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2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题13 数列通项及求和



第三单元

数列

专题十三 专题十四 专题十五 专题十六

数列通项及求和 等差、等比数列的性质 数列中的等量关系 数列中的不等关系

第三单元

数列

第三单元 │ 知识网络构建
知识网络构建

第三单元 │ 考情分析预测
考情分析预测 考向预测 年的高考题中, 回顾 2008~2011 年的高考题中, ~ 数列作为有 2 个 C 级要求 的章节,是每一年必考的.其中在填空题中,会出现等差、 的章节,是每一年必考的.其中在填空题中,会出现等差、等 比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差, 比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差,等比 数列的性质论证问题, 年难度为中档题, 数列的性质论证问题,只有 2009 年难度为中档题,其余三年皆 为难题. 为难题. 年的高考题中,数列的考查变化不大: 预计在 2012 年的高考题中,数列的考查变化不大: (1)填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 填空题依然是考查等差 (2)在解答题中,依然是考查等差、等比数列的综合问题, 在解答题中, 在解答题中 依然是考查等差、等比数列的综合问题, 可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证.

第三单元 │ 考情分析预测
备考策略
数列问题历来是江苏卷压轴题的必考内容 数列问题历来是江苏卷压轴题的必考内容,解答题中难 度很大,填空题基本上为基础题, 度很大,填空题基本上为基础题,所以在今后的复习中需要 关注以下几点: 关注以下几点: 1.等差、等比数列的基本量的求解. .等差、等比数列的基本量的求解. 2.等差、等比数列的性质如等差(比)中项. .等差、等比数列的性质如等差 比 中项. 中项 3.多采取从特殊到一般研究问题的角度. .多采取从特殊到一般研究问题的角度. 4.恒等问题和不等关系基本论证的训练. .恒等问题和不等关系基本论证的训练.

第三单元 │ 考情分析预测

专题十三

数列的通项及求和

专题十三 数列通项及求和

专题十三 │ 主干知识整合
主干知识整合 1.数列通项求解的方法 . 公式法; 根据递推关系求通项公式有: (1)公式法; 根据递推关系求通项公式有: 叠加法; 公式法 (2)根据递推关系求通项公式有 ①叠加法; 叠乘法; 转化法. 不完全归纳 不完全归纳法即从特殊到一般的 ②叠乘法;③转化法.(3)不完全归纳法即从特殊到一般的 ?S1(n=1) = ) ? 归纳法; 用 求解. 归纳法;(4)用 an=? 求解. ?Sn-Sn-1(n≥2) ≥ ) ? 2.数列求和的基本方法: .数列求和的基本方法: (1)公式法; (2)分组法; (3)裂项相消法; (4)错位相减 公式法; 分组法 分组法; 裂项相消法 裂项相消法; 错位相减 公式法 倒序相加法. 法;(5)倒序相加法. 倒序相加法

专题十三 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 公式法

如果所给数列满足等差或者等比数列的定义,则可 如果所给数列满足等差或者等比数列的定义, 以求出 a1,d 或 q 后,直接代入公式求出 an 或 Sn.

专题十三 │ 要点热点探究

已知正数数列 例 1 (1)已知正数数列 n}对任意 p,q∈N*,都有 ap 已知正数数列{a 对任意 , ∈ , +q=ap·aq,若 a2=4,则 an=________. ,(2)数列 n}为正项等比数列,若 a2=1,且 an+an+1 数列{a 为正项等比数列 为正项等比数列, 数列 , =6an-1(n∈N,n≥2),则此数列的前 n 项和 Sn=________. ∈ ,≥ ,

专题十三 │ 要点热点探究
(1)2
n

(2)2

n-1

1 -2

【解析】 (1)由 ap+q=ap·aq,a2=4, 解析】 由 ,

ap + 1 ap+1=ap·a1,即 a =a1=2,即 可得 , p - - 数列{a 为等比数列 为等比数列, 数列 n}为等比数列,所以 an=a1·qn 1=2·2n 1=2n. (2)设等比数列的公比为 q,由 an+an+1=6an-1 知,当 n 设等比数列的公比为 , 再由数列{a 为正项等比数列 为正项等比数列, =2 时,a2+a3=6a1.再由数列 n}为正项等比数列,a2=1, 再由数列 , 6 得 1+q=q, + = 化简得 q2+q-6=0, - = , 解得 q=- 或 q=2.∵q>0, =-3 = ∵ , =- 1 (1-2n) 2 - 1 1 ∴q=2,∴a1= ,∴Sn= = , = 2 n- 1 - . 2 2 1-2 - a2=a2=4?a1=2,所以 ? , 1

专题十三│ 专题十三│ 要点热点探究

【点评】 这两题都是由“ap+q=ap·aq”和“an+an+1=6an- 点评】 这两题都是由“ 推出其他条件来确定基本量,不过第(1)小问中首先要确定该 小问中首先要确定该 1”推出其他条件来确定基本量,不过第 数列的特征,而第(2)小问已经明确是等比数列 小问已经明确是等比数列, 数列的特征,而第 小问已经明确是等比数列,代入公式列方 程求解即可. 程求解即可.

专题十三 │ 要点热点探究
已知{a 是等差数列 是等差数列, 已知 n}是等差数列,a10=10,前 10 项和 S10=70, , , 则其公差 d=________. =

10(a1+a10) ( 2 解析】 方法一: S 70, =70, , 3 【解析】 方法一:因为 10= ,所以 2 即 a1+a10=14.又 a10=10,所以 a1=4,故 9d=10-4=6,所以 d 又 , , = - = , 2 = 3. , ?a1=4, ?a1+9d=10, ? = , ? 方法二: 方法二:由题意得? 解得? 2 ?10a1+45d=70, = , = ? ?d=3. ?

专题十三 │ 要点热点探究
? 探究点二 根据递推关系式求通项公式
如果所给数列递推关系式,不可以用叠加法或叠乘法, 如果所给数列递推关系式,不可以用叠加法或叠乘法,在 填空题中可以用不完全归纳法进行研究. 填空题中可以用不完全归纳法进行研究.

5an-13 (1)已知数列 已知数列{a 满足 (n 例 2 (1)已知数列 n}满足 a1=2,an+1= , 3an-7 项的和为________. ∈N*),则数列 n}的前 100 项的和为 ,则数列{a 的前 . (2)已知数列 已知数列{a , (2)已知数列 n},{bn}满足 a1=1,a2=2,b1=2,且 满足 , , , 对任意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时,都有 ai+bj ,, ,, += + 1 2010 的值是________. =ak+bl,则2010 ∑ (ai+bi)的值是 的值是 . i= 1

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5an-13 (1)200 (2)2012 【解析】 (1)由 a1=2,an+1= 解析】 (n∈N*)得 由 , ∈ 得 3an-7 5×2-13 5×3-13 5×1-13 × - × - × - a2 = =3,a3= , =1,a4= , =2,则{an}是周期 , 是周期 3×2-7 3×3-7 3×1-7 × - × - × - 的数列, 为 3 的数列,所以 S100=(2+3+1)×33+2=200. + + × + = (2)由题意得 a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5;b1=2,b2=3, 由题意得 , , , , ; , , b3=4,b4=5,b5=6.归纳得 an=n,bn=n+1;设 cn=an+bn,cn=an , , 归纳得 , + ; +bn=n+n+1=2n+1,则数列 n}是首项为 c1=3,公差为 2 的等差数 + + = + ,则数列{c 是首项为 , 问题转化为求数列{c 的前 项和的平均数. 列,问题转化为求数列 n}的前 2010 项和的平均数. 2010×(3+4021) × + ) 1 2010 1 所以2010 ∑ (ai+bi)=2010× = =2012. 2 i=1

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点评】 根据数列的递推关系求数列的通项, 【点评】 根据数列的递推关系求数列的通项,除了常 规的方法外,还可以用不完全归纳法进行研究,如数列周期 规的方法外,还可以用不完全归纳法进行研究, 性的研究. 性的研究.

专题十三 │ 要点热点探究
? 探究点三 数阵问题
数阵问题主要指的是不仅仅是将数排成一列的数列,而是 数阵问题主要指的是不仅仅是将数排成一列的数列, 既有行的排列也有列的排列的数字规律变换的研究. 既有行的排列也有列的排列的数字规律变换的研究.
例 3 所有正奇数如下数表排列 表中下一行中的数的个数 所有正奇数如下数表排列(表中下一行中的数的个数 是上一行中数的个数的 2 倍): : 第一行 1 第二行 3 5 第三行 7 9 11 13 …… 个数是________. 则第 6 行中的第 3 个数是 .

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67 【解析】 先计算第六行第三个数为正奇数排列的第几个 解析】 数, 1+2+4+8+16+3=34 得所求的数为第 34 个, 由 + + + + + = 所以 2×34 × -1=67. =

个数的研究, 【点评】 数阵问题中第 m 行的第 n 个数的研究,需要分两 点评】 步研究,第一步研究每一行的数变换规律, 步研究,第一步研究每一行的数变换规律,第二步再研究列的变 换规律.本题实为将一个等差数列分成了若干部分进行研究. 换规律.本题实为将一个等差数列分成了若干部分进行研究.

专题十三 │ 要点热点探究

下面的数组均由三个数组成, 它们是: (1,2,3), (2,4,6), 下面的数组均由三个数组成, 它们是: , , (3,8,11),(4,16,20),(5,32,37),…,(an,bn,cn). , , , . (1)请写出 cn 的一个表达式,cn=________; 请写出 的一个表达式, ; (2)若数列 n}的前 n 项和为 Mn, M10=________.(用数字 若数列{c 的前 则 用数字 若数列 作答) 作答

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cn=n+2n 2101 【解析】 由 1,2,3,4,5,…猜想 an=n;由 解析】 + , ; 2,4,8,16,32,…猜想 bn=2n; , 由每组数都是“前两个之和等于第三个” 由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想 cn=n+2n.从 + 从 10×(10+1) × + ) 2 10 而 M10 = (1 + 2 + … + 10) + (2 + 2 + … + 2 ) = + 2 2(210-1) ( ) =2101. 2-1 -

专题十三 │ 要点热点探究
? 探究点四 数列的特殊求和方法
数列的特殊求和方法中以错位相减法较为难掌握,其中通 数列的特殊求和方法中以错位相减法较为难掌握, 项公式{a 的特征为{a 是等差数列 是等差数列, 是等比数列. 项公式 nbn}的特征为 n}是等差数列,{bn}是等比数列. 的特征为 是等比数列
例 4 在各项均为正数的等比数列 n}中,已知 a2=2a1+3, 在各项均为正数的等比数列{a 中 , 成等差数列. 且 3a2,a4,5a3 成等差数列. (1)求数列 n}的通项公式; 求数列{a 的通项公式 的通项公式; 求数列 (2)设 bn=log3an,求数列 nbn}的前 n 项和 Sn. 求数列{a 设 的前

专题十三│ 专题十三│ 要点热点探究
【解答】 (1)设{an}公比为 q,由题意得 q>0, 解答】 设 公比为 , , , - ) , , ?a2=2a1+3, ?a1(q-2)=3, ?a1=3, 即? 2 解得? 且? - = , = ?3a2+5a3=2a4, ?2q -5q-3=0, ?q=3
- 所以数列{a 的通项公式为 所以数列 n}的通项公式为 an=3·3n 1=3n,n∈N*. ∈ (2)由(1)可得 bn=log3an=n,所以 anbn=n·3n. 由 可得 , 所以 Sn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n,① + 2 3Sn=1·3 +2·33+3·34+…+n·3n+1.② ② + 2 3 =-3- ②-①得,2Sn=- -(3 +3 +…+3n)+n·3n 1 + =-(3+32+33+…+3n)+n·3n+1, =- + + 3(1-3n) ( - 3 + + =- +n·3n 1=2(1-3n)+n·3n 1 - + 1-3 - 1? n+1 3 ? ? - ? =2+?n-2?3 . ? ? - 3 2n-1 所以数列{a 所以数列 nbn}的前 n 项和为 Sn=4+ 4 3n+1. 的前 -

?a1=-6, ? 5 或? 1 =- ?q=-2 ?

(舍去 , 舍去), 舍去

专题十三│ 专题十三│ 要点热点探究

点评】 本题考查等差数列、等比数列的基础知识, 【点评】 本题考查等差数列、等比数列的基础知识, 第(1)问求数列的通项公式,主要是用解方程组的方法求出首 问求数列的通项公式, 问求数列的通项公式 项和公比,注意取舍; 项和, 项和公比,注意取舍;第(2)问,求数列的前 n 项和,主要考 问 查错位相减法.错位相减时要注意各项的位置要错开, 查错位相减法.错位相减时要注意各项的位置要错开,还要 的左边的系数要处理后, 注意 2Sn 的左边的系数要处理后,才算求出 Sn,最后还需要 进行检验. 用 n=1,2 进行检验. =

专题十三 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.数列通项公式的研究主要是研究相邻项之间的关系, .数列通项公式的研究主要是研究相邻项之间的关系, 江苏卷对递推关系的考查不多, 江苏卷对递推关系的考查不多 , 填空题中出现复杂递推关系 可以用不完全归纳法研究. 在解答题中主要是转化为等差、 时, 可以用不完全归纳法研究. 在解答题中主要是转化为等差、 等比数列的基本量的求解. 等比数列的基本量的求解. 2.数列求和问题中特殊求和方法在江苏卷的考查也不多, .数列求和问题中特殊求和方法在江苏卷的考查也不多, 项和,再论证和的性质, 主要还是利用公式法求数列的前 n 项和,再论证和的性质,故 不过多涉及求和的技巧以及项的变形. 不过多涉及求和的技巧以及项的变形.

专题十三│ 专题十三│ 江苏真题剖析
江苏真题剖析
例 [2008·江苏卷] 将全体正整数排成一个三角形数阵: [2008 江苏卷] 将全体正整数排成一个三角形数阵: 江苏卷 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 按照以上排列的规律, 按照以上排列的规律, n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为 第 ≥ 从左向右的第 ________

但其本质为分组求和. 【分析】 本题考查了推理能力, 分析】 本题考查了推理能力, 但其本质为分组求和. 数 阵问题中的某一项的求解,需要先求行的规律, 阵问题中的某一项的求解,需要先求行的规律,再求列的规 律.

专题十三│ 专题十三│ 江苏真题剖析

n2-n+6 + 答案】 【答案】 2 【解析】 前 n-1 行共有正整数 1+2+…+(n-1)个, + + 解析】 - - 个 n2-n n2-n 即 2 个, 因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 2 +3 n2-n+6 + . 个,即为 2

专题十三│ 专题十三│ 江苏真题剖析
[2010·江苏卷 函数 y=x2(x>0)的图象在点 k,a2)处的 江苏卷] 的图象在点(a 江苏卷 = 的图象在点 k 处的 为正整数, 切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+ , a5=________.

21 【解析】 本题考查了导数的几何意义,该知识点在高 解析】 本题考查了导数的几何意义, 级要求. 在点(16,256)处的切线方 考考纲中为 B 级要求.函数 y=x2(x>0)在点 = 在点 处的切线方 程为 y-256=32(x-16). y=0 得 a2=8; - = - . = 令 ; 同理函数 y=x2(x>0) = 在点(8,64)处的切线方程为 y-64=16(x-8),令 y=0 得 a3=4; 在点 处的切线方程为 - = - , = ; 依次同理求得 a4=2,a5=1.所以 a1+a3+a5=21. , 所以



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