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东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2016届高三第二次模拟数学(理)试题(word版)



东北三省市 2016 年第二次联考


题为选考题,其它题为必考题. 注意事项:

学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22 题~第 24

1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上,并将条码粘贴在答题卡指定区 域. 2.第Ⅰ卷每小题

选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书 写作答,在本试题卷上作答无效. 3.考试结束后,考生将答题卡交回.

第 Ⅰ卷
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知合集 A ? x ? 1 ? x ? 3 合集, B ? ? x A. ? 1, 2 ? B. ? ?1, 2 ?

?

?

? 1 ? ? 3 x ? 9? 则, A ? B ? ( ? 3 ?
C. ? 1, 3 ?



D. ? ?1, 3 ? )

2.设复数 z1 , z 2 在复平面内对应的点关于虚轴对称,且 z1 ? 2 ? i ,则 z1 ? z2 ? ( A. ? 4 ? 3i B. 4 ? 3 i C. ? 3 ? 4 i ) D.4 ) D. ? D. 3 ? 4 i

3.已知向量 a ? (2,?1) , b ? (0,1) ,则 | a ? 2b | =( A. 2 2 4.已知函数 f ( x) ? ? A.4 B. 5 C. 2 ,则 f ( f (

?log5 x, x ? 0 ?2
x

,x?0
B.

1 )) =( 25
C.-4

1 4

1 4

5.已知 x, y ?{1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6} ,且 x ? y ? 7 ,则 y ? A.

x 的概率( 2

) D.

1 3

B.

2 3

C.

1 2

5 6

6.已知 tan ? ? 2 , ? 为第一象限角,则 sin 2? ? cos ? 的值为( A. 5 B.

) D.

4?2 5 5

C.

4? 5 5

5 ?2 5

7.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 是棱 CD 上一点,则三棱锥 P ? A1 B1 A 的 左视图可能为( )
A1 B1 C1 D1

A P

D C

A

B

C

D

B

主视方向

8.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (| ? |?

? ? ) 的图象向右平移 2 12 ? 个单位后的图象关于 y 轴对称,则函数 f ( x ) 在 [0, ] 2
上的最小值为( A. )

开始 输入 a

3 2

B.

1 2
3 2


b=0 i=1

C. ?

1 2

D. ?

把 a 的右数第 i 位的数字赋给 t

9.见右侧程序框图,若输入 a ? 110011 ,则输出结果是( A.51 B.49 C.47 D.45 10.已知点 F 是双线曲 C :

b ? b ? t ? 2i ?1
i=i+1 i>6 是 输出 b 结束 否

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 点焦右的,以 F 为圆心和双曲线的 a 2 b2

线近渐相切的圆与双曲线的一个交点为 M ,且 MF 与双曲线的实轴垂直则,双曲线

C 离心率是( )
A.

5 2

B. 5

C. 2

D.2

11.在 ?ABC 中, D 是 BC 中点,已知 ?BAD ? ?C ? 90? ,则 ?ABC 的形状为( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形



12 . 偶 函 数 f ( x ) 定 义 域 是 (?1,0) ? (0,1) , f ( ) ? 0 , 当 x ? 0 时 , 总 有

1 2

1 ( ? x) f ?( x) ? ln(1 ? x 2 ) ? 2 f ( x) 成立,则则不等式 f ( x) ? 0 为集解的( ) x 1 1 A. ?x ?1 ? x ? 1且 x ? 0? B. ?x | ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1? 2 2
C. ? x | ?

? ?

? 1 1 ?x? 且x?0 ? 2 2 ?

D. ? x | ? 1 ? x ? ?

? ?

1 1? 或0 ? x ? ? 2? 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:(本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上)

?1 ? x ? y ? 2 13.已知实数 x, y 满足 ? ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
14.在椭圆



x2 y2 ? ? 1 上有两个动点 M , N ,若 K ? 2,0? 为定点,且 KM ? KN ? 0 ,则 36 9


KM ? NM 的最小值为

15.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为 1的球,当三棱柱的体积最大时,三棱柱 的高为 .

16.设 G 是一个非空集合, ? 是定义在 G 上的一个运算.如果同时满足下述四个条件: (ⅰ)对于 ?a, b ? G ,都有 a ? b ? G ; (ⅱ)对于 ?a, b, c ? G ,都有 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ; (iii)对于 ?a ? G, ?e ? G ,使得 a ?e ? e ? a ? a ; (iv)对于 ?a ? G, ?a ' ? G ,使得 a ? a ' ? a '? a ? e (注:“ e ”同(Ⅲ)中的“ e ”). 则称 G 关于运算 ? 构成一个群.现给出下列集合和运算: ① G 是整数集合, ? 为加法;② G 是奇数集合, ? 为乘法;③ G 是平面向量集合, ? 为数量积运算;④ G 是非零复数集合, ? 为乘法.其中 G 关于运算 ? 构成群的序号是 ___________(将你认为正确的序号都写上) .

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 511,4an ? an?1 ? 3? n ? 2? . (Ⅰ)求证:数列 ?an ?1? 为等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? log 2 ? an ? 1? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

18. (本小题满分 12 分) 某小学对五年级的学生进行体质测试,已知五年一班共有学生 30 人,测试立定跳远的 成绩用茎叶图表示如下(单位:cm): 男 7 15 9 8 16 8 3 5 6 17 6 1 2 4 18 1 19 女 5 7 8 9 9 1 8 4 5 2 9 0 2 7 5 4 0 1

男生成绩在 175cm 以上 (包括 175cm) 定义为“合格”,成绩在 175cm 以下 (不包括 175cm) 定义为“不合格”. 女生成绩在 165cm 以上 (包括 165cm) 定义为“合格”,成绩在 165cm 以下 (不包括 165cm) 定义为“不合格”. (Ⅰ)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数; (Ⅱ)在五年一班的男生中任意选取 3 人,求至少有 2 人的成绩是合格的概率; (Ⅲ)若从五年一班成绩“合格”的学生中选取 2 人参加复试,用 X 表示其中男生的人 数,写出 X 的分布列,并求 X 的数学期望.

19、 (本小题满分 12 分) 如图(1) , 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 , AB ? CD, E , F 分 别 为 AB 和 CD 的 中 点 , 且 AB ? EF ? 2 , CD ? 6 , M 为 BC 中点,现将梯形 BEFC 沿 EF 所在直线折起,使平 面 EFCB ? 平面 EFDA,如图( 2 )所示, N 是线段 CD 上一动点,且 CN ? ? ND .

1 时,求证: MN ? 平面 ADFE ; 2 (Ⅱ)当 ? ? 1 时,求二面角 M ? NA ? F 的余弦值.
(Ⅰ)当 ? ?
C N C M B E
(1)

F

D

M F B D

A

E

A
(2)

20. (本小题满分 12 分)
2 动点 P 在抛物线 x ? 2 y 上,过点 P 作 PQ 垂直于 x 轴,垂足为 Q ,设 PM ?

???? ?

? 1 ??? PQ . 2

(Ⅰ)求点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设点 S ? ?4, 4? ,过 N (4,5) 的直线 l 交轨迹 E 于 A, B 两点,设直线 SA, SB 的斜率 分别为 k1 , k2 ,求 k1 ? k2 的最小值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e
1? x

(?a ? cos x) , a ? R .

(Ⅰ)若函数 f ( x) 存在单调减区间,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? 0 ,证明: ?x ? ?? 1, ? ,总有 f (? x ? 1) ? 2 f ?( x) ? cos(x ? 1) ? 0 . 2

? ?

1? ?

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知四边形 ABCD 为 ? O 的内接四边形且 BC ? CD ,其对角线 AC 与 BD 相交于点

M ,过点 B 作 ? O 的切线交 DC 的延长线于点 P .
(Ⅰ)求证: AB ? MD ? AD ? BM ; (Ⅱ)若 CP ? MD ? CB ? BM ,求证: AB ? BC .
B A

O M

D

C P

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? m ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数 ) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 2 ?y ? t ? 2 ?
为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 cos2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 12 ,且曲线 C 的左 焦点 F 在直线 l 上. (Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 FA ? FB 的值; (Ⅱ)设曲线 C 的内接矩形的周长为

p ,求 p 的最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 ?x0 ? R 使得关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? t 成立. (Ⅰ)求满足条件的实数 t 的集合 T ; (Ⅱ)若 m ? 1, n ? 1 ,且对于 ?t ? T ,不等式 log 3 m ? log 3 n ? t 恒成立,试求 m ? n 的 最小值.

2016 年东北三省市联考第二次模拟(沈阳二模大连一模)

数学(理科)参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题 1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.A 10 . C

11.D 一.选择题

12.B

1.解:集合 B 化简为 ? ?1, 2 ? ,依题可见选 B. 2.解:依题 z2 ? ?2 ? i ,从而 z2 ? ?2 ? i ,于是 z1 ? z2 ? ? 3 ? 4i ,选 C. 3.解:由 | a ? 2b |? 4.解:由题 f ( f (

?

?

?2 ?2 ? ? a ? 4b ? 4a ? b ? 5 ,或用坐标法直接计算,选 B.

1 1 1 )) ? f (log 5 ) ? f (?2) ? ,选 B. 25 25 4

5.解:由题基本事件空间中的元素有: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2)(6,1) ,满足题意的 有 (1, 6), (2,5), (3, 4), (4,3) ,所以选 B. 6.解:由题 sin ? ?

2 1 2 1 4 ? ? ,所以选 C. , cos ? ? ,所以 sin 2? ? 2 ? 5 5 5 5 5

7.解:在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 三棱锥 P ? A1 B1 A 的左视图中, B1 、 A1 、 A 的 射影分别是 C1 、 D1 、 D .所以选 D. 8.解:由题 f ( x ?

?
12

) ? sin(2 x ?

?
6

? ? ) ? cos(2 x ? ? ?

2? ) 3

依题 ? ? k? ? 又 2x ?

2? ? ? , k ? Z ,所以 ? ? ? .这样 f ( x) ? sin(2 x ? ) 3 3 3

?

3 ? ? 2? ? ,选 D . ? ?? , ? ,所以 f ( x)min ? ? 2 3 ? 3 3 ?

9.解:A. 10.解:由题

b2 ? b ,所以 a ? b ,即离心率为 2 ,选 C. a

11.解:如图,因为 ?BAD ? ?C ? 90? ,所以 ?DAC ? ?B ? 90? , 在 ?ABD 与 ?ADC 中,由正弦定理得 A

BD AD DC AD ? ? , , sin ?BAD sin B sin ?DAC sin C
所以 sin ?BAD ? sin C ? sin B ? sin ?DAC , 即 cos C ? sin C ? sin B ? cos B , 所以 sin 2C ? sin 2 B , 从而 2C ? 2 B 或 2C ? 2 B ? ? ,于是 B ? C 或 B ? C ? B D C

?
2

.选 D.

12 解:因为 f ( x) 是偶函数,它的图象关于纵轴对称,所以不等式 f ( x) ? 0 的解集也应是

( ? x ) ? 2 f ( x) 恒 成 立 , 即 对 称 的 , 所 以 D 排 除 ; 当 x ? 0 时 , 总 有 ( ? x) f ?( x) ? l n 1
2

1 x

f ?( x) ? l n 1 ( ? x2 ) ?

2x ? 2x f ( x) 成立,也就是 f ?( x) ? ln(1 ? x 2 ) ? f ( x) ? 0 恒成立,又因为 2 1? x 1? x2
?1 1 ? 2x ? ? ,所以即是 1? x 1? x 1? x2

(? x 2 ))? ? ln(1 ? x 2 ) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) , 所 以 ( l n1

(0, 1) 上单调递增,又因为函 [ f ( x) ? ln(1 ? x 2 )]? ? 0 恒成立,可见函数 g ( x) ? f ( x) ? ln(1 ? x 2 ) 在
数 y ? ln(1 ? x ) 是偶函数,所以函数 g ( x) ? f ( x) ? ln(1 ? x ) 是偶函数,所以在 上单调递 ( ? 1,0)
2 2

减。又 f ( ) ? f (? ) ? 0 ,所以 g ( ) ? g (? ) ? g (0) ? 0 ,所以 g ( x) 的图象如下:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 1 (0, ) 而在 时, g ( x) ? 0 ,而 ln( 1 ? x 2 ) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 , 2
又由函数 f ( x) 的图象对称性可知,选 B.

( , 1) 所以在 时, g ( x) ? 0 ,而 ln( 1 ? x 2 ) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 成立
y

-1

o


x 1

二.填空题: 13.4 14.

23 3

15.

2 3 3

16.①④

13.解析:

14.解:因为 KM ? KN ? 0 ,所以由向量数量积的几何意义可知:

???? ? ???? ? ???? ?2 2 x2 KM ? NM ? KM ? ? x ? 2 ? ? y 2 ,又因为点 M 在椭圆上,则 y 2 ? 9 ? , 4

???? ? ???? ? ???? ?2 2 带 入 上 式 , 得 K M? N M ? KM ?? ?2 x? ?
KM ? NM 取得最小值

2

8 3? 8? 23 ,当 x? 时, ?y ? ? ? x ? 3 4? 3? 3

2

23 . 3

15 . 解 : 如 图 所 示 , 设 O 为 外 接 球 球 心 , 三 棱 柱 的 高 为 h , 则 由 题 意 可 知 ,

A 'O ? B 'O ? C 'O ? 1 , OE ' ?

h h2 3h2 , A' E ' ? 1? , A' B ' ? 3 ? , 2 4 4

此时三棱柱的体积为 V ?
3

3 3 (?h3 ? 4h) ,其中 0 ? h ? 2 . 16
2

令 y ? ?h ? 4h (0 ? h ? 2) ,则 y ' ? ?3h ? 4 ,令 y ' ? 0 , 则h ?

2 3 2 3 ,当 0 ? h ? 时, y ' ? 0 ,函数 y 增, 3 3



2 3 2 3 . ? h ? 2 时, y ' ? 0 ,函数 y 减.故当三棱柱的体积最大时,三棱柱的高为 3 3

16.解: ①若 G 是整数集合,则(Ⅰ)两个整数相加仍为整数;(ⅱ)整数加法满足结合 律;(Ⅲ) ?0 ? G, ?a ? G ,则 0 ? a ? a ? 0 ? a ;(Ⅰv)?a ? G ,在整数集合中存在唯

一一个 b ? ? a ,使 a ? (?a) ? (?a) ? a ? 0 ;故整数集合关于运算 ? 构成一个群; ② G 是奇数集合, ? 为乘法,则 e ? 1 ,不满足(Ⅰv); ③ G 是平面向量集合, ? 为数量积运算, 则不满足(Ⅰ) a ? b ? G ; ④ G 是非零复数集合, ? 为乘法,则(Ⅰ)两个非零复数相乘仍为非零复数;(ⅱ)非零 复数相乘符合结合律;(Ⅲ)?1? G, ?a ? G ,则 1 ? a ? a ? 1 ? a ;(Ⅰv)?a ? G ,在 G

中存在唯一一个 三. 解答题

1 1 1 ,使 a ? ? ? a ? 1 . a a a

17.解:(Ⅰ)由 a n ?

1 3 a n ?1 ? 知 4 4

1 ( a n ?1 ? 1) ,……………………………………………………………2 分 4 1 所以数列 ?a n ? 1?是以 512 为首项, 为公比的等比数列. …………………4 分 4 an ? 1 ?
则 a n ? 1 ? 211?2n , a n ? 211?2n ? 1. …………………………………………6 分 (Ⅱ) bn ? 11 ? 2n , 设数列 ?11 ? 2n? 的前 n 项和为 Tn ,则

Tn ? 10n ? n2 ,

…………………………………………………………10 分

当 n ? 5 时, Sn ? Tn ? 10n ? n2 ; 当 n ? 6 时, Sn ? 2S5 ? Tn ? n2 ?10n ? 50 ; 所以

?10n ? n 2 , n ? 5 ? Sn ? ? 2 .………………………………………12 分 ? ?n ? 10n ? 50, n ? 6
18.解:(Ⅰ)五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为

165 ? 168 ? 166.5 cm.…2 分 2

(Ⅱ) 设 “仅有两人的成绩合格”为事件 A,“有三人的成绩合格”为事件 B,至少有两人 的成绩是合格的概率为 P,则 P=P(A)+P(B),又男生共 12 人,其中有 8 人合格, 从而 P(A) ?
1 C4 ? C82 , 3 C 12

………………………….4 分

P( B) ?

3 C8 42 ,所以 p ? . 3 55 C 12

……………………6 分

(Ⅲ)因为女生共有 18 人,其中有 10 人合格,依题意, X 的取值为 0,1,2.

2 1 1 0 C80C10 C8 C10 80 C82C10 5 28 则 P( X ? 0) ? , P( X ? 2) ? , ? , P( X ? 1) ? 2 ? ? 2 2 C18 17 C18 153 C18 153

(每项 1 分)……………………………10 分 因此, X 的分布列如下:

X
P ∴

0

1

2

5 17

80 153

28 153

E( X ) ? 0 ?

.(未化简不扣分)……12 分 5 80 28 136 8 ? 1? ? 2? ? ? (人) 17 153 153 153 9

(或是,因为 X 服从超几何分布,所以 E (X) ? 2 ?

8 8 ? (人) 18 9

19.解:(Ⅰ)过点 M 作 MP ? EF 于点 P ,过点 N 作 NQ ? FD 于点 Q ,连接 PQ . 由题意,
平面EFCB ? 平面EFDA?

MP ? EF
2

? ? MP ? 平面EFDA ,……………………2 分 ?

且 MP ? BE ? CF ? 2



? EF ? CF ? ? ? ? ? EF ? 平面CFD ? EF ? DF ? ? ? NQ ? EF ? ? ? NQ ? 平面EFDA ,………4 分 ??????????????????????? NQ ? 平面CFD ? ? ? ??????????????????????????????????????????????????????? NQ ? FD? ? ?

// 又 CN ? 1 ND ,则 NQ ? 2 CF ? 2 ,即 MP ? 2 3
可知 MN ? PQ 且 PQ ? 平面 ADFE ,

NQ ,

则 MN ? 平面 ADFE . ……………………………………………………6 分 (Ⅱ)以 F 为坐标原点, FE 方向为 x 轴, FD 方向为 y 轴, FC 方 向为 z 轴,建立如图所示坐标系. 由 题 意 ,
z C

M ( 1 , 0 , 2 ),

A(2,1, 0)


M F B x E A

N

y D

F (0, 0, 0) ,
C (0, 0, 3) , D(0, 3, 0) , N (0, 3 , 3 )
2 2

平面 AMN 的法向量为平面 ABCD 的法向量, 即 n1 ? (1,1,1) ,………………………………………………………………8 分

??

??? ? 3 3 在平面 FAN 中, FA ? (2,1, 0) , FN ? (0, , ) ,

?? ? 即 n2 ? (1, ?2,2) ,……………………………………………………10 分
则 cos ? n1 , n2 ??

2 2

?? ? ?? ?

3 ,又由图可知二面角 M ? NA ? F 的平面角是锐角, 9
3 .………………………………12 分 9

所以二面角 M ? NA ? F 的大小的余弦值为

20.解:(Ⅰ)设点 M ( x, y) , P( x0 , y0 ) ,则由 PM ?

? x0 ? x 1 PQ ,得 ? , 2 y ? 2 y ? 0

因为点 P 在抛物线 x2 ? 2 y 上,所以, x2 ? 4 y . …………………………4 分 (Ⅱ)方法一: 由已知,直线 l 的斜率一定存在, 设点 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? ,则 联立 ?

? y ? k ( x ? 4) ? 5
2 ?x ? 4 y



2 得, x ? 4kx ? 16k ? 20 ? 0 ,

由韦达定理,得 ?

? x1 ? x2 ? 4k . ? x1 x2 ? 16k ? 20

………………………………………6 分

当直线 l 经过点 S 即 x1 ? ?4 或 x2 ? ?4 时, 当 x1 ? ?4 时,直线 SA 的斜率看作抛物线在点 A 处的切线斜率,

1 17 ,此时 k1 ? k 2 ? ; 8 8 17 同理,当点 B 与点 S 重合时, k1 ? k 2 ? (学生如果没有讨论,不扣分) 8


k1 ? ?2 , k 2 ?

直线 l 不经过点 S 即 x1 ? ?4 且 x2 ? ?4 时∵ k1 ?

y1 ? 4 y ?4 , , k2 ? 2 x1 ? 4 x2 ? 4

? k1k2 ?

(kx1 ? 4k ? 1)(kx2 ? 4k ? 1) ( x1 ? 4)(x2 ? 4)

………………………………………………8 分

k 2 x1 x2 ? (k ? 4k 2 )(x1 ? x2 ) ? 16k 2 ? 8k ? 1 ? x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16
? 1 ? 8k 1 ?? , 32 k ? 4 4
……………………………………………………………10 分

故 k1 ? k2 ? 2 k1k2 ? 2 ?

1 ? 1, 4

所以 k1 ? k 2 的最小值为 1.……………………………………………………………12 分 方法二:同上
2 x12 x2 ?4 ?4 y ? 4 y2 ? 4 1 k1 - k2 ? 1 ? ? 4 ? 4 ? x1 ? x2 ,………………………8 分 x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 4

x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 16k 2 ? 4 ?16k ? 20 ?

? 4 k 2 ? 4k ? 5 ? 4

? k ? 2?

2

? 1 ? 4,

………………………………………10 分

所以 k1 ? k 2 的最小值为 1. ………………………………………………………12 分 方法三:设点 A ? x1 ,

? ?

? x22 ? x12 ? , B ? x2 , ? ,由直线 l 过 N (4,5) 交轨迹 E 于 A, B 两点得: ? 4 ? 4 ? ?

x12 x2 2 ?5 ?5 4 ? 4 ,化简整理得: x1 ? 4 x2 ? 4

x1x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 20, 令x1 ? x2 =t, 则x1x2 ? 4t ? 20, ………………………………8 分
2 x12 x2 ?4 ?4 y ? 4 y2 ? 4 1 k1 - k2 ? 1 ? ? 4 ? 4 ? x1 ? x2 . ………………………10 分 x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 4

1 1 x1 ? x2 ? 而4 4

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

1 4

? x1 ? x2 ?

2

?4? ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 20 ? ?

?

1 2 1 t ? 16t ? 20 ? 4 4

? t ? 8?

2

? 16 ? 1. ………………………………………12 分

21.解:(Ⅰ)由已知,得

f ?( x) ? ?e1? x (?a ? cos x) ? e1? x sin x ? e1? x (a ? (sin x ? cos x)) ………………2 分
因为函数 f ( x) 存在单调减区间,所以方程 f ?( x) ? 0 有解. 而 e1? x ? 0 恒成立,即 a ? (sin x ? cos x) ? 0 有解, 所以 a ? (sin x ? cos x)max . 又 sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

) ? ? 2 , 2 ,所以, a ? 2 . ……………5 分

?

?

(Ⅱ)因为 a ? 0 ,所以 f ( x) ? e1? x ? cos x , 所以 f (? x ?1) ? e x?2 ? cos(? x ?1) ? e x?2 ? cos(x ? 1) . 因为 2 f ?( x) ? cos(x ? 1) ? ?2e1? x (sin x ? cos x) ? cos(x ? 1) , 所以 f (? x ? 1) ? 2 f ?( x) ? cos(x ? 1) ? cos?x ? 1? e

?

x?2

? 2e1? x ?sin x ? cos x?

?

又对于任意 x ? ?? 1, ? , cos(x ? 1) ? 0 .……………………………………………6 分 2

? ?

1? ?

要证原不等式成立,只要证 e 只要证 e
2 x ?1

x?2

? 2e1? x (sin x ? cos x) ? 0 ,

? 2 2 sin( x ?

?

? 1? ) ,对于任意 x ? ?? 1, ? 上恒成立. ………………8 分 4 2? ?

设函数 g ( x) ? 2 x ? 2 ? 2 2 sin( x ?

?

? 1? ) , x ? ?? 1, ? , 4 ? 2? 2 ? ? cos(x ? )) , 2 4

则 g ?( x ) ? 2 ? 2 2 cos( x ?

?
4

) ? 2 2(

当 x ? ?? 1,0? 时, g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 ?? 1,0? 上是减函数, 当 x ? ? 0, ? 时, g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 ? 0, ? 上是增函数, 2 2

? ?

1? ?

? ?

1? ?

所以,在 ?? 1, ? 上, g ( x)min ? g (0) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 . 2

? ?

1? ?

所以, 2 2 sin( x ?

?
4

) ? 2 x ? 2 ,(当且仅当 x ? 0 时上式取等号)①……………10 分

设函数 h( x) ? e2 x?1 ? (2x ? 2) , x ? ?? 1, ? ,则 h?( x) ? 2e2 x?1 ? 2 ? 2(e2 x?1 ?1) , 2

? ?

1? ?

当 x ? ?? 1,? ? 时, h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 ? ? 1,? ? 上是减函数, 2 2

? ?

1? ?

? ?

1? ?

当 x ???

? 1 1? ? 1 1? , ? 时, h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 ? ? , ? 上是增函数, ? 2 2? ? 2 2?

所以在 ?? 1, ? 上, h( x) min ? h(? ) ? 0 ,所以 h( x) ? 0 , 2 2

? ?

1? ?

1

即e

2 x ?1

1 ? 2 x ? 2 ,(当且仅当 x ? ? 时上式取等号)②. 2
2 x ?1

综上所述, e

? 2 x ? 2 ? 2 2 sin( x ?

?

4

),

因为①②不可能同时取等号 所以 e
2 x ?1

? 2 2 sin( x ?

?

1? ? ) ,在 ?x ? ?? 1, ? 上恒成立, 4 2? ?

所以 ?x ? ?? 1, ? ,总有 f (? x ? 1) ? 2 f ?( x) ? cos(x ? 1) ? 0 成立. ………12 分 2

? ?

1? ?

22.解:(Ⅰ)由 BC ? CD 可知, ?BAC ? ?DAC ,…………………………………2 分 由角分线定理可知, AB ? BM ,即 AB ? MD ? AD ? BM 得证. ………5 分 AD MD ( Ⅱ ) 由 C P? M D ? C B ? B M, 可 知 BM ? CP , 又 C B?
MD CB

CD ,所 以

BM CP ? , MD CB
所以 PB ? AC . ………………………………………………………………………8 分

所以 ?PBC ? ?ACB (内错角),又 ?PBC ? ?BAC (线切角), 所以 ?ACB ? ?BAC ,所以 AB ? BC .……………………………………………10 分

? 2 t ? x ? ?2 2 ? ? 2 23.解:(Ⅰ)直线 AB 的参数方程是 ? ( t为参数 ),……………3 分 ?y ? 2 t ? 2 ?
代入椭圆方程得 t ? t ? 2 ? 0 ,所以 | FA | ? | FB | =2.………………………………5 分
2

(Ⅱ)设椭圆 C 的内接矩形的顶点为 (2 3 cos? ,2 sin ? ) , (?2 3 cos? ,2 sin ? ) ,

? (2 3 cos? ,?2 sin ? ) , (?2 3 cos ? , ?2sin ? )(0 ? ? ? ). ……………………8 分 2
所以椭圆 C 的内接矩形的周长为 2(4 3 cos? ? 4sin ? ) = 16sin(? ?

? ). 3

当? ? 24.解:

? ? ? ? 时,即 ? ? 时椭圆 C 的内接矩形的周长取得最大值 16.……10 分 3 2 6

(Ⅰ) x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? ? x ? 2 ? ? 1 , ……………………………………………3 分 所以 x ? 1 ? x ? 2 ? 1 ,所以 t 的取值范围为 ? ??,1? .………………………………5 分 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知,对于 ?t ? T ,不等式 log 3 m ? log 3 n ? t 恒成立,只需 log3 m ? log3 n ? tmax , 所以 log 3 m ? log 3 n ? 1 ,…………………………………………………………………7 分 又因为 m ? 1, n ? 1 ,所以 log 3 m ? 0, log 3 n ? 0 .又
? log m ? log3 n ? ? log3 mn ? 1 ? log3 m ? log3 n ? ? 3 ? log3 m= log3 n时,取等号,此时m ? n ? , ? ? 2 4 ? ?
2 2

所以 ? log 3 mn ? ? 4 ,所以 log 3 mn ? 2 , mn ? 9 ,
2

所以 m ? n ? 2 mn ? 6 ,即 m ? n 的最小值为 6 ? 此时m=n=3? .………………………10 分



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