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1981年全国高中数学联赛试题及详细解析


1.选择题(本题满分 35 分,每题答对者得 5 分,答错者得-2 分,不答者得 0 分) ⑴ 条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等. 条件乙:两个三角形全等. A.甲是乙的充分必要条件 B.甲是乙的必要条件 C.甲是乙的充分条件 D.甲不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 ⑵ 条件甲: 1+sinθ=a. θ θ 条件乙:sin +cos =a. 2 2 A.甲是乙的充分必要条件 C.甲是乙的充分条件 B.甲是乙的必要条件 D.甲不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件

⑸ 给出长方体 ABCD—A?B?C?D?,下列 12 条直线:AB?,BA?,CD?,DC?,AD?,DA?, BC?,CB?,AC,BD,A?C?, B?D?中有多少对异面直线? A.30 对 B.60 对 C.24 对 D.48 对 ⑹ 在坐标平面上有两个区域 M 和 N, M 是由 y≥0, y≤x 和 y≤2-x 这三个不等式确定, N 是随 t 变化的区域,它由不等式 t≤x≤t+1 确定,t 的取值范围是 0≤t≤1 ,设 M 和 N 的 公共面积是函数 f(t),则 f(t)为 1 A.-t2+t+ 2 B.-2t2+2t 1 C.1- t2 2 1 D. (t-2)2 2
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⑺ 对方程 x|x|+px+q=0 进行讨论,下面结论中,哪一个是错误的? A.至多有三个实根 B.至少有一个实根 C.仅当 p2-4q≥0 时才有实根 D.当 p<0 和 q>0 时,有三个实根 2.(本题 15 分) 下列表中的对数值有两个是错误的,请予纠正: x lgx x lgx 0.021 2a+b+c-3 6 1+a-b-c 0.27 6a-3b-2 7 2(a +c) 1.5 3a-b+c 8 3 -3a- 3c 2.8 1-2a+2b-c 9 4a-2b 3 2a-b 14 1-a+2b 5 a+c

3.(本题 15 分)在圆 O 内,弦 CD 平行于弦 EF,且与直径 AB 交成 45° 角,若 CD 与 EF 分 别交直径 AB 于 P 和 Q,且圆 O 的半径为 1,求证: PC?QE+PD?QF<2.

5.(本题 20 分)一张台球桌形状是正六边形 ABCDEF,一个球从 AB 的中点 P 击出, 击中 BC 边上的某点 Q,并且依次碰击 CD、DE、EF、FA 各边,最后击中 AB 边上的某一 点.设∠BPQ=θ,求 θ 的范围 . 提示:利用入射角等于反射角的原理.

1981 年二十五省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答
1.选择题(本题满分 35 分,每题答对者得 5 分,答错者得-2 分,不答者得 0 分) ⑴ 条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等. 条件乙:两个三角形全等. A.甲是乙的充分必要条件 B.甲是乙的必要条件 C.甲是乙的充分条件 D.甲不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 【答案】B 【解析】乙?甲,但甲?乙,故选 B.

⑶ 设 α≠

kπ sinα+tanα (k≠0,±1,±2,……),T= . 2 cosα+cotα B.T 取非负值 C.T 取正值 D.T 取值可正可

A.T 取负 值 负 【答案】C

sin2α(cosα+1) 【解析】T= 2 >0,选 C. cos α(sinα+1)

⑸ 给出长方体 ABCD—A?B?C?D?,下列 12 条直线:AB?,BA?,CD?,DC?,AD?,DA?, BC?,CB?,AC,BD,A?C?,B? D?中有多少对异面直线? A.30 对 B.60 对 C.24 对 D.48 对 【答案】A 【解析】每条面上的对角线都与 5 条面上的对角线异面.故共有 5×12÷2=30 对.选 A.

⑹ 在坐标平面上有两个区域 M 和 N, M 是由 y≥0, y≤x 和 y≤2-x 这三个不等式确定, N 是随 t 变化的区域,它由不等式 t≤x≤t+1 确定,t 的取值范围是 0≤t≤1 ,设 M 和 N 的 公共面积是函数 f(t),则 f(t)为

⑺ 对方程 x|x|+px+q=0 进行讨论,下面结论中,哪一个是错误的? A.至多有三个实根 B.至少有一个实根 2 C.仅当 p -4q≥0 时才有实根 D.当 p<0 和 q>0 时,有三个实根 【答案】C,D 【解析】画出 y=x|x|及 y=-px-q 的图象:知 A、B 正确,C、D 错误.选 C、D.
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2.(本题 15 分) 下列表中的对数值有两个是错误的,请予纠正: x lgx x lgx 0.021 2a+b+c-3 6 1+a-b-c 0.27 6 a-3b-2
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1.5 3a-b+c 8 3-3a-3c

2.8 1-2a+2b-c 9 4a-2b

3 2a-b 14 1-a+2b

5 a+c

7 2(a+c)

3.(本题 15 分)在圆 O 内,弦 CD 平行于弦 EF,且与直径 AB 交成 45° 角,若 CD 与 EF 分别交直径 AB 于 P 和 Q,且圆 O 的半径为 1,求证: PC?QE+PD?QF<2.

4.(本题 15 分)组装甲、乙、丙三种产品,需用 A、B、C 三种零件.每件甲需用 A、B 各 2 个;每件乙需用 B、C 各 1 个; 每件丙需用 2 个 A 与 1 个 C.用库存的 A、B、C 三种 零件,如组装成 p 件甲产品、q 件乙产品和 r 件丙产品,则剩下 2 个 A 和 1 个 B,但 C 恰好 用完.试证:无论怎样改变甲、乙、两产品的件数,也不能把库存的 A、B、C 三种零件都 恰好用完.

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5.(本题 20 分)一张台球桌形状是正六边形 ABCDEF ,一个球从 AB 的中点 P 击出, 击中 BC 边上的某点 Q,并且依次碰击 CD、DE、EF、FA 各边,最后击中 AB 边上的某一 点.设∠BPQ=θ,求 θ 的范围. 提 示:利用入射角等于反射角的原理.


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