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12数列问题



等差与等比数列问题

1

等差与等比数列问题
一.背景资料分析
数列在大纲与课标中基本相同,课标中增加了《数列的函数特性》一节,这在大纲中也是有的,只是没有标题.应引起 注意的是,选修中的《推理与证明》与数列问题的联系及对数列问题的作用、提高和加强.

二.知识方法扫描
等差与等比数列是最

简单与最基本的两个数列模型,它们之间的类比与综合显然是应当研究的重点问题,有关内 容列表如下:
等差数列 如果数列 {an}满足 :an+1-an=d(常数 ),那么这个数列叫做等差数 列,这个常数 d 叫做等差数列的公差. 如果三个数 a,A,b 组成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 三个数 a,A,b 组成等差数列 ? A=
a?b 2

项目 定义

等比数列 如果数列{an}满足:an+1=qan(q 为非零常数),那么这个数列叫做等 比数列,这个常数 q 叫做等比数列的公比.

中项

如果三个数 a,G,b 组成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 三个数 a,A,b 组成等差数列 ? G2=ab.

.

如果三个数组成等差数列,则可设这三个数分别是 x-d,x,x+d; 如果四个数组成等差数列,则可设这四个数分别是 x-3d,x-d,x+d,x+3d. 如果等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 等差数列{an}是递增数列 ? d>0; 等差数列{an}是递减数列 ? d<0; 等差数列{an}是常数数列 ? d=0. 在 等 差 数 列 {an} 中 ,Sn=
n(a1 ? an ) 2

x 如果三个数组成等比数列,则可设这三个数分别是 ,x,xq;如果同 q
号的四个数组成等比数列,则可设这四个数分别是 通项

x x 3 , ,xq,xq . q3 q
n-1

如果等比数列{an}的公差为 q,则 an=a1q

等比数列{an}是递增数列 ? a1>0,且 q>1,或 a1<0,且 0<q<1; 等比数列{an}是递减数列 ? a1>0,且 0<q<1,或 a1<0,且 q>1; 等比数列{an}是常数数列 ? q=1. 求和 公式 在等比数列{an}中,Sn=

(类似于梯形的面积公

a a1 (1 ? q n ) (q≠1)=Aqn-A,其中 A= 1 (指数 q ?1 1? q

式)=na1+

n(n ? 1) 2

d(基本量式)=

d 2

n2+(a1-

d 2

)n(二次函数式). 通项 性质

函数式);当 q=1 时,Sn=na1.

在等差数列{an}中,公差 d=

an ? am n?m

,且 an=am+(n-m)d.

在等比数列{an}中,公比 qn-m=

an ,且:an=amqn-m. am

在等差数列{an}中,(i)若 n+m=k+t,则 an+am=ak+at; (ii)若 n+m=2k,则 an+am=2ak;(iii)an-1+an+1=2an. (i)( 定 义 判 定 定 理 ) 数 列 {an} 是 等 差 数 列

在等比数列{an}中,(i)若 n+m=k+t,则 anam=akat; (ii)若 n+m=2k,则 anam=ak ;(iii)an-1an+1=an . 判定 定理 (i)(定义判定定理)数列{an}是等比数列 ? an+1=qan(q 是不为零的 常数);(ii)(通项判定定理)数列{an}是等比数列 ? 通项 an=aq (是
n 2 2

?

an+1-an=d( 常

数 );(ii)( 通 项 判 定 定 理 ) 数 列 {an} 是 等 差 数 列

?

通项

an=dn+b(是 n 的一次函数);(iii)(性质判定定理)数列{an}是等差 数列 ? an-1+an+1=2an;(iiii)( 求和判定定理 ) 数列 {an} 是等差数 列 ? Sn=an2+bn(是 n 的二次函数,且常数项为零). 如果数列{an}是等差数列,则数列{k+an}是等差数列; 如果数列{an}是等差数列,则数列{kan}是等差数列; 如果数列{an}、{bn}是等差数列,则数列{an+bn}、{an-bn}都是等 差数列; 数列{an}是等差数列 ? 数列{ M
an

n 的指数函数);(iii)(性质判定定理)数列{an}是等比数列 ? an-1an+1=an2;(iiii)( 求 和 判 定 定 理 ) 数 列 {an} 是 等 比 数 列

?
数列 性质

Sn=Aqn-A(是 n 的指数函数).

如果数列{an}是等比数列,则数列{kan}(k≠0)是等比数列; 如果数列{an}是等比数列,则数列{an }(k∈Z)是等比数列; 如果数列{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}、{ bn }都是等比数列;
an
k

}(M>0,M≠1)是等比数列

转换

数列{an}是正项等比数列 ? 数列{logMan}(M>0,M≠1)是等差数列

等差数列与等比数列的转换类比法则:(I)等差数列{an}中的“0”类同等比数列{an}中的“1”;(II)等差数列{an}

2

等差与等比数列问题

中的“+” 、 “-”分别类同等比数列{an}中的“×” 、 “ ? ”;(III)等差数列{an}中的“×” 、 “ ? ”分别类同等比数 列{an}中的“乘方” 、 “开方”;(IV)等差数列与等比数列的类比转换中项数的运算不变. 等差数列与等比数列的类比转换不仅在于基本结论的转换类比 ,更重要的是解决问题的思想方法的类比移植 ,以 及等差数列与等比数列的有机结合.本节专题研究等差数列与等比数列的相似性和综合性.

三.安徽高考研究
1、(2007、3)(文)等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn.若 a2=1,a3=3.则 S4=( (A)12 (B)10
4( a1 ? a4 ) 2

) (D)6

(C)8 =8,选(C).

解:在等差数列{an}中,a1+a4=a2+a3=4,所以 S4=
5 2

2、(2008、15)(文)在数列{an}中,an=4n ?

,a1+a2+…+an=an2+bn,n∈N*,其中 a,b 为常数,则 ab=
n( 4 ?

.

解:an=4n ? 2

5

? 数列{an}为等差数列 ? a1+a2+…+an=

5 5 ? ? 4n ? ) ? a?2 2 2 =2n2 ? 1 n=an2+bn ? ?b ? ? 1 ? ab=-1. 2 ? 2 2 ?

3、(2009、5)(文)己知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( (A)-1 (B)1 (C)3

) (D)7 )

解:a1+a3+a5=105 ? 3a3=105 ? a3=35;a2+a4+a6=99 ? 3a4=99 ? a4=33 ? d=a4-a3=-2 ? a20=a3+17d=1,选(B). 4、 (2009、 5)(理)己知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以 Sn 表示{an}的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( (A)21 (B)20 (C)19 (D)18 解:(法一)a1+a3+a5=105 ? 3a3=105 ? a3=35;a2+a4+a6=99 ? 3a4=99 ? a4=33 ? d=a4-a3=-2 ? a1=39 ? Sn=-n2+40n=-(n-20)2 +400,所以当 n=20 时,Sn 取得最大值 400,选(B). (法二)a1+a3+a5=105 ? 3a3=105 ? a3=35;a2+a4+a6=99 ? 3a4=99 ? a4=33 ? d=a4-a3=-2 ? an=a3+(n-3)d=41-2n,令 ?
?
39 41 <n≤ ? n=20,所以当 n=20 时,Sn 取得最大值.选(B). 2 2
2

? an ? 0 ?an ?1 ? 0

5、(2010、5)(文)设数列{an}的前 n 项和 SN=n ,则 a8 的值为( (A)15 解:a8=S8-S7=64-49=15,选(A). (B)16

) (C)49 (D)64

6、 (2010、 10)(理)设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 x,y,z,则下列等式中恒成立的是 ( ) (B)y(y-x)=z(z-x)
n n

(A)x+z=2y

(C)y =xz
n 2n

2

(D)y(y-x)=x(z-x)

解:(法一)设等比数列{an}的公比为 q,则 y=S2n=(1+q )Sn=(1+q )x,z=S3n=(1+q +q )Sn=(1+qn+q2n)x ? y(y-x)=x(z-x); (法二){an}是等比数列 ? Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 即 x,y-x,z-y 成比数列 ? x(z-y)=(y-x)2 ? y(y-x)=x(z-x). 统计分析以上试题,可以发现:1.数列问题是安徽文科卷中的必考试题,属容易题;2.安徽卷中的数列问题重点考察等 差数列的性质;3.等差数列的通项及求和是安徽卷的两大主题;4.数列问题的常规性、典型性是安徽卷的基本特点. 2009 年是安徽进入课标高考的第一年,对数列问题的考察保留了自主命题的特点和特色 ,并成为文科的必考题.值得 注意的是:2009、2010 安徽课标高考理科卷中均出现了数列的典型问题.预计 2011 年安徽卷对数列问题的考察仍将保持 自主命题的风格.

等差与等比数列问题

3

Ⅰ.等差数列
一.基本量法 例 1:(2008 年重庆高考试题)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16= [分析解答]:由 ?
?a12 ? ?8 ?a ? 11d ? ?8 ?a ? 3 16 ? 15 d=-72. ? ? 1 ? ? 1 ? S16=16a1+ 2 S ? ? 9 a ? 4 d ? ? 1 d ? ? 1 9 1 ? ? ?
n ( n ? 1) d 2

.

[思想方法]:解决等差数列问题的最基本的方法是 “基本量方法” ,即首先根据条件,由 an=a1+(n-1)d 和 Sn=na1+

列方程组,求出等差数列的首项 a1 和公差 d,解决问题;或把己知和待求式都化成关于 a1 与 d 的线性表达式,由此分析解 决问题.

[备选题库]:
1.(2009 年宁夏、海南高考试题)己知{an}为等差数列,a10=10,其前 10 项和为 S10=70,则其公差 d=( (A)2 3

) (D) )
2 3

(B)-

1 3

(C)

1 3

2.(2001 年全国高考试题)设{an}是递增等差数列,前 3 项的和为 12,前项的积为 48,则它的首项是( (A)1 (B)2 (C)4
1 ,a2+a5=4,an=33,则 n 为( 3

(D)6 ) (D)51 ) (D)75 ) (D)48 .

3.(2003 年新课程高考试题)在等差数列{an}中,a1= (A)48 (A)120 (B)49 (B)105

(C)50 (C)90
1 ,S4=20,则 S6=( 2

4.(2006 年全国Ⅰ高考试题)设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13=(

5.(2008 年广东高考试题)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= (A)16 (B)24

(C)36

6.(2009 年全国Ⅰ高考试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=72,则 a2+a4+a9=

二.通项问题 例 2:(1988 年全国联赛试题)设 x≠y,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1,x,b2,b3,y,b4 均为等差数列,那么 b4 ? b3 =
a2 ? a1

.

[分析解答]:由 x,a1,a2,a3,y 为等差数列 ?

a2 ? a1 y ? x 1 ? ? a2-a1= (y-x);由 b1,x,b2,b3,y,b4 为等差数列 ? 3?2 5 ?1 4

b4 ? b3 y ? x 2 8 b ?b ? ? b4-b3= (y-x) ? 4 3 = . 6?4 5?2 3 a2 ? a1 3

[思想方法]:等差数列{an}的通项 an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)(是 n 的一次函数) ? am=dm+(a1-d) ? an-am=(n-m)d ? ①d=
an ? am a ?a a ?a ;②an=am+(n-m)d;③ n m = k t . n?m n?m k ?t

[备选题库]:
1.(1)(2009 年山东高考试题)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6= . . ) (D)2 (用数字作答) ) (D)45 (2)(2008 年宁夏、海南高考试题)己知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则 a5= (A)5 (B)4 (C)3

2.(1)(2006 年广东高考试题)己知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( (2)(2006 年浙江高考试题)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S5=10,S10=-5,则公差为 3.(1)(2009 年山东高考试题)在等差数列{an}中,己知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6 等于( (A)40 (B)42 (C)43

(2)(2005 年福建高考试题)己知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是(

)

4
(A)15 (A)100 (A)12 (B)30 (B)210 (B)24 (C)31 4.(1)(2006 年全国Ⅱ高考试题)己知等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前 10 项和 S10=( (C)380

等差与等比数列问题
(D)64 ) (D)400 ) (D)48 . . ) (D)-21

(2)(2006 年天津高考试题)设{an}是等差数列,a1+a3+a5=9,a6=9,则这个数列的前 6 项和等于( (C)36 5.(2009 年陕西高考试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a6=S3=12.则{an}的通项 an= 6.(1)(2007 年江西高考试题)己知数列{an}对任意 m,n∈N*,有 am+an=am+n,若 a1=
1 9

,则 a36=

(2)(2008 年北京高考试题)己知数列{an}对任意的 p,q∈N*满足 ap+q=ap+aq,且 a2=-6,那么 a10 等于( (A)-165 (B)-33 (C)-30

三.基本性质 例 3:(2006 年湖南初赛试题)在等差数列{an}中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则 a7- a8 的值为(
(A)4 (B)6 (C)8
1 2

) (D)10

[分析解答]:在等差数列{an}中,a2+a10=2a6,a4+a8=2a6 ? a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80 ? a6=16,又因 a8+a6=2a7 ? a8=2a7-16
? a71 a8=8.故选(C). 2

[思想方法]:等差数列{an}具有如下性质:①当 m+n=k+t 时,am+an=ak+at;②当 m+n=2k 时,am+an=2ak;③an+k+an-k=2an;④
an-1+an+1=2an.

[备选题库]:
1.(1)(2008 年重庆高考试题)己知{an}为等差数列,a2+a4=12,则 a5 等于( (A)4 (A)a1+a8<a4+a5 (A)12 (A)45 (B)5 (B)a1+a8=a4+a5 (B)16 (B)75 (C)6 ) (C) a1+a8>a4+a5 ) (D)24 ) (D)300 ) (D)35 ) (D)28 ) (D)2 ) (C)20 (C)180 (D)a1a8=a4a5 (2)(2005 年全国Ⅱ高考试题)如果数列{an}是等差数列,则( ) (D)7

2.(1985 年广东高考试题)己知{an}为等差数列,且 a2+a3+a10+a11=48,则 a6+a7=(

3.(1)(1991 年上海高考试题)在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8 的值等于(

(2)(2010 年全国 II 高考试题)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+?+a7=( (A)14 (B)21 (C)28

4.(1998 年河南初赛试题)在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a9-a10 的值为( (A)20 (B)22 (C)24 5.(2009 年辽宁高考试题){an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d=( (A)-2 (B)1 2

(C)

1 2

6.(1989 年广东高考试题)设{an}是公差为的-2 等差数列,如果 a1+a4+a7+?+a97=50,那么 a3+a5+a9+?+a99=( (A)-182 (B)-78 (C)-148

(D)-82

四.求和公式(Ⅰ) 例 4:(2007 年陕西初赛试题)等差数列{an}共有 2n+1(n∈N*)项,其中所有奇数项之和为 310,所有偶数项之和为 300,则
n=( (A)30 ) (B)31 (C)60 (D)61

[分析解答]:所有奇数项之和=a1+a3+…+a2n+1(共 n+1 项)= 等差与等比数列问题
+a2n(共 n 项)=

( n ? 1)(a1 ? a2 n ?1 ) =(n+1)an+1=310;所有偶数项之和=a2+a4+… 2

5

n(a2 ? a2 n ) =nan+1=300;两式相比得:(n+1):n=31:30 ? n=30.故选(A). 2 n ( a1 ? a n ) n ( ak ? an ?1? k ) ( 其中 ,n 是项数 ,a1 为首项 ,an 为尾项 )= , 特别 2 2

[ 思想方法 ]: 等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn=
地,S2n-1=(2n-1)an.

[备选题库]:
1.(1)(2006 年全国Ⅰ高考试题)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S7=35,则 a4=( (A)8 (A)3 (A)3 (A)48 (A)45 (A)13 (A)160 (A)12 (B)7 (B)4 (B)4 (B)54 (B)36 (B)35 (B)180 (B)13 (C)6 ) (D)6 ) (D)12 ) (D)66 ) (D)18 ) (D)63 ) (D)220 ) (D)15 . . (C)5 (C)6 (C)60 (C)27 (C)49 (C)200 (C)14 (2)(2007 年重庆高考试题)若等差数列{an}的前 3 项和 S3=9,且 a1=1,则 a2=( ) (D)5

(3)(1988 年广东高考试题)在等差数列{an}中,己知前 15 项之和 S15=90,那么 a8=(

2.(1)(2006 年重庆高考试题)在等差数列{an}中,若 a4+a6=12,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S9 的值为( (2)(2006 年陕西高考试题)己知在等差数列{an}中,若 a2+a8=12,则该数列的前 9 项和 S9 等于( 3.(1)(2009 年湖南高考试题)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,己知 a2=3,a6=11,则 S7 等于(

(2)(2004 年全国Ⅲ高考试题)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于( 4.(2008 年天津高考试题)若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7=(

5.(2007 年江西高考试题)己知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S12=21,则 a2+a5+a8+a11= 6.(2009 年宁夏、海南高考试题)己知{an}为等差数列,a4+a6=6,其前 5 项和为 S5=10,则其公差 d=

五.求和公式(Ⅱ) 例 5:(2003 年希望杯数学竞赛试题)等差数列{an}中有两项 am 和 ak 满足:am= ,ak=
(A)
1 mk-1 2 1 k 1 ,则该数列前 mk 项之和是( m

)

(B)

1 mk 2

(C)

1 (mk+1) 2

(D)

1 mk+1 2

1 1 ? 1 1 1 am ? ak 1 [分析解答]:因 d= = ? k m ? ? a1=am-(m-1)d= -(m-1) ? 该数列前 mk 项之和 Smk=mka1+ mk mk k m?k m?k mk
mk ( mk ? 1) 1 1 d=1+ (mk-1)= (mk+1).故选(C). 2 2 2

[思想方法]:等差数列{an}的前 n 项和 Sn=na1+
n 项和 Sn,可通过求基本量 a1 和 d 的方式解决.

n ( n ? 1) d(其中,n 是项数,a1 为首项,d 为公差),因此求等差数列{an}的前 2

[备选题库]:
1.(1)(2008 年福建高考试题)设{an}是等差数列,若 a2=3,a7=13,则数列{an}前 8 项的和为( (A)128 (B)80 (C)64 ) (D)56 )

(2)(2008 年全国Ⅰ高考试题)己知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=(

(A)138

(B)135

(C)95 )

(D)23

2.(2008 年陕西高考试题)己知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前 10 项的和 S10 等于(

6
(A)64 (B)100 (C)110 3.(2003 年上海高考试题)在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+?+a10= 4.(2003 年安徽春招试题)在等差数列{an}中,若 a10=10a19=100,前 n 项和 Sn=0,则 n=( (A)7 则这个数列有( (A)13 项 抽取的是( (A)a8 ) (B)a9 (C)a10 ) (B)12 项 (C)11 项 (B)9 (C)17

等差与等比数列问题
(D)120 . ) (D)19

5.(2002 年北京、内蒙古、安徽春招试题)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390, (D)10 项

6.(2007 年吉林初赛试题)等差数列{an}中,a1=-5,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项,余下 10 项的平均值为 4,则 (D)a11 )

六.求和公式(Ⅲ) 例 6:(2005 年河南初赛试题)等差数列{an}中,Sn 是前 n 项和,且 S3=S8,S7=Sk,则 k 为(
(A)2 (B)11
2

(C)4
2

(D)12

[分析解答]:(法一)设 Sn=An +Bn,由 S3=S8 ? 9A+3B=64A+8B ? B=-11A ? Sn=A(n -11n),由 S7=Sk ? A(72-11×7)=A(k211k) ? (k-7)(k+7-11)=0 ? k=4,故选(C). (法二)因 Sn=An +Bn 是关于 n 的二次函数,由 S3=S8 知该二次函数的对称轴为 x= 故选(C).
2

7?k 3?8 3?8 ;所以 S7=Sk ? = ? k=4, 2 2 2

[思想方法]:等差数列{an}的前 n 项和 Sn=na1+
中,A=

n ( n ? 1) d 2 d 2 d= n +( -a1)n,由此得:数列{an}为等差数列 ? Sn=An +Bn(其 2 2 2

d d 1 ,B=a1- );等差数列的求和实质上是利用等式 1+2+?+n= n(n+1),所以,等差数列{an}的通项 an=kn+b ? 前 n 2 2 2
1 kn(n+1)+bn. 2

项和 Sn=

[备选题库]:
1.(1)(2007 年全国Ⅱ高考试题)己知数列的通项 an=-5n+2,则其前 n 项和 Sn= (A)30 (A)等差数列,但不是等比数列 (C)等差数列,又是等比数列
2

. ) (D)186 )

(2)(2008 年北京高考试题)己知等差数列{an}中,a2=6,a5=15.若 bn=a2n,则数列{bn}的前 5 项和等于( (B)45 (C)90
2

2.(2001 年新课程高考试题)若 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n ,则{an}是(

(B)等比数列,但不是等差数列 (D)既不是等差数列,也不是等比数列 ) (D)6 . ) (D)2 . ) (D) 1 (B)8
2

3.(1)(2007 年广东高考试题)己知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n -9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k=( (A)9 (C)7

(2)(2007 年北京高考试题)若数列{an}的前 n 项和为 Sn=n -10n(n=1,2,3,?),则此数列的通项公式为 4.(1)(2008 年广东高考试题)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d=( (A)7 (B)6 (C)3 (2)(2006 年山东高考试题)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项的和,S4=14,S10-S7=30,则 S9= 5.(2006 年全国Ⅱ高考试题)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项的和,若 (A) 3
10
S3 1 = ,则 S 6 =( S6 3 S12

(B) 1 3

(C) 1

8

9

6.(1999 年河南初赛试题)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项的和,S9=18,an-4=30(n>9),Sn=3336,则 n 的值为( (A)16 (B)21 (C)9 (D)8

)

等差与等比数列问题 7 七.求和性质 例 7:(1995 年全国高考试题,1999 年上海高考试题,2004 年河南初赛试题)等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn,

a Sn 2n ,则 n = ? bn Tn 3n ? 1

.

[分析解答]: Sn
Tn

?

(2n ? 1)(a1 ? a2n ?1 ) a 2n ? 1 2n ? 1 S 2n 2(2n ? 1) 2 . ? ? 2n ?1 ? ? ? n = (2n ? 1)(b1 ? b2n ?1 ) 3n ? 1 bn 3n ? 1 3n ? 1 T2n ?1 3(2n ? 1) ? 1 2

[思想方法]:①在等差数列{an}中,S2n-1=(2n-1)an;②等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn.则
{an}为等差数列,则数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?也为等差数列.

S2n ?1 T2n ?1

?

an bn

;③若数列

[备选题库]:
1.(2004 年福建高考试题)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项的和,若
S a5 5 ? ,则 9 =( S5 a3 9

)
1 2

(A)1

(B)-1

(C)2

(D)

2.(2007 年湖北高考试题)己知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An,Bn,且 数 n 的个数是( (A)2 ) (B)3 (C)4
S4 = S5

An 7 n ? 45 a = ,则使 n 为整数的正整 bn n?3 Bn

(D)5 . ) (D)27 ) (D)42 ) (D)-48 ) (D)260 . ) (D)6 )

3.(2009 年全国Ⅱ高考试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a5=5a3,则

4.(1)(2007 年辽宁高考试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9=( (A)63 (A)12 (A)80 (A)130 (B)45 (B)18 (B)40 (B)170 (C)36 (C)24 (C)24 (C)210 (2)(2007 年陕西高考试题)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=2,S4=10,则 S6 等于( (3)(2001 年湖南初赛试题)己知{an}是等差数列,且 S5=28,S10=36,则 S15 等于(

5.(1)(1996 年全国高考试题)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( (2)(2004 年湖南初赛试题)等差数列{an}的前 m 项和为 90,前 2m 项和为 360,则前 4m 项和为 6.(2000 年湖南初赛试题)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S6=36,S12=144,S6n=576,则 n 等于( (A)3 (B)4 (C)5

八.求和最值 例 8:(1995 年全国联赛试题)设等差数列{an}满足 3a8=5a13,且 a1>0,Sn 为其前 n 项之和,则 Sn(n∈N*)中最大的是(
(A)S10 (B)S11 (C)S20
39 d(d<0). 2

(D)S21

[分析解答]:由 3a8=5a13 ? 3(a1+7d)=5(a1+12d) ? a1=(法一)an=a1+(n-1)d=(n-

? a ?0 41 39 41 )d;Sn 取得最大值 ? ? n <n≤ ? ? n=20,所以 S20 最大,故选(C); 2 2 2 ?an ?1 ? 0

(法二)Sn=na1+

n ( n ? 1) d d 2 2 d= (n -40n)= (n-20) +(-200d),所以 S20 最大,故选(C). 2 2 2

[思想方法]:等差数列{an}的前 n 项和 Sn= 8
Sn=

d 2 d n +( -a1)n.则求{Sn}中最大值有两种方法:一是分析关于 n 的二次函数 2 2

等差与等比数列问题

? a ?0 d 2 d n +( -a1)n,求最大值;二是利用等价定理:Sn 最大 ? ? n . 2 2 ?an ?1 ? 0

[备选题库]:
1.(2010 年福建高考试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( (A)6 (A)S4<S5 (A)d<0 n= . ) (B)S9 (B)6 ) (B)4006 (C)4007 (D)4008
S S1 S 2 , ,?, 15 中最大的是 a1 a 2 a15

)

(B)7 (B)S4=S5 (B)a7=0

(C)8 (C)S6<S5 (C)S9>S5

(D)9 ) ) (D)S5=S6 (D)S6 与 S7 均 Sn 为的最大值

2.(1)(2004 年全国Ⅳ高考试题)设数列{an}是等差数列,且 a2=-6,a8=6,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则(

(2)(2002 年上海春招试题)设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( 3.(1)(1999 年上海高考试题)在等差数列{an}中,满足 3a4=7a7,且 a1>0,Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 Sn 取得最大值,则

(2)(2004 年福建数学竞赛试题)在等差数列{an}中,己知 13a2=15a3,且 a1>0,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则在 S1,S2,S3,?,S12 中,最大的一个是( (A)S8 (A)5 n 是( (A)4005 (C)S10 (C)5,6 (D)S12 ) (D)5,6,7

(3)(2001 年希望杯数学竞赛试题)己知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使前 n 项和 Sn 取最大值的 n 的值是(

4.(1)(2004 年重庆高考试题)设{an}是等差数列,首项 a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数

(2)(2009 年湖北初赛试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S15>0,S16<0,则

. .

(3)(2000 年上海数学竞赛试题)设{an}是一个等差数列,a1=19,a21=3,记 An=an+an+1+?+an+6(n∈N*),则|An|的最小值为 5.(2008 年四川高考试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为 6.(1995 年全国联赛试题)等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=(A)π
9

. )

1 .用π n 表示它的前 n 项之积,则π n(n∈N)最大的是( 2

(B)π

11

(C)π

12

(D)π

13

Ⅱ.等比数列
一.基本量法 例 1:(2005 年上海高考试题)若干个能唯一确定一个数列的量,称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为 q 的无穷等比
数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列的“基本量”的是第 组(写出所有符合要求的组号). ①S1 与 S2;②a2 与 S3;③a1 与 an;④q 与 an.其中 n 为大于 1 的整数,Sn 为{an}的前 n 项和.

[分析解答]:①S1=a1,S2=a1(1+q),可唯一确定 a1 与 q,故①正确;②a2=a1q,S3=a1+a1q+a1q2,不能唯一确定 a1 与 q,故②错误;
同理可得③错误;④正确;故填①,④.

[思想方法]:解决等比数列问题的最基本的方法是“基本量方法”,即首先根据条件,由 an=a1qn-1 和 Sn= a1(1 ? q ) (q≠1)
1? q

n

列方程组,求出等差数列的首项 a1 和公比 q,解决问题;或把己知和待求式都化成关于 a1 与 q 的表达式,由此分析解决问 题.

[备选题库]:
1.(2005 年江苏高考试题)在各项均为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5=( (A)33 (B)72 (C)84 ) (D)189

2.(2009 年宁夏、海南高考试题)等比数列{an}的公比 q>0,己知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前 4 项和 S4= 3.(2010 年辽宁高考试题)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4―2,3S2=a3―2,则公比 q=( (A)3 (B)4 (C)5 )

. (D)6

等差与等比数列问题
4.(2010 年辽宁高考试题)设{an}是有正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( (A)
15 2

9
)
31 4 33 4 17 2

(B)

(C)

(D)

二.基本性质 例 2:(2005 年南昌数学竞赛试题)等比数列{an}的各项为正数,且 a2a4+2a3a5+a4a6=9,则 a3+a5=(
(A)3 (B)6 (C)9

)

(D)12

[分析解答]:在等比数列{an}中,a2a4=a32,a4a6=a52,所以,a2a4+2a3a5+a4a6=(a3+a5)2=9 ? a3+a5=3.故选(A). [ 思想方法 ]: 等比 数 列 {an} 具 有 如 下 性 质 : ① 当 m+n=k+t 时 ,aman=akat; ② 当 m+n=2k 时 ,aman=ak2; ③ an+kan-k=an2; ④
an-1+an+1=an .
2

[备选题库]:
1.(1)(2007 年福建高考试题)等比数列{an}中,a4=4,则 a2a8 等于( (A)4 (A)2 (B)8 (B)4 (B)27 5 27 . ) (D)20 ) (D)45 (C)15 (C)35 ) (C)16 ) (D)8 ) (D)243 (C)6 (D)32

(2)(2006 年重庆高考试题)在等比数列{an}中,若 an>0,且 a3a7=64,则 a5 的值为( 2.(1)(2006 年湖北高考试题)在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2a3a4a5a6a7a8a9=( (A)81 (C) 3 (2)(原创题)在等比数列{an}中,若 a6a15+a8a13=4,则 a9a10a11a12= (A)5 (A)15 (B)10 (B)25

3.(1)(1991 年全国高考试题)己知{an}是等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值是( (2)(2001 年湖南初赛试题)己知{an}是等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=2025,那么 a3+a5 的值是(

三.特殊性质 例 3:(2000 年全国联赛试题)等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是

.

1 1 ( ? ) log2 3 1 (a ? log4 3) ? (a ? log8 3) log4 3 ? log8 3 a ? log4 3 a ? log8 3 [分析解答]:q= = = 2 3 = . ? q= ? a ? log2 3 a ? log4 3 (a ? log2 3) ? (a ? log4 3) log2 3 ? log4 3 (1 ? 1 ) log 3 3 2 2

[ 思想方法 ]: 等比数列 {an} 具有如下特殊性质 : ① an 与 an+2 同号 ; ②三数 a,b,c 成等比数列 , 则该等比数列的公比
q=
b?c . a?b

[备选题库]:
1.(2006 年北京高考试题)如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( (A)b=3,ac=9 -23,19,37,82}中,则 6q= . . (B)b=-3,ac=9 ) (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9

2.(2009 年江苏高考试题)设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,?),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,

四.通项问题 例 4:(2007 年重庆高考试题)设{an}为公比 q>1 的等比数列,若 a2004 和 a2005 是方程 4x2-8x+3=0 的两根,则 a2006+a2007= [分析解答]:由 a2004 和 a2005 是方程 4x2-8x+3=0 的两根 ? a2004+a2005=2,a2004a2005= 3 ,又因 q>1,a2004= 1 ,a2005=
4
2

3 ? q=3,则 2

a2006+a2007=(a2004+a2005)q =18.

2

[思想方法]:等比数列{an}的通项 an=a1qn-1(是 n 的指数函数) ? am=a1qm-1 ? ①an=amqn-m;②qn-m= [备选题库]:
1.(1)(2007 年重庆高考试题)在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则公比 q 为( )

an . am

10
(A)2 (B)3 (C)4
1 ,则公比 q=( 4

等差与等比数列问题
(D)8 ) (D) . ) (D)12 ) (D)243 ) (D) ) (D)4 2
30

(2)(2008 年浙江高考试题)己知{an}是等比数列,a2=2,a5= (A)1 2

(B)-2

(C)2

1 2

2.(2004 年全国Ⅰ高考试题)己知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则数列的通项 an= 3.(2010 年北京高考试题)在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m=( (A)9 (B)10 (C)11

4.(2008 年全国Ⅰ高考试题)己知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( (A)64 (B)81 (C)128
2

5.(2009 年广东高考试题)己知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2a5 ,a2=1,则 a1=( (A)2 (B) 2 (C)
2 2

1 2

6.(1)(2010 年全国Ⅰ高考试题)已知各项均为正数比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( (A)5 2 (A)2
10

(B)7 (B)2
20

(C)6 (C)2
16

(2)(1992 年三南高考试题)设{an}是由正数组成的等比数列,公比 q=2,且 a1a2a3?a30=2 ,那么 a3a6a9?a30 等于(

)
15

(D)2

五.求和公式 例 5:(2003 年希望杯数学竞赛试题)等比数列{an}的首项 a1=a,公比为 q,则
1 1 1 + +…+ = a1a2 a2 a3 an an ?1

.

[ 分析解答 ]: 等比数列 {an} 的首项 a1=a, 公比为 q ? an=aqn-1 ? anan+1=a2q2n-1=
{

q a2 1 2 n-1 -2 n-1 (q ) ? = (q ) ? 数列 q an an ?1 a 2

q q 1 ? ( q ?2 ) n 1 1 1 1 1 -2 }是等比数列,且首项是 2 ,公比为 q ? 数列{ }前 n 项的和 + +…+ = 2 . an an ?1 an an ?1 a1a2 a2 a3 an an ?1 a a 1 ? q?2
n

[思想方法]:等比数列{an}的前 n 项的和 Sn= a1(1 ? q ) (q≠1)(其中,a1 为首项,q 为公比,n 为项数),或 Sn=na1
1? q

(q=1).所以,求等比数列{an}的前 n 项和 Sn,①分公比 q=1 和 q≠1 两种情况,使用不同的公式求解;②求出首项和公比,确定 项数,是求等比数列前 n 项和的三大要素;③数列{an}为等比数列 ? Sn=na1(q=1),或 Sn=Aq -A(q≠1,A=
n

a1 ). q ?1

[备选题库]:
1.(1)(2004 年全国Ⅳ高考试题)等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( (A)81 (B)120
1 8

) (D)192 ) (D)21 211

(C)168

(2)(2007 年湖南高考试题)在等比数列{an}(n∈N*)中,若 a1=1,a4= ,则该数列的前 10 项和为( (A)21 28

(B)2-

1 29

(C)2-

1 210

(3)(2008 年福建高考试题)设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为( (A)63 (B)64 (C)127 (D)128

)

2.(2006 年湖南高考试题)若数列{an}满足:a1= (A)1-3-n (B)3-1(1-3-n)

1 ,且对任意正整数 m,n 都有 am+n=aman,则 Sn=( 3

) (D)2(1-3-n)

(C)2-1(1-3-n) )

3.(2006 年北京高考试题)设 f(n)=2+24+27+210+?+23n+1(n∈N*),则 f(n)等于(

等差与等比数列问题
(A)
2 n (8 -1) 7

11
(B)
2 n+1 (8 +1) 7

(C)

2 n-1 (8 -1) 7

(D) )

2 n+1 (8 -1) 7

4.(2008 年浙江高考试题)己知{an}是等比数列,a2=2,a5= 1 ,则 a1a2+a2a3+?+anan+1=( 4 (A)16(1-4 )
-n

(B)16(1-2 )

-n

(C) 32 (1-4 )
-n

3

(D) 32 (1-2 )
-n

3

5.(2010 年天津高考试题)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6.则数列{
15 或5 8 31 或5 16 31 16

1 }的前 5 项和为() an

(A)

(B)

(C)

(D)

15 8

6.(2004 年江苏高考试题)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=

a1(3n ? 1) (对于所有 n≥1),且 a4=54,则 a1 的数值是= 2

.

六.求和性质(Ⅰ) 例 6:(2001 年全国高考试题)设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若{Sn}是等差数列,则 q= . n [分析解答]:在等比数列{an}中,若 q=1,则 Sn=a1n ? {Sn}是等差数列;若 q≠1,则 Sn=Aq -A ? {Sn}不是等差数列.综
上,q=1.

[思想方法]:等比数列{an}的前 n 项的和 Sn= a1(1 ? q ) (q≠1)=Aqn-A(q≠1,A=
1? q

n

a1 S 1 ? qn ) ? n ? m ?1 .关于等比数列 q ?1 am q (1 ? q)

{an}的前 n 项的和 Sn 的问题一般使用公式 Sn=Aq -A 较简单.

n

[备选题库]:
1.(2008 年宁夏、海南高考试题)设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 (C) 15 2
S4 1 ,前 n 项和为 Sn,则 = 2 a4
S4 =( a2

) (D) 17 2

(A)2

(B)4

2.(2009 年浙江高考试题)设等比数列{an}的公比 q=

3.(2007 年全国Ⅰ高考试题)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,己知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为 4.(2008 年湖北高考试题)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为

. .

七.求和性质(Ⅱ) 例 7:(1999 年全国联赛试题)给定公比为 q(q≠1)的等比数列{an},设 b1=a1+a2+a3,b2=a1+a2+a3,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…,则
数列{bn}( )
3

(A)是等差数列 (B)是公比为 q 的等比数列 (C)是公比为 q 的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列

[分析解答]:因 bn=a3n-2+a3n-1+a3n ? bn+1=a3n+1+a3n+2+a3n+3=q3(a3n-2+a3n-1+a3n)=q3bn ? 数列{bn}是公比为 q3 的等比数列,故选(C). [思想方法]:在等比数列{an}中,①S2n=(1+qn)Sn,S3n=(1+qn+q2n)Sn, S2n =1+qn;②数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?为等比数列.
Sn

[备选题库]:
1.(1)(2010 年浙江高考试题)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 (A)11 (B)5 (C)-8
S5 =( S2

) (D)-11

(2)(2009 年辽宁高考试题)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若
7 3

S6 S =3,则 9 =( S3 S6

)

(A)2

(B)

(C)

8 3

(D)3

12
(A)15 (B)17 (C)19

等差与等比数列问题
) (D)21 . . ) (D)16 ) (D)400 或-50

2.(1990 年广东高考试题)己知等比数列的公比为 2,且前 4 项之和等于 1,那么前 8 项之和等于(

3.(1996 年全国高考试题)等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若

S10 31 = ,则 Sn= S5 32

4.(2009 年全国Ⅱ高考试题)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4= (A)80 (A)150 (B)30 (B)-200 (C)26 (C)150 或-200

5.(2007 年陕西高考试题)各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=10,则 S4n 等于(

6.(1999 年全国联赛试题)各项均为实数的等比数列{an}前 n 项之和记为 Sn.若 S10=10,S30=70,则 S40 等于(

八.数列判定 例 8:(2004 年四川初赛试题 ) 己知正项非常值数列 {an},{bn} 满足 :an,bn,an+1 成等差数列 ,bn,an+1,bn+1 成等比数列 . 令
cn= bn ,则下列关于数列{cn}的说法正确的是( (A){cn}为等差数列 (B){cn}为等比数列
1 2

) (C)cn 的每一项都是奇数 (D)cn 的每一项都是偶数
bnbn ?1 ? an= bn ?1bn ? bn=
1 2

[分析解答]:由 an,bn,an+1 成等差数列 ? bn= (an+an+1),bn,an+1,bn+1 成等比数列 ? an+1=
( bn ?1bn + bnbn ?1 ) ? bn =

1 1 ( bn ?1 ? bn ?1 ) ? cn= (cn-1+cn+1) ? {cn}为等差数列,故选(A). 2 2

[思想方法]:牢固掌握等差、等比数列的判定定理是进一步学习研究数列的基础. [备选题库]:
1.(2009 年湖北高考试题)若 x∈R,记不超过 x 的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则{ (A)是等差数列但不是等比数列 (C)既是等差数列又是等比数列 2.(1990 年上海高考试题)设 2a=3,2b=6,2c=12,则数列 a,b,c( (A)是等差数列不是等比数列 (C)既是等差数列又是等比数列 ) (B)是等比数列不是等差数列 (D)既不是等差数列也不是等比数列 ,前 8 项的和 S8= . (用数字作答).
5 ?1 5 ?1 5 ?1 },[ ], ( 2 2 2

)

(B)是等比数列但不是等差数列 (D)既不是等差数列也不是等比数列

3.(2009 年北京高考试题)若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N*),则 a5=

4.(2006 年湖南高考试题)若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N*),则 a1+a2+?+an=

Ⅲ.综合问题
一.差中含比 例 1:(1992 年全国高考试题)己知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 [分析解答]:由 a1,a3,a9 成等比数列 ? a1a9=a32 ? a1(a1+8d)=(a1+2d)2 ? a1=d ? an=nd ?
a1 ? a3 ? a9 的值是 a2 ? a4 ? a10
13 a1 ? a3 ? a9 = . a2 ? a4 ? a10 16

.

[思想方法]:关于等差数列{an}中的三项 ak,at,am 成等比数列问题,基本解法是利用基本量思想,用公差 d 表示首项 a1,
减少变量个数,然后解决问题.

[备选题库]:

1.(1)(2004 年浙江高考试题)己知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2 等于( (A)-4 (B)-6 (C)-8

) (D)-10 . ) (D)2,或-2

(2)(2008 年上海春招试题)己知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,若 a1、a2、a5 成等比数列,则 an= 2.(1)(1989 年广东高考试题)等差数列{an}的首项是 a1=1,公差 d≠0,如果 a1,a2,a5 成等比数列,那么 d=( (A)3 (B)2 (C)-2

等差与等比数列问题
的公比的值等于 (A)90 .

13

(2)(2002 年北京高考试题)等差数列{an}中,a1=2,公差不为零,且 a1,a3,a11 恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列 3.(2009 年四川高考试题)等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列{an}的前 10 项之和是( (B)100 (C)145 (D)190 ) 4.(2009 年重高考试题)设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2,且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的前 n 项之和 Sn=( (A)
n 2 7n ? 4 4

)

(B)

n2 5n ? 3 3

(C)

n2 3n ? 2 4

(D)n2+n ) (D)8 ) (D)90 )

5.(2007 年天津高考试题)己知等差数列{an}的公差不为 0,a1=9d,若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k=( (A)2 (A)18 (B)4 (B)24 (C)6 (C)60

6.(2009 年江西高考试题)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32,则 S10 等于(

二.比中含差 例 2:(2009 年宁夏、海南高考试题)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4=(
(A)7 (B)8 (C)15 (D)16

[分析解答]:由 4a1,2a2,a3 成等差数列 ? 4a1+a5=4a2 ? 4+q2=4q ? q=2 ? S4=15,故选(C). [思想方法]:关于等比数列{an}中的成等差数列问题,基本解法是利用基本量思想,用首项和公比表示通项和前 n 项和,
代入己知求公比,解决问题.

[备选题库]: 三. 差比转换 例 3:(2009 年广东高考试题)己知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5a2n-5=22n(n≥3),则当 n≥1 时,log2a1+log2a3+…
+log2a2n-1=( (A)n(2n-1) ) (B)(n+1)
2

(C)n

2

(D)(n-1)

2

[分析解答]:由 a5a2n-5=an2 ? an2=22n ? an=2n ? log2an=n ? log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+2+…+(2n-1)=n2,故选(C). [ 思想方法 ]: 各项为正的数列 {an} 是等比数列 ? 数列 {logaan}(a>0,a ≠1) 是等差数列; 数列{an}为等差数列 ? 数列
{ a an }(a>0,a≠1)为等比数列.

[备选题库]:
1.(2008 年湖北高考试题)己知函数 f(x)=2 ,等差数列{an}的公差为 2,若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则 log2[f(a1)f(a2)f(a3)? f(a10)]= (A)12 . ) (D)2+log 25
1 }的前 n 项和 Sn=( an ?1 ? an
x

2.(1993 年全国高考试题)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a5a6=9,则 log3a1+log3a2+?+log3a10=( (B)10 (C)8

3.(2005 年湖南高考试题)己知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且 a1=3,a2=5,则数列{ (A)2n+1-2 (B)2n-1 (C)2(1-2-n)

)

(D)1-2-n

四.特例数列 例 4:(2006 年天津高考试题)己知数列{an},{bn}都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1,b1,且 a1+b1=5,设 Cn= a bn 则
数列{Cn}的前 10 项的和等于( (A)55 ) (B)70 (C)85 (D)100

[分析解答]:本题隐含{Cn}的前 10 项的和是定值,而己知条件不能唯一确定数列{an}与{bn},故可取满足条件的特例数
列 an=n+3,bn=n ? Cn=bn+3=n+3 ? Sn=
10 ( 4 ? 17 ) =85. 2

[思想方法]:等差、等比数列的基本量均为两个,因此,确定等差与等比数列必须各有两个独立的条件.当题目条件少
于确定数列的条件时,可取满足条件的持例数列求解.

14 [备选题库]:
2

等差与等比数列问题
) (D)2 m= ) (D)3n-1 . .

1.(2006 年江西高考试题)在各项均不零的等差数列{an}中,an+1-a n+an-1=0(n≥2),则 S2n-1-4n=( (A)-2 (B)0 (C)1 am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 2.(2009 年宁夏、海南高考试题)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,己知

3.(2009 年辽宁高考试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 6S5-5S3=5,则 a4= (A)2
n+1

4.(2006 年辽宁高考试题)在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则 Sn 等于( -2 (B)3n (C)2n

五.大小比较 例 5:(2007 年陕西初赛试题)对于实数 t,己知等比数列{an}的前三项依次为 2t,5t-1,6t+2,且该数列的前 n 项和为 Sn,
则满足不等式|Sn(A)2
1 |<1 的最大整数 n 的值是( 65

) (C)5 (D)6
1 .(i)当 t=1 时,a1=2,a2=4,a3=8 ? 13

(B)3

[分析解答]:由 2t,5t-1,6t+2 成等比数列 ? 2t(6t+2)=(5t-1)2 ? t=1,或 t=
Sn=2 -2≥2,满足不等式|Sn|Snn+1

1 1 2 8 32 2 n |<1 的整数 n 不存在;(ii)当 t= 时,a1= ,a2=- ,a3= [1-(-4) ],不等式 ? Sn= 65 13 13 13 13 65

1 2 1 n n |<1 ? | [1-(-4) ]|<1 ? |2(-4) -1|<65 ? 最大整数 n=2,故选(A). 65 65 65

[思想方法]:解决等差、等比数列大小比较的基本思想是基本量思想,即用基本量去表示有关的量,然后进行大小比
较.

[备选题库]:
1.(2000 年北京、安徽春招试题)己知等差数列{an}满足 a1+a2+?+a101=0,则有( (A)a1+a101>0 (A)a4a5>a1a8 (A)a1+a8>a4+a5 (A)(-∞,-1] (B)a2+a100<0 (B)a1a8>a4a5 (B)a1+a8<a4+a5 (C)a1+a8=a4+a5 (C)a3+a99=0 ) (D)a1a8=a4a5 ) ) (D)(-∞,-1]∪[3,+∞) )
16 32 , ) 3 3

) (D)a51=51

2.(2005 年全国Ⅱ高考试题)如果 a1,a2,?,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则( (C)a1+a8>a4+a5 3.(1993 年三南高考试题)己知 a1,a2,?,a8 为各项都大于零的等比数列,公比 q≠1,则( 4.(2008 年四川高考试题)己知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项和 S3 的取值范围是( (B)(-∞,0)∪(1,+∞) (C)[3,+∞)

(D)a1+a8 和 a4+a5 的大小关系不能由己知条件确定

5.(2008 年湖南初赛试题)己知{an}是等比数列,a2=2,a5= (A)[12,16) (B)[8,16)

1 ,则 a1a2+a2a3+?+anan+1(n∈N*)的取值范围是( 4

(C)[8,

32 ) 3

(D)[

六.类比推理 例 6:(典型题)在计算: “1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)”时,某同学的方法是:先改写通项 k(k+1)= [k(k+1)(k+2)(k-1)k(k+1)], 由 此 得 :1 × 2=
1 1 1 (1 × 2 × 3-0 × 1 × 2);2 × 3= (2 × 3 × 4-1 × 2 × 3);3 × 4= (3 × 4 × 5-2 × 3 × 3 3 3 1 3

4);…;n(n+1)= [n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].上述式相加得 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2).类比上述方 法,请你计算“1×3+2×4+3×5+…+n(n+2)”,其结果写成关于 n 的一次因式积的形式为
6 6

1 3

1 3

.

[分析解答]:通项 k(k+2)= 1 [k(k+2)(k+4)-(k-2)k(k+2)] ? 1×3+2×4+3×5+…+n(n+2)= 1 n(n+1)(2n+7). 等差与等比数列问题 15 [思想方法]:等差数列与等比数列的类比法则:(I)等差数列{an}中的“0”类同等比数列{an}中的“1”;(II)等差数列 {an}中的“+” 、 “-”分别类同等比数列{an}中的“×” 、 “ ? ”;(III)等差数列{an}中的“×” 、 “ ? ”分别类同等比数列
{an}中的“乘方” 、 “开方”;(IV)等差数列与等比数列的类比转换中项数的运算不变.

[备选题库]:
1.(2009 年浙江高考试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比以上结论有:设等比 数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4, , ,
T16 成等比数列. T12

2.(2000 年上海高考试题)在等差数列{an}中,a10=0,则有等式 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质, 相应地:在等比数列{bn}中,若 b9=1,则有等式 r、s(r≠s),当 ar=as 时,非常数数列{an}的一个例子是 4.(2003 年上海春招试题 ) 设 f(x)= +f(0)+?+f(5)+f(6)的值为
1 2x ? 2

成立. .

3.(2004 年上海春招试题)在等差数列{an}中,当 ar=as(r≠s)时,{an}必定是常数数列.然而在等比数列{an}中,对某些正整数

. 利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法可求得 f(-5)+f(-4)+ ?

.

七.差比综合 例 7:(1992 年全国联赛试题)设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 , 1 , 成等差数列,则
y
1 x 1 z x z ? 的值是 z x

.

[分析解答]:由 3x,4y,5z 成等比数列 ? 15xz=16y2 ? xz= y2, ,
x+z=
32 x z x 2 ? z 2 34 16 17 2 2 2 2 y ? x +z =(x+z) -2xz=2 y ? ? = = . z x 15 15 15 15 xz

16 15

1 x

x?z 2 1 1 2 1 1 , 成等差数列 ? + = ? = ? xz x z y z y y

[思想方法]:综合利用等差与等比数列的性质和解题方法是解决等差与等比数列综合问题的基本思路. [备选题库]:
1.(2006 年湖北高考试题)若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列,c、a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a=( (A)4 bx2-2ax+c=0( (A)无实根 ) (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 1 . 0.5 (D)有两个异号实根 2 1 x y z (B)40 (D)44
2 n

)

(B)2

(C)-2

(D)-4

2.(2000 年全国联赛试题 ) 给定正数 p,q,a,b,c, 其中 p ≠ q, 若 p,a,q 是等比数列 ,p,b,c,q 是等差数列 , 则一元二次方程

3.(2008 年江苏初赛试题)在如图的表格中,如果每格填上一个数, 每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么 x+y+z 的值为 4.(2008 年四川初赛试题)在公差为 4 的正项等差数列中, a3 与 2 的算术平均值等于 S3 与 2 的几何平均值,其中 S3 表 示数列的前三项和,则 a10 为( (A)38 (C)42 )

5.(2005 年上海春招试题)设数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),关于数列{an}有下列三个命题:①若{an}既是等差数列又 是等比数列,则 an+1=an(n∈N*);②若 Sn=an +bn(a、 b∈R),则数列{an}是等差数列;③若 Sn=1-(-1) ,则数列{an}是等比数列. 这些命题中,真命题的序号是 .

6.(2010 年广东高考试题)已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 5/4,则 S5=( (A)35 (B)33 (C)31 (D)29

)

八.学科综合 例 8:(2009 年上海高考试题)己知函数 f(x)=sinx+tanx,项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈(16
若 f(a1)+f(a2)+ …+f(a27)=0,则当 k= 时,f(ak)=0.
? ? , ),且公差 d≠0, 2 2

等差与等比数列问题

[分析解答]:分别 [思想方法]:利用 [备选题库]:
1.(2003 年新课程高考试题)己知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 (A)1 (B)
3 4 1 的等差数列,则|m-n|=( 4

)
3 8

(C)

1 2

(D)

2.(2006 年江西高考试题)己知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 OB =a1 OA +a200 OC ,且 A、B、 C 三点共线(该直线不过点 O),则 S200 等于( (A)100 ) (B)101
2 2

(C)200

(D)201

3.(2004 年湖南高考试题)设 F 是椭圆

x y =1 的右焦点,且椭圆上至少有 21 个不同的点 pi(i=1,2,3,?),使|FP1|,|FP2|, ? 7 6

|FP3|,?组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围为 4.(2010 年江西高考试题 ) 等比数列

.

?an ? 中, a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) ? ? ? ( x ? a8 ),则

f '(0) ?
A. 2
6

B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

等差与等比数列问题

17

(3)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,关于数列{an}有如下命题:①若{an}既是等差数列又是等比数列,则 an+1=an; ②若 an=kn+b, 则{an}是等差数列,且公差 d=k; ③若 Sn=n2+n,则数列{an}是等差数列,且公差 d=2; ④若 Sn=n2+1,则数列{an}是等差数列, 且公差 d=1; ⑤若 Sn=1-(-1)n,则数列{an}是等比数列,且公比 q=-1; ⑥在等比数列{an}中,若 Sn=2n+a,则 a=2. 其中正确命题 的个数为( (A)2 (D)0 ) (B)3 (C)4 ) (A)1 (B)-1 (D)5 (C) ? 1

(1)设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若{Sn}是等差数列,则 q=(

数列基本问题

1

数列基本问题
数列的基本问题有:一是求数列的通项公式,二是求数列的前 n 项和. “递推”是数列的最基本的特性,充分理解数列的递推性质,是求数列通项的基础.

1.递推思想:①从第一项起向后逐步递推出另一项的方法; ②从某一项起向前逐步递推出第一项的方法;③把
递推式中 n 的换为 n+1 或 n-1 的思想.

2.递推公式:(1)恒等式 I:an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+?+(an-an-1); an=ak+(ak+1-ak)+(ak+2-ak+1)?+(an-an-1)(n≥k);
(2)恒等式 II: an=a1.
a2 a1 . a3 a2 . a4 a3

? a ;an= a k ? n?1

an

a k ?1 a k ? 2 a ? ??? n ak a k ?1 a n ?1

(n≥k).

3.换元方法:求数列{an}:a1=a,an+1=f(an)的通项公式,可令 bn=g(an),由此求出 b1=g(a1),bn+1=g(an+1),并使数列{bn}
满 足 :(1)bn+1-bn=d, 转化 为等差 数列问题 ;(2)bn+1-bn=f(n), 转 化为恒等式 I 的问 题 ;(3)bn+1=qbn, 转化 为等比数 列问 题;(4)bn+1=f(n)bn,转化为恒等式 II 的问题.

4.猜测证明:第一步,根据己知条件逐步求出数列的前几项 ;第二步,由求出的数列前几项 ,分析研究数列各项
的规律,猜测出数列的通项公式;第三步,证明你的猜测. 数列求和有四个层次的问题:

1.常用公式:包括:(1)三个等式:①1+2+3+…+n= [
[ n(n ? 1) 2 ] 2

n(n ? 1) 2 ] 2

;②;12+22+32+?+n2= 6 n(n+1)(2n+1);③13+23+33+?+n3=

1

;(2)等差、等比数列求和公式,使用公式时,一是确定首项,二是求出公差或公比,三是认定项数;

2.求和方法:有四个:(1)倒序求和法:如果数列{an}满足:ai+an-i=f(n),则可使用倒序求和法,求该数列的前 n 项
和;(2)裂项求和法:如果数列{an}满足:an=f(n+1)-f(n),则可使用裂项求和法,求该数列的前 n 项和;(3)错位相减法:如 果数列{an}满足:an=(kn+b)q ,则可使用错位相减求和法,求该数列的前 n 项和;(4)叠加变换法:如果数列{an}满足:an+1= pan+f(n),则可使用叠加变换求和法,求该数列的前 n 项和.
n

3.求和性质:(1)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn,则数列{an+k}的前 n 项和=Sn+kn;(2)如果数列{an}的前 n 项和为
Sn,则数列{kan}的前 n 项和=kSn;(3)如果数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,则数列{an+bn}的前 n 项和 Sn+Tn;(4)如 果数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,则数列{an-bn}的前 n 项和 Sn-Tn.

4.数列通项:数列通项思想在求和中的应用有二个层次的考虑:(1)求数列{an}的前 n 项和 Sn,首先要求出数列{an}
的通项 an,然后通过通项公式,研究该数列是由哪几个基本数列构成的,最后利用数列的求和性质解决问题;(2)求数列 {an}的前 n 项和 Sn,可把其前 n 项和 Sn 视为一个新的数列{Sn},通过求该数列的通项解决问题.

一.恒等式法
例 1:(2004 年全国Ⅰ高考试题)己知数列{an}满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+?(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项 an= . [分析解答]:在 an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1 中,令 n=2 得 a2=a1=1,把 n 变为 n+1 得 an+1=a1+2a2+3a3+?+nan
?

an+1-an=nan
? 1( n ? 1)

?

an+1=(n+1)an

?

an ?1 ? an

n+1, 所 以 an=a2

a3 a4 a n! . ? n =1.3.4. ? .n= ,所以 2 a2 a3 an ?1

an= ? ?1

n!( n ? 2) ? ?2

.

[ 思 想 方 法 ]: 利 用 恒 等 式 I:an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+ ? +(an-an-1);an=ak+(ak+1-ak)+(ak+2-ak+1) ? +(anan-1)(n≥k),可求解形如 an+1=an+f(n)的数列的通项公式;利用恒等式 II:an=a1.
a2 a1 . a3 a2 . a4 a3

?

an an?1

;an=

a a a a k ? k ?1 ? k ? 2 ? ? ? n ak a k ?1 a n ?1

(n≥k),可求解形如 an+1=f(n)an 的数列的通项公式.

[备选题库]: 1.(2008 年四川高考试题)设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an= 2 2.(2008 年江西高考试题)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+
(A)2+lnn (B)2+(n-1)lnn
1 3n ?1

.

数列基本问题
1 ),则 an=( n

) (D)1+n+lnn .

(C)2+nlnn (n∈N*),则 an= ) (B)是等比数列不是等差数列

3.(2008 年天津高考试题)己知数列{an}中,a1=1,an+1-an=

4.(典型题)己知数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an,则数列{an}(
(A)是等差数列不是等比数列 (C)既是等差数列又是等比数列

(D)既不是等差数列也不是等比数列
1 2

5.(典型题)己知数列{an}满足 a1= ,a1+a2+?+an=n2an,则 an=

. ) (D)2 -1
n

6.(2004 年安徽春招试题)己知数列{an}满足 a0=1,an=a0+a1+a2+?+an-1(n≥1),则当 n≥1 时,an=(
(A)2
n

(B)

1 n(n+1) 2

(C)2

n-1

二.递推思想
例 2:(2009 年北京高考试题)己知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则 a2009= ,a2014= . [分析解答]:a2009=a4×503-3=1,a2014=a2×1007=a1007=a4×252-1=0. [思想方法]:“递推”是数列的最基本的特性,充分理解数列的递推性质,是学习研究数列的基础.递推 有三个层次:①从第一项起逐步递推出以后各项的方法;②从第 k 项起逐步递推出以前各项的方法;③ 把递推式中 n 的换为 n+1 或 n-1 的思想. [备选题库]: 1.(2003 年第十四届希望杯数学竞赛试题)己知数列{an}中,a1=3,a2=5,且对大于 2 的正整数 n,总有 an=an-1-an-2,则 a2003
等于( ) (A)-5 (B)-2
an ? 3 3an ? 1

(C)2 (n∈N*),则 a20=( )
3 2

(D)3

2.(2005 年湖南高考试题)己知数列{an}满足 a1=0,an+1=
(A)0 (B)- 3

(C) 3

(D)

3.(2002 年第十三届希望杯数学竞赛试题)己知数列{an}满足 a1=2,an+1=(A)3 2

1 ,则 a2001 等于( an ? 1

)

(B)-

1 3

(C)1

(D)2

4.(2001 年上海春招试题)若数列{an}前 8 项的值各异,且 an+8=an 对任意的 n∈N*都成立,则下列数列中可取遍{an}前 8
项值的数列为( ) (A){a2k+1} (B){a3k+1}
2

(C){a4k+1}

(D){a6k+1} .

5.(2005 年全国高中联赛福建初赛试题)实数列{an}定义为:an+1= an

? an ?1 ? 2an ,n=2,3,?,a1=1,a9=7,则 a5 的值为 an ?1 ? 1

6.(2009 年湖北高考试题)己知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1= ? ?
的取值为 .

?

an , an ? 2 k , k ? N * .若 a6=1,则 m 的所有可能 2 ? 3 a ? 1 ? n , an ? 2t ? 1, t ? N *

三.换元思想
例 4:(2009 年重庆高考试题)设 a1=2,an+1= 数列基本问题 [分析解答]:由 bn=| an ? 2 | ? b1=4,且 bn+1=| an ?1 ? 2 |=|
an ? 1 an ?1 ? 1
2 ?2 an ? 1 2 ?1 an ? 1

2 an ? 1

,bn=| an ? 2 |,n∈N*,则数列{bn}的通项 bn=
an ? 1

. 3

|=2| an ? 2 |=2bn ? 数列{bn}是以 4 为首项,公
an ? 1

比为 2 的等比数列 ? bn=2n+1. [思想方法]:己知数列{an}满足:a1=a,an+1=f(an),且 bn=g(an)求数列{bn}的通项公式 bn.解决该问题的基 本思想有:一是由 bn=g(an) ? b1=g(a1),bn+1=g(an+1),并 an+1=f(an)把代入,可得 bn 与 bn+1 的关系式,求通项 bn; 二是由 bn=g(an),求得 an=h(bn),代入 an+1=f(an),可得 bn 与 bn+1 的关系式,求通项 bn. [备选题库]: 1.(2004 年上海春招试题)在数列{an}中,a1=3,且对任意大于 1 的正整数 n,点(
an , an ?1 )在直线 x-y- 3 =0 上,则 an=

.

2.(2007 年天津高考试题)在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*,bn=an-n,则 bn= . 3.(2007 年山东高考试题)己知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,bn=lg(an+1),则 bn= 4.(2009 年全国Ⅰ高考试题)在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+ )an+ 5.(2008 年全国Ⅰ高考试题)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n,bn= 6.(2009 年陕西高考试题)己知数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2=
1 n
n ?1 2n an

.

,bn=

an ,则 bn= n

.

2 n ?1

,则 bn=

.
.

an ? an ?1 ,n∈N*,bn=an+1-an,则 bn= 2

四.基本数列
例 3:(2006 年福建高考试题)己知数列{an}满足:a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则 an= . [分析解答]:因 an+2=3an+1-2an, ? an+2-an+1=2(an+1-an),令 bn=an+1-an ? b1=2,且 bn+1=an+2-an+1 ? bn+1=2bn ? 数列 n {bn} 是 以 2 为 首 项 , 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ? bn=2n ? an+1-an=2 ? an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ ? +(an-an-1)=1+2+22+?+2n-1=2n-1. [思想方法]:利用等差、等比数列的通项及求和公式,求递推数列的通项是解决递推数列的基本手段,关 键是把递推关系式 an+1=f(an,?)等差变形到某数列是等差,或等比数列,然后利用换元法逐步求出数列 的通项. [备选题库]: 1.(2009 年福建高考试题)己知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(
an ,an+1)在函数 y=x2+1 的图象上,则 an=

.

2.(2006 年福建高考试题)己知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+1,则 an= 3.(2007 年全国Ⅱ高考试题)设数列{an}的首项 a1∈(0,1),an= 4.(2007 年全国Ⅰ高考试题)己知数列{an}中,a1=2,an+1=(

. . . .

3 ? an ?1 (n≥2),则 an= 2

2 -1)(an+2),则 an=

5.(2002 年第十三届希望杯数学竞赛试题)己知数列{an}中,an+1= 6.(2008 年陕西高考试题)己知数列{an}的首项 a1= ,an+1=
3 5

1 an ,且 a9= ,则 a2002= 7 3an ? 1

3an ,则 an= 2an ? 1

.

五.递推变换
例 5:(1992 年全国高中数学联赛试题 )设数列 a1,a2,?,an,?满足 a1=a2=1,a3=2,且对任意自然数 n,都有 anan+1an+2≠1,又 anan+1an+2an+3= an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是 . 4 数列基本问题 [分析解答]:由 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3 ? an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4,两式相减得 an+1an+2 an+3(an+4-an)=an+4-an ? an+4=an ? 数列{an}是以 4 为周期的周期数列;又因 a1a2a3a4= a1+a2+a3+a4 ? a4=4 ? a1 +a2+?+a100=25(1+1+2+4)=200. [思想方法]:对递推关系式进行等价转化是解决递推数列问题的关键,递推关系式的变换包括两种途径: 一是对递推关系式自身进行等价转化,目标是构造等差,或等比数列,然后利用换元法逐步求出数列的通 项;二是由递推关系式,向前,或向后递推一步,得到另一个递推关系式,然后利用这两式进行运算,目标是 简化递推关系式. [备选题库]: 1.(2002 年上海高考试题)若数列{an}中,a1=3,且 an+1=an2(n 是正整数),则数列{an}的通项 an= . 2 2 2.(2000 年全国高考试题)设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)a n+1-na n+an+1an=0(n=1,2,3,?),则它的通项公式是
an= .
1 ? an (n=1,2,?),则 an=

3.(2008 年全国高中联赛河北初赛试题)己知数列{an}满足 a1=0,an+1=an+1+2

. .

4.(2006 年北京市高一数学竞赛试题)设递增数列{an}满足 a1=6,且当 n≥2 时,an+an-1= 5.(2005 年重庆高考试题)数列{an}满足 a1=1,8an+1an-16an+1+2an+5=0,则 an= 6.(2007 年江西高考试题)己知数列{an}满足:a1= ,an+1=
3 2

9 +8,则 a70= an ? an ?1

. .

3nan ,则 an= 2an ? n ? 1

六.归纳猜测
例 6:(2009 年湖南高考试题)将正△ABC 分割成 n2(n≥2,n∈N*)个 A A 全等的小正三角形(图 1,图 2 分别给出了 n=2,3 的情形),在每个 三角形的顶点各放置一个数,使位于△ABC 的三边及平行于某一 B C B C 边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别依次成等差 (图 1) (图 2) 数列.若顶点 A,B,C 处的三个数的和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n),则有 f(2)=2,f(3)= ,f(n)= [分析解答]:设点 A,B,C 处的数分别为 a,b,c,则 a+b+c=1.①f(2)=2=
1 3 2 3 ( 2 ? 1)(2 ? 2) 6

.

;②当 n=3 时,AB 上的数

分别为 a,a+ (b-a),a+ (b-a),b,其和为 2(a+b),同理可得 BC,CA 边上数的和分别为 2(b+c),2(c+a), 且中心上的数为 (a+b+c) ? f(3)=2(a+b)+2(b+c)+2(c+a)+ (a+b+c)-(a+b+c)= n=4 时 ,AB,BC,CA 边 上 数 的 和 分 别 为
5 2 5 2 5 2 5 2 1 3 1 3 10 3

=

(3 ? 1)(3 ? 2) 6

; ③当

(a+b),

5 2

(b+c),

5 2

(c+a), 且 △ ABC 内 的 数 的 和

=a+b+c ? f(4)= (a+b)+ (b+c)+ (c+a)+(a+ b+c)-(a+b+c)=5=
( 4 ? 1)(4 ? 2) 6

;④f(n)=

( n ? 1)(n ? 2) 6

.

[思想方法]:归纳推理是研究数列问题的重要手段 ,基本特点是:首先根据题意求出数列的前几项 ,并对 前几项进行变形,使之成为关于项数 n 的函数 f(n),由此猜测数列的通项 an=f(n).

[备选题库]: 1.(2008 年湖北高考试题)观察下列各式: ? i = 1 n2+ 1 n; ? i 2 = 1 n3+ 1 n2+ 1 n; ? i 3 = 1 n4+ 1 n3+ 1 n2; ? i 4 = 1 n5+ 1 n4
n n n n i ?1

2

2

i ?1

3

2

6

i ?1

4

2

4

i ?1

5

2

+ n3-

1 3

n n n 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 n; ? i 5 = n6+ n5+ n4- n2; ? i 6 = n7+ n6+ n5- n3+ n;?; ? i k =ak+1nk+1+aknk+ak-1nk-1+ak-2nk-2+?+ 30 6 2 12 12 7 2 2 6 42 i ?1 i ?1 i ?1

a1n+a0,可以推测,当 k≥2(k∈N*)时,ak+1=

1 1 ,ak= ,ak-1= k ?1 2

,ak-2=

.

数列基本问题 2.(2005 年广东高考试题)己知数列{xn}满足:x2=
x1 1 ,xn= (xn-1+xn-2),n=3,4,?,则 xn= 2 2

5
. 个

3.(2004 年上海春季招生试题)根据下列 5 个图形及其相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有
点.

(1)

(2)

(3) ;当 n>4 时,f(n)=

(4) (用 n 表示).

(5)

4.(2005 年广东高考试题)设平面内有 n 条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不共点.若用
f(n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f(4)=

5.(2006 年广东高考试题)在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三
棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个球;第 2、3、4、?堆最底层 (第一层)分别按图中所示的方式固定摆放.从第二层开始每层的小 球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球.以 f(n)表 示第 n 堆的乒乓球总数.则 f(3)= 所确定的直线共有 F(n)= ;f(n)= (答案用 n 表示). ,

6.(2007 年广东高考试题)如果一个凸多面体是 n 棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点
条.这些直线中共有 f(n)对异面直线,则 f(4)= (答案用数字或 n 的解析式表示).

七.求和问题
例 7:(2006 年北京高考试题)设 f(n)=2+24+27+210+…+23n+1(n∈N*),则 f(n)=(
2 n (A) (8 -1) 7

) (D)
2 n+1 (8 -1) 7

(B)
4 7

2 n+1 (8 +1) 7
10 3n+1

(C)

2 n-1 (8 -1) 7

[ 分 析 解 答 ]: 数 列 2,2 ,2 ,2 , ? ,2
2 n-1 f(n)= 7 (8 -1).

是 等 比 数 列 , 且 首 项 为 2, 公 比 为 8, 项 数 是 n+1, 所 以

[思想方法]:数列求和的常用公式有:①1+2+?+n= +n = [
3

n ( n ? 1) 2

,1 +2 +3 +?+n = 1 n(n+1)(2n+1),1 +2 +3 +?
6

2

2

2

2

3

3

3

n ( n ? 1) 2 ] ;②等差、等比数列求和公式.使用公式时,一是判定数是等差、还是等比数列, 2

二是确定

首项,三是求出公差或公比,四是认定项数. [备选题库]: 1.(2004 年广东高考试题)设 f(n)=
(A)1 (B)
1 2 3 2n ? 1 + -?+ ,则 f(n)=( n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 1 n ?1

) (D)
2n ? 1 n ?1

(C)

2n n ?1

2.(2004 年重庆高考试题)如图 P1 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P1 的左下端剪去一个半径为 1 的半圆后得到圆形
2

P2,然后依次剪去一个更小半圆(其直经为前一个被剪掉半圆的半径)得到圆形 P3、P4、?、Pn、?,记纸板 Pn 的面积为 Sn, 则 Sn= . P1 P2
?n

P3

P4 .

3.(2003 年北京高考试题)(文)若数列{an}的通项公式是 an= 3 6 4.(2003 年北京高考试题)(理)若数列{an}的通项公式是 an= 3

? (?1) n 3?n ,则数列{an}的前 n 项和 Sn= 2

数列基本问题
?n

?2

?n

? (?1) (3 2

n

?n

?2 )

?n

,则数列{an}的前 n 项和 Sn=

.

5.(2005 年全国高中联赛河南初赛试题 ) 设数列 {an} 满足 a1=3, 且 an+1=an2-(3n-1)an+3, 则数列 {an} 的前 11 项的和
S11=( ) (A)198 (B)55
n

(C)204 a1 +a2 +?+an2=
2 2

(D)188 .

6.(典型题)在数列{an}中,对任意正整数 n,a1+a2+?+an=2 -1,则

八.分段求和
例 8:(2009 年江西高考试题)数列{an}的通项 an=n2(cos2 (A)470 [分析解答]:因 an=n2(cos2 2? 3
n? 3 n? 3

-sin2

n? 3

),其前 n 项和为 Sn,则 S30 为( (D)510 4? 3

)

(B)490 -sin2
1 2
n? 3

(C)495 )=n2cos
1 2
2 n? 2 ? a3n-2+a3n-1+a3n=(3n-2) cos(2nπ 3

)+(3n-1)2cos(2nπ

)+(3n)2cos2nπ =(3n-2)2(- )+(3n-1)2(- )+(3n)2=9n-

5 10(10 ? 1) ? S30=9 2 2

- × 10=470,故选(A).

5 2

[思想方法]:分段求和有两种形式:一是分析寻找数列前 2 项和,或前 3 项和的通项,由此通项分析求解; 二是分别分析该数列的奇数项、偶数项构成的数列的特点,并求其和,然后分析求解该数列的和. [备选题库]: 1.(2004 年北京高考试题)定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个
数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.己知数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,那么 a18 的值为 列的前 n 项和 Sn 的计算公式为 2S2004+S2005 的值是 (A)ncosθ +n(n+1)sinθ . ) (B)(n+1)cosθ +n(n+1)sinθ
1 5
6 5 n ?1

,这个数

.

2.(2005 年全国高中联赛天津初赛试题)在数列{an}中,a1=2,an+an+1=1(n∈N*).若 Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S20033.(2003 年第十四届希望杯数学竞赛试题)数列{an}定义为:a1=cosθ ,an+an+1=nsinθ +cosθ ,n≥1,则 S2n+1 等于(
(C)(n+1)cosθ +(n +n-1)sinθ ,n∈N*,则 S2n+1= . . .
2

(D)ncosθ +(n +n-1)sinθ

2

4.(2004 年湖南高考试题)数列{an}中,a1= ,an+an+1=

5.(2005 年天津高考试题)(文)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则 S10= 6.(2005 年天津高考试题)(理)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则 S100=

九.裂项求和
例 9:(1992 年全国高中数学联赛试题)对于每个自然数 n,抛物线 y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn|表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值为( (A)
1991 1992

) (D)
1993 1992

(B)

1992 1993 1 n

(C)
1 1 ? |AnBn|= n ?1 n

1991 1993

[分析解答]:令(n2+n)x2-(2n+1)x+1=0 ? x= ,

-

1 ? |A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|=(1n ?1

1 2

)+( 1 - 1 )+?+(
2 3

1 1992

-

1 1993

)=1-

1 1993

= 1992 .故选(B).
1993

[思想方法]:裂项求和法是数列求和的重要方法之一,基本思想是把所求数列的通项 an 分裂成两项,即求 f(n),使得 an=f(n)-f(n+1),由此可得数列的前 n 项和 Sn=f(1)-f(n+1). [备选题库]: 1.(2007 年福建高考试题)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= 数列基本问题
(A)1 (B)
5 6

1 ,则 S5 等于( n(n ? 1)

)

7
(C)
1 6

(D)

1 30

2.(2006 年北京市高一数学竞赛试题)己知数列 a1= 1 ,a2= 1 + 2 ,?,an=
2 3 3

1 2 n 1 1 ? +?+ ,?,设 Sn= + + n ?1 n ? 2 n ?1 a1a2 a2 a3

?+

1 ,则 S2006 最接近的整数为( an an ?1

) (C)4
1 (n ? 1) n ? n n ? 1

(A)2

(B)3

(D)5 (n∈N+),则其前 n 项和

3.(2009 年全国高中联赛河南初赛试题)己知数列{an}的通项公式为 an=
Sn= .

4.(2001 年第十二届希望杯数学竞赛试题)己知数列{an}的通项公式为 an=
{bn}前 n 项和 Sn= .
n

2n ? 1 ,bn=

2n (n=1,2,3,?),则数列 an ? an ?1

5.(2009 年全国高中联赛浙江初赛试题)对任意正整数 n,数列{an}满足 ? ai =n3,则
i ?1

2009 i ?2

?

1 = ai ? 1

.

6.(1999 年上海市高中数学竞赛试题)数列 x1,x2,?满足 x1= 数部分是 .

1 1 1 1 ,xk+1=xk2+xk(k∈N),则和 + +?+ 的整 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x1999 ? 1

十.错位相减
例 10:(2004 年湖北高考试题)己知数列{an}的前 n 项和 Sn=a[2-( ) ]-b[2-(n+1)( ) ](n=1,2,?), 其中 a,b 为非零常数,则存在数列{xn},{yn}使得( (A)an=xn+yn,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列 数列 (C)an=xnyn,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列 数列 [ 分 析
1 2
n

1 2

n-1

1 2

n-1

) (B)an=xn+yn,其中{xn},{yn}均为等差 (D)an=xnyn,其中{xn},{yn}均为等比
n-1





]:
1 2


n

Sn=a[2-(

1 2

) ]-b[2-(n+1)(

1 2

) ]

n-1

?

S1=a,



Sn+1=a[2-( ) ]-b[2-(n+2)( ) ] ? an+1=Sn+1-Sn= a[2-( ) ]-b[2-(n+2)( ) ]-a[2-( ) ]+b[2-(n+1)( ) ]=(-bn+a)( )
1 2
n-1

1 2

n

1 2

n

1 2

n-1

1 2

n-1

1 2

n

? an=(-bn+b+a)(

1 2

) ,且

n-1

a1=S1=a 适合该通项公式,令 xn=-bn+b+a,yn=( ) ,则{xn}为等差数列,{yn}为等比数列.故选(C). [思想方法]:错位相减法是求数列前 n 项和的又一重要方法,也是高考的重点.如果 an=(an+b)q (q≠1),
n

数列{an}的前 n 项和,可用错位相减法求解.数列{anbn}的前 n 项和 Sn=(An+B)q -B ? 数列{an}是等差数列, 且{bn}是等比数列. [备选题库]: 1.(原创题)数列{n2n}的前 n 项和 Sn 为( )
(A)(n+1)2 +2
n+1

n

(B)(n+1)2 -2

n+1

(C)(n-1)2 -2

n+1

(D)(n-1)2 +2 .

n+1

2.(原创题)己知数列{an}是等差数列,且数列{anqn}(q≠0,1)的前 n 项和 Sn=(An+1)qn+B,则 B= 3.(原创题)如果数列{an}满足 a1+3a2+5a3+?+(2n-1)an=(2n-3)2n+3,则 an= . 2 n-1 n 4.(原创题)如果数列{an}满足 a1+2a2+2 a3+?+2 an=(2n-3)2 +3,则 an= . 5.(原创题)数列{(2n+1)2n}的前 n 项和 Sn=
.
3

6.(原创题)数列{(3n-1)( 1 )n}的前 n 项和 Sn=

.

十一.递推求和
8 数列基本问题 例 11:(1994 年全国高中数学联赛试题)己知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn, 则满足不等式|Sn-n-6|< (A)5
1 125

的最小正整数 n 是( (B)6

) (C)7
1 3

(D)8

[分析解答]:由 3an+1+an=4 ? 3(an+1-1)+(an-1)=0 ? an+1-1=- (an-1) ? 数列{an-1}是以 a1-1=8 为首项,公比为 - 的等比数列 ? 数列{an-1}的前 n 项和 Sn-n=6[1-(- )n].所以|Sn-n-6|<
1 3 1 3

1 1 n 1 ?( ) < ? 最小正整数 n=5. 125 125 3

[思想方法]:求数列前 n 项和的首要条件是求数列通项,求解递推数列前 n 项和的关键是求数列的通项. [备选题库]: 1.(1997 年全国高中数学联赛试题)己知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,记 Sn=x1+x2+?+xn.则下列结论正确
的是( ) (B)x100=-b,S100=2b-a (C)x100=-b,S100=b-a (D)x100=-a,S100=b-a
2 ,则此数列的前 2009 项的和为 .

(A)x100=-a,S100=2b-a

2.(2009 年全国联赛江苏初赛试题)设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,?),a2009=

3.(2006 年福建高考试题)数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的前 n 项的和 Sn= 4.(2004 年全国高中数学联赛试题)数列 a0,a1,a2,?,an,?,满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3,则 5.(2007 年天津高考试题)数列{an}满足:a1=2,an+1=4an-3n+1,则数列{an}的前 n 项的和 Sn=
1 2
2

.
i ? 0 ai

?

n

1

=

.

. .

6.(2005 年江西高考试题)数列{an}满足:a1=1,an+1= an(4-an),bn= log 1 (2 ? an ) 则数列{bn}的前 n 项的和 Sn=

十二.通项求和
例 12:(2006 年全国高中联赛河北初赛试题)己知正项数列{an}满足:a13+a23+?+an3=Sn2,其中 Sn 是{an}的 前 n 项和,则{an}的通项公式为 . 3 3 3 2 [分析解答]:在 a1 +a2 +?+an =Sn 中,令 n=1 得 a1=1;又因 a13+a23+?+an3+an+13=Sn+12 ? an+1