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§4.7 正弦定理、余弦定理



§ 4.7

正弦定理、余弦定理

1.正、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 a b c = = =2R sinA sinB sinC 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos_A; 内容 b2=c2+a2-2cacos_B; c2=a2+b2-2abcos_C (1)a=2RsinA,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; 变形 a b c (2)sinA= ,sinB= ,sinC= ; 2R 2R 2R (3)a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C; (4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA b2+c2-a2 cosA= ; 2bc c2+a2-b2 cosB= ; 2ac a2+b2-c2 cosC= 2ab

1 1 1 abc 1 2.S△ABC= absinC= bcsinA= acsinB= = (a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的半径),并可由 2 2 2 4R 2 此计算 R、r. 3.在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 图形 关系式 解的个数 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在△ABC 中,A>B 必有 sinA>sinB.( √ ) a=bsinA 一解 bsinA<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 A 为钝角或直角

(2) 若满足条件 C= 60° , AB = 3,BC=a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是 ( 3 , 2).( √ ) (3)若△ABC 中,acosB=bcosA,则△ABC 是等腰三角形.( √
2 2

)

(4)在△ABC 中,tanA=a ,tanB=b ,那么△ABC 是等腰三角形.( × ) (5)当 b2+c2-a2>0 时,三角形 ABC 为锐角三角形;当 b2+c2-a2=0 时,三角形为直角三角

形;当 b2+c2-a2<0 时,三角形为钝角三角形.( ×

) 3 .( × ) 2

(6)在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30° ,则△ABC 的面积等于

1.(2013· 湖南)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b,若 2asinB= 3b,则角 A 等于( )

π π π π A. B. C. D. 12 6 4 3 答案 D 解析 在△ABC 中,利用正弦定理得 2sinAsinB= 3sinB,∴sinA= π 又 A 为锐角,∴A= . 3 2.(2013· 陕西)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA, 则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案 B 解析 由 bcosC+ccosB=asinA,得 sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即 sin(B+C)=sin2A,所以 π sinA=1,由 0<A<π,得 A= ,所以△ABC 为直角三角形. 2 3.(2014· 江西)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2+6,C= π ,则△ABC 的面积是( 3 A.3 3 3 C. 2 答案 C 解析 ∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.① π π ∵C= ,∴c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.② 3 3 由①②得-ab+6=0,即 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absinC= ×6× = . 2 2 2 2 4.(2014· 广东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB= ) 9 3 B. 2 D.3 3 ) B.直角三角形 D.不确定 3 . 2

a 2b,则 =______. b 答案 2 解析 方法一 因为 bcosC+ccosB=2b, a2+b2-c2 a2+c2-b2 所以 b· +c· =2b, 2ab 2ac a 化简可得 =2. b 方法二 因为 bcosC+ccosB=2b, 所以 sinBcosC+sinCcosB=2sinB, 故 sin(B+C)=2sinB, a 故 sinA=2sinB,则 a=2b,即 =2. b

题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1 (2013· 山东)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,

7 cosB= . 9 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解 (1)由余弦定理得: a2+c2-b2 a2+c2-4 7 cosB= = = , 2ac 2ac 9 14 即 a2+c2-4= ac. 9 14 ∴(a+c)2-2ac-4= ac,∴ac=9. 9
?a+c=6, ? 由? 得 a=c=3. ? ?ac=9,

7 (2)在△ABC 中,cosB= , 9 ∴sinB= 1-cos2B= 7?2 4 2 1-? ?9? = 9 .

a b 由正弦定理得: = , sinA sinB

4 2 3× 9 asinB 2 2 ∴sinA= = = . b 2 3 π 1 又 A=C,∴0<A< ,∴cosA= 1-sin2A= , 2 3 ∴sin (A-B)=sinAcosB-cosAsinB = 2 2 7 1 4 2 10 2 × - × = . 3 9 3 9 27

思维升华 (1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如 果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考 虑两个定理都有可能用到. (2)三角形解的个数的判断: 已知两角和一边, 该三角形是确定的, 其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有 界性和大边对大角定理进行判断. (1)(2014· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c 1 = a,2sinB=3sinC,则 cosA 的值为________. 4 3 5 (2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cosA= ,cosB= ,b=3,则 c= 5 13 ________. 1 14 答案 (1)- (2) 4 5 解析 (1)由 2sinB=3sinC 及正弦定理得 2b=3c, 3 即 b= c. 2 1 1 1 又 b-c= a,∴ c= a,即 a=2c. 4 2 4 9 2 2 c +c -4c2 b2+c2-a2 4 由余弦定理得 cosA= = 2bc 3 2× c2 2 3 - c2 4 1 = 2 =- . 3c 4 3 4 (2)在△ABC 中,∵cosA= >0,∴sinA= . 5 5 5 12 ∵cosB= >0,∴sinB= . 13 13 ∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB 4 5 3 12 56 = × + × = . 5 13 5 13 65

b c 由正弦定理知 = , sinB sinC 56 3× 65 14 bsinC ∴c= = = . sinB 12 5 13 题型二 利用正、余弦定理判定三角形的形状 例 2 在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC. (1)求角 A 的大小; (2)若 sinB+sinC= 3,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由 2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cosA= = , 2bc 2 ∵0° <A<180° ,∴A=60° . (2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sinB+sinC= 3,得 sinB+sin(120° -B)= 3, ∴sinB+sin120° cosB-cos120° sinB= 3. 3 3 ∴ sin B+ cos B= 3,即 sin(B+30° )=1. 2 2 ∵0° <B<120° ,∴30° <B+30° <150° . ∴B+30° =90° ,B=60° . ∴A=B=C=60° ,∴△ABC 为等边三角形. 思维升华 (1)三角形的形状按边分类主要有: 等腰三角形, 等边三角形等; 按角分类主要有: 直角三角形,锐角三角形,钝角三角形等.判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进 行思考,主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形, 要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.(2)边角转化的工具 主要是正弦定理和余弦定理. c (1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 <cosA,则△ABC 为 b ( ) B.直角三角形 D.等边三角形 )

A.钝角三角形 C.锐角三角形

B a+c (2)在△ABC 中,cos2 = (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( 2 2c A.等边三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B c sinC 解析 (1)已知 <cosA, 由正弦定理, 得 <cosA, 即 sinC<sinBcosA, 所以 sin(A+B)<sinBcosA, b sinB 即 sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以 cosBsinA<0.又 sinA>0,于是有 cosB<0,B 为钝角, 所以△ABC 是钝角三角形. B 1+cosB (2)∵cos2 = , 2 2 ∴(1+cosB)· c=a+c, a2+c2-b2 ∴a=cosB· c= , 2a ∴2a2=a2+c2-b2, ∴a2+b2=c2, ∴△ABC 为直角三角形. 题型三 和三角形面积有关的问题 例3 (2014· 浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 3,

cos2A-cos2B= 3sinAcosA- 3sinBcosB. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sinA= ,求△ABC 的面积. 5 解 (1)由题意得 1+cos2A 1+cos2B 3 3 - = sin2A- sin2B, 2 2 2 2 即 3 1 3 1 sin2A- cos2A= sin2B- cos2B, 2 2 2 2

π? π? ? sin? ?2A-6?=sin?2B-6?. 由 a≠b,得 A≠B.又 A+B∈(0,π),得 π π 2A- +2B- =π, 6 6 2π π 即 A+B= ,所以 C= . 3 3 4 a c 8 (2)由 c= 3,sinA= , = ,得 a= . 5 sinA sinC 5 3 由 a<c,得 A<C,从而 cosA= , 5 故 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC



4+3 3 , 10

所以,△ABC 的面积为 8 3+18 1 S= acsinB= . 2 25 思维升华 三角形面积公式的应用原则: 1 1 1 (1)对于面积公式 S= absinC= acsinB= bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. 2 2 2 (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. (1)(2013· 课标全国Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2, π π B= ,C= ,则△ABC 的面积为( 6 4 A.2 3+2 C.2 3-2 )

B. 3+1 D. 3-1

π → → (2)(2014· 山东)在△ABC 中,已知AB· AC=tanA,当 A= 时,△ABC 的面积为________. 6 1 答案 (1)B (2) 6 π π 7π 解析 (1)因为 B= ,C= ,所以 A= . 6 4 12 b c 由正弦定理得 = ,解得 c=2 2. π π sin sin 6 4 1 1 7π 所以三角形的面积为 bcsinA= ×2×2 2sin . 2 2 12 π π? 7π 3 2 2 1 因为 sin =sin? ?3+4?= 2 × 2 + 2 ×2 12 = 2? 3 1? , 2 ? 2 +2?

1 2 3 1 所以 bcsinA=2 2× ? + ?= 3+1,故选 B. 2 2 ? 2 2? π (2)已知 A= , 6 π π → → 由题意得|AB||AC|cos =tan , 6 6 → → 2 |AB||AC|= , 3 1→ → π 所以△ABC 的面积 S= |AB||AC|sin 2 6 1 2 1 1 = × × = . 2 3 2 6

三角变换不等价致误 典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试判断△ABC 的形状. 易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补情形; (2)代数运算中两边同除一个可能为 0 的式子,导致漏解; (3)结论表述不规范. 规范解答 解 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), ∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)], ∴2sinAcosB· b2=2cosAsinB· a2, 即 a2cosAsinB=b2sinAcosB.[4 分] 方法一 由正弦定理知 a=2RsinA,b=2RsinB, ∴sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB, 又 sinA· sinB≠0,∴sinAcosA=sinBcosB, ∴sin2A=sin2B.[8 分] 在△ABC 中,0<2A<2π,0<2B<2π, π ∴2A=2B 或 2A=π-2B,∴A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.[12 分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得: b2+c2-a2 2 a2+c2-b2 a2b =b a , 2bc 2ac ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a2-b2=0 或 a2+b2-c2=0. 即 a=b 或 a2+b2=c2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.[12 分] 温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只含角的 式子,然后进行判断;(2)在三角变换过程中,一般不要两边约去公因式,应移项提取公因式, 以免漏解;在利用三角函数关系推证角的关系时,要注意利用诱导公式,不要漏掉角之间关 系的某种情况.

方法与技巧 A B C π 1.应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π, + + = 中互补和互余的情况,结合诱 2 2 2 2 导公式可以减少角的种数. 2.正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由正、余弦定理结合得 sin2A=sin2B+sin2C- 2sinB· sinC· cosA,可以进行化简或证明. 3.在解三角形或判断三角形形状时,要注意三角函数值的符号和角的范围,防止出现增解、 漏解. 失误与防范 1. 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角, 进而求出其他的 边和角时,有时可能出现一解、两解,所以要进行分类讨论. 2.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.在△ABC 中,若 A=60° ,B=45° ,BC=3 2,则 AC 等于( A.4 3B.2 3C. 3D. 答案 B AC BC BCsinB 3 2sin45° 解析 由正弦定理得 = ,所以 AC= = =2 3. sinB sinA sinA sin60° 2.在△ABC 中,A∶B=1∶2,sinC=1,则 a∶b∶c 等于( A.1∶2∶3 C.1∶ 3∶2 答案 C π π π π 解析 由 sinC=1,∴C= ,由 A∶B=1∶2,故 A+B=3A= ,得 A= ,B= ,由正弦定 2 2 6 3 1 3 2 理得,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC= ∶ ∶ =1∶ 3∶2. 2 2 2 3.(2013· 辽宁)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asinBcosC+csinBcosA 1 = b,且 a>b,则 B 等于( 2 π π 2π 5π A. B. C. D. 6 3 3 6 答案 A ) B.3∶2∶1 D.2∶ 3∶1 ) 3 2 )

a c 1 解析 由条件得 sinBcosC+ sinBcosA= , b b 2 1 由正弦定理,得 sinAcosC+sinCcosA= , 2 1 1 ∴sin(A+C)= ,从而 sin B= , 2 2 π 又 a>b,且 B∈(0,π),因此 B= . 6 4.△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等于( A. 3+ 6 3+ 39 3 3 3 B. C. D. 2 2 2 4 )

答案 B 解析 设 AB=a,则由 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cosB 知 7=a2+4-2a,即 a2-2a-3=0, ∴a=3(负值舍去).∴BC 边上的高为 AB· sinB=3× 3 3 3 = . 2 2 )

1 5.(2014· 课标全国Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC 等于( 2 A.5B. 5C.2D.1 答案 B 1 1 1 解析 ∵S= AB· BCsinB= ×1× 2sinB= , 2 2 2 ∴sinB= 2 π 3π ,∴B= 或 . 2 4 4

3π 当 B= 时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB=1+2+2=5,∴AC= 5,此 4 时△ABC 为钝角三角形,符合题意; π 当 B= 时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB=1+2-2=1,∴AC=1,此时 4 AB2+AC2=BC2,△ABC 为直角三角形,不符合题意.故 AC= 5. π 1 6.在△ABC 中,若 b=5,B= ,sinA= ,则 a=______. 4 3 答案 5 2 3 a b = , sinA sinB

解析 根据正弦定理应有 1 5× 3 5 2 bsinA ∴a= = = . sinB 3 2 2

9 7.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cosC= ,则 BC=________. 10

答案 4 或 5 9 解析 设 BC=x,则由余弦定理 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcosC 得 5=25+x2-2· 5· x· ,即 10 x2-9x+20=0,解得 x=4 或 x=5. 8.(2014· 福建)在△ABC 中,A=60° ,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于________. 答案 2 3 2 3 4 解析 如图所示,在△ABC 中,由正弦定理得 = ,解得 sinB=1, sin60° sinB 1 1 所以 B=90° ,所以 S△ABC= ×AB×2 3= × 42-?2 3?2×2 3=2 3. 2 2 9.(2013· 北京)在△ABC 中,a=3,b=2 6,B=2A. (1)求 cosA 的值; (2)求 c 的值. 解 (1)在△ABC 中,由正弦定理 a b 3 2 6 2 6 = ? = = , sinA sinB sinA sin2A 2sinAcosA ∴cosA= 6 . 3 6 , 3

(2)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA?32=(2 6)2+c2-2×2 6c× 则 c2-8c+15=0. ∴c=5 或 c=3. 当 c=3 时,a=c,∴A=C. π 由 A+B+C=π,知 B= ,与 a2+c2≠b2 矛盾. 2 ∴c=3 舍去.故 c 的值为 5.

→ → 10.(2014· 辽宁)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已知BA· BC=2, 1 cosB= ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → 解 (1)由BA· BC=2 得 c· acosB=2. 1 又 cosB= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accosB. 1 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×6× =13. 3

? ? ? ?ac=6, ?a=2, ?a=3, 解? 2 2 得? 或? ?a +c =13, ?c=3 ? ? ? ?c=2.

因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中, sinB= 1-cos2B= 1 2 2 1-? ?2= , 3 3

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sinC= sinB= × = . b 3 3 9 因为 a=b>c,所以 C 为锐角, 因此 cosC= 1-sin2C= 4 22 7 1-? ?= . 9 9

于是 cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC 1 7 2 2 4 2 23 = × + × = . 3 9 3 9 27 B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) b 11.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2a,则 等 a 于( )

A.2 3B.2 2C. 3D. 2 答案 D 解析 ∵asinAsinB+bcos2A= 2a, ∴sinAsinAsinB+sinBcos2A= 2sinA, b sinB ∴sinB= 2sinA,∴ = = 2. a sinA π 12.在△ABC 中,若 b=5,B= ,tanA=2,则 a=___________________________. 4 答案 2 10 解析 由 tanA=2 得 sinA=2cosA. 又 sin2A+cos2A=1 得 sin A= π ∵b=5,B= , 4 a b 根据正弦定理,有 = , sin A sin B bsin A 2 5 ∴a= = =2 10. sin B 2 2 2 5 . 5

13. (2014· 江苏)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C, 则 cos C 的最小值是________. 答案 6- 2 4

解析 由 sinA+ 2sinB=2sinC, 结合正弦定理得 a+ 2b=2c. a2+b2-c2 由余弦定理得 cos C= 2ab ?a+ 2b?2 3 2 1 2 2ab a2+b2- a+ b- 4 4 2 2 = = 2ab 2ab 2 ≥ 故

?3a2??1b2?- 2ab ?4 ??2 ? 2
2ab 6- 2 ≤cos C<1, 4



6- 2 , 4

故 cos C 的最小值为

6- 2 . 4

1 14.(2013· 浙江)在△ABC 中,C=90° ,M 是 BC 的中点.若 sin∠BAM= ,则 sin∠BAC= 3 ________. 答案 6 3

1 解析 因为 sin∠BAM= , 3 2 2 所以 cos∠BAM= . 3 BM AM BM sin∠BAM 如图, 在△ABM 中, 利用正弦定理, 得 = , 所以 = AM sinB sin∠BAM sinB = 1 1 = . 3sinB 3cos∠BAC

CM 在 Rt△ACM 中,有 =sin∠CAM=sin(∠BAC-∠BAM).由题意知 BM=CM, AM 1 所以 =sin(∠BAC-∠BAM). 3cos∠BAC 化简,得 2 2sin∠BACcos∠BAC-cos2∠BAC=1. 所以 2 2tan∠BAC-1=tan2∠BAC+1, 解得 tan∠BAC= 2. 再结合 sin2∠BAC+cos2∠BAC=1,∠BAC 为锐角可解得 sin∠BAC= 6 . 3

15. 已知△ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列, 角 B 所对的边 b= 3, 且函数 f(x)=2 3sin2x

+2sinxcosx- 3在 x=A 处取得最大值. (1)求 f(x)的值域及周期; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)因为 A,B,C 成等差数列, 所以 2B=A+C,又 A+B+C=π, π 2π 所以 B= ,即 A+C= . 3 3 因为 f(x)=2 3sin2x+2sinxcosx- 3 = 3(2sin2x-1)+sin2x=sin2x- 3cos2x π 2x- ?, =2sin? 3? ? 2π 所以 T= =π. 2 π 2x- ?∈[-1,1], 又因为 sin? 3? ? 所以 f(x)的值域为[-2,2]. (2)因为 f(x)在 x=A 处取得最大值, π? 所以 sin? ?2A-3?=1. 2 π π 因为 0<A< π,所以- <2A- <π, 3 3 3 π π 故当 2A- = 时,f(x)取到最大值, 3 2 5 π 所以 A= π,所以 C= . 12 4 3 c 由正弦定理,知 = ?c= 2. π π sin sin 3 4 π π? 2+ 6 又因为 sinA=sin? ?4+6?= 4 , 3+ 3 1 所以 S△ABC= bcsinA= . 2 4



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正弦定理余弦定理应用文档
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