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4.1.2圆的一般方程



4.1.2

圆的一般方程

2012-9-14

山东省平度市第九中学高二数学组

复习回顾
圆的标准方程 是什么?

2 2 2 ? ? ( x ? a) ( y ? b) r
其中圆心的坐标和半径各是什么?

?a, b ?

>2012-9-14

r

山东省平度市第九中学高二数学组

把圆的标准方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 思考1: 展开可得到一个什么式子?

思考2:方程 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0 是二元二次方程,一般形式是什么?

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

2012-9-14

山东省平度市第九中学高二数学组

新课探究:
2 2+Dx+Ey+F 2 方程 x + y =0 在什么条件下表示圆? 形如x +y 2+Dx+Ey + F=0 (D2+E2-4F>0)的 2 2 方程表示圆,它叫做圆的一般方程。 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2 D E D ? E ? 4F ? ? ? ? ?x? ? ?? y ? ? ? 2? ? 2? 4 ? 2 2

(1)当

D2 ? E 2 ? 4F ? 0

时,表示圆,
D2 ? E 2 ? 4F 2
? D E? ?- ,? ? ? 2 2?

? D E? 圆心 ? - , ? ? ? 2 2?

r?

(2)当 (3)当
2012-9-14

D ? E ? 4F ? 0
2 2

时,表示点

D2 ? E 2 ? 4F ? 0

时,不表示任何图形

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思 考 4
圆的标准方程与一般方程各有什么优点? 1、标准方程易于看出圆心与半径,几何特征 明显。 2、一般方程突出形式上的特点:
x2与y2系数相同并且不等于0; 没有xy这样的二次项; 它是一种特殊的二元二次方程,代 2012-9-14 数特征明显。 山东省平度市第九中学高二数学组

思 考 5
圆的一般方程与圆的标准方程有什么联系?

一般方程

配方 ?? ?? ?? ? ? 展开

标准方程(圆心,半径)

2012-9-14

山东省平度市第九中学高二数学组

例题1: 判断下列方程能否表示圆的方程,

若能,写出圆心与半径 (1)x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心(1,-2)半径3
(2)x2+y2-2x-4y+5=0 不是

(3)x2+y2-10x+6y+50=0 不是 (4)x2+2y2-6x+4y-1=0 不是

(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是

2012-9-14

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变式1:方程
2 2

x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ? 1 ? 0
2

表示的图形是一个圆,求a的取值范围. 解:∵D2+E2-4F>0 ∴a2+4a2-4(2a2+a-1)>0 整理得 3a2+4a-4<0 解得-2<a<
2 3

2012-9-14

山东省平度市第九中学高二数学组

变式2: m为何值时,方程

x ? y - 4 x ? 2my ? 2m - 2m ? 1 ? 0表示圆, 并求出半径最大时圆的 方程
2 2 2

?1 ? m ? 3
m ? 1时,半径最大是 2

? x - 2? ? ? y ? 1? ? 4 此时圆的标准方程是
2 2
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例2 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
方法一:
待定系数法

解:设所求圆的一般方程为:

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0(D ? E ? 4F ? 0)
2 2 2 2

因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则

? F=0 ? F=0 ? ? D+E+F+2=0 解得 ? ? D=-8 ? 4D+2E+F+20=0 ? E=6 ? ?
所求圆的方程为:

2012-9-14

x2+y2-8x+6y=0 即(x-4)2+(y+3)2=25
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例2 求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2) 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心坐标.
解:设所求圆的标准方程为:

y
A(1,1) B(4,2)

方法二: 几何方法
0

x

2012-9-14

山东省平度市第九中学高二数学组

[小结]: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目

条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆 的一般方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)
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例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程.
解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标为(x0,y0) y 由于B点坐标为(4,3),M为AB的中点, 所以 x0 ? 4 y0 ? 3 x? ,y? A 2 2 整理得 x0 ? 2x ? 4, y0 ? 2 y ? 3. 又因为点A在圆上运动,所以A点坐标满足 方程,又有(x0+1)2+y02=4 所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4
3 2 3 2 (x ? ) ? ( y ? ) ? 1 2 2

B M x

o

整理得

3 3 , )为圆心,1为半径的圆 2012-9-14 山东省平度市第九中学高二数学组 所以,点M的轨迹是以( 2 2

[课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
? 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ?x ? 2 2 ? ?D ? E ? 4 F ? 0

(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 一般方程

配方 ?? ??
?? ? ? 展开

标准方程(圆心,半径) (用配方法求解)

(3)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.

②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解 . 2012-9-14 山东省平度市第九中学高二数学组



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