, 1),在 x 轴上求一点 P,使得 PA?PB 最小,并求最小值.

9.已知直线 l1 : 2x ? y ? 6 ? 0 和点 A(1, ?1),过点 A 作直线 l 与已知直线 l1 相交于 B 点, 且 AB ? 5 ,求直线 l 的方程.

10.已知 ?ABC 的顶点是(3, ?1), ?B, ?C 的平分线所在的直线方程分别是 x ? 0, y ? x , 求 BC 边所在的直线方程.

70

生命如流水,只有在他的急流与奔向前去的时候,才美丽,才有意义. ——[中] 张闻天

71

如果一个人不知道他要驶向哪个码头,那么任何风都不会是顺风. ——[罗马] 塞涅卡

§2.8
【学习目标】

点到直线的距离

?1. 掌握点到直线的距离公式,能运用它解决一些简单问题; ?2. 渗透化归思想和数形结合的思想,使学生进一步了解代数方程研究几何问题的方法. 【知识要点】 ?1. 点到直线的距离公式:点 P(x0, y0) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

.

当直线和 x 轴平行时,直线方程为 By ? C ? 0 ,点到直线的距离公式为 d ? y0 ? C ;当直线和 y 轴 B 平行时,直线方程为 Ax ? c ? 0 ,点到直线的距离公式为 d ? x0 ? C .

A

?2. 两平行线间的距离:一般地,已知两条平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,

(C1 ? C2) ,则 l1 和 l 2 之间的距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B2

.其中 l1 和 l2 中的 A, B 必须相同.

【课时练习】 1.已知点(3, m)到直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 的距离为 1,则 m 等于( A. 3 B. ? 3 C. ? 3 3 )

D. 3 或 ? 3 3 )

2.点 P 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,O 是坐标原点,则 OP 的最小值是( A. 10 B. 2 2 C. 6 D.2

3.两平行直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , l 2 : ax ? 8 y ? 5 ? 0 的距离等于( A.3 B.0.1 C.0.5 D.7 )



4.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 ? 0 对称的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

5.已知点 ( x0 , y0 ) 在直线 ax ? by ? 0 (a、b 为常数)上,则 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 的最小值是

.

72

如果一个人不知道他要驶向哪个码头,那么任何风都不会是顺风. ——[罗马] 塞涅卡

6.过点 P(1, 2)引一直线 l,使它与两点 A(2, 3)、B(4, ?5)的距离相等,则直线 l 的方程 为 .

7.设两条直线的方程分别为 x ? y ? a ? 0, x ? y ? b ? 0 ,已知 a、b 是方程 x 2 ? x ? c ? 0 的两根, 且0?c ?

1 ,则这两条直线之间的距离的最小值= 8

,最大值=

.

8.如图 1,已知三点 A(1, 3)、B(?1, ?1)、C(2, 1),直线 l 平行于 BC,分别交 AB、AC 于 P、Q, 若?APQ 的面积是?ABC 面积的 1 ,求直线 l 的方程. 9 y P A Q C x B 图1 l

9.已知两条平行直线 l1,l2 分别经过点 A(1, 0)和 B(0, 5) (1)若直线 l1 与 l2 的距离为 5,求这两条直线的方程; (2)设直线 l1 与 l2 的距离为 d,求实数 d 的取值范围.

10.如图 2,已知正方形的中心为 G(?1, 0),一边所在的直线方程为 x ? 3 y ? 5 ? 0 , 求其它三边所在的直线方程.
D C G A 73

y

x

如果一个人不知道他要驶向哪个码头,那么任何风都不会是顺风. ——[罗马] 塞涅卡

图2

74

没有那个年龄该有的知识,就有那个年龄该有的一切痛苦. ——[美] 杜威

§2.9
【学习目标】

圆的方程(1)

? 掌握圆的标准方程,能运用待定系数法求圆的标准方程及已知圆的标准方程,能熟练求出 它的圆心和半径. 【知识要点】 ?1. 圆的标准方程: (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 , (r>0)其中圆心为(a,b) ,半径为 r. ?2. 由于方程 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 含有三个参数,因此必须具备三个独立条件才能确定一个 圆,确定 a、b、r 可以根据条件利用待定系数法来解决. 【课时练习】 1.圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 5)2 ? 3 的圆心坐标和半径分别是( A. (?1, 5), C. (?1, 5), )

3
3

B. (1, ? 5), D. (1, ? 5),

3
3
)

2.圆 (x ? 1)2 ? y2 ? 1 的圆心到直线 x ? 3 y ? 0 的距离是 ( A.

1 2

B.

3 2

C. 1

D.

3
)

3.过点 A(1,-1), B(-1, 1)且圆心在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的圆的方程是 ( A. (x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 C. (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4 B. (x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 D. (x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4

4. 已知圆心为点(2,-3), 圆的一条直径的两个端点恰好落在两坐标轴上, 则这个圆的方程是( A. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 C. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 5.已知点 (a ? 1, a ? 1) 在圆 (x ? B. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 8 D. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 13

)

1 )2 ? ( y ? 1 )2 ? 9 的外部,则实数 a 的取值范围是 2 2 2
75

.

没有那个年龄该有的知识,就有那个年龄该有的一切痛苦. ——[美] 杜威

6.圆心在 y 轴上,半径为 2,且过(2, 1)点的圆的方程是 7.如果三角形的顶点分别是 O(0, 0), A(0, 15), B(-8, 0),那么: 它的内切圆方程是 它的外接圆方程是 8.已知一个圆的直径的端点是 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 求证:圆的方程是 (x ? x1)( x ? x2) ? ( y ? y1)( y ? y2) ? 0 ; .

.

9.求圆 (x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 关于直线 x ? y ? 0 对称的圆的方程.

10.设圆满足: (1)截 y 轴所得弦长为 2; (2)被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1; (3)圆心到直线 L: x ? 2 y ? 0 的距离为 5 .

5

求圆的方程.

76

读书之法,在循序而渐进,熟读而精思. ——[中] 朱熹

§2.10
【学习目标】 ?1. 掌握圆的一般方程;

圆的方程(2)

?2. 会将圆的标准方程与一般方程互化. 【知识要点】 ?1. 圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) ,其中圆心为 (? 半径 r ? 1 2
D E ,? ), 2 2

D2 ? E 2 ? 4F .

?2. 用待定系数法求圆的方程,有两种选择,当条件是已知圆上三点时用一般方程;已知圆心 或半径时,用标准方程. 【课时练习】 1.如果圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 与 x 轴相切于原点,则( A. D ? 0, E ? 0, F ? 0 C. D ? 0, E ? 0, F ? 0 2.方程 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0 表示的曲线是( A.圆 B.两条直线 )

B. D ? 0, E ? 0, F ? 0 D. D ? 0, E ? 0, F ? 0 ) C.一点 D.无轨迹

3.圆 x2 ? y2 ? (4m ? 2)x ? 2my ? 4m2 ? 4m ? 1 ? 0 的圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上, 那么圆的面积为( A.9? ) B.? C.2? D.由 m 的值而定

4.圆 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? F ? 0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 C,若∠ACB= 90? , 则 F 的值等于( )

77

读书之法,在循序而渐进,熟读而精思. ——[中] 朱熹

A.-2 2

B.2 2

C.3

D.-3

5.已知圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0 ,该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是_____________, 最远的点的坐标是_______________. 6.若方程 x2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 3a2 ? 2a ? 1 ? 0 表示圆,则此圆的面积的最大值为____________. 7.与圆 x2 ? y2 ? x ? 2 y ? 0 关于直线 y ? x ? 1 对称的圆的方程是____________________________. 8.求经过三点 A(1,-1) ,B(1, 4) ,C(4,-2)的圆的方程.

9.过圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 内一点 A(5,3)作两条互相垂直的射线交圆于 B、C 两点,求 BC 中 点 D 的轨迹方程.

10.已知方程 x 2 ? y 2 ? 2(t ? 3) x ? 2(1 ? 4t 2 ) y ? 16t 4 ? 9 ? 0 (t ? R) 的图形是圆. (1)求 t 的取值范围; (2)求其中面积最大的圆的方程; (3)若点 P(3, 4t 2) 恒在可给圆内,求 t 的取值范围.

78

读书之法,在循序而渐进,熟读而精思. ——[中] 朱熹

79

坚强的信心,能使平凡的人做出惊人的事业. ──马尔顿

§2.11
【学习目标】

圆的方程(3)

? 掌握圆的标准方程和一般方程,熟练运用待定系数法求圆的方程. 【知识要点】 ? 1. 由于圆的标准方程和一般方程中都有三个待定系数(a、b、r)和(D、E、F)因而确定 一个圆的方程,需要有三个独立的条件. ? 2. 求圆的方程时,注意圆的几何性质的应用。 ? 3. 根据题目条件合理选用标准方程和一般方程。 【课时练习】 1.若方程 a2 x2 ? (a ? 2) y 2 ? 2ax ? a ? 0 表示圆,则 a 的值为( A.-1 B.2 C.-1 或 2 D.1 ) )

2.方程 x( x2 ? y 2 ? 1) ? 0 和 x2 ? ( x2 ? y 2 ? 1)2 ? 0 表示的图形是( A.都是两个点 B.一条直线和一个圆 C.前者是两个点,后者是一条直线和一个圆 D.前者是一条直线和一个圆,后者是两个圆 3.方程 x2 ? y2 ? 2ax ? 2ay ? 0 (a ? 0) 所表示的圆是( A.关于 x 轴对称 C.关于直线 x ? y ? 0 对称 )

B.关于 y 轴对称 D.关于直线 x ? y ? 0 对称 )

4.圆 ( x ? 2t ) 2 ? ( y ? t ) 2 ? 5 上的点到直线 2 x ? y ? 0 的距离的最小值为 5 ,则 t 的值为( A.2 B.-2 C. ? 2
80

D.0

坚强的信心,能使平凡的人做出惊人的事业. ──马尔顿

5.已知 P(3, 0) 是圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 12 ? 0 内一点,过 P 点的最短弦所在的直线方程是 ______________________________. 6.点 M、N 在圆 x2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? 4 ? 0 上,且点 M、N 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则该圆的半径 为 .

7. 已知动点 P( x, y ) 满足 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 , 为坐标原点, PO 的取值范围是_______________. O 则 8.已知一个圆过 P(4, ?2), Q(?1, 3) 两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,求这个圆的方程.

9.已知方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 , (1)若此方程表示的曲线是圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M、N 两点,且 OM ? ON (O 是原点),求 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.

10.一圆经过 A( 4, 2),

B(?1, 3) 两点,且在两个坐标轴上的截距之和为 2,求此圆的方程.

81

坚强的信心,能使平凡的人做出惊人的事业. ──马尔顿

82

生活中最大的目的并不是知识而是行动. ——[英] 赫胥黎

§2.12
【学习目标】

直线与圆的位置关系(1)

?1. 理解直线与圆相交、相切、相离三种位置关系及其几何意义; ?2. 掌握判定直线与圆位置关系的方法. 【知识要点】 ?1. 判断直线与圆的位置关系有两种方法: 几何法——把圆心到直线的距离与圆半径的大小作 比较;代数法——讨论圆的方程与直线方程的实数解的个数,而几何法运算简捷. ?2. 圆的切线: (1)过圆 x2 ? y 2 ? r 2 上一点 M (x0 , y0) 的切线方程为: x0x ? y0 y ? r2 ; (2)斜 率为 k 的切线方程为: y ? kx ? r 1 ? k 2 ; (3)过圆外一点 P(x0 , y0) 做圆 x2 ? y 2 ? r 2 的切线,则两 切点弦所在直线方程为: x0 x ? y0 y ? r 2 . 【课时练习】 1.圆 (x ? 1)2 ? y2 ? 1与直线 4x ? 3y ? 9 ? 0 的位置关系是( A.相离 B.相切 C.过圆心 ) D.相交但不过圆心 )

2.过原点的直线与圆 x2 ? y 2 ?4 y ?3? 0 相切,若切点在第二象限,则该直线方程是( A. y ? 3x B. y ?
3 x 3

C. y ? ?

3 x 3

D. y ? ? 3x )

3.与两条平行直线 3x ? 4 y ?12 ? 0 和 3x ? 4 y ?18 ? 0 都相切,且圆心在 x 轴上的圆的方程是( A. (x ? 3)2 ? y2 ? 9 C. (x ? 1)2 ? y2 ? 9 B. (x ? 3)2 ? y2 ? 225 D. (x ? 1)2 ? y2 ? 225 )

4.过圆 x2 ? y2 ? 4 外一点 M(4,-1)引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是( A. 4x ? y ? 4 ? 0 C. 4x ? y ? 4 ? 0 B. 4x ? y ? 4 ? 0 D. 4x ? y ? 4 ? 0

5.过圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 15 ? 0 上一点 P(-1, 2)的切线方程是______________________. 6.过点 A(1,

2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的

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生活中最大的目的并不是知识而是行动. ——[英] 赫胥黎

斜率 k ?

.

7.已知 P(x1 , y1) 为圆 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 外部一点,过点 P 作圆的切线 PQ,Q 为切点, 则切线长 PQ =_____________.

8.如图,圆 x 2 ? y 2 ? 9 内有一点 P(?1, 2) ,AB 为过点 P 且倾斜角为 ? 的弦. (1) 当 ? ? 135? 时, 写出直线 AB 的方程; (2) 当弦 AB 被 P 平分时, 写出直线 AB 的方程. P x y

9.向圆 x2 ? y2 ? 4x ? 6 y ? 8 ? 0 引切线,求在 x 轴、y 轴上的截距的绝对值相等的切线方程.

10.曲线 x2 ? y2 ? x ? 6 y ? 3 ? 0 上两点 P、Q 满足:(1)关于直线 kx ? y ? 4 ? 0 对称;(2)OP ? OQ, 求直线 PQ 的方程.

84

如果用小圆代表你们学到的知识,用大圆代表我学到的知识,但两圆外的空白面积是我们的无知面, 显然圆越大其圆周接触的无知面就越多.” ——[古希腊] 芝诺

§2.13
【学习目标】

直线与圆的位置关系(2)

? 掌握直线与圆相交、相切时有关弦长,弦的中点,切线长的计算和应用.

【知识要点】 ? 直线与圆相交所得弦长问题的求法有两种:一是弦长公式;二是利用圆的几何性质,注意 圆的半径 r、弦长 l、弦心距 d 的关系.

【课时练习】 1.圆 x 2 ? y 2 ? 2mx ? 2ny ? 1 ? 0 与两坐标轴相交,则( A. m ? 1 且 n ? 1 C. m ? ?1 且 n ? ?1 )

B. m 2 ? 1 且 n 2 ? 1 D. m ? 1 且 n ? 1 )

2.直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? bx ? y ? 9 ? 0 的两个交点关于 y 轴对称,则 k 和 b 的值分别为( A.-1, 0 B.0, 0 C.0, 1 D.任何实数, 0

3.若圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? r 2 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离为 1,则半径 r 的取值 范围是( A. (4,6) ) B.[4,6) C. (4,6] D.[4,6]

4.已知 M ( x0 , y0 ) 是圆 x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? r 2 与此圆的位置 关系是( A.相交 ) B.相切
2

C.相离
2

D.相交或相切

5.由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3) ? y ? 1引切线,则切线长的最小值为_________.

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如果用小圆代表你们学到的知识,用大圆代表我学到的知识,但两圆外的空白面积是我们的无知面, 显然圆越大其圆周接触的无知面就越多.” ——[古希腊] 芝诺

6.已知两直线 l1: y ? kx ? 3 ,和 l2: x ? 3 y ? 6 ? 0 ,设 l1 与 x 轴相交于 A 点,l2 与 y 轴相交于 C 点,l1 与 l2 相交于 B 点,O 为坐标原点,若 O、A、B、C 四点共圆,则 k 的值为 .

7.若直线 y ? x ? m 与曲线 1 ? y2 ? x 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是_____________.

8.已知圆 C 的圆心在直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 上,与直线 l2 : 4x ? 3y ? 14 ? 0 相切, 且截直线 l3 : 3x ? 4 y ? 10 ? 0 所得弦长为 6,求圆 C 的方程.

9.已知圆 C : x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 L,使以 L 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点;若存在,求出直线 L 的方程;若不存在,说明理由.

10.如图所示,过圆 O: x2 ? y 2 ? 4 与 y 轴正半轴的交点 A 作圆的切线 l,M 为 l 上任意一点,再过 M 作圆的另一切线,切点为 Q,当点 M 在直线 l 上移动时,求三角形 MAQ 的垂心的轨迹方程. y A M

O
86

x Q

如果用小圆代表你们学到的知识,用大圆代表我学到的知识,但两圆外的空白面积是我们的无知面, 显然圆越大其圆周接触的无知面就越多.” ——[古希腊] 芝诺

87

过于重视行为规则拘泥形式,往往以致在事业上坐失良机. ——[英] 培根

§2.14
【学习目标】 ? 了解圆与圆的位置及判定方法. 【知识要点】

圆与圆的位置关系

?1. 代数法:解两个圆的方程组成的二元二次方程组,有两组不同的实数解,两圆相交;有两 组相同的实数解,两圆相切;无解,两圆相离; ?2. 几何法:设两圆的半径分别为 r1 、 r2 两圆的圆心分别为 c1 、 c2 ,则: ①当 c1 c2 > r ? r2 时,两圆相离;②当 c1 c2 = r ? r2 时两圆外切; 1 1 ③当| r ? r2 |< c1 c2 < r ? r2 时,两圆相交;④当 c1 c2 =| r ? r2 |时,两圆内切; 1 1 1 ⑤当 c1 c2 <| r ? r2 |时,两圆内含; 1 ?3. 圆 系 方 程 : 方 程 x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 表 示 经 过 两 圆
x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 和 x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交点的所有圆的方程;当 ? ? ?1 时,
( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0 表示两圆公共弦所在直线方程.

【课时练习】 1.圆 x2 ? y2 ? 1 与圆 (x ? 1)2 ? y2 ? 4 的位置关系是( A.相交 B.内切 C.外切 ) D.内含 )

2.两圆 x2 ? y2 ? 16 及 (x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? R2 在交点处的切线互相垂直,则 R 等于( A.5 B.4 C.3 D. 2 2

3.两圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 和 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线有且仅有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条



4.若圆 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? b2 ? 1 始终平分圆 (x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 的周长,则 a、b 应满足的关系 式是( ) B. a 2 ? 2a ? 2b ? 5 ? 0 D. 3a2 ? 2b2 ? 2a ? 2b ? 1 ? 0

A. a 2 ? 2a ? 2b ? 3 ? 0 C. a2 ? 2b2 ? 2a ? 2b ? 1 ? 0

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过于重视行为规则拘泥形式,往往以致在事业上坐失良机. ——[英] 培根

5.若圆 C 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 关于原点对称,则圆 C 的方程是______________________. 6.已知 ? O 的方程为 x2 ? y 2 ? 2 ? 0 , ? O? 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 10 ? 0 ,由动点 P 向 ? O 和 ? O? 所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程为_____________________. 7.与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x2 ? y 2 ? 12x ? 12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是 ________________________. 8.已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m2 ? 5 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 2x ? 2my ? m2 ? 3 ? 0 . m 为何值时, (1)圆 C1 和圆 C2 相外切; (2)圆 C1 和圆 C2 相内含.

9.求与已知圆 x2 ? y2 ? 7 y ? 10 ? 0 相交,所得公共弦与已知直线 l : 2x ? 3y ? 1 ? 0 平行,且过点 A(-2, 3),B(1, 4)的圆的方程.

10.已知圆 C1 : x2 ? y2 ? 4x ? 8y ? 11 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y2 ? 2x ? 6 y ? 11 ? 2m ? 0 相交,另一圆 C 与 x 轴相切,且与 C1 关于 C1 、 C2 的公共弦所在直线 L 对称,求 m 的值及圆 C 的方程.

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过于重视行为规则拘泥形式,往往以致在事业上坐失良机. ——[英] 培根

90

推动你的事业,不要让你的事业推动你. ——[美] 爱因斯坦

§2.15
【学习目标】

圆的综合问题

? 掌握利用方程解决“点与圆” ”线与圆” “圆与圆”的相关问题的方法,提高分析问题解决问题的 、 、 能力. 【知识要点】 ?1. 与圆有关的轨迹问题,要合理利用圆的定义; ?2. 与圆的方程相关的问题,要注意变量的范围; ?3. 充分利用圆的标准方程的几何意义,数形结合,解决问题. 【课时练习】 1.把直线 x ? 2 y ? m ? 0 向左平移 1 个单位后,再向下平移 2 个单位,便与圆 C : x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 0 相切,则实数 m 的值是( A.-13 或 3 ) C.13 或 3 ) C.两个半圆 D.两个圆 D.-13 或-3

B.13 或-3

2.方程 | x | ?1 ? 1 ? (1 ? y)2 表示的曲线是( A.一个圆 B.一个半圆

3.已知集合 M ? {(x, y) | y ? 9 ? x2 , x ? ?3 } , N ? {(x, y) | x ? y ? b ? 0 } ,且 M ? N ? ? ,则实 数 b 的取值范围是( A.-3 ? b ? 3 2 C.-3 2 ? b ? 3 2 ) B.-3 < b ? 3 2 D.-3 < b < 3

4.已知点 M (a, b) (ab ? 0) 是圆 C : x2 ? y2 ? r2 内一点,直线 L 是以 M 为中点的弦所在的直线, 直线 m 的方程是 ax ? by ? r 2 ,那么( A. L // m 且 m 与圆 C 相切 C. L // m 且 m 与圆 C 相离 ) B.L⊥m 且 m 与圆 C 相切 D.L⊥m 且 m 与圆 C 相离

5.设集合 M ? {( x, y) | ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4 } , N ? {( x, y) | ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4 } ,

91

推动你的事业,不要让你的事业推动你. ——[美] 爱因斯坦

则 M ? N 所表示的图形的面积是_______________. 6.已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 3 ( y ? 0) ,若 m ?

y ?1 及 b ? 2x ? y , x?3

则 m 的取值范围是________________;b 的取值范围是_________________. 7.半径为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 内切,则此圆的方程为_________________. 8.自点(-3, 3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射线所在直线与圆

x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 L 所在直线方程.

9. 从圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 外一点 P 向圆引切线, 切点为 M, 为坐标原点, O 且有 PM ? PO . (1)求 P 点的轨迹方程; (2)求使 PM 最小时点 P 的坐标.

10.有一种大型商品,A, B 两地均有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回来, 每千米的运费 A 地是 B 地的两倍,若两地相距 10 千米,顾客选择 A 地或 B 地购买这件商品的 标准是: 包括运费和价格的总费用较低, 那么, 不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?

92

长期的无所事事最能使人衰竭和毁灭. ——[古希腊] 亚里士多德

§2.16
【学习目标】

空间直角坐标系

? 了解建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的 位置. 【知识要点】 ?1. 空间直角坐标系的意义;空间直角坐标系中点的坐标; ?2. 在 xOy 平面上的点的竖坐标都是零,在 yOz 平面上的点的横坐标都是零,在 zOx 平面上 的点的纵坐标都是零;在 Ox 轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零,在 Oy 轴上的点的横坐标、竖坐 标都是零,在 Oz 轴上的点的横坐标、纵坐标都是零. 【课时练习】 1.下列说法中不正确的是( ... )

①在空间直角坐标系中,x 轴,y 轴,z 轴都是有向直线; ②将空间坐标系画在纸上时,x 轴,y 轴,z 轴上的单位长是相等的; ③在空间任意一点的空间坐标都是唯一的; ④在空间直角坐标系中,点的坐标由它在 x 轴,y 轴,轴上的射影坐标唯一确定. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ )

2.在空间直角坐标系中,坐标平面 xoz 上的点(x, y, z)的坐标应满足的条件是( A.x=0 B.y=0 C.z=0 D.都不正确

3.在空间四点 O, A, B, C 中,若射线 OA,OB,OC 分别是空间直角坐标系的 x 轴,y 轴,z 轴 的正半轴,则下列命题中,不正确的是( A.O, A, B, C 四点不共线 C.O, A, B, C 四点不共面 )

B.O, A, B, C 四点共面,但不共线 D.O, A, B, C 四点中任三点不共线 )

4.在空间直角坐标系中,点 P(1, 2 , 3 ),过 P 作平面 yOz 的垂线,则垂足 Q 的坐标为( A.(0, 2 ,0) B.(0, 2 , 3 ) C.(1,0, 3 ) D.(1, 3 ,0)

5.已知 A(x, y, z),P(a, b, c),则 A 关于点 P 的对称点 A' 的坐标是____________.

93

长期的无所事事最能使人衰竭和毁灭. ——[古希腊] 亚里士多德

6.如果直线 L 上所有的点在 x 轴上的坐标都为 0,其他坐标都不为 0,那么 L 在_____坐标平面内. 7.在空间直角坐标系中,已知点 P(x, y, z),关于下列叙述: (1)P 点关于 x 轴对称点的坐标是 P (x, ? y, z) ; 1 (2)P 点关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2 (x, ? y, z) ; (3)P 点关于 y 轴对称点的坐标是 P (x, ? y, z) ; 3 (4)P 点关于原点对称的点的坐标是 P4 (? x, ? y, ? z) . 其中正确的叙述是________________. 8.如果点 P(x, y, z)沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平移 1 个单位,再沿 z 轴负方向 平移 2 个单位,到点 P'(-3, 1,-2),求 P 点的坐标.

9.已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 5 2 ,侧棱长为 13,试建立适当的空间直角坐标系, 写出各顶点的坐标.

10.四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PA 与平面 ABCD 所成的角为 60°,在四边形 ABCD 中, ? D= ? DAB=90?,AB=4,CD=1,AD=2, 试建立适当的坐标系: (1)求出点 B、P 的坐标; (2)求棱锥的体积.

94

长期的无所事事最能使人衰竭和毁灭. ——[古希腊] 亚里士多德

95

近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时,写下一个公式:A=x+y+z.并解释道: A 代表成功,x 代表艰苦的劳动,y 代表正确的方法,z 代表少说空话. ——[美] 爱因斯坦

§2.17
【学习目标】

空间两点间的距离

?1. 通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的 距离公式; ?2. 了解空间中两点中点的坐标公式. 【知识要点】 ?1. 空间两点 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z 2 ) 间的距离公式为: ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( z1 ? z2 ) 2 ; ?2. 空间两点 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z 2 ) 的中点坐标为: (

x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z 2 , , ). 2 2 2

?3. 对称问题,常用对称的定义求解。一般地,点 P(x, y, z) 关于坐标平面 xOy、yOz、zOx 的 对称点的坐标分别为(x, y, ?z)、(?x, y, z)、(x, ?y, z);关于 x 轴、y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为 (x, ?y, ?z)、(?x, y, ?z)、(?x, ?y, z);关于原点的对称点的坐标为(?x, ?y, ?z). 【课时练习】 1.已知 P(1 ? t, 1 ? t, t) , P (2, t, t) ,则 P1 P2 的最小值是( 1 2 A. 5 B. 55 C. 3 5 ) D. 11 5 )

5

5

5

2.已知 A(2, ? 1, 2) , B(2, 2, 1) ,则以 OA,OB 为邻边的平行四边形的面积为( A. 65 B.

65 2

C. 4

D.8 )

3.已知 A(5, 2a ? 1, ? 2) , B(a ? 1, a ? 4, ? 2) ,当 AB 取得最小值时,实数 a 的值是( A. ? 7 2 B. ? 5 2 C. 1 2 ) D. 7 2

4.点 P(?3, 4, ? 5) 关于 OZ 轴的对称点的坐标是( A. (?3, ? 4, ? 5) C. (3, 4, 5) B. (3, ? 4, ? 5) D. (?3, 4, 5)

96

近代最伟大的科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时,写下一个公式:A=x+y+z.并解释道: A 代表成功,x 代表艰苦的劳动,y 代表正确的方法,z 代表少说空话. ——[美] 爱因斯坦

5.与原点距离等于 3 的点的坐标(x, y, z)所满足的条件是_____________________. 6.点 A( x, 5, 2 ? z ) 关于点 P(1, y, 3) 的对称点的坐标是 B(?2, ? 3, 2 ? 2 z ) , 则 x=_________, y=__________, z=__________. 7.M 为 Z 轴上一点, 且 M 到 A(1, 0, 2) 与 B(1, ? 3, 1) 的距离相等, 则 M 的坐标为_____________. 8.已知球心 C (1, 1, 2) , 球的一条直径的一个端点为 A(?1, 2, 2) , 求该球的表面积及直径的另一个端 点的坐标.

9.已知光线从点 M(3, 4, 3)出发, 经 xOy 平面反射到点 N(3,-2, 1). 求光线从 M 到 N 所经过的路程.

10.已知 A(6, 1,-2),B(0,-7,-2),C(-2,-3,-2), (1)求证 ? ABC 是直角三角形; (2)求 ? ABC 的外心的坐标.

97

学习不仅是明智,它也是自由。知识比任何东西更能给人自由。 ——[俄] 屠格涅夫

平面解析几何初步单元检测题
一、选择题: (每小题 4 分,共 40 分) 1.设直线 x ? my ? n ? 0 的倾斜角为 ? ,则它关于直线 y ? 3 对称的直线的倾斜角是( A. ? B. ? ? C. 180? ? ? D. 90? ? ? ) )

2.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( A.0 B.-8 C.2 D.10 )
13 2

3.设 A(3, 3, 1) 、 B(1, 0, 5) 、 C (0, 1, 0) ,则 AB 的中点到点 C 的距离等于( A.
53 4

B.

53 2

C.

53 2

D.

4.若 M (3, ?1) 为圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 7 ? 0 D. x ? y ? 4 ? 0



5.已知直线 l1 : 4x ? 3y ? 12 ? 0 , l2 : 3kx ? 2 y ? 2 ? 0 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆, 则 k 的值为( A. ? ) B.

1 2

1 2

C.2

D.-2 )

6.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ?1? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是( A. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ?

1 2

B. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ?

1 2

C. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

D. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

7.过点 P(1, 2)作直线 l,将圆 x2 ? y2 ? 4x ? 5 ? 0 分成两部分,当两部分面积之差最大时,直线 l 的方程是( A. x ? 1 ) B. y ? 2 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0 )

8.从原点向圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? A.

27 ? 0 作两条切线,那么这个圆在两条切线间的劣弧的长为( 4
C.

2? 3

B. ?

3? 2

D.

4? 3

9.若直线 l : ax ? by ? 1 与圆 C: x 2 ? y 2 ?1 有两个不同的交点,则点 P (a, b) 与圆 C 的位置关系 是( )

98

学习不仅是明智,它也是自由。知识比任何东西更能给人自由。 ——[俄] 屠格涅夫

A.点在圆上

B.点在圆内

C.点在圆外

D.不能确定 )

10.两圆相交于点 A(1, 3)、B(m,-1),两圆的圆心均在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值为( A.-1 B.2 C.3 D.0

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 11.已知 2m ? 3n ? 1 ,则直线 mx ? ny ? 5 ? 0 必过一定点,其坐标是___________. 12.实数 x、y 满足 x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,则 x ? y 的最大值为__________,最小值为___________. 13.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标 原点 O,则圆 C 的方程为______________________. 14.直线 ax ? by ? c ? 0 与直线 dx ? ey ? c ? 0 的交点为(3,-2),则过点(a, b),(d, e)的直线方程 是_____________________. 三、解答题: (共 44 分) 15. (10 分)一条直线在两直线 3x ? y ? 2 ? 0 与 x ? 5 y ? 10 ? 0 间的线段被点(2,-3)平分, 求这条直线的方程.

16. (10 分)已知圆 C 同时满足下列三个条件:①与 y 轴相切;②在直线 y ? x 上截得弦长为 2 7 ; ③圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上. 求圆 C 的方程.

99

学习不仅是明智,它也是自由。知识比任何东西更能给人自由。 ——[俄] 屠格涅夫

17. 12 分) ( 如图, 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, 0) , 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , AB 点 T (?1, 1) 在 AD 边所在直线上. (1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程.
N C

y

T D

M
O

B

x

A

18. (12 分)已知圆系方程为 x 2 ? y 2 ? 2(2m ?1) x ? 2(m ?1) y ? 5m2 ? 2m ? 2 ? 0 ,求证: (1)不论 m 为何值,圆心在一直线上; (2)平行于此直线且与圆相交的直线在各圆上截得的弦相等.

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