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宁夏银川一中2012届下学期高三年级第六次月考数学试卷(理科)带详细解答



宁夏银川一中 2012 届下学期高三年级第六次月考数学试卷(理科)
2012.2

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为 选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题

卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。

参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,? x n 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

1 V ? Sh 3
其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4? R2

4 V ? ? R3 3

其中 R 为球的半径

第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | ?5 ? 2 x ? 1 ? 3, x ? R} , B ? {x | x( x ? 8) ? 0, x ? Z } ,则 A ? B ? A. ? 0, 2 ? B. ? 0, 2 ? C. ?0, 2? D. ?0,1, 2?

A : ?2 ? x ? 2, B : 0 ? x ? 8, x ? Z , A I B ? {0,1,2}, 答案选D
1

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这个题目难度不大,但是,注意其中隐藏条件,整数,容易出错。 2.若 i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是 1 ,复平面内点 Z 表示复数 z ,则复数

z 的共轭复数是 1 ? 2i

A. ?

3 i 5

B. i D. i

3 5

C. ?i

Z ? 2 ? i,

Z 2?i ? ? i, 其共轭复数为-i,选C 1 ? 2i 1 ? 2i ax 在点 (?1,?a) 处的切线方程为 2 x ? y ? b ? 0 ,则 x?2
B. a ? 1, b ? 1 C. a ? ?1, b ? ?3 D. a ? ?1, b ? ?2

3.曲线 y ?

A. a ? 1, b ? ?1

?2 ? a ? b ? 0 ? a ? b ? 2, 答案选B
4.设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , S k ? 2 ? S k ? 36 ,则 k ? A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

Sk ? 2 ? S k ? ak ?1 ? ak ? 2 ? 36 ? 17 ? 19 ak ? 15 ? a8 , k ? 8
5.已知命题

p1 : ?x ? R ,函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像关于直线 x ? ?

?
3

对称,假命题

p2 : ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) 的图像关于原点对称,真命题
则在命题 q1 : p1 ? p2 真命题, q2 : p1 ? p2 假命题, q3 : (?p1 ) ? p 2 真命题和 q4 :

p1 ? (?p 2 ) 假命题中,真命题是
A. q1 , q3 答案选 A 6.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图是全等的矩形如图所示,则这个几何体可以 为:①三棱柱;②四棱柱;③圆柱其中真命题的个数是
2

B. q2 , q3

C. q1 , q4

D. q2 , q4

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A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

可能是三棱柱(侧视图为直角三角形) ,四棱柱(如长方体) ,圆柱(侧视图为圆) ,答案 选D 7.运行右面的程序,如果输入的 n 是 6 ,那么输出的 p 是

A. 120

B. 720

C. 1440

D. 5040

P ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 720
8.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均和圆 C: x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相 2 a b

切,则该双曲线离心率等于 A.

3 5 5
3b a ?b
2 2

B.

6 2

C.

3 2
3a 5 3 5 5

D.

5 5

?c : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4, ? 2 ? 4a 2 ? 5b 2 , c ? a 2 ? b 2 ? ,e ?

9.如图,长方形的四个顶点为 O(0,0), A(4,0), B(4,2), C (0,2) ,曲线 y ?

x 经过点 B .现

将一质点随机投入长方形 OABC 中,则质点落在图中阴影区域的概率是

3

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A.

5 12

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

?

4 0

16 2 3 2 16 2 4 xdx ? x 2 |0 ? ?8 ? , p ? 3 ? 3 3 3 4? 2 3

10.三棱锥 S ? ABC 的顶点都在同一球面上,且 SA ? AC ? SB ? BC ? 2 2 , SC ? 4 , 则该球的体积为` A.

256 ? 3

B.

32 ? 3

C. 16?

D. 64?

4 32? ,答案选 B 很明显,SC中点即为球心,R=2,V ? ? R3 ? 3 3
11.若 a 满足 x ? lg x ? 4 , b 满足 x ? 10 ? 4 ,函数 f ( x) ? ?
x

2 ? ? x ? (a ? b) x ? 2, x ? 0

? ?2,

x?0



则关于 x 的方程 f ( x) ? x 的解的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

a ? lg a ? 4 ? lg a ? 4 ? a ? x ? a, b分别为y=4-x与lgx,10 交点 b ? 10b ? 4 ? 10b ? 4 ? b ? a?b ? 4 ? x 2 ? 4 x ? 2, x ? 0 f ( x) ? ? ?2, x ? 0 由图像知,f ( x) ? x有3个交点,答案选C

4

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12.若 a, b, c 均为单位向量,且 a ? b ? ? A. 2 B.

1 ,c ? xa ? yb ( x, y ? R ) ,则 x ? y 的最大值是 2
D. 1

3

C. 2

1 c 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy (? ) ? 1 2 x ? y 2 ( x ? y )2 ? x ? y ? xy ? 1 ? ( x ? y ) ? 3xy ? ( x ? y ) ? 3( ) ? ,x ? y ? 2 2 4
2 2 2 2

选择题整体来说难度一般,最后 2 个题目有一定难度,但这几种题型,我在课堂上均有 所涉及,只是数字有所不同而已,希望大家能够看懂。

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.设 S n 是等比数列 {a n } 的前 n 项和,若 2a1 ? 3a 2 ? 1, a3 ? 3a 4 ,则 2S n ? a n ? .

1 1 1 q ? , 2a1 ? a1 ? 1 ? a1 ? , an ? n , 3 3 3 1 1 1? n 1? n 1 3 3 , 2S ? a ? 1 Sn ? ? ? n n 1 3 2 1? 3
14.每位学生可从本年级开设的 A 类选修课 3 门, B 类选修课 4 门中选 3 门,若要求两类课 程中各至少选一门,则不同的选法共有
3 3 3 C7 ? C3 ? C4 ?

种. (用数字作答)

7?6?5 ? 1 ? 4 ? 30 3? 2

15.设抛物线 C : y ? 16 x 的焦点为 F ,过点 Q(?4,0) 的直线 ? 与抛物线 C 相交于 A, B 两
2

点,若 | QA |? 2 | QB | ,则直线 ? 的斜率 k ?



y 2 ? 16 x ? 2 ? ? y ? 16ty ? 64 ? 0 x ? ty ? 4 ? 16t y A ? yB ? 16t ? 3 yB ? yB ? 3 y A yB ? 64 ? 3 yB 2 ? 3 ? 162 t 2 1 4 2 3 ? 2 ? ? k 2,k ? ? 9 t 3 3

16.下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据:
5

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因为儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高 为 .

y父 ? 173, y儿 =176, y儿 = y父 ? 3, y孙 = y儿 ? 3=182 ? 3 ? 185
注:注意这个表格,里面包含祖孙 3 代的身高信息,别弄错 爷 爷 173 父 亲 170 父 亲 170 老 师 176 老 师 176 儿 子 182
?

儿 子 182 孙 子 185
?

? ?bx?a, 参考公式: 回归直线的方程是: y
?

其中 b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

, a ? y ? b x ;其中 y i 是与 x i 对应的回归估计值. ? x)2
3

?

?

参考数据:

? (x
i ?1

3

i

? x ) 2 ? 18 , ? ( xi ? x )( y i ? y ) ? 18 .
i ?1

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,且满足 sin A ? 3 cos A ? 2 . (Ⅰ)求 A 的大小; sin A ? 3 cos A ? 2sin( A ?

?
3

) ? 2, A ?

?
6

.

(Ⅱ)现给出三个条件:① a ? 2 ; ② B ? 45? ;③ c ?

3b .

试从中选出两个可以确定 ?ABC 的条件,写出你的选择并以此为依据求 ?ABC 的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) .

选1, 2; b a ? ?b? sin B sin A SV ? 2? 1 2 2 2 ?2 2

1 1 7? 6? 2 ab sin C ? ? 2 ? 2 2 sin ?2 2? ? 3 ?1 2 2 12 4
6

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18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面为矩形,PA 是四棱锥的高,PB 与 DC 所成角为 45 ,
?

F 是 PB 的中点, E 是 BC 上的动点.

(Ⅰ)证明: PE ? AF ;

AF ? PB ? ? ? AF ? PBE ? AF ? PE AF ? BE ?
(Ⅱ)若 BC ? 2 BE ? 2 3 AB ,求直线 AP 与平面

PDE 所成角的大小.
垂面法。 记AB ? a, 则PA ? a, BC ? 2 3a, DE ? 2a 做AO ? DE于O,连接PO,则?APO为所求线面角,记为? 1 1 ? 2 3a ? a ? ? 2a ? AO ? AO ? 3a 2 2 AO ? tan ? ? ? 3,? ? PA 3

19. (本小题满分 12 分) 城市的空气质量以其空气质量指数 API(为整数)衡量,指数越大,级别越高,说明 污染越严重,对人体健康的影响也越明显.根据空气质量指数 API 的不同,可将空气质 量分级如下表:
7

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为了了解某城市 2011 年的空气质量情况, 现从该城市一年空气质量指数 API 的监测数据库 中,用简单随机抽样方法抽取 30 个空气质量指数 API 进行分析,得到如下数据:

(Ⅰ)完成下面频率分布直方图,并求质量指数 API 的中位数大小;
频率 10 300
9 300 8 300 7 300 6 300

组距

5 300
4 300 3 300 2 300 1 300

O

41 51

61

71

81 91 101 111 API

中位数略 (Ⅱ)估计该城市一年中空气质量为优良的概率;

1?

2 14 = 30 15

(Ⅲ)请你依据所给数据和上述分级标准,对该城市的空气质量给出一个简短评价. 略 20. (本小题满分 12 分) 平面内与两定点 A1 ( ?2,0), A2 ( 2,0) 连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹, 加上 A1 , A2 两点,所成的曲线 C 可以是圆,椭圆或双曲线. (I)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系.

8

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y y x2 y 2 2 2 令P ( x, y ), 则k PA1 k PA2 ? m, ? ? m,mx ? y ? 4m.( x ? ?2), ? ?1 x?2 x?2 4 4m m ? 0时,为焦点在x轴的双曲线 ?1 ? m ? 0时,为焦点在x轴椭圆 m=-1时,以原点为圆心,2为半径的圆 m<-1时,为焦点在y轴上椭圆
(Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? (??,?1) ,对应的曲线为 C2 ,若 曲线 C1 的斜率为 1 的切线与曲线 C2 相交于 A, B 两点,且 OA ? OB ? 2 ( O 为坐标原点) ,求 曲线 C2 的方程.

y2 x2 ? ?1 ?4 m 4 |b| 设l : y ? x ? b与C1相切,则 ? 2, b ? ?2 2 2 y ? x?b ? 2 2 ? ? mx ? ( x ? b) ? 4m 2 2 mx ? y ? 4m ? (m ? 1) x 2 ? 2bx ? (8 ? 4m) ? 0 C1 : x 2 ? y 2 ? 4, C2 : x1 ? x2 ? 2b 8 ? 4m , x1 x2 ? ? m ?1 m ?1 y1 y2 ? ( x1 ? b)( x2 ? b) ? x1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? 8

x1 x2 ? y1 y2 ? 2 x1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? 8 ? ?

16 ? 8m 16 ? ?8? 2 m ?1 m ?1 ?8 m y 2 x2 ? ?6, ?8m ? ?6m ? 6, m ? ?3.C2 : ? ?1 m ?1 12 4

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (1 ? a) x ? a ln x ,其中 a ? 0 . 2

(Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的极小值点;

a ( x ? 1)( x ? a) ? x x a ? 1时,x ? a为极小值点;a ? 1时,无极值点, 0 ? a ? 1时,x =1为极小值点 f '( x) ? x ? (1 ? a) ?
(Ⅱ) 若曲线 y ? f ( x ) 在点 A(m, f (m)), B(n, f (n)) 处的切线都与 y 轴垂直, 问是否存在常 数 a ,使函数 y ? f ( x ) 在区间 [m, n] 上存在零点?如果存在,求 a 的值:如果不存在,请说 明理由.

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很明显,m, n就是1, a, 无论如何,在[ m, n]上始终单调 1 a2 1 a f (1) f (a ) ? [ ? (1 ? a )][ ? a ? a 2 ? a ln a ] ? a (a ? )( ? 1 ? ln a ) 2 2 2 2 x 1 1 x?2 令g ( x) ? ? 1 ? ln x, 则g '( x) ? ? ? 2 2 x 2x g ( x) ? g (2) ? 1 ? 1 ? ln 2 ? 2 ? ln 2 ? 0, 即f (1) f (a ) ? 0,f ( x )在[m, n]上无零点
请考生在 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ABCD 是圆的内接四边形, AB // CD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于

E 点,

证明: (Ⅰ) ?DBC ? ?AEC ; (Ⅱ) BC 2 ? BE ? CD . 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程.

1 ? x ? 1 ? t, ? ? 2 已知直线 ? : ? (t 为参数), 曲线 C1 : ? y ? 3 t. ? 2 ?
(Ⅰ)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ;

? x ? cos ? , ? ? y ? sin ? ,

( ? 为参数).

? : y ? 3x ? 3, C1 : x 2 ? y 2 ? 1
d? 3 3 ,| AB |? 2 1 ? ( ) 2 ? 1 2 2
3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到 2 2

(Ⅱ) 若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值.

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1 ? x ? cos ? ? 2 ? C2 : ? , ? y ? 3 sin ? ? ? 2 3 3 6 cos? ? sin ? ? 3 sin(? ? 45') ? 3 2 2 2 d ?| |? 2 2 6 3? 2 ? 2 3? 6 d min = 2 4
24.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设函数 f ( x) ?| x ? 1 |, g ( x) ?| x ? 2 | . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? g ( x) ? 2 ; (Ⅱ)对于实数 x, y ,若 f ( x) ? 1, g ( y) ? 1 ,求证 | x ? 2 y ? 1 |? 5 .

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