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必修一第六讲 基本初等函数(3)



第六讲 知识点一、对数函数及其性质 y ? log a x
①一般地,函数

基本初等函数(3)

y ? log a x ? a ? 0, 且a ? 1? 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域 ? 0, ?? ? 。

②通过描点我们得到对数函数在底数取不同范围时的大致图象,现将函数性质总结如下:<

br />
0 ? a ?1


a ?1



定义域

? 0, ?? ?





R
1)过定点(1,0) ,即 x 2)在





? 1, y ? 0

? 0, ?? ? 上是减函数
x ? 1, y ? 0 ; x ? 1, y ? 0

2)在

? 0, ?? ? 上是增函数
x ? 1, y ? 0 ; x ? 1, y ? 0

3)当 0 ?

3)当 0 ?

知识点二、幂函数的概念 1. 定义:一般的对形如 y ? x 的函数称为幂函数,其中 a 为常数。
a

注: (1)只有形如 y ? x 的函数才是幂函数(2)幂函数与指数函数的区别
a

知识点三:几个常见幂函数的图象和性质
1.能在一个坐标系内画出 性质 2.幂函数

y ? x, y ? x 2 , y ? x3 , y ? x ?1 , y ? x 2 图象,根据图象说出它们的

1

y ? x a (a 为常数)的图象性质。

(1)所有的幂函数在(0,+ ? )都有定义,并且图像都通过点(1,1) (2)如果 a>0,则幂函数的图像过原点,并在在区间

?0, ? ?上为增函数。 ?

(3)如果 a<0,则幂函数的图像在(0,+ ? )上是减函数,在第一象限内,当 x 从右边趋向于原点时,图 像在 y 轴右方无限地逼近 y 轴,当 x 趋向于+ ? 时,图像在 x 轴上方无限地逼近 x 轴。 (4)当 a 为奇数时,幂函数为奇函数,当 a 为偶数时,幂函数为偶函数。

知识点四、有关反函数
1、 反函数的定义:设 A、B 分别为函数 y=f(x)的定义域和值域,如果由函数 y=f(x)所解得的 x=g(y)也 是一个函数, 那么就称函数 x=g(y)是函数 y=f(x)反函数, 记做 x=f (y),在 x=f (y)中,y 是自变量, x 是 y 的函数,习惯上改写成 y=f (x)的形式。
-1 -1 -1

2、 反函数的性质:互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称。 若函数 y=f(x)上有一个(a,b),则(b,a)必在其反函数的图像上,反之也成立。

例题精讲 1、计算 lg x ? lg14 ? 2lg

7 ? lg 7 ? lg18 中的 x 。 3

2、求 y ? log a x ? 3 x ? 4 的单调区间。
2

?

?

3、已知函数 y ? log 1 ( x ? ax ? 3a ) 在区间 ? 2, ?? ? 单调递减,求 a 的取值范围。
2
2

4、已知函数 f ( x) ?

1 1? x , ? log 2 x 1? x

(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)讨论奇偶性; (3)当 x ? (0,1) ,讨论单调性。 5、求下列函数的定义域、单调性、奇偶性

(1) y ? x 3
1

1

(2) y ? x 2
3

(3) y ? x ?2

? 1 (4) y ? ( x ? ) 2 ? (3 ? x) 2 2

6、 根据下列条件对于幂函数 y ? x 的有关性质的叙述, 分别指出幂函数 y ? x 的图象具有
a a

下列特点之一时的 a 的值,其中 a ? ?? 2,?1, ,

1 1 ,1,2,3 ?。 3 2

(1)图象过原点,且随 x 的增大而上升 (2)图象不过原点,不与坐标轴相交,且随 x 的增大而下降 (3)图象关于 y 轴对称,且与坐标轴相交 (4)图象关于 y 轴对称,但不与坐标轴相交 (5)图象关于原点对称,且过原点 (6)图象关于原点对称,但不过原点
? 3 4

7、函数 f ( x) ? (mx ? 4 x ? m ? 2)
2

? ( x 2 ? mx ? 1)0 的定义域是 R,求 m 的取值范围

x

巩固延伸 1.下列函数中,是幂函数的是——————————( A. y = 2x B. y ? 2x
2

1 C. y ? x

D. y ? 2

2.已知幂函数 f(x)的图像过点 (3, 4 3 ) ,则 f(4)=______

3.下列结论正确的上是—————————————(



A.幂函数的图象一定过原点 B. 当a 0时,幂函数y ? x a 是减函数 〈 C.当a〉 1时,幂函数y ? x a 是增函数 D.函数y ? x 2既是二次函数,也是幂函数
4.函数 y ? x 的图象一定不经过____________(填象限)
n

4、已知 a>0,a

0,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是

(

)

5、若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为( A. 3ln x B. 3ln x ? 4 C. 3e
x x



D. 3e ? 4 ) ③y?

6、下列函数中是奇函数的有几个( ①y?

ax ?1 a x ?1

②y?

lg(1 ? x 2 ) x?3 ?3
C. 3

x x

④ y ? log a

1? x 1? x

A. 1

B. 2 )

D. 4

7、函数 y ? lg x (

A. 是偶函数,在区间 (??,0) 上单调递增 B. 是偶函数,在区间 (??,0) 上单调递减 C. 是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递增 D.是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递减 8、函数 f ( x) ? a ? log a ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a ,则 a 的值为(
x



A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

9、若 a ?

ln 2 ln 3 ln 5 ,则( ,b ? ,c ? 2 3 5 A. a ? b ? c B. c ? b ? a
2

) C. c ? a ? b D. b ? a ? c

10、函数 y=log 1 (2x -3x+1)的递减区间为
2

11、设 A ? 1, y, lg ? xy ? , B ? 0, x , y ,且 A ? B ,则 x ?

?

?

?

?

;y?



12、若函数 f ( x) ? 1 ?
2

m 是奇函数,则 m 为__________。 a ?1
x

13、判断函数 y ? x lg( x ?

x 2 ? 1) 的奇偶性。

14、已知 f ( x) ? log a

1? x ( a ? 0且a ? 1) , 1? x

(1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围

15、若 log 2 a

1? a2 ? 0 ,求 a 的取值范围。 1? a

16、若函数 f ( x) ? log a x(0 ? a ? 1) 在区间 ? a, 2a ? 上的最大值是最小值的 3 倍,求 a 。

?2? x ? 1, x ? 0, 17.设函数 f ( x) ? ? 1 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是 ? , 2 ?x x?0 ?



18、已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,求 a 的取值范围。

19、设 x?[2,4],函数 f ( x) ? log 1 (a x) ? log 1 (ax) 的最大值为 0,最小值为 ? ,求 a 的值.
2 a a
2

1 8

20、已知 f(x)= ( (1)求 f
—1

x?2 x?2

) ,(x ? 2).
2

(x)及其单调区间;(2)若 g(x)=3+ x +

1 f ( x)
?1

,求其最小值.



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