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2015三角函数(基本初等函数(Ⅱ))



第四章
§ 4.1

三角函数(基本初等函数(Ⅱ))
弧度制及任意角的三角函数
②终边在 x 轴非正半轴上的角的集合可记作 _________________________________________; ③终边在 y 轴非负半轴上的角的集合可记作 _______________________________________

__; ④终边在 y 轴非正半轴上的角的集合可记作 _________________________________________; ⑤终边在 x 轴上的角的集合可记作 _________________________________________; ⑥终边在 y 轴上的角的集合可记作 _________________________________________; ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作 _________________________________________; (4)终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构 成一个集合 S=________________________. 2.弧度制 (1) 把长度等于 ____________ 的弧所对的圆心角 叫做 1 弧度的角,用符号 rad 表示,读作弧度. |α|= ,l 是半径为 r 的圆的圆心角 α 所 对弧的长. (2)弧度与角度的换算:360° =________rad,180° =________rad,1° = rad≈0.01745rad,反过 来 1rad= ≈57.30°=57°18′. (3)若圆心角 α 用弧度制表示,则弧长公式 l= _______; 扇形面积公式 S 扇= = . 3.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数的定义 设 α 是一个任意角,它的终边上任意一点 P(x, y)与原点的距离为 r(r>0),则 sinα= ,cosα = ,tanα= (x≠0). x r r ※cotα= (y≠0),secα= (x≠0),cscα= (y≠0). y x y (2)正弦、余弦、正切函数的定义域 三角函数 sinα cosα tanα ① ② ③ 定义域

1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互 化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定 义. 本节内容是整个三角函数部分的基础,主要考查 三角函数的概念,三角函数值在各象限的符号,利用 三角函数线比较三角函数值的大小等,一般不单独设 题,主要是与三角函数相关的知识相结合来考查.

1.任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条____________绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所成的图形.我们规定: 按 ____________ 方 向 旋 转 形 成 的 角 叫 做 正 角 , 按 ____________方向旋转形成的角叫做负角.如果一条 射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个 ____________. (2)象限角 使角的顶点与____________重合,角的始边与 x 轴的____________重合.角的终边在第几象限,就说 这个角是第几象限角. ①α 是第一象限角可表示为 π ? ? ?α 2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z?; 2 ? ?

|

②α 是第二象限角可表示为 ; ③α 是第三象限角可表示为 ; ④α 是第四象限角可表示为 . (3)非象限角 如果角的终边在 上,就认为这个 角不属于任何一个象限. ①终边在 x 轴非负半轴上的角的集合可记作 {α|α= 2kπ, k∈ Z};
1

(3)三角函数值在各象限的符号

? ? π ②?α 2kπ+ <α<2kπ+π,k∈Z? 2 ? ?

| | |

? ? 3 ③?α 2kπ+π<α<2kπ+ π,k∈Z? 2 ? ?

sinα

cosα

tanα

? ? 3 ④?α 2kπ+ π<α<2kπ+2π,k∈Z?或 2 ? ?

4.三角函数线 如图,角 α 的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,过点 A(1,0)作单位圆的切线, 设它与 α 的终边(当 α 为第一、四象限角时)或其反向 延长线(当 α 为第二、三象限角时)相交于点 T.根据三 角函数的定义,有 OM = x = ________ , MP = y = ________,AT= =________.像 OM,MP, AT 这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段,这三 条与单位圆有关的有向线段 MP,OM,AT,分别叫做 角 α 的 、 、 ,统称为 三角函数线.

π {α 2kπ- <α<2kπ,k∈Z} 2 (3)坐标轴 ②{α|α=2kπ+π,k∈Z}
? ? π ③?α α=2kπ+ ,k∈Z? 2 ? ?

|

| | |

? ? 3 ④?α α=2kπ+ π,k∈Z? 2 ? ?

⑤{α|α=kπ,k∈Z}

? ? ? ? π kπ ⑥?α α=kπ+ ,k∈Z? ⑦?α α= ,k∈Z? 2 2 ? ? ? ?

|

(4){β|β=α+2kπ, k∈Z}或{β|β=α+k· 360° , k∈Z} 2.(1)半径长 (3)|α|r l r (2)2π π π ?180? ° 180 ? π ?

1 2 1 |α|r lr 2 2 y x

y x 3.(1) r r

? ? π (2)①R ②R ③?α α≠kπ+ ,k∈Z? 2 ? ?

|

4.cosα sinα 正切线 5.特殊角的三角函数值
角α 角α 的弧 度数 sinα cosα tanα 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
角α 角 α 的 0 弧 度 数 π 6 π 4 π 3

y tanα 正弦线 余弦线 x

5.
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

π

3π 2



6- 2 6+ 2 ※ sin15° = , sin75° = , tan15° 4 4 = 2- 3 ,tan75° =2+ 3,由余角公式易求 15° ,75° 的余弦值和余切值. 【自查自纠】 1.(1)射线 逆时针 顺时针 (2)原点 非负半轴

sinα

0

1 2 3 2

2 2 2 2

3 2 1 2

1

3 2 1 - 2

2 2 2 2

1 2 3 2

0

-1

0

cosα

1

0 不





-1

0 不

1

tanα

0

3 3

1

3

存 在

- 3

-1

3 - 3

0

存 在

0

零角

2

与-463° 终边相同的角的集合是( ) 360° +463° ,k∈Z} A.{α|α=k· 360° +103° ,k∈Z} B.{α|α=k· 360° +257° ,k∈Z} C.{α|α=k· 360° -257° ,k∈Z} D.{α|α=k· 解:显然当 k=-2 时,k· 360° +257° =-463° .故 选 C. 给出下列命题: π ①小于 的角是锐角;②第二象限角是钝角;③终边 2 相同的角相等;④若 α 与 β 有相同的终边,则必有 α -β=2kπ(k∈Z).其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 π 0, ?,故不正确;②钝 解:①锐角的取值范围是? ? 2? π ? 角的取值范围是? ?2,π? , 而 第 二 象 限 角 为

类型一

角的概念

α 若 α 是第二象限角,试分别确定 2α, , 2 α 的终边所在位置. 3 解:∵α 是第二象限角, ∴90° +k· 360° <α<180° +k· 360° (k∈Z). (1)∵180° +2k· 360° <2α<360° +2k· 360° (k∈Z), 故 2α 的终边在第三或第四象限或 y 轴的负半轴 上. α (2)∵45° +k· 180° < <90° +k· 180° (k∈Z), 2 α 当 k = 2n(n∈Z) 时 , 45° + n· 360° < < 90° + 2 n· 360° , α 当 k=2n+1(n∈Z)时,225° +n· 360° < <270° + 2 n· 360° . α ∴ 的终边在第一或第三象限. 2 α (3)∵30° +k· 120° < <60° +k· 120° (k∈Z), 3 α 当 k = 3n(n∈Z) 时 , 30° + n· 360° < < 60° + 3 n· 360° , α 当 k=3n+1(n∈Z)时,150° +n· 360° < <180° + 3 n· 360° , α 当 k=3n+2(n∈Z)时,270° +n· 360° < <300° + 3 n· 360° . α ∴ 的终边在第一或第二或第四象限. 3 【评析】关于一个角的倍角、半角所在象限的讨 论,有些书上列有现成的结论表格,记忆较难.解此 α α 类题一般步骤为先写出 α 的范围→求出 2α, , 的范 2 3 α α 围→分类讨论求出 2α, , 终边所在位臵. 2 3 已知角 2α 的终边在 x 轴的上方(不与 x 轴重合),求 α 的终边所在的象限.
3

?2kπ+π,2kπ+π?, 故不正确; ③若 α=β+2kπ, 2 ? ? k∈Z,
k∈Z,α 与 β 的终边相同,但当 k≠0 时,α≠β,故不正 确;④正确.故选 B. 3 若 cosα=- ,且角 α 的终边经过点 P(x, 2 2),则 P 点的横坐标 x 是( A.2 3 C.-2 2 ) B.± 2 3 D.-2 3 x 3 解:由 cosα= 2 =- ,解得 x=-2 3.故 2 x +4 选 D. 若点 P(x,y)是 30° 角终边上异于原点的一 y 点,则 的值为________. x y 3 3 解: =tan30° = .故填 . x 3 3 半径为 R 的圆的一段弧长等于 2 3R,则这 段弧所对的圆心角的弧度数是____________. 2 3R 解:圆心角的弧度数 α= =2 3.故填 2 3. R

解:依题意有 2kπ<2α<2kπ+π(k∈ Z), π ∴ kπ<α<kπ+ (k∈ Z). 2 π 当 k=0 时,0<α< ,此时 α 是第一象限角; 2 3 当 k=1 时,π<α< π,此时 α 是第三象限角. 2 综上,对任意 k∈ Z,α 为第一或第三象限角. 故 α 的终边在第一或第三象限.

弧长 8-2r 2 ∴ 圆心角 θ= = =6 或 . r 3 半径

类型三

三角函数的定义

已知角 α 的终边经过点 P(a,2a)(a>0), 求 sinα,cosα,tanα 的值. 解:因为角 α 的终边经过点 P(a,2a)(a>0),所 以 r= 5a,x=a,y=2a. y 2a 2 5 sinα= = = , r 5 5a x a 5 cosα= = = , r 5 5a y 2a tanα= = =2. x a 【评析】若题目中涉及角 α 终边上一点 P 的相关 性质或条件,往往考虑利用三角函数的定义求解.

类型二

扇形的弧长与面积问题

如图所示,已知扇形 AOB 的圆心角 ∠ AOB=120° ,半径 R=6,求:

︵ (1)AB的长; (2)弓形 ACB 的面积. 2π 解:(1)∵ ∠ AOB=120° = ,R=6, 3 2π ⌒= ∴ lAB × 6=4π. 3 (2)S 弓形 ACB=S 扇形 OAB-S△ OAB 1 1 2 ⌒ R- R sin∠ = lAB AOB 2 2 1 1 2 3 = × 4π× 6- × 6 × =12π-9 3. 2 2 2 【评析】① 直接用公式 l= |α |R 可求弧长,利用 S 弓=S 扇-S△ 可求弓形面积. ② 关于扇形的弧长公式和 面积公式有角度制与弧度制这两种形式,其中弧度制 不仅形式易记,而且好用,在使用时要注意把角度都 换成弧度,使度量单位一致.③ 弧长、面积是实际应 用中经常遇到的两个量,应切实掌握好其公式并能熟 练运用. =5. y 4 y 4 ∴ sinα= = ,tanα= =- . r 5 x 3 4 ?-4?=0. ∴ 5sinα+3tanα=5× +3× ? 3? 5 (2)∵ cosα≤0 且 sinα>0,
?3m-9≤0, ? ? ∴ ? ?m+2>0.

已知角 α 的终边经过点 P(3m- 9, m + 2). (1)若 m=2,求 5sinα+3tanα 的值; (2)若 cosα≤0 且 sinα>0,求实数 m 的取值范围. 解:(1)∵ m=2,∴ P(-3,4),∴ x=-3,y=4,r

∴ -2<m≤3.

类型四
扇形 AOB 的周长为 8 cm.若这个扇形的 面积为 3 cm2,求圆心角的大小. 解:设扇形半径为 r,则弧长为 8-2r, 1 ∴ S= · (8-2r)· r=3, 2 ∴ r=1,或 r=3.
4

三角函数线的应用

用单位圆证明角 α 的正弦绝对值与余弦 绝对值之和不小于 1,即已知 0≤α<2π, 求证:|sinα|+|cosα|≥1. 证明:作平面直角坐标系 xOy 和单位圆.

(1)当角 α 的终边落在坐标轴上时,不妨设为 Ox 轴, 设它交单位圆于 A 点, 如图 1, 显然 sinα=0, cosα =OA=1,所以|sinα|+|cosα|=1.

2. 角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行换算, 在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混 π 用.如 α=2kπ+30° (k∈ Z),β=k· 360° + (k∈ Z)的写法 2 都是不正确的. 3.一般情况下,在弧度制下计算扇形的弧长和 面积比在角度制下计算更方便、简捷. 4.已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数 的定义求三角函数值,但要注意对可能情况的讨论. 5.牢记各象限三角函数值的符号,在计算或化 简三角函数关系时,要注意对角的范围以及三角函数 值的正负进行讨论. 6.2kπ+α 表示与 α 终边相同的角,其大小为 α 与 π 的偶数倍(而不是整数倍)的和,是 π 的整数倍时, 要分类讨论.如: (1)sin(2kπ+α)=sinα;
?sinα(k为偶数), ? (2)sin(kπ+α)=? =(-1)ksinα. ?-sinα(k为奇数) ?

图1 图2 (2)当角 α 的终边不在坐标轴上时, 不妨设为 OP, 设它交单位圆于 A 点,过 A 作 AB⊥ x 轴于 B,如图 2, 则 sinα=BA,cosα=OB. 在△ OAB 中,|BA|+|OB|>|OA|=1, 所以|sinα|+|cosα|>1. 综上所述,|sinα|+|cosα|≥1. 【评析】三角函数线是任意角的三角函数的几何 表示,利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三 角函数值的符号及大小,并能从任意角的旋转过程中 表示三角函数值的变化规律. 在求三角函数的定义域、 解三角不等式、证明三角不等式等方面,三角函数线 具有独特的简便性.

7.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三 角函数线是一个小技巧.

?0,π?时,sinα<α<tanα. 求证:当 α∈ ? 2?
证明:如图所示,设角 α 的 终边与单位圆相交于点 P,单位 圆与 x 轴正半轴的交点为 A,过 点 A 作圆的切线交 OP 的延长线 于 T,过 P 作 PM⊥ OA 于 M,连 接 AP, 则在 Rt△ POM 中, sinα=MP, 在 Rt△ AOT 中, ︵ tanα=AT,又根据弧度制的定义,有AP=α· OP=α , 易 知 S△ POA<S
扇形

北京海淀二模)若 sinθcosθ<0,则角 θ 是 1.(2012· ( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角 ?sinθ>0, ? ?sinθ<0, ? ? 解:∵ sinθcosθ<0,∴ 或? ∴ 角θ ?cosθ<0 ?cosθ>0. ? ? 是第二或第四象限角.故选 D. 2.已知角 α 的终边经过点 P(-4a,3a)(a<0),则 2sinα+cosα 的值为( 2 2 A.- B. 5 5 ) C.0 2 2 D. 或- 5 5

POA<S△ AOT, 即

1 OA · MP < 2

1︵ 1 AP · OA < OA· AT,即 sinα<α<tanα. 2 2

解:∵ x=-4a,y=3a,a<0,∴ r=-5a,∴ sinα= 3 4 ?-3?+4=-2.故选 A. - ,cosα= ,2sinα+cosα=2× ? 5? 5 5 5 5 sinx |cosx| tanx 3.函数 y= + + 的值域是( |sinx| cosx |tanx| )

1.将角的概念推广后,要注意锐角与第一象限 角的区别,锐角的集合为{α|0° <α<90° },第一象限角 的集合为{α|k· 360° <α<k· 360° +90° ,k∈ Z},显然锐角 的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集,即锐角 是第一象限角,但第一象限角不一定是锐角.
5

A.{-1,1} C.{1,-3}

B.{1,3} D.{-1,3}

解: (1)当 x 的终边落在第一象限时, sinx>0, cosx >0,tanx>0,∴ y=1+1+1=3;

(2)当 x 的终边落在第二象限时, sinx>0, cosx<0, tanx<0, ∴ y=1-1-1=-1; (3)当 x 的终边落在第三象限时, sinx<0, cosx<0, tanx>0, ∴ y=-1-1+1=-1; (4)当 x 的终边落在第四象限时, sinx<0, cosx>0, tanx<0, ∴ y=-1+1-1=-1. 又依题意知角 x 的终边不可能落在坐标轴上, ∴ 上述函数的值域为{-1,3}.故选 D. 4.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2,则 这个圆心角所对的弧长是( A.2 B.2sin1 ) 2 C. sin1

2 针方向运动 π 弧长到达点 Q ,则点 Q 的坐标为 3 __________. 解 : 由 三 角 函 数 的 定 义 知 点 Q(x , y) 满 足 2 1 x=cos π=- , 3 2 3? ? 1 故填 - , 2 2 ? ?. 2 3 y=sin π= . 3 2 8.若一扇形的周长为 60cm,那么当它的半径和 圆心角各为________cm 和________rad 时,扇形的面 积最大. 解:设该扇形的半径为 r,圆心角为 θ,弧长为 l, 面积为 S,则 l+2r=60,∴ l=60-2r. 1 1 ∴ S= lr= (60-2r)r=-r2+30r 2 2 =-(r-15)2+225. ∴ 当 r=15 时,S 最大,最大值为 225cm2. l 30 此时,θ= = =2rad. r 15 故填 15;2. α 9.若 α 是第三象限角,则 2α, 分别是第几象限 2 角? 解:∵ α 是第三象限角, 3 ∴ 2kπ+π<α<2kπ+ π,k∈ Z. 2 ∴ 4kπ+2π<2α<4kπ+3π,k∈ Z. ∴ 2α 是第一、二象限角,或角的终边在 y 轴非负 半轴上. π α 3 又 kπ+ < <kπ+ π,k∈ Z, 2 2 4 ∴ 当 k=2m(m∈ Z)时, π α 3 α 2mπ+ < <2mπ+ π(m∈ Z),则 是第二象限角; 2 2 4 2 当 k=2m+1(m∈ Z)时, 3 α 7 α 2mπ + π< <2mπ + π(m∈ Z) ,则 是第四象限 2 2 4 2 α 角.故 是第二、四象限角. 2 10.(台湾版习题)求 sin15° ,cos15° ,tan15° 的值. 解:如图,在 Rt△ ABC 中,∠ BAC=30° ,∠ C= 90° ,延长 CA 到 D 使 AD=AB,则△ ABD 是等腰三角 形且∠ D=15° .

? ? ?

D.sin2

1 2 解:∵ 2Rsin1=2,∴ R= ,l=|α|R= . sin1 sin1 故选 C. 5.cos1,sin1,tan1 的大小关系是( A.sin1<cos1<tan1 B.tan1<sin1<cos1 C.cos1<tan1<sin1 D.cos1<sin1<tan1 )

π 解:如图,单位圆中∠ MOP=1 rad> rad,∵ OM 4 < 2 <MP<AT,∴ cos1<sin1<tan1.故选 D. 2 6.在△ ABC 中,若 sinA· cosB· tanC<0,则△ ABC 的形状是( ) B.钝角三角形 D.不能确定 A.锐角三角形 C.直角三角形 ∴ sinA>0. ∵ sinA· cosB· tanC<0,∴ cosB· tanC<0. 若 B,C 同为锐角,则 cosB· tanC>0. 故 B,C 中必定有一个是钝角. ∴ △ ABC 是钝角三角形.故选 B. 7.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时
6

解:∵ △ ABC 中每个角都在(0,π)内,

又 cosα=

x 3 = x,∴ x=± 10,r=2 3. 6 x +2
2

当 x= 10时,点 P( 10,- 2), 设|BC|=1,则|AD|=|AB|=2,|AC|= 3, 因此|CD|=|AD|+|AC|=2+ 3. 利用勾股定理|BD|2=|CD|2+|BC|2,代入得 |BD| =(2+ 3) +1 =8+4 3=2( 3+1) , 开平方得|BD|= 2( 3+1). 6- 2 |BC| 1 故 sin15° = = = , |BD| 4 2( 3+1) 2+ 3 6+ 2 |CD| cos15° = = = , |BD| 4 2( 3+1) |BC| 1 tan15° = = =2- 3. |CD| 2+ 3 11.已知角 α 的终边经过点 P(x,- 2)(x≠0)且 cosα= 3 x,求 sinα+tanα 的值. 6 >0.
2 2 2 2

由三角函数定义知 sinα=- - 2 5 tanα= =- . 5 10 ∴ sinα+tanα=-

6 , 6

5 6+ 6 5 6 5 - =- . 6 5 30

当 x = - 10 时 , 同 理 可 求 得 sinα + tanα = 6 5-5 6 . 30 若 θ 在第四象限,试判断 sin(cosθ)的符 号. π 解: ∵ θ 在第四象限, ∴ 0<cosθ<1< , ∴ sin(cosθ) 2

解:∵ P(x,- 2)(x≠0), ∴ 点 P 到原点的距离 r= x2+2.

7

§ 4.2

同角三角函数的基本关系及诱导公式
倍,则函数名称________.“符号看象限”是把 α 当成 π ? ________ 时 , 原 三角 函数 式 中 的 角 ? ?如2+α? 所 在

π 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α, π±α 2 的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2. 理解同角三角函数的基本关系式: sin2α+cos2α sinα =1(平方关系), =tanα(商数关系). cosα 3.能正确运用同角三角函数的基本关系式及诱 导公式进行简单三角函数式的化简、求值. 从近几年的高考试题来看,这部分的题目难度不 大,一般出现在选择、填空题中.

________原三角函数值的符号.注意把 α 当成锐角是 指 α 不一定是锐角,如 sin(360° +120° )=sin120° , sin(270° +120° )=-cos120° ,此时把 120° 当成了锐角 来处理.“原三角函数”是指等号左边的函数. (3)诱导公式的作用: 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为 ________三角函数,因此常用于化简和求值,其一般 步骤是: 任意负角的 三角函数
脱周 去负(化负角为正角)

―――――――→

任意正角的 三角函数

脱去k· 360° 三角函数

――→

0° 到360° 的

(把角化为锐角 )

――――→

化锐

锐角三角函数

1.同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义,同角三角函数间有以下两 个等式: ① ____________________; ② ____________________. (2)同角三角函数的关系式的基本用途:① 根据一 个角的某一三角函数值, 求出该角的其他三角函数值; ② 化简同角的三角函数式;③ 证明同角的三角恒等式. 2.三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容: x -α π ± α 2 π±α 3π ± α 2 2π±α (2)诱导公式的规律: 三角函数的诱导公式可概括为:奇变偶不变,符 π 号看象限. 其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指 的 2 奇数倍和偶数倍, 变与不变是指函数名称的变化.若是 奇数倍,则正、余弦互变,正、余切互变;若是偶数
8

3.sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα 三者之间 的关系 (sinα+cosα)2=________________; (sinα-cosα)2=________________; (sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=______________; (sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=______________. 【自查自纠】 sinα 1.(1)① sin2α+cos2α=1 ② =tanα cosα 2.(1) 函数 sinx -sinα cosα ?sinα -cosα ± sinα cosx cosα ?sinα -cosα ± sinα cosα tanx -tanα ?cotα ± tanα ?cotα ± tanα

函数 sinx -sinα cosx cosα tanx -tanα ?cotα ※

x -α π ± α 2 π±α 3π ± α 2 2π±α (3)锐角

?cotα ※

(2)不变 锐角 象限 3.1+2sinαcosα 1-2sinαcosα 2 4sinαcosα

?tanx+ 1 ?cos2x=( tanx? ?
A.tanx B.sinx

) C.cosx 1 D. tanx

类型一

利用同角三角函数的基本关系式进行 化简和求值
1 (1)已知 sinα= , 且 α 为第二象限角, 求 3

1 ? 2 sin2x+cos2x cosx tanx+ 解: ? cos x = · cos2x = tanx? ? sinxcosx sinx = 1 .故选 D. tanx 已知 sinθ<0,tanθ>0,则 1-sin2θ化简的 结果为( ) B.-cosθ D.以上都不对 A.cosθ C.± cosθ tanα;

1 (2)已知 sinα= ,求 tanα; 3 (3)已知 sinα=m(m≠0,m≠±1),求 tanα. 1 解:(1)∵ sinα= ,且 α 是第二象限角, 3 ∴ cosα=- 1-sin2α=- sinα 2 ∴ tanα= =- . cosα 4 1 (2)∵ sinα= ,∴ α 是第一或第二象限角. 3 当 α 是第一象限角时, cosα= 1-sin2α= sinα 2 ∴ tanα= = ; cosα 4 当 α 是第二象限角时,tanα=- (3)∵ sinα=m(m≠0,m≠±1), ∴ cosα=± 1-sin2α=± 1-m2(当 α 为第一、四 象限角时取正号,当 α 为第二、三象限角时取负号). m ∴ 当 α 为第一、四象限角时,tanα= ; 1-m2 m 当 α 为第二、三象限角时,tanα=- . 1-m2 【评析】 解题时要注意角的取值范围, 分类讨论, 正确判断函数值的符号. α 4 α 设 sin = , 且 α 是第二象限角, 求 tan 2 5 2 的值. α 解:∵ α 是第二象限角,∴ 是第一或第三象限角. 2 α (1)当 是第一象限角时, 2 α 有 cos = 2
9

解: 因为 sinθ < 0 , tanθ > 0 ,所以 cosθ < 0 , 1-sin2θ= cos2θ=-cosθ.故选 B. 已知 tanθ=2,则 sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= ( ) 4 A.- 3 5 B. 4 3 C.- 4 4 D. 5

1?2 2 2 1-? ?3? =- 3 .

解:sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ tan2θ+tanθ-2 = = sin2θ+cos2θ tan2θ+1 = 4+2-2 4 = .故选 D. 5 4+1

1?2 2 2 1-? ?3? = 3 ,

2 . 4

?π,π?,sinα= 5,则 tan(π-α)= 已知 α∈ ?2 ? 5
________.

?π,π?,sinα= 5, 解:∵ α∈ ?2 ? 5
2 sinα 1 ∴ cosα=- 5.∴ tanα= =- . 5 cosα 2 1 1 ∴ tan(π-α)=-tanα= .故填 . 2 2 4 若 sinθ=- ,tanθ>0,则 cosθ=________. 5 4 解:由 sinθ=- <0 且 tanθ>0,知角 θ 为第三 5 象限角, ∴ cosθ=- 1-sin θ=- 3 故填- . 5
2

4? 3 1-? ?-5? =-5.

2

α 1-sin2 = 2

4?2 3 1-? ?5? =5,

α 2 4 α ∴ tan = = ; 2 α 3 cos 2 sin α α 4 (2)当 是第三象限角时,与 sin = 矛盾,舍去. 2 2 5 α 4 综上,tan = . 2 3

化简: (1)sin2(π+α)-cos(π+α)· cos(-α)+1; cos(π+α)· sin2(3π+α) (2) . tan2α· cos3(-π-α) 解:(1)原式=sin2α-(-cosα)· cosα+1 2 2 =sin α+cos α+1=2. (-cosα)· sin2α sin2α (2)原式= 2 = 2 3 cos2α tan α· (-cos α) tan α·

类型二
(1)化简

诱导公式的运用



tan2α =1. tan2α

类型三

关于 sinα,cosα 的齐次式问题
tanα 已知 =-1,求下列各式的值. tanα-1

; 9π ? +α cos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin? ?2 ? (2)已知 α 是第三象限角,且 f(α)= sin(π-α)cos(2π-α)tan(α+π) . tan(-α-π)sin(-α-π)

π ? ?11π ? sin(2π-α)cos(π+α)cos? ?2+α?cos? 2 -α?

sinα-3cosα (1) ; sinα+cosα

(2)sin2α+sinαcosα+2.

1 解:由已知得 tanα= . 2 sinα-3cosα tanα-3 5 (1) = =- . 3 sinα+cosα tanα+1 (2)sin2α+sinαcosα+2 = sin2α+sinαcosα tan2α+tanα +2= +2 2 2 sin α+cos α 1+tan2α
2

3π? 1 ① 若 cos? ?α- 2 ?=5,求 f(α)的值; ② 若 α=-1860° ,求 f(α)的值. 解:(1) (-sinα)(-cosα)(-sinα)(-sinα) 原式= (-cosα)· sinα· sinα· cosα =-tanα. sinα· cosα· tanα (2)f(α)= =-cosα. (-tanα)· sinα 3π? 1 ① cos? ?α- 2 ?=-sinα=5, 1 ∴ sinα=- . 5 ∵ α 是第三象限的角, ∴ cosα=- 1 2 2 6 - ? =- 1-? . ? 5? 5

?1? +1 ?2? 2 13 = . 2+2= 5 1 ? ? 1+?2?
【 评 析 】 (1) 形 如 asinα + bcosα 和 asin2α + bsinαcosα+ccos2α 的式子分别称为关于 sinα,cosα 的 一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通 常转化为正切(分子分母同除以 cosα 或 cos2α)求解. 如 2 2 果分母为 1, 可考虑将 1 写成 sin α+cos α.(2)已知 tanα =m 的条件下,求解关于 sinα,cosα 的齐次式问题, 必须注意以下几点:① 一定是关于 sinα,cosα 的齐次 式(或能化为齐次式)的三角函数式.② 因为 cosα≠0, n * 所以可以用 cos α(n∈ N )除之, 这样可以将被求式化为 关于 tanα 的表示式,可整体代入 tanα=m 的值,从而 完成被求式的求值运算.③ 注意 1=sin2α+cos2α 的运 用.

2 f(α)=-cosα= 6. 5 1 ② f(α)=-cos(-1860° )=-cos(-60° )=- . 2 【评析】① 三角式的化简通常先用诱导公式,将 角度统一后再用同角三角函数关系式,这可以避免交 错使用公式时导致的混乱.② 在运用公式时正确判断 符号至关重要.③ 三角函数的化简、求值是三角函数 中的基本问题,也是高考常考的问题,要予以重视.

已知 tanα=3,求 sin2α-3sinαcosα+1 的值. 解法一:sin2α-3sinαcosα+1
10

= =

sin2α-3sinαcosα tan2α-3tanα +1= +1 2 2 sin α+cos α 1+tan2α 32-3× 3 +1=1. 1+32

(4)理解 sinα± cosα,sinαcosα 的内在联系,必要时 可用方程思想或整体代换方法解决.

解法二:∵ tanα=3>0,∴ α 是第一、三象限角.
?sin2α+cos2α=1, ? 由? ?sinα=3cosα, ?

1.sin585° 的值为( A.- 2 2 B.

) 2 2 C.- 3 2 D. 3 2 2 . 2

?sinα=10 10, 有? (α 为第一象限角), 10 ?cosα= 10 ? 或? 10 ?cosα=- 10
sinα=- 3 ∴ sinαcosα= . 10 9 3 ∴ sin2α-3sinαcosα+1= -3× +1=1. 10 10 3 10, 10 (α 为第三象限角).

3

× 6+45° )=-sin45° 解:sin585° =sin(90° =- 故选 A. 3 ?π,π?,则 tanα 的值为( 2.若 sinα= ,α∈ ?2 ? 5 3 A. 4 3 B.- 4 4 C. 3 4 D.- 3

)

3 ?π,π?,∴cosα=-4. 解:∵ sinα= ,α∈ ?2 ? 5 5 sinα 3 ∴ tanα= =- .故选 B. cosα 4 3.下列关系式中正确的是( A.sin11° <cos10° <sin168° B.sin168° <sin11° <cos10° C.sin11° <sin168° <cos10° D.sin168° <cos10° <sin11° )

1.诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用 时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取. 2.已知一个角的某一个三角函数值,求这个角 的其他三角函数值,这类问题用同角三角函数的基本 关系式求解,一般分为三种情况: (1) 一个角的某一个三角函数值和这个角所在的 象限或终边所在的位置都是已知的,此类情况只有一 组解. (2)一个角的某一个三角函数值是已知的,但这个 角所在的象限或终边所在的位置没有给出,解答这类 问题,首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在 的象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求解. (3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的, 此类情况须对字母进行讨论,并注意适当选取分类标 准,一般有两组解. 3.计算、化简三角函数式常用技巧 (1)减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦 为切,如涉及 sinα,cosα 的齐次分式问题,常采用分 子分母同除以 cosnα(n∈ N*), 这样可以将被求式化为关 于 tanα 的式子. ※ (2)巧用“1”进行变形,如 1=sin2α+cos2α= tanαcotα=tan45° =sec2α-tan2α 等. (3)平方关系式需开方时,应慎重考虑符号的选取.
11

-12° )= 解: ∵ cos10° =sin80° , sin168° =sin(180° sin12° ,∴ sin11° <sin168° <cos10° .故选 C. 4. 已知 f(cosx)=cos2x, 则 f(sin15° )的值等于( ) 1 A. 2 1 B.- 2 C. 3 2 D.- 3 2

解:f(sin15° )=f(cos75° )=cos150° =- 5.若 sinα 是 5x2-7x-6=0 的根,则 3π? ?3π ? 2 sin? ?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan (2π-α) π π -α?cos? +α?sin(π+α) cos? 2 ? ? ?2 ? 3 A. 5 5 B. 3 4 C. 5

3 .故选 D. 2

=(

)

5 D. 4

3 解:由 5x2-7x-6=0 得 x=- 或 x=2.∴ sinα= 5 cosα(-cosα)· tan2α 3 1 5 - .∴原式= = = . 5 sinα· (-sinα)· (-sinα) -sinα 3 故选 B. 辽宁)已知 sinα-cosα= 2,α∈ (0,π), 6.(2012· 则 tanα=( )

A.-1

B.-

2 2

C.

2 2

D.1

1 ∴ 两边平方得 1+2sinAcosA= . 25 12 ∴ sinAcosA=- . 25 12 (2)由(1)sinAcosA=- <0,且 0<A<π, 25 可知 cosA<0,∴ A 为钝角,△ ABC 是钝角三角形. 49 (3)∵ (sinA-cosA)2=1-2sinAcosA= , 25 7 sinA>0,cosA<0,∴ sinA-cosA= . 5 4 3 4 ∴ sinA= ,cosA=- .∴ tanA=- . 5 5 3 2 1 11.(1)已知 tanα=3,求 sin2α+ cos2α 的值. 3 4 1 1 (2)已知 =1,求 的值. tanα-1 1+sinαcosα 2 2 1 sin α+ cos2α 3 4 2 1 解:(1) sin2α+ cos2α= 2 3 4 sin α+cos2α 2 2 1 2 2 1 tan α+ × 3+ 3 4 3 4 5 = 2 = 2 = . 8 tan α+1 3 +1 (2)由 1 =1 得 tanα=2, tanα-1

解 : 将 sinα - cosα = 2 两 端 平 方 , 整 理 得 2sinαcosα 2tanα 2sinαcosα=-1,∴ 2sinαcosα= 2 2 = sin α+cos α tan2α+1 =-1,即(tanα+1) =0,解得 tanα=-1.故选 A. 1 π π 7.已知 sinαcosα= ,且 <α< ,则 cosα-sinα 8 4 2 的值是________. π π 解: ∵ < α < , ∴ sinα > cosα.∵ 1 - 2sinαcosα = 4 2 3 3 3 (cosα-sinα)2= ,∴ cosα-sinα=- .故填- . 4 2 2 8.f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a,b,α, β 均为非零实数), 若 f(2013)=6, 则 f(2014)=________. 解: f(2013)=asin(2013π+α)+bcos(2013π+β)+4 = - asinα - bcosβ + 4 = 6 , ∴ asinα + bcosβ = - 2 , ∴ f(2014) = asin(2014π + α) + bcos(2014π + β) + 4 = asinα+bcosβ+4=2.故填 2. π? 2π? 9.化简 sin? cos? ?kπ+3?· ?3kπ+ 3 ?(k∈Z). π? 2π? 解:原式=sin? cos? ?kπ+3?· ?kπ+ 3 ?(k∈Z). 当 k=2n(n∈ Z)时, π ?2nπ+2π? 2nπ+ ?· 原式=sin? cos 3? 3? ? ? π 2π 3 ? 1? 3 - =- . =sin · cos = × 3 3 2 ? 2? 4 当 k=2n+1(n∈ Z)时, π? ? 2π 原式=sin? cos?3(2n+1)π+ 3 ? ?(2n+1)π+3?· ? π? 2π? =sin? cos? ?π+3?· ?π+ 3 ? 2π π? -cos ? =-sin · 3? 3? =- 3 1 3 × =- . 2 2 4
2

sin2α+cos2α 1 = 2 1+sinαcosα sin α+cos2α+sinαcosα = = tan2α+1 tan α+tanα+1
2

22+1 5 = . 2 +2+1 7
2

若 A,B 是锐角△ ABC 的两个内角,则 点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 π 解:∵ A+B> ,且 A,B 为锐角, 2 π π π ? ∴ >A> -B>0,∴ sinA>sin? ?2-B?=cosB, 2 2 π ? cosA<cos? ?2-B?=sinB, ∴ cosB-sinA<0,sinB-cosA>0, ∴ 点 P 在第二象限.故选 B.

π ?3kπ+2π?=- 3(k∈Z). kπ+ ?· 综上可得 sin? cos 3 3? ? ? ? 4 1 10.已知在△ ABC 中,sinA+cosA= . 5 (1)求 sinAcosA; (2)判断△ ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tanA 的值. 1 解:(1)∵ sinA+cosA= , 5
12

§ 4.3

三角函数的图象与性质
________________,那么函数 f(x)就叫做周期函数, 非零常数 T 叫做这个函数的周期. 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正

1.能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象. 2.了解三角函数的周期性. 3.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、 最大值和最小值以及图象与 x 轴的交 点等). π π? 4.理解正切函数在区间? ?-2,2?内的单调性. 近几年高考加强了对三角函数的图象与性质的考 查.因为三角函数的性质是研究三角函数的主体,是 学习高等数学和应用技术学科的基础,又是解决实际 问题的工具.至于图象,则是运用数形结合方法的基 础,是性质的形的表现,利用三角函数的图象的直观 性可以得出三角函数的性质,利用三角函数的性质可 以描绘三角函数的图象,以形助数,以数辅形.

数就叫做 f(x)的________________. 3.三角函数的图象和性质 函数 y=sinx 性质 定义域 ① ② ③ y=cosx y=tanx

图象

值域

④ 对称轴: ⑥ 对称中心: ⑦

⑤ 对称轴: ⑧ 对称中心: ⑨
12 ○

R 无对称轴; 对称中心; ⑩
13 ○

对称性

最小正 周期

11 ○

单调增区间 单调性 1.“五点法”作图 (1)在确定正弦函数 y=sinx 在[0,2π]上的图象形 状时,起关键作用的五个点是 , . (2)在确定余弦函数 y=cosx 在[0,2π]上的图象形 状时,起关键作用的五个点是 , . 2.周期函数:对于函数 f(x),如果存在一个非零 常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有
13
14 ○

单调增区间
16 ○

单调增区间
18 ○

单调减区间
15 ○ 19 ○

单调减区间
17 ○ 20 ○

奇偶性

21 ○

, , ,

【自查自纠】 π ? ?3π ? 1.(1)(0,0) ? ?2,1? (π,0) ? 2 ,-1? (2π,0) π ? (2)(0,1) ? ?2,0? 3 ? (π,-1) ? ?2π,0? (2π,1)

, , ,

2.f(x+T)=f(x) 最小正周期 π ? ? ?x|x≠kπ+ ,k∈ Z? 3.① R ② R ③ 2 ? ? ④ [-1,1] π ⑤ [-1,1] ⑥ x=kπ+ (k∈ Z) 2 ⑧ x=kπ(k∈ Z)

⑦ (kπ,0)(k∈ Z)

?kπ+π,0?(k∈Z) ⑨ 2 ? ? ?kπ,0?(k∈Z) ⑩ ?2 ?
11 2π ○ 12 2π ○ 13 π ○

π D.4, 3 π 3π 3 5π - ?= ,∴ 解:由图知 T= -? T=π,ω=2, 4 12 ? 3? 4 5π? 5π 5π π π f? +φ)=2, 即 +φ= +2kπ, φ=- + ?12?=2sin(2· 12 6 2 3 π π π 2kπ,k∈ Z.∵ - <φ< ,∴ φ=- .故选 A. 2 2 3 x 函数 f(x) = 2sin 对 于任意的 x∈ R ,都有 4
19 奇函数 ○

π π 14 ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈ ○ Z) 2 2? ? π 3π 15 ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈ ○ Z) 2 2? ?
16 [2kπ-π,2kπ](k∈ ○ Z) 17 [2kπ,2kπ+π](k∈ ○ Z)

π π 18 ?kπ- ,kπ+ ?(k∈ ○ Z) 2 2? ?
20 偶函数 ○ 21 奇函数 ○

f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为________. 解:由 f(x1)≤f(x)≤f(x2),知 f(x1),f(x2)分别为 f(x) x π 的最小值和最大值,当 = 2k1π - ,即 x = 8k1π - 4 2 x π 2π(k1∈ Z)时,f(x)取最小值;而 =2k2π+ ,即 x=8k2π 4 2

函数 f(x)=sin2x 是(

)

+2π(k2∈ Z)时, f(x)取最大值, ∴ |x1-x2|的最小值为 4π. 故填 4π. x+φ 函数 f(x)=sin (φ∈ [0,2π])是偶函数,则 3 φ=___________. 解:∵ 函数 f(x)=sin x+φ [0,2π])是偶函数, φ∈ 3 (

A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 解:∵ f(-x)=-sin2x=-f(x),∴ 函数 f(x)是奇函 2π 数,最小正周期 T= =π.故选 C. 2 π? 函 数 y = sin ? ?x-4? 的 一 个 单 调 增 区 间 为 ( ) 3π 7π? A.? ?4,4? π π? C.? ?-2,2? π 3π - , ? B.? ? 4 4? 3π π? D.? ?- 4 ,4?

φ π 3π [0,2π],∴φ ∴ = +kπ,φ= +3kπ,k∈ Z.又∵ φ∈ 3 2 2 = 3π 3π .故填 . 2 2

π π π π 解:由 2kπ- ≤x- ≤2kπ+ (k∈ Z),解得 2kπ- 2 4 2 4 π? 3π ≤x≤2kπ+ (k∈ Z).因此,函数 y=sin? ?x-4?的单调增 4 π 3π 区间为[2kπ- ,2kπ+ ](k∈ Z).故选 B. 4 4 π π 函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的部 2 2 分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是( π A.2,- 3 π B.2,- 6 π C.4,- 6
14

类型一

三角函数的定义域

求 y=lg(sinx-cosx)的定义域. 解:要使函数有意义,必须使 sinx-cosx>0. 解法一:利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π] 上 y=sinx 和 y=cosx 的图象,如图所示:

)

π 5π 在[0,2π]内,满足 sinx=cosx 的 x 为 , ,在 4 4

?π,5π?内 sinx>cosx,再结合正弦、余弦函数的周期 ?4 4 ?

π 5π 是 2π,所以定义域为{x| +2kπ<x< +2kπ,k∈ Z}. 4 4

π 2 {x|2kπ<x<2kπ+π,且 x≠2kπ+ ,x≠2kπ+ π, 3 3 k∈ Z}.

类型二

三角函数的周期性

解法二:利用三角函数线,如图,MN 为正弦线, π 5π OM 为余弦线, 要使 sinx>cosx, 则 <x< (在[0, 2π] 4 4 内). π 5π ∴ 定义域为{x| +2kπ<x< +2kπ,k∈ Z}. 4 4 π? 解法三:sinx-cosx= 2sin? ?x-4?>0,由正弦函 π 数 y=sinx 的图象和性质可知 2kπ<x- <π+2kπ,解 4 π 5π 得 2kπ+ <x< +2kπ,k∈ Z. 4 4 5π ? π ? Z?. ∴ 定义域为?x|4+2kπ<x< 4 +2kπ,k∈
? ?

求下列函数的最小正周期. (1)y=(asinx+cosx)2(a∈ R); π? 2 (2)y=2cosxsin? ?x+3?- 3sin x+sinxcosx;

?4x-π??. (3)y=2? sin 3?? ? ?
解:(1)y=[ a2+1sin(x+φ)]2 =(a2+1)sin2(x+φ) 1-cos(2x+2φ) =(a2+1)· (φ 为辅助角), 2 2π 所以此函数的最小正周期为 T= =π. 2 1 3 (2)y=2cosx? sinx+ cosx?- 3sin2x+sinxcosx 2 ?2 ? =sinxcosx+ 3cos2x- 3sin2x+sinxcosx =sin2x+ 3cos2x π? =2sin? ?2x+3?, 该函数的最小正周期为 T= 2π =π. 2

【评析】① 求三角函数的定义域常常归结为解三 角不等式(或等式); ② 求三角函数的定义域经常借助两 个工具, 即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象, 有时也利用数轴;③ 对于较为复杂的求三角函数的定 义域问题,应先列出不等式(组)分别求解,然后利用 数轴或三角函数线求交集.

π?? ? (3)y =2? ?sin?4x-3?? 的最小正周期是 y= 2sin(4x 求下列函数的定义域: (1)y= sin(cosx); lgsinx (2)y= . 2sinx- 3 解:(1)∵ y= sin(cosx),∴ sin(cosx)≥0.
?2kπ≤cosx≤2kπ+π(k∈ Z), ? ? ∴ ? ?-1≤cosx≤1.

π 1 2π π - )的最小正周期的一半,即 T= × = . 3 2 4 4 【评析】① 求三角函数的周期,通常应将函数式 化为只有一个函数名,且角度唯一,最高次数为一次 的形式, 然后借助于常见三角函数的周期来求解. ② 注意 带绝对值的三角函数的周期是否减半,可用图象法判 π? π 定, y=2|sin(4x- )|的图象即是将 y=2sin? ?4x-3?的图 3 象在 x 轴下方部分翻折到 x 轴的上方去. π? 已知函数 f(x)=tan? ?2x+4?. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; ?0,π?,若 f?α?=2cos2α,求 α 的大小. (2)设 α∈ ? 4? ? 2? π π π kπ 解:(1)由 2x+ ≠ +kπ,k∈ Z,得 x≠ + ,k∈ Z. 4 2 8 2
15

∴ 0≤cosx≤1. π π ∴ 2nπ- ≤x≤2nπ+ (n∈ Z). 2 2 π π ? ? Z?. 即所求函数的定义域为?x|2nπ-2≤x≤2nπ+2,n∈ ? ?

?sinx>0, lgsinx (2)∵ y= ,∴ ? 2sinx- 3 ?2sinx- 3≠0.
∴ 原函数的定义域为

π kπ 所以 f(x)的定义域为{x|x≠ + ,k∈ Z}.f(x)的最小正 8 2 π 周期 T= . 2 α? ?α+π? = 2cos2α , (2) 由 f ? = 2cos2 α , 得 tan ?2? ? 4? π? sin? ?α+4? π α+ ? cos? ? 4? sinα+cosα = cosα-sinα 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 2sinx-1; (2)f(x)=lg(sinx+ 1+sin2x). 1 解:(1)∵ 2sinx-1≥0,∴ sinx≥ , 2

= 2(cos2α - sin2α) , 整 理 得

?2kπ+π,2kπ+5π?(k∈Z), 即 x∈ 此区间不关于原 6 6? ?
点对称. ∴ f(x)是非奇非偶函数. (2)由题意知函数 f(x)的定义域为 R. f(-x)=lg[sin(-x)+ 1+sin2(-x)] =lg(-sinx+ 1+sin2x) =lg 1 1+sin2x+sinx

?0,π?,所以 sinα 2(cosα+sinα)(cosα-sinα).因为 α∈ ? 4?
1 1 +cosα≠0,因此(cosα-sinα)2= ,即 sin2α= . 2 2

?0,π?,得 2α∈ ?0,π?. 由 α∈ ? 4? ? 2?
π π 所以 2α= ,即 α= . 6 12

=-lg( 1+sin2x+sinx) =-f(x). ∴ 函数 f(x)是奇函数.

类型三

三角函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性. π ? (1)f(x)=cos? ?2+2x?cos(π+x); 1+sinx-cosx (2)f(x)= . 1+sinx+cosx π ? 解:(1)f(x)=cos? ?2+2x?cos(π+x) =(-sin2x)(-cosx) =cosxsin2x. ∵ f(-x)=cos(-x)sin2(-x)=-cosxsin2x=-f(x), x∈ R ,∴ f(x)是奇函数. x x x sin +cos ?≠0, (2)∵ 1+sinx+cosx=2cos ? 2? 2? 2 π ∴ x≠π+2kπ 且 x≠- +2kπ,k∈ Z. 2 ∴ f(x)的定义域不关于原点对称,故 f(x)是非奇非 偶函数. 【评析】判断三角函数奇偶性时,必须先检查定 义域是否是关于原点的对称区间, 如果是, 再验证 f(-x) 是否等于-f(x)或 f(x),进而判断函数的奇偶性;如果 不是,则该函数必为非奇非偶函数.另外,对较复杂 的解析式,可选择先化简再判断,也可直接用-x 取 代 x,再化简判断,还可利用 f(-x)± f(x)=0 是否成立 来判断其奇偶性.
16

类型四

三角函数图象的对称性

π? (1)已知 f(x )= 2sin? ?x+ 3 ?(x∈R),函数 y π? =f(x+φ)? 则 φ 的值 ?|φ|≤2?的图象关于直线 x=0 对称, 为________. π 解:y=f(x+φ)=2sin(x+ +φ)的图象关于 x=0 3 π π 对称,即 f(x+φ)为偶函数.∴ +φ= +kπ,k∈ Z,即 3 2 π π π π φ=kπ+ ,k∈ Z,又|φ|≤ ,所以 φ= .故填 . 6 2 6 6 π? (2)函数 y= 2sin? ?2x+4?+1 的图象的一个对称 中心的坐标是( 3π ? A.? ? 8 ,0? π ? C.? ?8,1? ) 3π ? B.? ? 8 ,1? π ? D.? ?-8,-1?

π 解:对称中心的横坐标满足 2 x + = k π,解得 4 π kπ 3π x =- + ,k∈ Z.当 k=1 时,x= ,y=1.故选 B. 8 2 8

【评析】① 解此类选择题最快捷的方式往往是代 入验证法;② 对于函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B,如果求 f(x)图象的对称轴,只需解方程 sin(ωx+φ)=± 1,也就 π 是令 ωx+φ= +kπ(k∈ Z)求 x; 如果求 f(x)图象的对称 2 中心,只需解方程 sin(ωx+φ)=0,也就是令 ωx+φ= kπ(k∈ Z);③ 对于较复杂的三角函数表达式,有时可以 通过恒等变换为② 的情形,这一部分将在“4.6 三角恒 等变换”中涉及. π ? 已知函数 g(x)= 2cos? ?2x+4+2m?+2 的图象关于点(0,2)对称,求 m 的最小正值. 解:∵ y=g(x)的图象关于点(0,2)对称, π π ∴ 2× 0+ +2m= +kπ,k∈ Z. 4 2 kπ π ∴ m= + ,k∈ Z. 2 8 π ∴ 当 k=0 时,m 取得最小正值 . 8

4 8 ? ∴函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 ? ?4kπ-3π,4kπ+3π? (k∈ Z). 【评析】若函数 y=sin(ωx+φ)中 ω<0,可用诱 导公式将函数变为 y=-sin(-ωx-φ)的形式(目的是 将 x 的系数变为正),将“-ωx-φ”视为一个整体,那 么 y=-sin(-ωx-φ)的增区间为 y=sin(-ωx-φ)的 减区间,其减区间为 y=sin(-ωx-φ)的增区间.对于 函数 y=cos(ωx+φ), y=tan(ωx+φ)(ω<0)等的单调性 的讨论同上.

已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实

?π??对 x∈ ?π?>f(π),则 数.若 f(x)≤? f R 恒成立,且 f ? ?6?? ?2?
f(x)的单调递增区间是( ) π π? A.? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z) π? B.? ?kπ,kπ+2?(k∈Z) π 2π? C.? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) π ? D.? ?kπ-2,kπ?(k∈Z) π 解:由题意知,f(x)在 处取得最大值或最小值, 6 π ∴ x= 是函数 f(x)的对称轴. 6 π π π ∴ 2× +φ= +kπ,φ= +kπ,k∈ Z. 6 2 6 π? 又由 f? ?2?>f(π)得 sinφ<0, 5 5 ∴ φ=- π+2kπ,不妨取 φ=- π. 6 6 5π 2x- ?. ∴ f(x)=sin? 6? ? π 5 π 由 2kπ- ≤2x- π≤2kπ+ ,得 2 6 2 π 2π? f(x)的单调增区间为? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z). 故选 C.

类型五

三角函数的单调性

π ? (1) 求 函数 y = sin ? ?3 - 2 x?的 单调 递 减 区间; π x? (2)求 y=3tan? ?6-4?的最小正周期及单调区间. π π? ? ? 解:(1)y=sin? ?3-2x?=-sin?2x-3?, π π π 故由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 2 3 2 π 5 解得 kπ- ≤x≤kπ+ π(k∈ Z). 12 12 π 5 ? ∴函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 ? ?kπ-12,kπ+12π? (k∈ Z). π x? ?x π? (2)y=3tan? ?6-4?=-3tan?4-6?, T= = =4π. |ω| 1 4 π x π π 由 kπ- < - <kπ+ , 2 4 6 2 4 8 解得 4kπ- π<x<4kπ+ π(k∈ Z). 3 3
17

π

π

类型六

三角函数的最值

π? (1)已知函数 f(x)= 2cos? ?2x+4?.求函数

π ? f(x)在区间? ?-2,0?上的最大值和最小值. cosx-2 (2)求 y= 的最小值; cosx-1

(1)求 f(x)的最小正周期; π? (2)求 f(x)在? ?0,2?上的最大值和最小值. 解:(1)f(x)的最小正周期为 π. ?0, π?时,2x- π∈?- π, 5π?,由函数 (2)当 x ∈ ? 2? 6 ? 6 6? π 5π - , ?上的图象知, y= sin x 在 ? ? 6 6? π? ? ?π?? ? 1 ? f(x)=sin? ?2x-6?∈?f(0),f?3??=?-2,1?. π? 所以 f(x)在? ?0,2?上的最大值和最小值分别为 1, 1 - . 2

?π,2π?的最值. (3)求 y=-3sin2x-4cosx+4,x∈ ?3 3 ?
π 3 π π 解:(1)∵ - ≤x≤0,∴ - π≤2x+ ≤ , 2 4 4 4 π 3 π ∴ 当 2x+ =- π,即 x=- 时,f(x)有最小值, 4 4 2 f(x)min=-1; π π 当 2x+ =0,即 x=- 时,f(x)有最大值,f(x)max 4 8 = 2, π ? 即 f(x)在? 最大值为 2. ?-2,0?上的最小值为-1, (2) 解 法 一 : ∵ y= 1 , 1-cosx 1 3 ∴ 当 cosx=-1 时,ymin=1+ = . 2 2 cosx-2 y-2 解法二:由 y= ,得 cosx= , cosx-1 y-1 y-2 又∵ -1≤cosx<1,∴ -1≤ <1. y-1 3 3 ∴ y≥ .∴ 函数的最小值为 . 2 2 2? 1 (3)原式=3cos2x-4cosx+1=3? ?cosx-3? -3,
2

cosx-2 cosx-1-1 = =1+ cosx-1 cosx-1 1.三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提, 求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等 式(组).一般可用三角函数的图象或三角函数线来确 定三角不等式的解.列三角不等式时,要考虑全面, 避免遗漏,既要考虑分式的分母不能为零;偶次方根 的被开方数不小于零;对数的真数大于零及底数大于 零且不等于 1,又要考虑三角函数本身的定义域(如正 切函数等). (2)三角函数值域的求法 三角函数的值域问题,大多是含有三角函数的复 合函数值域问题,常用的方法为:化为代数函数的值 域,也可以通过三角恒等变形化为求 y=Asin(ωx+φ) +B 的值域;或化为关于 sinx(或 cosx)的二次函数式, 再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间 上的值域. 2.三角函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对称 性,注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数;复合 函数在复合过程中,对每个函数而言,“同奇才奇、一 偶则偶”.一般情况下,需先对函数式进行化简,再判 断其奇偶性. 3.三角函数的周期性 (1)求三角函数的周期,通常应将函数式化为只有 一个函数名,且角度唯一,最高次数为一次的形式, 然后借助于常见三角函数的周期来求解. (2)三角函数的最小正周期的求法有:① 由定义出
18

?π,2π?,cosx∈ ?-1,1?, ∵ x∈ ?3 3 ? ? 2 2?
1 2 15 从而当 cosx=- ,即 x= π 时,y 有最大值 . 2 3 4 1 π 1 当 cosx= ,即 x= 时,y 有最小值- . 2 3 4 π - ,0?上的范围, 【评析】(1)先求出 ωx+φ 在? ? 2 ? 然后根据单调性求解.(2)这里把 cosx 整体看作自变 量,把三角函数式看成关于 cosx 的分式函数、二次函 数,用代数的方法来求最值,当然还要注意余弦函数 性质的运用.这种在知识交汇处的小综合,是值得引 起我们重视的热点问题. π? 已知函数 f(x)=sin? R. ?2x-6?,x∈

发去探求;② 公式法:化成 y=Asin(ωx+φ),或 y= 2π π Atan(ωx+φ)等类型后,用基本结论 T= 或 T= 来 |ω| |ω| 确定;③ 根据图象来判断. 4.三角函数的单调性 (1)三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化 为基本三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数 形结合方法求解.关于复合函数的单调性见“2.2 函数 的单调性与最大(小)值”. (2) 利用三角函数的单调性比较两个同名三角函 数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同 一单调区间内,不属于的,可先化至同一单调区间 内.若不是同名三角函数,则应考虑化为同名三角函 数或用差值法(例如与 0 比较,与 1 比较等)求解.

5π π? 2π 解: 由题意知 T=2? ω= =1, ∴ f(x) ? 4 -4?=2π, T π π π =sin(x+φ).又∵ +φ= +kπ,∴ φ= +kπ,k∈ Z. 4 2 4 π ∵ 0<φ<π,∴ φ= .故选 A. 4 π? ? ? π π?? 4.已知函数 f(x)=2sin? ?x+θ+3? ?θ∈?-2,2?? 是偶函数,则 θ 的值为( π A.0 B. 6 ) π C. 4 π D. 3

π π 解: 若函数为偶函数, 则必有 θ+ =kπ+ (k∈ Z), 3 2

?-π,π?,故有 θ+π=π,解得 θ=π,经检 又由于 θ∈ ? 2 2? 3 2 6
验符合题意.故选 B. 5. 设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0, |φ| π < )的最小正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则( ) 2 π 0, ?上单调递减 A.f(x)在? ? 2? π 3π? B.f(x)在? ?4, 4 ?上单调递减 π? C.f(x)在? ?0,2?上单调递增 π 3π? D.f(x)在? ?4, 4 ?上单调递增 π 解:由条件得 f(x)= 2[cos(ωx+φ)cos +sin(ωx 4 π π ωx+φ- ?,由于 f(x)的最小正周期 +φ)sin ]= 2cos? 4? ? 4 π 为 π 且 f(x)为偶函数, ∴ ω=2, φ= , 即 f(x)= 2cos2x. 4 π? 由余弦函数性质知 f(x)在? ?0,2?上单调递减.故选 A. π? 全国)已知 ω>0, 6. (2012· 函数 f(x)=sin? ?ωx+4?在

1-cos4x 1.函数 f(x)= 是( 4 π A.周期为 的非奇非偶函数 2 B.周期为 π 的奇函数 π C.周期为 的奇函数 2 π D.周期为 的偶函数 2

)

2π π 解:T= = 且为偶函数.故选 D. 4 2 4π ? 2. 如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? ? 3 ,0? 成中心对称,那么|φ|的最小值为( ) π π π A. B. C. 6 4 3 π D. 2

8π 8π π ? 解:依题意得 3cos? ? 3 +φ?=0, 3 +φ=kπ+2, 13 π φ=kπ- π(k∈ Z),因此|φ|的最小值是 .故选 A. 6 6 π 全国)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x 3.(2012· 4 = 5π 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称 4 ) π B. 3 π C. 2 3π D. 4

?π,π?上单调递减,则 ω 的取值范围是( ?2 ?
1 5? A.? ?2,4? 1? C.? ?0,2? 1 3? B.? ?2,4? D.(0,2]

)

轴,则 φ=( π A. 4

π π ?πω π ?π,π?,∴ + ,πω+ ?. 解:∵ x∈ ωx+ ∈ 4? ?2 ? 4 ?2 4

19

πω π π? 3π ?π ? 又 ∵ ? ? 2 +4,πω+4? ? ?2+2kπ, 2 +2kπ?

π 5π 又 0<θ< ,解得 θ= . 2 12 10.已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx. π? (1)求 f? ?3?的值; (2)求 f(x)的最大值和最小值. π? 2 π 2π 解:(1)f? ?3?=2cos3π+sin 3-4cos3 3 9 =-1+ -2=- . 4 4 (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x 2 2 7 cosx- ? - ,x∈ -4cosx-1=3? R. 3? 3 ? 因为 cosx∈ [-1,1],所以当 cosx=-1 时,f(x) 取最大值 6; 2 7 当 cosx= 时,f(x)取最小值- . 3 3 π 重庆 ) 设 f (x) = 4cos ?ωx- ? sinωx - 11 . ( 2012· 6? ? cos(2ωx+π),其中 ω>0. (1)求函数 y=f(x)的值域; 3π π - , ?上为增函数, (2)若 f(x)在区间? 求 ω 的最 ? 2 2? 大值. π π? 解 : (1)f (x) = 4 ? ?cosωxcos6+sinωxsin6? sinωx + cos2ωx =2 3sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin2ωx+1, ∴ f(x)的值域为[1- 3,1+ 3]. (2) 易知 f(x)= 3sin2ωx+1(ω>0)在闭区间 [ π kπ π Z)上为增函数, , + ](k∈ 4ω ω 4ω kπ - ω

(k∈Z),

? 2 +4≥2+2kπ, ∴? π 3π ?πω+4≤ 2 +2kπ,
k∈ Z.

πω π π

1 5 解 得 + 4k≤ω≤ + 2k , 2 4

1 5 ∵ ω>0,∴ 当 k=0 时,以上不等式有解, ≤ω≤ . 2 4 故选 A. π? 2 7.函数 f(x)=sin? ?2x-4?-2 2sin x 的最小正周 期是________. π? 2 2 2 解: f(x) = sin ? ?2x-4? - 2 2sin x = 2 sin2x - 2 1-cos2x 2 2 cos2x - 2 2 × = sin2x + cos2x - 2 = 2 2 2 π 2π 2x+ ?- 2, sin? 故该函数的最小正周期为 T= =π. 4? ? 2 故填 π. 8. 函数 f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数, 则 tanθ=________. 解:函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)为奇函数,所 以 f(0)=0,即 f(0)= 3cosθ+sinθ=0(使 cosθ=0 的 θ 值不满足题设条件,故 cosθ≠0),得 tanθ=- 3.故填 - 3. π? 9.已知 f(x)=2sin? ?2x-3?. (1)求函数 y=f(x)的单调递减区间; π? (2)若函数 y=f(x+θ)? ?0<θ<2?为偶函数,求 θ 的 值. π π 3π 解:(1)令 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈ Z, 2 3 2 5π 11π? 解得单调递减区间是? Z. ?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈ π 2x+2θ- ?. (2)f(x+θ)=2sin? 3? ? 根据三角函数图象性质可知, π? y=f(x+θ)? ?0<θ<2?在 x=0 处取最值, π? ∴ sin? 1, ?2θ-3?=± π π kπ 5π ∴ 2θ- =kπ+ ,θ= + ,k∈ Z. 3 2 2 12
20

?-3π,π???kπ- π ,kπ+ π ?对某个 k∈Z 成 ∴ ? 2 2? ? ω 4ω ω 4ω?

?- 2 ≥-4ω, 1 立.易知 k=0,则? 解得 ω≤ .∴ ω 的最 6 π π ?2≤4ω,
1 大值为 . 6 安徽模拟) 定义在 R 上的偶函数 ( 2013· f(x)满足 f(2-x)=f(x), 且在[-3, -2]上是减函数, α, β 是钝角三角形的两个锐角, 则下列结论正确是( )



π

A.f(sinα)>f(cosβ) C.f(cosα)<f(cosβ) ∴ f(x)在[2,3]上单调递增.

B.f(sinα)<f(cosβ) D.f(cosα)>f(cosβ)

π π π ∵ α+β< ,α>0,β>0,∴ 0<α< -β< , 2 2 2 π ? ∴ sinα<sin? ?2-β?=cosβ. 又∵ sinα,cosβ∈ (0,1), ∴ f(sinα)<f(cosβ).故选 B.

解:∵ f(x)是偶函数,且在[-3,-2]上单调递减, ∵ f(x)=f(2-x)=f(x-2),即周期 T=2, ∴ f(x)在[0,1]上也单调递增.

21

§ 4.4

三角函数图象的变换
简谐运动的图象所对应的函数解析式 y=Asin(ωx +φ),x∈ [0,+∞),其中 A>0,ω>0.在物理中,描述 简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个 解析式中的常数有关:A 就是这个简谐运动的振幅, 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这 个简谐运动的周期是 T= , 这是做简谐运动的 物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频 1 率由公式 f= = 给出,它是做简谐运动的 T 物体在单位时间内往复运动的次数; ωx+φ 称为相位; x=________时的相位 φ 称为初相. 【自查自纠】 1. x φ - ω 0 0 A π -φ 2 ω π 2 A 1 ?φ? ω ?ω? A π-φ ω π 0 3 π-φ 2 ω 3 π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义. 2.能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A, ω,φ 对函数图象变化的影响. 高考主要考查三角函数的图象变换,三角函数式 的变换,函数的周期、最值以及函数的解析式与图象 的关系;考查可以化成 y=Asin(ωx+φ)形式的函数的 图象与性质. 一般有一个小题和一个大题(大题和恒等 变换结合),属中档题.

1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的 简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图 时,要找五个特征点,如下表所示. x ωx+φ y=Asin(ωx+φ) 2.图象变换(ω>0) 0 A 0 -A 0 3. y=Asin(ωx +φ) 2. |φ| 2π ω 1 ω ωx+φ

ω 0 2π

路径①:先向左 (φ>0) 或向右 (φ<0) 平移 ________ 个单位长度,得到函数 y=sin(x+φ)的图象;然后使 曲线上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不 变),得到函数 y=sin(ωx+φ)的图象;最后把曲线上 各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变), 这时的曲线就是 y=Asin(ωx+φ)的图象. 路径② :先将曲线上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 y=sinωx 的图象; 然后把曲线向左 (φ>0) 或向右 (φ<0) 平移 个单 位长度,得到函数 y=sin(ωx+φ)的图象;最后把曲线 上各点的纵坐标变为原来的 ________ 倍 ( 横坐标不 变),这时的曲线就是 y=Asin(ωx+φ)的图象. 3.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的物理意义
22

π? 已知函数 f(x)=sin? ?ωx+3?(ω>0)的最小正周 期为 π,则该函数的图象( ) π ? π ,0 对称 B.关于直线 x= 对称 A.关于点? 3 ? ? 4 π ? π C.关于点? ?4,0?对称 D.关于直线 x=3对称 2π 2π 解:由 T=π 知 ω= = =2, T π π? ∴ 函数 f(x)=sin? ?2x+3?. π π 函数 f(x)的对称轴满足 2x+ = +kπ(k∈ Z), 解得 3 2

π kπ x= + (k∈ Z); 12 2 π 函 数 f(x) 的 对 称 中 心 的 横 坐 标 满 足 2x + = 3 kπ(k∈ Z), π kπ 解得 x=- + (k∈ Z).故选 A. 6 2 安徽 ) 要得到函数 y = cos (2x+1) 的图 ( 2012· 象,只要将函数 y=cos2x 的图象( A.向左平移 1 个单位 1 C.向左平移 个单位 2 ) B.向右平移 1 个单位 1 D.向右平移 个单位 2

π? 为得到函数 y=cos? ?2x+3?的图象,只需将函 数 y=sin2x 的图象向左平移________个单位长度. π? π π? ? 解 : 函 数 y = cos ? ?2x+3? = sin ?2x+3+2? = 5π x+ ?,∴ sin2? 只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移 ? 12? 5π 5 个单位.故填 π . 12 12

1? 解: 由题意知, 要得到函数 y=cos2? ?x+2?的图象, 1 只要将函数 y=cos2x 的图象向左平移 个单位. 2 故选 C. 山东)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x (2013· π 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 8 的一个可能取值为( ) 3π π A. B. 4 4 π D. - 4

类型一

五点法作图

x π? 作出函数 y=2sin? ?2+3?的图象. 2π 解:周期 T= =4π,振幅 A=2. 1 2 按五个关键点列表: x π + 2 3 x y 描点作图: π 2 π 3 2 3π 2 7π 3 -2

C.0

0 2π - 3 0

π 4π 3 0

2π 10π 3 0

π 解:y=sin(2x+φ)的图象向左平移 个单位后,得 8 π? 到函数 y=sin? ?2x+φ+4?,又因为后者是偶函数,所 π π π 以 φ+ = +kπ(k∈ Z),φ= +kπ(k∈ Z),φ 的一个可 4 2 4 π 能值为 .故选 B. 4 已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的 图象如图所示,则 φ=________.

【评析】用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图, π 主要是通过变量代换,设 X=ωx+φ,由 X=0, ,π, 2 3 π,2π 来求出相应的 x 值,通过列表,计算得出五点 2 坐标,描点后得出图象.

3 5 2π 解:由图象可得 T=2(2π- π)= π= ,解之得 4 2 ω 4 4 3 ? 得 sin?3π+φ?= ω= .将( π, -1)代入 y=sin? ?5x+φ?, ?5 ? 5 4 3 3π 9π -1,则 π+φ= +2kπ,k∈ Z,即 φ= +2kπ,k∈ Z. 5 2 10 9 9 又∵ φ∈ [-π,π),∴ φ= π.故填 π. 10 10

已知曲线 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上 π ? 的一个最高点的坐标为? ?8, 2?,此点到相邻最低点 3π ? ?-π,π?. 间的曲线与 x 轴交于点? ? 8 ,0?,且 φ∈ ? 2 2? (1)试求这条曲线的函数表达式; (2) 用 “ 五点法 ” 在图中画出 (1) 中函数在一个周期
23

上的图象. 3π π? 2π 解: (1)由题意知 A= 2, T=4? ω= ? 8 -8?=π, T = 2π =2,∴ y= 2sin(2x+φ). π π 又图象过点? ?8 , 2?,

2 ? 就得到 y=sin? ?2x-3π?的图象. 解法二:先把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标 1 缩短到原来的 (纵坐标不变 ),得到 y= sin2x 的图 2 π 象,再将 y= sin2 x 的图象向右平移 个单位长度, 3 2 ? 就得到 y=sin? ?2x-3π?的图象. (3)将 y=sinx 的图象的 x 轴下方部分翻折到 x 轴 上方,去掉 x 轴下方图象,即可得到 y=|sinx|的图象. (4)先去掉 y 轴左边的 y=sinx 的图象,再将 y 轴 右边的图象翻折到 y 轴左边,保留 y 轴右边的图象, 即可得到 y=sin|x|的图象. 【评析】(1)本题主要考查图象的平移、伸缩、对 称变换.三角函数的图象变换,有两种选择.一是先 伸缩再平移,二是先平移再伸缩.特别注意平移变换 时, 当自变量 x 的系数不为 1 时, 要将系数先提出. 翻 折变换要注意翻折的方向;(2)三角函数名不同的图象 变换问题,应先将三角函数名统一,再进行变换. π? 为得到函数 y=cos? ?x+3?的图象,只需 将函数 y=sinx 的图象( ) π A.向左平移 个单位长度 6

?

π π ? 代入表达式得 2= 2sin(2·+φ), 即 sin? ?4+φ?= 8 π π π 1,从而 +φ=2kπ+ ,φ=2kπ+ ,k∈ Z. 4 2 4 π? π ?-π,π?,∴ 又∵ φ∈ φ = .∴ y= 2sin? ? 2 2? ?2x+4?. 4 (2)按五个关键点列表: π 2x+ 4 x y 描点作图: 0 - 0 π 8 π 2 π 8 2 π 3π 8 0 3π 2 5π 8 - 2 2π 7π 8 0

类型二

三角函数的图象变换

π B.向右平移 个单位长度 6 5π C.向左平移 个单位长度 6

说明由函数 y=sinx 的图象经过怎样的 变换就能得到下列函数的图象. π? 2 ? (1)y=sin? (2)y=sin? ?x+3?; ?2x-3π?; (3)y=|sinx|; (4)y=sin|x|. π 解:(1)将 y=sinx 的图象向左平移 个单位长度, 3 π? 得到 y=sin? ?x+3?的图象. 2 (2)解法一:将 y=sinx 的图象向右平移 π 个单位 3 2 ? ? 2 ? 长度,得到 y=sin? ?x-3π?的图象,再把 y=sin?x-3π? 1 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变), 2
24

5π D.向右平移 个单位长度 6 π? π? ?π ? 5 ? 解: y= cos? ?x+3? = sin ?2+x+3? = sin?x+6π?, 5 因此只需将 y=sinx 的图象向左平移 π 个单位长度. 故 6 选C.

类型三

函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的图象及其 变换
函数 f(x)=sin(2x+φ)+acos(2x+φ),其

π 中 a 为正常数且 0<φ<π, 若 f(x)的图象关于直线 x= 对 6 称,f(x)的最大值为 2.

(1)求 a 和 φ 的值; (2)求 f(x)的振幅、周期和初相; (3) 用五点法作出它的长度为一个周期的闭区间 上的图象; (4) 由 y = f(x) 的图象经过怎样的平移得到 y = π? 2sin? ?2x+3?的图象? 解:(1)f(x)=sin(2x+φ)+acos(2x+φ)≤ 1+a , 则由 1+a2=2 及 a>0,得 a= 3. 于是 f(x)=sin(2x+φ)+ 3cos(2x+φ) π ? =2sin? ?2x+3+φ?. π 又 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 6 π 则当 x= 时,f(x)取得最值. 6 π π π 故 2× +φ+ =kπ+ , 6 3 2 π 2π π 则 φ=kπ+ - =kπ- (k∈ Z). 2 3 6 5π 又 0<φ<π,得 φ= . 6 7π 2x+ ?, (2)由(1)可知 f(x)=2sin? 6? ? 2π 所以函数 f(x)的振幅为 2,周期 T= =π,初相 2 为 7π . 6 (3)列表,并描点画出图象. 7π 2x+ 6 x y 0 - 7π 12 π 2 - 2 π 3 π - π 12 3π 2 π 6 -2 2π 5π 12 0
2

【评析】(1)用辅助角法,将较复杂的三角式转化 成 y=Asin(ωx+φ)的形式, 利用 f(x)的最值, 可解出 a, 再根据三角函数对称轴方程的性质及 φ 的范围可确定 φ.(2) 根据解析式,由振幅、周期和初相的定义即可 求.(3)五点法作图,关键是找出与 x 相对应的五个 点.(4)要看清由谁平移到谁,注意自变量的系数不为 1 时,要将系数先提出来,再平移.

已知函数 f(x)=sin(ωx+φ), 其中 ω>0, π |φ|< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条 π 对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x)的解析式;并求 3 最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单 位长度后所对应的函数是偶函数. π 3π 解:(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 4 4 π? π π π cos? 即 φ+ = +kπ, φ= +kπ, k∈ Z. ?φ+4?=0, 4 2 4 π π 又∵ |φ|< ,∴ φ= . 2 4 π ωx+ ?. (2)解法一:由(1)得 f(x)=sin? 4? ? T π 2 2π 依题意, = ,T= π,ω= =3. 2 3 3 T π? ∴ f(x)=sin? ?3x+4?. 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位长度后所对应 的函数为 π? g(x)=sin? ?3(x+m)+4?. π π g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈ Z), 4 2 kπ π π 即 m= + (k∈ Z),从而,最小正实数 m= . 3 12 12 解法二:亦可根据偶函数的定义求.

0

0

7 ? ? 7 ? 要得 (4)因为 f(x)=2sin? ?2x+6π?=2sin2?x+12π?, π? ? π? 到 y=2sin? ?2x+3?=2sin2?x+6?,只需将 y=2sin(2x 7 5 + π)的图象向右平移 π 个单位长度即可. 6 12
25

1.五点法作函数图象及函数图象变换问题 (1)当明确了函数图象基本特征后,“描点法”是作

函数图象的快捷方式.“五点法”作图的优点是用简单 的计算、列表、描点替代图形变换,不易出错,且图 形简洁. (2)在进行三角函数图象变换时,提倡 “先平移, 后伸缩”,而“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中, 所以也必须熟练掌握,但要注意:先伸缩后平移时要 把 x 前面的系数提取出来. 2.根据图象求 y=Asin(ωx+φ),x∈ R 的解析式 的步骤: (1)首先确定振幅和周期,从而得到 A 与 ω. ① A 为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最 小值的差的一半. ② ω 由周期得到: a.函数图象在其对称轴处取得最 大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函 数的半个周期;b.函数图象与 x 轴的交点是其对称中 心, 相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期; c.一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函 1 数的 个周期(借助图象很好理解记忆). 4 (2)求 φ 的值时最好选用最值点求. π 峰点:ωx+φ= +2kπ; 2 π 谷点:ωx+φ=- +2kπ. 2 也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是 降零点. 升零点(图象上升时与 x 轴的交点): ωx+φ=2kπ; 降零点(图象下降时与 x 轴的交点):ωx+φ=π+ 2kπ(以上 k∈ Z).

π? ? π π? 解:∵ y=sin? ?2x-3?=sin2?x+12-4?, π? ? π? ∴ 只需将函数 y=sin? ?2x+6?=sin2?x+12?的图象 π π 2x- ? 向右平移 个长度单位,即可得到函数 y=sin? 3? ? 4 的图象.故选 B. 天津)将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0)的图 2.(2012· 3π ? π 象向右平移 个单位长度,所得图象经过点? ? 4 ,0?, 4 则 ω 的最小值是( ) 1 A. B.1 3 5 C. 3

D.2

π 解: 函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度得函数 4 π? ? π? g(x)=f? 由于此时函数 g(x) ?x-4?=sinω?x-4?的图象, 3π ? 3π 3π π πω ,0 ,所以 g? ?=sinω? - ?=sin =0, 过点? ?4 ? ?4? ? 4 4? 2 即 πω =kπ,ω=2k,k∈ Z. 2 ∵ ω>0,∴ ω 的最小值为 2.故选 D. π? 3. 已知函数 y=sin(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?的部分 图象如图所示,则( π A.ω=1,φ= 6 π B.ω=1,φ=- 6 π C.ω=2,φ= 6 π D.ω=2,φ=- 6 )

π 1. 为了得到函数 y=sin(2x- )的图象, 只需把函 3 π 2x+ ?的图象( 数 y=sin? 6? ? )

解: 依题意得 T =

7π π? 2π =4? ?12-3? = π , ω = 2 , ω

π 2 π ? ?2 ? sin ? ?2×3 + φ ?= sin ?3 π + φ?= 1 ,故 3 π + φ = 2 k π + 2 , π π π φ=2kπ- ,k∈ Z.又|φ|< ,因此 φ=- ,故选 D. 6 2 6 4.将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移 动 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来 10 )

π A.向左平移 个长度单位 4 π B.向右平移 个长度单位 4 π C.向左平移 个长度单位 2 π D.向右平移 个长度单位 2

的 2 倍(纵坐标不变), 所得图象的函数解析式是( π ?2x-π? 2x- ? A.y=sin? B . y = sin 10 5? ? ? ?

26

1 π? C.y=sin? ?2x-10?

1 π? D.y=sin? ?2x-20?

解:将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行 π? π 移动 个单位长度可得 y=sin? ?x-10?,再把所得各点 10 的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),可得 y= 1 π x- ?.故选 C. sin? ?2 10? 5.将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个 π? 单位后,得到函数 y=sin? ?x-6?的图象,则 φ 等于 ( ) π A. 6 5π B. 6 7π C. 6 11π D. 6

全国新课标Ⅱ 8. (2013· )函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ π? π <π)的图象向右平移 个单位后, 与函数 y=sin? ?2x+3? 2 的图象重合,则 φ=________. 解:y=cos(2x+φ)的图象 ????? ??
? ? ?? ? y= cos?2? x ? ? ? φ? =cos(2x-π+φ)   2  ? ? ? ?
向 右 平 移 π 个 单 位   2

=-cos(2x+φ)的图象. π? ∵ y = - cos(2x + φ) = sin ? ?2x+φ-2? 与 y = π? π π sin? φ- = +2kπ,k∈ Z, ?2x+3? 的图象重合,∴ 2 3 5π 解得 φ= +2kπ,又-π≤φ<π, 6 5π 5π ∴ φ= .故填 . 6 6 x x 9.已知函数 y= 3sin +cos (x∈ R). 2 2 (1)用“五点法”画出它的图象; (2)求它的振幅、周期及初相; (3)说明该函数的图象可由 y=sinx 的图象经过怎 样的变换而得到? x x 3 x 1 x 解:(1)y= 3sin +cos =2? sin + cos ? 2 2 ?2 2 2 2? x π? =2sin? ?2+6?. x π 令 X= + ,按五个关键点列表: 2 6 X x y 0 - 0 π 3 π 2 2π 3 2 π 5π 3 0 3π 2 8π 3 -2 2π 11π 3 0

π? 解:由题意得 sin(x+φ)=sin? ?x-6?, π π ∴ x + φ = x - + 2kπ,即 φ=- + 2kπ, k∈ Z. 又 6 6 11π 0≤φ<2π,故 φ= .故选 D. 6 π? 6. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?的最 π 小正周期为 π,将该函数的图象向左平移 个单位后, 6 得到的图象对应的函数为奇函数, 则 f(x)的图象( ) π 5π ? A. 关于点? ?12,0?对称 B.关于直线 x=12对称 5π ? π C. 关于点? ?12,0?对称 D.关于直线 x=12对称 解:由已知得 ω=2,则 f(x)=sin(2x+φ),设平移 π π 2x+ +φ??|φ|< ?且为 后的函数为 g(x),则 g(x)=sin? 3 2? ? ?? π π π π 2x- ?.令 2x- =kπ+ , 奇函数, ∴ φ=- , f(x)=sin? 3 ? ? 3 3 2 5π 易得图象关于直线 x= 对称.故选 B. 12 7.函数 y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0, ω>0) 在闭区间 [ - π , 0] 上的图象如图所示,则 ω = ________.

描点作图:

(2)根据解析式及图象知, 振幅 A=2, 周期 T=4π, π 初相 φ= . 6 2π 2π 2π 解:由图象知 T= ,则 ω= = =3.故填 3. 3 T 2π 3
27

π (3)将 y=sinx 图象上各点向左平移 个单位, 得到 6

π? ? π? y=sin? ?x+6?的图象,再把 y=sin?x+6?的图象上各点 的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y= x π? ?x π? sin? ?2+6?的图象,最后把 y=sin?2+6?的图象上各点 的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得到 y= x π? 2sin? ?2+6?图象. 10.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π) π ? 的周期为 π,图象的一个对称中心为? ?4,0?,将函数 f(x)图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 π 标不变),再将所得到的图象向右平移 个单位长度后 2 得到函数 g(x)的图象.求函数 f(x)与 g(x)的解析式. 2π 解:由已知得 =π,解得 ω=2. ω π ? 又曲线 y=f(x)的一个对称中心为? ?4,0?, π π 所以 2× +φ=kπ+π,即 φ=kπ+ , 4 2 π 又 0<φ<π,得 φ= ,所以 f(x)=cos2x. 2 将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y=cosx 的图象, 再将 y=cosx π 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 g(x) = 2 π? cos? ?x-2?的图象,所以 g(x)=sinx. π? 11.已知函数 f( x ) = 2sin ? ?ωx+ φ - 6 ?(0< φ < π, ω>0)为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴 π 间的距离为 . 2 π? (1)求 f? ?8?的值; π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再 6 将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵 坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递 减区间. 解:(1)∵ f(x)为偶函数, π π 2π ∴ ω· 0+φ- =kπ+ ,k∈ Z,解得 φ= +kπ. 6 2 3 2π 又∵ 0<φ<π,∴ φ= . 3
28

2π π 由题意 =2× ,得 ω=2. ω 2 π? π 故 f(x)=2cos2x,f? ?8?=2cos4= 2. π π x- ? (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位后, 得到 f? ? 6? 6 的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 x π? 4 倍,纵坐标不变,得到 f? ?4-6?的图象,所以 g(x)= x π? ? ?x π?? ?x π? f? ?4-6?=2cos?2?4-6??=2cos?2-3?, x π 当 2kπ≤ - ≤2kπ+π(k∈ Z), 2 3 2 8 即 4kπ+ π≤x≤4kπ+ π(k∈ Z)时,g(x)单调递减. 3 3 2 8 4kπ+ π,4kπ+ π? 因此 g(x)的单调递减区间为? 3 3 ? ? (k∈ Z). 已知函数 f(x) = 3sin(ωx + φ) - cos(ωx +φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两 π 相邻对称轴间的距离为 . 2 π? (1)求 f? ?8?的值; π (2) 将函数 y = f(x) 的图象向右平移 个单位长度 6 后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的 单调递减区间. 解:(1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2? 3 1 ? ? 2 sin(ωx+φ)-2cos(ωx+φ)?

π? =2sin? ?ωx+φ-6?. π π 因为 f(x)为偶函数,所以 φ- = +kπ, 6 2 2π 2π φ= +kπ,k∈ Z.又因为 0<φ<π,所以 φ= . 3 3 π? 所以 f(x)=2sin? ?ωx+2?=2cosωx. 2π π 由题意得 =2·,所以 ω=2. ω 2 π? π 故 f(x)=2cos2x.因此 f? ?8?=2cos4= 2. π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得到 6

π? f? ?x-6?的图象.再将所得图象横坐标伸长到原来的 4 x π? 倍,纵坐标不变,得到 f? ?4-6?的图象. x π? x π x π - =2cos?2? - ??=2cos? - ?. 所以 g(x)=f? ?4 6? ? ?4 6?? ?2 3 ? x π 当 2kπ≤ - ≤2kπ+π(k∈ Z), 2 3

2π 8π 即 4kπ+ ≤x≤4kπ+ (k∈ Z)时,g(x)单调递减. 3 3 2π 8π? 因此 g(x)的单调递减区间为? ?4kπ+ 3 ,4kπ+ 3 ? (k∈ Z).

29

§ 4.5

三角函数模型的应用
A.60 B.70 C.80 D.90 1 160π 解: 由题意可得 f= = =80.所以此人每分钟 T 2π 心跳的次数为 80.故选 C. 某班设计了一个八边形的班徽 (如图),它由 腰长为 1,顶角为 α 的四个等腰三角形及其底边构成 的正方形所组成,该八边形的面积 为( ) A.2sinα-2cosα+2 B.sinα- 3cosα+3 C.3sinα- 3cosα+1 D.2sinα-cosα+1 1 解:四个等腰三角形的面积之和为 4× × 1× 1× sinα 2 = 2sinα. 再 由 余 弦 定 理 可 得 正 方 形 的 边 长 为 12+12-2× 1× 1× cosα= 2-2cosα,故正方形的面积 为 2-2cosα,所以所求八边形的面积为 2sinα-2cosα +2.故选 A.

1.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函 数模型. 2.会用三角函数模型解决一些简单实际问题. 三角函数模型的简单应用是课本新设置的一节, 目的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学 习.主要分为以下几类:第一类:通过建立三角模型, 利用三角函数的性质,解决一些几何计算和测量等与 生活、生产相关的实际应用题;第二类:利用三角函 数拟合解决实际问题;第三类:利用三角函数模型解 决与其他知识相结合的综合问题.

1.如果某种变化着的现象具有周期性,那么它 就可以借助____________来描述. 2.三角函数作为描述现实世界中 ________现象 的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周 期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的 作用.具体的,我们可以利用搜集到的数据,作出相 应的“散点图”,通过观察散点图并进行____________ 而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解 决相应的实际问题. 3.y=|sinx|是以______为周期的波浪形曲线. 4. 太阳高度角 θ、 楼高 h0 与此时楼房在地面的投 影长 h 之间有如下关系:________________. 【自查自纠】 1.三角函数 2.周期 函数拟合 3.π 4.h0=htanθ

在 100 m 的山顶上,测得山下一塔顶与塔底 的俯角分别为 30° ,60° ,则塔高为( 200 A. m 3 100 3 C. m 3 解:如图,设塔高为 h m, ) 200 3 B. m 3 100 D. m 3

则有 100tan30° =(100-h)tan60° , 200 ∴ h= (m).故选 A. 3 已知某种交流电电流 I(A)随时间 t(s)的变化 π? 规律可以拟合为函数 I= 5 2sin? ?100πt- 2?, t∈[0, + ∞),则这种交流电在 0.5 s 内往复运动的次数为 ________次. 1 ω 100π 解:f= = = =50. T 2π 2π ∴ 0.5 s 内往复运动的次数为 0.5× 50=25(次). 故填 25.
30

已 知 某 人 的 血 压 满 足 函 数 解 析 式 f(t) = 24sin160πt + 110. 其中 f(t) 为血压 (mmHg) , t 为时间 (min),则此人每分钟心跳的次数为( )

某市的纬度是北纬 21°34′,小王想在某住宅 小区买房,该小区的楼高 7 层,每层 3 m,楼与楼之 间相距 15 m, 要使所买楼房在一年四季正午的太阳不 被前面的楼房遮挡, 最低应该选择第______层的房(地 球 上 赤 道南 北各 23°26′ 处 的 纬 线分 别 叫南 北 回归 线.冬季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回 归线上). 解:设最低高度为 h0,则由题意知,太阳的高度 角为 90° - |21°34′-(-23°26′)| = 45° ,所以 15 = 21-h0 ,所以 h0=6. tan45° 最低应选在第 3 层.故填 3.

(2)列表: t h 0 0.5 3 2.5 6 4.5 9 12 2.5 0.5 π 描点连线,即得函数 h=-2cos t+2.5 的图象如 6 图所示:

【评析】 本题主要考查三角函数的图象和性质, 以及由数到形的转化思想和作图技能, 建立适当的 直角坐标系,将现实问题转化为数学问题,是解题 的关键. 为了研究钟表与三角函数的关系,建立

类型一

建立三角模型

如图所示的坐标系,设秒针尖指向位置 P(x,y).若初 始位置为 P0? 3 1? ,秒针从 P0(注:此时 t=0)开始 ? 2 ,2? )

如图,某大风车的半径为 2 m,每 12 s 旋转一周,它的最低点 O 离地面 0.5 m.风车圆周上 一点 A 从最低点 O 开始,运动 t(s)后与地面的距离为 h(m).

沿顺时针方向走动,则点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函 数关系为( π π? A.y=sin? ?30t+6? π π? B.y=sin? ?-60t-6? π π? C.y=sin? ?-30t+6?

(1)求函数 h=f(t)的关系式; (2)画出函数 h=f(t)的图象. 解:(1)如图,以 O 为原点,过点 O 的圆 O1 的切 线为 x 轴,建立直角坐标系,设点 A 的坐标为(x,y), 则 h=y+0.5.

π π? D.y=sin? ?-30t-6? 2π π 解:由题意,函数的周期为 T=60,∴ ω= = . 60 30 π π? ?? 设函数解析式为 y=sin? ?-30t+φ??0<φ<2? (因为秒 针是顺时针走动).∵ 初始位置为 P0? 3 1? ,∴ t= 0 2 ? ,2?

1 1 π 时, y = .∴ sinφ = , φ 可取 .∴函数解析式为 y = 2 2 6 π π? sin? ?-30t+6?.故选 C.

2-y 设∠ OO1A=θ,则 cosθ= , 2 y=-2cosθ+2. 2π πt 又 θ= · t= , 12 6 πt πt 所以 y=-2cos +2,h=f(t)=-2cos +2.5. 6 6
31

类型二

根据解析式建立图象模型

画 出 函 数 y = |cos x | 的 图 象 并 观 察 其 周期 .

解:函数图象如图所示.

从图中可以看出,函数 y=|cosx|是以 π 为周期的 波浪形曲线. 我们也可以这样进行验证:|cos(x+π)|= |-cosx| =|cosx|, 所以,函数 y=|cosx|是以 π 为周期的函数. 【评析】利用函数图象的直观性,通过观察图象 而获得对函数性质的认识,这是研究数学问题的常用 方法. 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,即得 h= π 2t- ?(t≥0)在一个周期的简图,如图所示. 2sin? 4? ? π? (2)t=0 时,h=2sin? ?-4?=- 2,即小球开始振 动时的位置为(0,- 2)(平衡位置的下方 2cm 处). 3π 7π (3)t= +kπ(k∈ N)时,h=2;t= +kπ(k∈ N)时, 8 8 3π ? h = - 2. 即 最 高 点 位 置 ? ? 8 +kπ,2? , 最 低 点 位 置

(经典题)弹簧挂着的小球作上下振动, 时间 t(s)与小球相对平衡位置 (即静止时的位置)的高 π 度 h(cm)之间的函数关系式是 h=2sin(2t- ),t∈ [0, 4 +∞).

?7π+kπ,-2?,k∈N,最高点、最低点到平衡位置的 ?8 ?
距离均为 2cm. (4)小球往复振动一次所需时间即周期, 2π T= =π≈3.14(s). 2 (5)小球 1s 振动的次数为频率, 1 1 1 f= = ≈ ≈0.318(次/s). T π 3.14

(1)以 t 为横坐标,h 为纵坐标,画出函数在长度 为一个周期的闭区间上的简图; (2)小球开始振动的位置在哪里? (3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置 的距离分别是多少? (4)小球经过多长时间往复振动一次? (5)小球 1s 能振动多少次? π? 解:(1)画出 h= 2sin? ?2t- 4?的简图 (长度为一个 周期 ). 按五个关键点列表: t π 2t- 4 π 2t- ? 2sin? 4? ? π 8 0 3π 8 π 2 2 5π 8 π 7π 8 3π 2 -2 9π 8 2π

类型三

三角函数拟合

受日月引力影响,海水会发生涨落,在 通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货 后,在不至搁浅时返回海洋,某港口水的深度 y(米) 是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作 y=f(t).下 面是该港口在某季节每天水深的数据:
t ( 时) y(米) 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0

(1)根据以上数据, 求出函数 y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离 为 5 米或 5 米以上认为是安全的(船舶停靠时, 船底只 需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面距离)为 6.5 米, 如果该船在同一天内安全进出港, 问它至多能 在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?

0

0

0

解:(1)根据数据画出散点图,根据图象,可考虑
32

用函数 y=Asin(ωt+φ)+h 刻画水深与时间之间的对 应关系,则周期 T=12,振幅 A=3,h=10, π ∴ y=3sin t+10(0≤t≤24). 6 (2)由题意,该船进出港时,水深应不小于 5+6.5 π π 1 π π =11.5(米), 即 3sin t+10≥11.5, sin t≥ , 2kπ+ ≤ t≤2kπ 6 6 2 6 6 5 + π(k∈ Z),0≤t≤24,∴ 12k+1≤t≤12k+5(k∈ Z).在同 6 一天内取 k=0 或 1,则 1≤t≤5 或 13≤t≤17. 所以该船最早能在凌晨 1 时进港,最晚下午 17 时出港,在港口最多停留 16 小时. 【评析】(1)这是一道根据生活中的实例编拟的题 目,由表中数据抽象出数学问题 ( 求解析式、解不等 式),从而得出船在港内最多停留的时间,这一过程体 现了数学建模的思想;(2)许多实际问题可以根据以前 的记录数据寻找模拟函数,再结合几个关键数据求出 解析式.

π π 1 (3)由 y=0.4sin t+1≥0.8,得 sin t≥- , 6 6 2 π πt 7π 则- +2kπ≤ ≤ +2kπ(k∈ Z), 6 6 6 即 12k-1≤t≤12k+7, 所以 0≤t≤7 或 11≤t≤19 或 23≤t≤24. 即应安排在 11 时到 19 时训练较恰当.

1.在现实生活中,许多变化的现象都具有周期 性,因此,可以用三角函数模型来描述.如:气象方 面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物 理学方面有各种各样的振动波, 生理方面有人的情绪、 智力、体力变化等.研究这些应用问题,主要有以下 三种模式: 一是给定呈周期变化规律的三角函数模型, 根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际 问题;二是给定呈周期变化的图象,利用待定系数法 求出函数,再解决其他问题;三是搜集一个实际问题

某 “ 帆板 ” 集训队在一海滨区域进行集 训,该海滨区域的海浪高度 y(米)随着时间 t(0≤t≤24, 单位:时)而周期性变化,每天各时刻 t 的浪高数据的 平均值如下表: t/时 y/米 0 1.0 3 1.4 6 1.0 9 0.6 12 1.0 15 1.4 18 0.9 21 0.5 24 1.0

的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图 象,求出可以近似表示变化规律的函数式,进一步用 函数性质来解决相应的实际问题. 2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、 天文、地理和物理等实际问题,利用三角函数的周期 性、有界性等,可以解决很多问题,其解题流程大致 是:审读题意→设角建立三角函数模型→分析三角函 数的性质→解决实际问题.其中根据实际问题的背景 材料,建立三角函数关系,是解决问题的关键. 3.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分 析,充分运用数形结合的思想,灵活运用三角函数的 图象和性质进行解答.

(1)试画出散点图; (2)观察散点图, 从 y=at+b, y=Asin(ωt+φ)+b, y=Acos(ωt+φ)中选择一个合适的函数模型,并求出 该拟合模型的解析式; (3)如果确定在白天 7 时~19 时当浪高不低于 0.8 米时才进行训练,试安排恰当的训练时间. 解:(1)

1. 如图, 单摆从某点开始来回 摆动, 离开平衡位置 O 的距离 s(cm) 和 时 间 t(s) 的 函 数 关 系 式 为 s = π? 6sin? 那么单摆来回摆动一 ?2πt+6?, 次所需的时间为( A.2π s ) B.π s C.0.5 s D.1 s

(2)由(1)知选择 y=Asin(ωt+φ)+b 较合适. 由图知,A=0.4,b=1,T=12, 2π π π 所以 ω= = ,把 t=0,y=1 代入 y=0.4sin( t T 6 6 +φ)+1,得 φ=0,所以所求的解析式为: π y=0.4sin t+1(0≤t≤24). 6
33

2π 解:T= =1,来回摆动一次所需时间即为一个 2π 周期.故选 D.

云南适应性月考)电流强度 I(安)随时间 2.(2012· π t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ< ) 2 1 的图象如图所示,则 t= 秒时,电流强度 I=( 100 )

离水面 2 m,已知水轮自点 A 开始 1 min 旋转 4 圈, 水轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(s)满足函数关 系 y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )

2π A.ω= ,A=3 15 2π C.ω= ,A=5 15

15 B.ω= ,A=3 2π 15 D.ω= ,A=5 2π

解:∵ 水轮上最高点距离水面 r+2=5 m,即 A+ 8π 2π 2=5,∴ A=3.又∵ 水轮每秒钟旋转 = rad, 60 15 A.-5 安 C.5 3安 B.5 安 D.10 安 4 1 1 2π 解:由图知 A=10,T=2( - )= ,ω= 300 300 50 T = 2π =100π,∴ I=10sin(100πt+φ). 1 50 1 ? 由于图象过点? ?300,10?,代入解析式得 1 10=10sin(100π· +φ), 300 π π π π ? 即 sin? 从而 +φ=2kπ+ , φ=2kπ+ , ?3+φ?=1, 3 2 6 k∈ Z. π π π 100πt+ ?. ∵ 0<φ< ,∴ φ= .∴ I=10sin? 6? ? 2 6 1 π? 1 当 t= 时,I=10sin? ?100π·100+6?=-5. 100 故选 A. 3.函数 f(x)=Msin(ωx+φ)(ω>0)在区间[a,b]上 是增函数,且 f(a) =- M , f(b) = M ,则函数 g(x) = Mcos(ωx+φ)在[a,b]上( A.是增函数 B.是减函数 C.可以取得最大值 M D.可以取得最小值-M 解:f(x)在区间[a,b]上是增函数,又 f(a)=-M, π π f(b)=M,故 M>0,- +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈ Z), 2 2 且 ω>0,则 g(x)在[a,b]上先增后减,当 ωx+φ=2kπ 时,g(x)可取得最大值 M.故选 C. 4.如图为一半径是 3 m 的水轮,水轮圆心 O 距
34

2π ∴ 角速度 ω= .故选 A . 15 5.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运 动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度为 1,那么 点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

π 解:据点 P0 的坐标可得∠ xOP0=- ,故∠ xOP= 4 π t- .设点 P(x, y), 则由三角函数的定义, 可得 sin∠ xOP 4 π? y y ? π? = ,即 sin? ?t-4?=2,故 y=2sin?t-4?,因此点 P 到 r

)

? π?? x 轴的距离 d=|y|=2? ?sin?t-4??,据解析式可得 C 选
项图象符合条件.故选 C. (另用排除法易选 C) 6.已知函数 y = f ( x ) 的图象如图所示,则函数 π ? y =f? ) ?2-x?sinx 在[0,π]上的大致图象是(

(参考数据: 2=1.41421…, 3=1.73205…) 解:在 Rt△ ABD 中,BD=80 m,∠ BDA=60° , ∴ AB=BD· tan60° =80 3≈138.56(m). 在 Rt△ AEC 中,EC=BD=80 m,∠ ACE=45° , ∴ AE=CE=80(m). ∴ CD=BE=AB-AE=80 3-80≈58.56(m). ∴ 塔 AB 的高约为 138.56 m, π ? π π π 解:当 0<x< 时, 0< -x< , 显然 y=f? ?2-x?sinx 2 2 2 π π π >0,排除 C,D;当 <x<π 时,- < -x<0,显 2 2 2 π ? 然 y=f? 排除 B.所以只有 A 符合题意. 故 ?2-x?sinx<0, 选 A. 7. 某时钟的秒针端点 A 到中心 O 的距离为 5 cm, 秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟 面上标 12 的点 B 重合,将 A,B 两点间的距离 d(cm) 表示成 t (s) 的函数,则 d = _____________ ,其中 [0,60]. t∈ 楼 CD 的高约为 58.56 m. 故填 138.56;58.56. 9.已知,如图表示电流强度 I 与时间 t 的关系 π π I =Asin(ωt+φ)(t≥0,- <φ< )的图象. 2 2 (1)试根据图象写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式; 1 (2)为了使 I=Asin(ωt+φ)中 t 在任意一段 秒的 100 时间内电流强度 I 能同时取得最大值|A|与最小值-|A|, 那么正整数 ω 的最小值是多少?

解:(1)由图知,A=300, 解:如图所示,OA=OB=5(cm),秒针由 B 均匀 π 地旋转到 A 的时间为 t(s),则∠ AOB= t,取 AB 中 30 1 π 点为 C,则 OC⊥ AB,从而∠ AOC= ∠ AOB= t. 2 60 π 在 Rt△ AOC 中,AC=OAsin∠ AOC=5sin t, 60 π π [0,60].故填 10sin60t. ∴ d=AB=10sin t,t∈ 60 8.如图,塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 m,从 楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 45° 和 60° ,则塔高 AB=________m,楼高 CD=________m. (精确到 0.01 m) 1 1 1 2π 2π - ?= ,∴ T= -? ω= = =100π. 60 ? 300? 50 T 1 50 ∵ - ω +φ=2kπ,k∈ Z, 300

ω π ∴ φ= +2kπ= +2kπ. 300 3

?-π,π?,∴φ=π. ∵ φ∈ ? 2 2? 3
π 100πt+ ?(t≥0). ∴ I=300sin? 3? ? 1 2π 1 (2)问题等价于 T≤ ,即 ≤ , 100 ω 100 ∴ ω≥200π. ∴ 最小的正整数 ω 为 629. 10 .已知某海滨浴场海浪的高度 y( 米 ) 是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作:y=f(t),下表是某
35

日各时的浪高数据: t(时) y(米) 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5

坐标系中作出它们的图象如图.

经长期观测, y= f( t)的曲线可近似地看成是函 数 y= Acosωt+ b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acosωt+b 的最小 正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱 好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的 8:00 至 20:00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 2π 2π π 解:(1)由题意知 T=12,∴ ω= = = . T 12 6 由 t=0,y=1.5 得 A+b=1.5;由 t=3,y=1.0 得 b=1.0, 1 π ∴ A=0.5,y= cos t+1,t∈ [0,24]. 2 6 (2)由题意知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, 1 π π ∴ cos t+1>1,cos t>0. 2 6 6 π π π ∴ 2kπ- < t<2kπ+ ,k∈ Z, 2 6 2 即 12k-3<t<12k+3,k∈ Z.① ∵ 0≤t≤24,故可令① 中 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴ 在规定的 8:00 至 20:00 之间,有 6 个小时的 时间可供冲浪运动,即 9:00 至 15:00. π k+1 ? π? 2x+ ?= 11. 设关于 x 的方程 sin? 在?0,2?内 6? ? 2 有两个不同根 α,β,求 α+β 的值及 k 的取值范围. π k+1 2x + ? , l : y = 解:设 C:y=sin? ,在同一 6 ? ? 2 解:设 S 为十字形的面积,则 π π <θ< ?. S=2xy-x2=2sinθcosθ-cos2θ? 4 2? ? 1 k+1 当 ≤ <1 时,即 0≤k<1 时,直线 l 与曲线 C 2 2 有两个交点,且两交点的横坐标为 α,β,从图象中还 π π 可看出 α,β 关于 x= 对称,故 α+β= . 6 3 π 综上可知,0≤k<1,且 α+β= . 3 如图所示,在直径为 1 的圆 O 中,作 一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中 y>x >0.将十字形的面积表示为 θ 的函数.

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§ 4.6

三角恒等变换
1+cosα= ;

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、 正切公式. 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式, 了解它们的内在联系. 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导 出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆). 本节在高考中要求我们能正确运用公式化简三角 函数式,求某些角的三角函数值以及进行简单的三角 恒等变换与证明.

1-cosα=



(2)降幂公式:sin2α=



cos2α=



(3)tanα± tanβ=______________________; tanα-tanβ tanα+tanβ tanαtanβ= -1=1- . tan(α-β) tan(α+β) (4) 辅助角公式: asinα + bcosα = a2+b2 sin(α + φ),其中 cosφ= ,

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)=____________________. (2)cos(α± β)=____________________. (3)tan(α± β)= . sinφ= ,

或 tanφ= 与点(a,b)所在象限________. 【自查自纠】 1.(1)sinαcosβ± cosαsinβ tanα± tanβ (3) 1?tanαtanβ 2.(1)2sinαcosα

,φ 角所在象限

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α=______________. (2)cos2α = ___________ = ___________ = ___________. (3)tan2α= 3.半角的正弦、余弦、正切公式 α (1)sin =± 2 α (2)cos =± 2 α (3)tan =± 2 1-cosα . 2 1+cosα . 2 1-cosα 1-cosα sinα = = . sinα 1+cosα 1+cosα .

(2)cosαcosβ?sinαsinβ

(2)cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α 2tanα (3) 1-tan2α α α 2 α α sin ± cos ? 2cos2 4.(1)? 2sin2 2? ? 2 2 2 1-cos2α 1+cos2α (2) (3)tan(α± β)(1?tanαtanβ) 2 2 (4) ;
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4.几个常用的变形公式 (1)升幂公式:1± sinα=

a a +b2
2

b b 2 a a +b
2

一致

计 算 sin43° cos13° - sin13° cos43° 的值等 于 ( ) A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2

类型一
求值:

非特殊角求值问题

1 解:原式=sin(43° -13° )=sin30° = .故选 A. 2 3 全国)已知 α 为第二象限角,sinα= , (2012· 5 则 sin2α=( 24 A.- 25 ) 12 B.- 25 12 C. 25 24 D. 25

(1)sin18° cos36° ; 2cos10° -sin20° (2) . cos20° 2sin18° cos18° cos36° 解:(1)原式= 2cos18° = 2sin36° cos36° sin72° 1 = = . 4cos18° 4cos18° 4

3 解:∵ α 为第二象限角,sinα= , 5 ∴ cosα=- 1-sin2α=- 3?2 4 1-? ?5? =-5.

2cos(30° -20° )-sin20° (2)原式= cos20° = = 2cos30° cos20° +2sin30° sin20° -sin20° cos20° 2cos30° cos20° = 3. cos20°

3 ? 4? 24 - =- .故选 A. ∴ sin2α=2sinαcosα=2× × 5 ? 5? 25 sin47° -sin17° cos30° =( cos17° A.- 3 2 1 B.- 2 1 C. 2 ) D. 3 2

【评析】对于给角求值问题,如果所给角是非特 殊角,解决这类问题的基本思路有:(1)化非特殊角为 特殊角;(2)化为正负相消的项,消去后求值;(3)化分 子、分母使之出现公约数,进行约分求值;(4)当有 α, 2α, 3α, 4α 同时出现在一个式子中时, 一般将 α 向 2α, 3α(或 4α)向 2α 转化,再求关于 2α 式子的值. 1+cos20° 求 -2sin10° · tan80° 的值. 2sin20° 2cos210° sin80° 解:原式= -2sin10° · 4sin10° cos10° cos80° cos10° 2sin10° cos10° = - 2sin10° sin10° -2sin20° cos10° sin20° cos10° = - = 2sin10° sin10° 2sin10° cos10° -2sin(30° -10° ) = 2sin10° cos10° -2(sin30° cos10° -cos30° sin10° ) = 2sin10° 1 3 ? cos10° -2? cos10° - sin10° 2 ?2 ? 3 = = . 2sin10° 2

sin47° -sin17° cos30° 解: cos17° = = sin(30° +17° )-sin17° cos30° cos17° sin30° cos17° +cos30° sin17° -sin17° cos30° cos17°

1 =sin30° = .故选 C. 2 已 知 tanα + tanβ = 2 , tan(α + β) = 4 , 则 tanα· tanβ=____________. tanα+tanβ 2 1 1 解:tanα· tanβ=1- =1- = .故填 . 4 2 2 tan(α+β) 江西改编 ) 若 ( 2012· =________. sinα+cosα 1 解:∵ = , sinα-cosα 2 ∴ 2(sinα+cosα)=sinα-cosα, sinα 从而 tanα= =-3. cosα sinα+cosα 1 = ,则 tan2α sinα-cosα 2

(-3) 3 2× 2tanα 3 ∴ tan2α= = .故填 . 2 = 4 1-tan α 1-(-3)2 4
38

类型二

给值求值问题
8 ,cos(α 17

(1)已知 α,β 为锐角,sinα=

21 -β)= ,求 cosβ 的值; 29 x x (2)已知 sin -2cos =0. 2 2 (ⅰ )求 tanx 的值; cos2x (ⅱ )求 的值. π ? +x sinx 2cos? ?4 ? 8 1 π ?0,π?,∴ 解:(1)∵ sinα= < ,α∈ 0<α< . ? 2? 17 2 6 21 3 ?-π,π?, ∵ cos(α-β)= < ,α-β∈ ? 2 2? 29 2 π ∴ - <α-β<0. 2 ∴ cosα= 1-sin2α= 8 ?2 15 1-? ?17? =17. sin2α 的值为( sin2β 1 A. 3

1 已知 tan(α+β)=-1,tan(α-β)= ,则 2 ) 1 B.- 3 C.3 D.-3

sin2α sin[(α+β)+(α-β)] 解: = sin2β sin[(α+β)-(α-β)] = = sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β) sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β) tan(α+β)+tan(α-β) 1 = .故选 A. tan(α+β)-tan(α-β) 3

类型三

给值求角问题

sin(α-β)=- 1-cos2(α-β) =- 21?2 20 1-? ?29? =-29. 的值.

已 知 tan α = 3(1 + m ) , tan( - β ) = 3(tanαtanβ+m)(m∈ R),若 α,β 都是钝角,求 α+β 解:∵ -tanβ= 3tanαtanβ+ 3m, 且 tanα= 3+ 3m(m∈ R), ∴ tanα-(-tanβ)= 3- 3tanαtanβ, 即 tanα+tanβ= 3(1-tanαtanβ). tanα+tanβ ∴ tan(α+β)= = 3>0. 1-tanαtanβ

∴ cosβ = cos[α - (α - β)] = cosαcos(α - β) + 15 21 8 ? 20? 155 - = . sinαsin(α-β)= × + × 17 29 17 ? 29? 493 x x x (2)(ⅰ )由 sin -2cos =0,得 tan =2, 2 2 2 2× 2 4 故 tanx= = =- . 3 1-22 2x 1-tan 2 (ⅱ )原式= cos2x-sin2x 2 2 2? cosx- sinx?sinx 2 ?2 ? x 2tan 2

?π,π?,β∈?π,π?, ∵ α,β 都是钝角,即 α∈ ?2 ? ?2 ?
4 ∴ α+β∈ (π,2π).∴ α+β= π. 3 【评析】给值求角问题,可转化为“给值求值”问 题,解得所求角的某一三角函数值结合所求角的范围 及函数的单调性可求得角. 5 10 , cosβ= , 5 10

= =

(cosx-sinx)(cosx+sinx) (cosx-sinx)sinx cosx+sinx sinx

已知 α, β 均为锐角, sinα= 求 α-β 的值.

1 3 1 =1+ =1- = . tanx 4 4 【评析】给值求值问题,即给出某些角的三角函 数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键 在于“变角”,如 α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β) 等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时一定要 注意角的范围的讨论.另常用的勾股数(3,4,5;5, 12,13;8,15,17;20,21,29),掌握它,可简化 计算.
39

2 5 解:由已知得 cosα= 1-sin2α= , 5 sinβ= 1-cos2β= 3 10 . 10

∴ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ = 5 10 2 5 3 10 2 × - × =- . 5 10 5 10 2

∵ sinα<sinβ,∴ α<β. π π ∴ - <α-β<0.∴ α-β=- . 2 4

类型四

三角函数式的化简与证明

1 1 cos2αcos2β+cos2α+cos2β)- cos2αcos2β= . 2 2 证法四:(从“形”入手,利用配方法,先对二次项 配方) 左边= (sinαsinβ - cosαcosβ)2 + 2sinαsinβcosαcosβ 1 - cos2αcos2β 2 1 1 =cos2(α+β)+ sin2αsin2β- cos2αcos2β 2 2 1 =cos2(α+β)- cos(2α+2β) 2 1 1 =cos2(α+β)- [2cos2(α+β)-1]= . 2 2 1 (2)(ⅰ )由 sinx+cosx= ,两边平方得 5 1 sin2x+2sinxcosx+cos2x= , 25 24 即 2sinxcosx=- . 25 49 ∴ (sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 25 π 又∵ - <x<0, 2 ∴ sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0, 7 故 sinx-cosx=- . 5 x x x x x 3sin2 -2sin cos +cos2 2sin2 -sinx+1 2 2 2 2 2 (ⅱ ) = 1 sinx cosx tanx+ + tanx cosx sinx =sinxcosx(2-cosx-sinx) 12? ? 1? =? ?-25?×?2-5? 108 =- . 125 【评析】① 三角函数式的变形,主要思路为角的 变换、函数变换、结构变换,常用技巧有“辅助角”“1 的代换”“切弦互化”等,其中角的变换是核心.② 三角 函数式的化简原则:尽量使函数种类最少,次数相对 较低,项数最少,尽量使分母不含三角函数,尽量去 掉根号或减少根号的层次,能求值的应求出其值.③ 三角恒等式的证明一般有三种方式:从左到右,从右 到左,左=右=某一三角式.一般来说都是从复杂的 一端向简单的一端证明.

(1) 求 证 :sin 2 α sin 2 β + cos 2 α cos 2 β - 1 1 cos2αcos2β= . 2 2 π 1 (2)已知- <x<0,sinx+cosx= . 2 5 (ⅰ )求 sinx-cosx 的值; x x x x 3sin2 -2sin cos +cos2 2 2 2 2 (ⅱ )求 的值. 1 tanx+ tanx 解:(1)证法一:(复角→单角,从“角”入手) 1 左边=sin2αsin2β +cos2αcos2β - (2cos2α -1)(2cos2β 2 -1) 1 = sin2αsin2β+ cos2αcos2β- (4cos2αcos2β- 2cos2α 2 -2cos2β+1) 1 =sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β- 2 1 =sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β- 2 1 1 1 =sin2β+cos2β- =1- = . 2 2 2 证法二:(从“名”入手,异名化同名) 1 左边=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β- cos2αcos2β 2 1 =cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)- cos2αcos2β 2 1 =cos2β-sin2αcos2β- cos2αcos2β 2 1 =cos2β-cos2β(sin2α+ cos2α) 2 = = 1+cos2β 1 2 2 ? -cos2β? ?sin α+2(1-2sin α)? 2 1+cos2β 1 1 - cos2β= . 2 2 2

证法三:(从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 1-cos2α 1-cos2β 1+cos2α 1+cos2β 左边= · + · - 2 2 2 2 1 cos2αcos2β 2 1 1 = (1 + cos2αcos2β - cos2α - cos2β) + (1 + 4 4
40

2(3+cos4x) 1 求证:tan2x+ 2 = . tan x 1-cos4x
4 4 sin2x cos2x sin x+cos x 证法一:左边= 2 + 2 = cos x sin x sin2xcos2x

(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x = 1 2 sin 2x 4 1 1 1- sin22x 1- sin22x 2 2 = = 1 2 1 sin 2x (1-cos4x) 4 8 = = 8-4sin 2x 4+4cos 2x 4+2(1+cos4x) = = 1-cos4x 1-cos4x 1-cos4x 2(3+cos4x) =右边. 1-cos4x
2 2

sin2α 1.若 tanα=3,则 2 的值等于( cos α

)

A.2 B.3 C.4 D.6 sin2α 2sinαcosα 解: 2 = =2tanα=2× 3=6.故选 D. cos α cos2α 1 江西)若 tanθ+ 2. (2012· =4, 则 sin2θ=( tanθ 1 A. 5 解: ∵ tanθ + 1 B. 4 1 C. 3 1 D. 2 )

2 2 1 sinθ cosθ sin θ+cos θ = + = = tanθ cosθ sinθ sinθcosθ

2(2+1+cos4x) 证法二:右边= 2sin22x = = = 2(2+2cos22x) 2(1+cos22x) = 2sin22x 4sin2xcos2x (sin2x+cos2x)2+(cos2x-sin2x)2 2sin2xcos2x 2(sin4x+cos4x) 1 =tan2x+ 2 =左边. 2sin2xcos2x tan x

1 1 =4,∴ sin2θ= .故选 D. 1 2 sin2θ 2 3. cos15° -sin15° 的值是( cos15° +sin15° B.0 ) C. 3 D. 3 3

A.- 3 解: 原式= = 3 . 3 故选 D.

1-tan15° tan45° -tan15° = = tan30° 1+tan15° 1+tan45° tan15°

1.注意公式的正用、逆用及变形用. 2.要熟悉角的拆拼、变换的技巧,理解倍角与 半角是相对的,如 2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β α 2α α α =(α-β)+β, 是 的半角, 是 的倍角等. 3 3 2 4 3.在三角函数运算、求值、证明中,有时需要 将常数转化为三角函数值, 尤其要重视常数“1”的各种 π 变形,例如:1=tan ,1=sin2α+cos2α 等. 4 4.在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时, 常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降 低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差异的 目的. 5.求值题常见类型: (1)给角求值;(2)给值求值;(3)给值求角. =
41

π? 4 ? 7π? 4.已知 cos? ?α-6?+sinα=5 3,则 sin?α+ 6 ?的 值是( ) 2 3 B. 5 4 C.- 5 4 D. 5 2 3 A.- 5

π α- ?+sinα 解:∵ cos? ? 6? π π =cosαcos +sinαsin +sinα 6 6 = 3 1 3 3 cosα+ sinα+sinα= cosα+ sinα 2 2 2 2

π? 4 1 3 = 3? cosα+ sinα?= 3sin? ?α+6?=5 3, 2 ?2 ? π? 4 ∴ sin? ?α+6?=5. 7 π 4 α+ π?=-sin?α+ ?=- .故选 C. ∴ sin? ? 6 ? ? 6? 5 全国)已知 α 为第二象限角,sinα+cosα 5.(2012· 3 ,则 cos2α=( 3 )

A.-

5 3

B.-

5 9

C.

5 9

D.

5 3

+17° )-sin17° sin(30° cos30° = cos17° = sin30° cos17° +cos30° sin17° -sin17° cos30° cos17°

解:由 sinα+cosα= 2 sin2α=- . 3

3 1 两边平方可得 1+sin2α= , 3 3

1 1 =sin30° = .故填 . 2 2 1 cos2α ?0,π?, 8. 已知 sinα= +cosα, 且 α∈ ? 2? 则 ? π? 2 sin?α-4? 的值为________. cos2α-sin2α cos2α 解: = =- 2(cosα+ π 2 α- ? sin? ? 4? 2 (sinα-cosα) π? 1 sinα)=-2sin? ?α+4?.又由 cosα-sinα=-2, π? 1 2 ? π? 得 2cos? ?α+4?=-2,cos?α+4?=- 4 .

∵ α 是第二象限角,∴ sinα>0,cosα<0. ∴ cosα-sinα=- =- 15 . 3

(cosα-sinα)2=-

1-sin2α

∴ cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)= 3 ? 5 15? × =- .故选 A. 3 ?- 3 ? 3 π π π ? 1 6 .若 0 < α < ,- < β < 0 , cos ? ?4+α? = 3 , 2 2 π β? 3 ? β? cos? ?4-2? = 3 ,则 cos?α+2?=( A. 3 3 B.- D.- 3 3 6 9 )

?0,π?, 由于 α∈ ? 2?
π? ∴ sin? ?α+4?= π? 1-cos2? ?α+4?= 1 14 1- = . 8 4

5 3 C. 9

π π ?π,3π?. 解:∵ 0<α< ,∴ +α∈ ?4 4 ? 2 4 π ? ∴ sin? ?4+α?= = 2 2 . 3 π ? 1-cos2? ?4+α?= 1?2 1-? ?3?

π cos2α 14 14 α+ ?=-2× =- ∴ =-2sin? . 4 ? ? π 4 2 α- ? sin? ? 4? 故填- 14 . 2

π 2 ?π,3π?. x- ?= ,x∈ 9.已知 cos? ? 4? 10 ?2 4 ? (1)求 sinx 的值; π? (2)求 sin? ?2x+3?的值.

π β ?π π? ?-π,0?,∴ 又 β∈ - ∈ , . ? 2 ? 4 2 ?4 2? π β? ∴ sin? ?4-2?= = 6 . 3 π β? 1-cos2? ?4-2?= 1-? 3?2 ?3?

?π,3π?,所以 x-π∈?π,π?,于 解:(1)因为 x∈ ?2 4 ? 4 ? 4 2?
π? 是 sin? ?x-4?= π? 7 2 1-cos2? ?x-4?= 10 .

β? ?π ? ?π β? ∴ cos? ?α+2?=cos[?4+α?-?4-2?] π π β π π β +α?cos? - ?+sin? +α?sin( - ) =cos? ?4 ? ?4 2? ?4 ? 4 2 1 3 2 2 6 5 3 = × + × = . 3 3 3 3 9 故选 C. 重庆改编 ) 7 . ( 2012· ___________. sin47° -sin17° cos30° 解: cos17°
42

π? π? sinx=sin?? ?x-4?+4

?

?

π π π π x- ?cos +cos(x- )sin =sin? 4 ? ? 4 4 4 = 7 2 2 2 2 4 × + × = . 10 2 10 2 5

sin47° -sin17° cos30° = cos17°

?π,3π?,sinx=4, (2)因为 x∈ ?2 4 ? 5
故 cosx=- 1-sin2x=- 4?2 3 1-? ?5? =-5.

24 sin2x=2sinxcosx=- , 25 7 cos2x=2cos2x-1=- . 25 π? 24+7 3 π π 所以 sin? ?2x+3?=sin2xcos3+cos2xsin3=- 50 . 1 13 π 10.已知 cosα= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< . 7 14 2 (1)求 tan2α 的值; (2)求 β 的值. 1 π 解:(1)由 cosα= ,0<α< , 7 2 得 sinα= 1-cos2α= sinα 所以 tanα= =4 3, cosα 2tanα 8 3 tan2α= =- . 47 1-tan2α π 13 π (2)由 0<β<α< ,cos(α-β)= >0 得 0<α-β< , 2 14 2 3 3 所以 sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= ,于是 cosβ= 14 cos[α - ( α - β)] = cos αcos (α- β ) + sin αsin (α- β ) = 13 4 3 3 3 1 π × + × = ,所以 β= . 14 7 14 2 3 福建)某同学在一次研究性学习中发现, 11. (2012· 以下五个式子的值都等于同一个常数. (Ⅰ )sin213° +cos217° -sin13° cos17° ; (Ⅱ )sin 15° +cos 15° -sin15° cos15° ; (Ⅲ )sin218° +cos212° -sin18° cos12° ; (Ⅳ )sin (-18° )+cos 48° - sin(-18° )cos48° ; (Ⅴ )sin (-25° )+cos 55° - sin(-25° )cos55° . (1)试 从上述 五个 式子 中选 择一 个, 求出 这个 常数; (2)根据(1)的计算结果, 将该同学的发现推广为三 角恒等式,并证明你的结论. 解法一:(1)选择(Ⅱ )式,计算如下: sin215° +cos215° -sin15° cos15° 1 1 3 =1- sin30° =1- = . 2 4 4 (2)三角恒等式为 3 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)= . 4 证明如下: sin α+cos (30° -α)-sinαcos(30° -α)
43
2 2 2 2 2 2 2 2

=sin2α+cos(30° -α)[cos(30° -α)-sinα] = sin2α + cos(30° - α)(cos30° cosα + sin30° sinα - sinα) =sin2α+cos(30° -α)(cos30° cosα-sin30° sinα) = sin2α + (cos30° cosα + sin30° sinα)(cos30° cosα - sin30° sinα) =sin2α+cos230° cos2α-sin230° sin2α 3 1 =sin2α+ cos2α- sin2α 4 4 3 3 3 = sin2α+ cos2α= . 4 4 4 解法二:(1)同解法一. (2)三角恒等式为 3 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α) 1-cos2α 1+cos(60° -2α) = + - sinα(cos30° cosα 2 2 +sin30° sinα) 1 1 1 1 = - cos2α+ + (cos60° cos2α+sin60° sin2α)- 2 2 2 2 3 1 sinαcosα- sin2α 2 2 1 1 1 1 3 3 = - cos2α+ + cos2α+ sin2α- sin2α - 2 2 2 4 4 4 1 3 (1-cos2α)= . 4 4 π 广东)已知函数 f(x)=2cos?ωx+ ? (2012· 6? ? (其中 ω>0,x∈ R)的最小正周期为 10π. (1)求 ω 的值; 5π? 5π 6 ? ?0,π?, ? (2)设 α, β∈ f?5β- 6 ? ? 2? f?5α+ 3 ?=-5, ?= 16 ,求 cos(α+β)的值. 17 2π 2π 1 解:(1)∵ ω>0,∴ ω= = = . T 10π 5 x π? (2)由(1)知 f(x)=2cos? ?5+6?. 5π? 6 ? π? ∵ f? ?5α+ 3 ?=2cos?α+2?=-5, 5π? 16 f? ?5β- 6 ?=2cosβ=17, 3 8 ∴ sinα= ,cosβ= . 5 17

1?2 4 3 1-? ?7? = 7 ,

1 7

4 15 ?0,π?,∴ ∵ α,β∈ cosα= ,sinβ= . ? 2? 5 17 4 8 3 15 ∴ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × 5 17 5 17

13 =- . 85

44

§ 4.7

正弦定理、余弦定理及其应用
sin2C=__________________.注意式中隐含条件 A+B +C=π. 3.解斜三角形的类型 (1) 已 知 三 角 形 的 任 意 两 个 角 与 一 边 , 用 ____________定理.只有一解. (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角,用 ____________定理, 可能有___________________. 如 在△ ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如表: A 为锐角 图 形 关 系 a=bsinA bsinA<a<b a≥b a>b A 为钝角 或直角

1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简 单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法 解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 主要考查有关定理的应用、 三角恒等变换的能力、 运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题 工具用于立体几何中的计算或证明,或与三角函数联 系在一起求距离、高度以及角度等问题,且多以应用 题的形式出现.

1.正弦定理 (1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角 的正弦的比相等,即 形外接圆的半径. (2)正弦定理的其他形式: ① a=2RsinA,b= a ② sinA= ,sinB= 2R sinC= 2.余弦定理 (1)余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积 的两倍.即 a= c=
2 2

式 解 的 个 数 ,c= , ; ; (3)已知三边,用____________定理.有解时, 只有一解. (4)已知两边及夹角,用____________定理,必有 一解. 4.三角形中的常用公式或变式 (1)三角形面积公式 S△ = = = ____________=____________=____________.其中 R,r 分别为三角形外接圆、内切圆半径. (2)A+B+C=π,则 A=__________, A =__________,从而 sinA=____________, 2 , .
2 2

.其中 R 是三角









③ a∶ b∶ c=______________________.

,b = .

2

, ,即为勾股定理.

若令 C=90° ,则 c2= (2)余弦定理的变形:cosA= cosB= ,cosC=

cosA=____________,tanA=____________; A A sin =__________,cos =__________, 2 2 A tan =________.tanA+tanB+tanC=__________. 2 (3)若三角形三边 a,b,c 成等差数列,则 2b= B ____________ ? 2sinB = ____________ ? 2sin = 2 A-C A+C A-C A C 1 cos ?2cos =cos ?tan tan = . 2 2 2 2 2 3
45

若 C 为锐角,则 cosC>0,即 a +b ______c2;若 C 为钝角,则 cosC<0,即 a2+b2______c2.故由 a2+b2 与 c2 值的大小比较, 可以判断 C 为锐角、 钝角或直角. (3) 正 、余 弦定 理的 一个重 要作 用是 实现 边角 ____________,余弦定理亦可以写成 sin2A=sin2B+ sin2C-2sinBsinCcosA, 类似地, sin2B=____________;

形状为( 【自查自纠】 a b c 1.(1) = = =2R sinA sinB sinC (2)① 2RsinB 2RsinC b c ② 2R 2R

) B.直角三角形 D.不确定

A.锐角三角形 C.钝角三角形

解:由已知和正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB = sinA· sinA ,即 sin(B + C) = sinAsinA ,亦即 sinA = π sinAsinA.因为 0<A<π,所以 sinA=1,所以 A= .所以 2 三角形为直角三角形.故选 B. 陕西)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的 (2012· π 边分别为 a,b,c.若 a=2,B= ,c=2 3,则 b= 6 ________. 解: 由余弦定理知 b2 = a2 + c2 - 2accosB = 22 + π (2 3)2-2×2×2 3×cos6=4,b=2.故填 2. 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, 1 (a+b 2 b,c,若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则角 A 的 大小为________. 解:∵ sinB+cosB= 2, π? ? π? ∴ 2sin? ?B+4?= 2,即 sin?B+4?=1. 1 B+C tan 2 π π π 又∵ B∈ (0,π),∴ B+ = ,B= . 4 2 4 a b asinB 1 根据正弦定理 = ,可得 sinA= = . sinA sinB b 2 π π ∵ a<b,∴ A<B.∴ A= .故填 . 6 6 )

③ sinA∶ sinB∶ sinC 2 2 2.(1)b +c -2bccosA c2+a2-2cacosB a +b -2abcosC a +b b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2 (2) > < 2bc 2ca 2ab (3)互化 sin2C+sin2A-2sinCsinAcosB sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC 3.(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解 ① 一解 ② 二解 ③ 一解 ④ 一解 1 acsinB 2 abc 4R (3)余弦 (4)余弦 1 1 4.(1) absinC bcsinA 2 2 +c)r (2)π-(B+C) π B+C - 2 2
2 2 2 2

sin(B+C) -cos(B+C) B+C B+C -tan(B+C) cos sin 2 2

tanAtanBtanC (3)a+c sinA+sinC

在△ ABC 中,A>B 是 sinA>sinB 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

类型一

正弦定理的应用

解:因为在同一三角形中,角大则边大,边大则 正弦大,反之也成立,故是充要条件.故选 C. 在△ ABC 中,已知 b=6,c=10,B=30° ,则 解此三角形的结果有( A.无解 C.两解 ) B.一解

△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b,c,已知 A-C=90° ,a+c= 2b,求 C. 解:由 a+c= 2b 及正弦定理可得 sinA+sinC= 2sinB. 又由于 A-C=90° ,B=180° -(A+C),故 cosC + sinC = sinA + sinC = 2sin(A + C) = 2sin(90° + 2C) = 2sin2(45° +C). ∴ 2sin(45° +C)=2 2sin(45° +C)cos(45° +C), 1 即 cos(45° +C)= . 2 又∵ 0° <C<90° ,∴ 45° +C=60° ,C=15° . 【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关
46

D.一解或两解 c· sinB 5 解:由正弦定理知 sinC= = , 又由 c>b>csinB b 6 知,C 有两解.也可依已知条件,画出△ ABC,由图 知有两解.故选 C. 陕西)设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边 (2013· 分别为 a, b, c, 若 bcosC+ccosB=asinA, 则△ ABC 的

系,这是解此题的关键.

a2+c2-b2 2ab b ·2 =- , 2ac a +b2-c2 2a+c 整理得 a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 -ac 1 ∴ cosB= = =- . 2ac 2ac 2 2 ∵ B 为三角形的内角,∴ B= π. 3 2 (2)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入 b2=a2+c2 3 2 -2accosB,得 13=42-2ac-2accos π,解得 ac=3. 3 1 3 3 ∴ S△ ABC= acsinB= . 2 4 【评析】① 根据所给等式的结构特点利用余弦定 理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.② 熟练 运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方 程思想在解题过程中的运用.

江西)在△ ABC 中,角 A,B,C 的 (2012· π π ? ?π ? 对边分别为 a, b, c.已知 A= , bsin? ?4+C?-csin?4+B? 4 =a. π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ ABC 的面积. π ? ?π ? 解: (1)证明: 对 bsin? ?4+C?-csin?4+B?=a 应用 π ? ?π ? 正弦定理得 sinBsin? ?4+C?-sinCsin?4+B?=sinA, 即 sinB? = 2 2 ?-sinC? 2sinB+ 2cosB? 2 ? 2 sinC+ 2 cosC? ?2 ?

2 ,整理得 sinBcosC-sinCcosB=1,即 sin(B-C) 2 π ?0,3π?,∴ 由于 B,C∈ B-C= . 4? ? 2 3π π (2)∵ B+C=π-A= ,又由(1)知 B-C= , 4 2 5π π ∴ B= ,C= . 8 8 π asinB ∵ a = 2 , A = , ∴由正弦定理知 b = = 4 sinA

=1.

若△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 满足(a+b)2-c2=4, 且 C=60° , 则 ab 的值为( 4 2 A. B.8-4 3 C .1 D. 3 3 )

解:由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2 -ab,代入(a+b)2-c2=4 中得(a+b)2-(a2+b2-ab) 4 =4,即 3ab=4,∴ ab= .故选 A. 3

2sin

5π asinC π ,c= =2sin . 8 sinA 8 1 1 5π π 2 ∴ S△ ABC= bcsinA= × 2sin × 2sin × 2 2 8 8 2 5π π π π 2 π 1 = 2sin sin = 2cos sin = sin = . 8 8 8 8 2 4 2

类型三

正、余弦定理的综合应用

全国新课标Ⅱ (2013· )△ ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值. 解: (1) 由已知及正弦定理得 sinA = sinBcosC + sinCsinB.① 又 A=π-(B+C),故 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.② 由① ,② 和 C∈ (0,π)得 sinB=cosB. π 又 B∈ (0,π),所以 B= . 4 1 2 (2)△ ABC 的面积 S= acsinB= ac. 2 4 π 由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos . 4
47

类型二

余弦定理的应用

在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B, cosB b C 的对边,且 =- . cosC 2a+c (1)求 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ ABC 的面积. a2+c2-b2 解: (1)由余弦定理知, cosB = , cosC 2ac = a2+b2-c2 cosB b ,将上式代入 =- 得 2ab cosC 2a+c

4 又 a2+c2≥2ac,故 ac≤ , 2- 2 当且仅当 a=c 时,等号成立. 因此△ ABC 面积的最大值为 2+1. 【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或 反向多次联用是常用的技巧;(2)已知边及其对角求 三角形面积最值是高考中考过多次的问题,既可用 三角函数求最值,也可以用余弦定理化边后用不等 式求最值.

sin2A cosB sinA ,所以 = ,再由正、余弦定理,得 sin2B cosA sinB a 2+ c2- b 2 2ac a = ,化简得 (a2- b2)(c2- a2 - b2)= 0,即 2 b + c2- a 2 b 2bc a2=b2 或 c2=a2+b2. 从而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形. 【评析】由已知条件,可先将切化弦,再结合正 弦定理,将该恒等式的边都化为角,然后进行三角函 数式的恒等变形,找出角之间的关系;或将角都化成 边,然后进行代数恒等变形,可一题多解,多角度思 考问题,从而达到对知识的熟练掌握.

山东)设△ ABC 的内角 A, (2013· B, C所 7 对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cosB= . 9 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解:(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB, 得 b =(a+c) -2ac(1+cosB), 又 a+c=6, b=2, 7 cosB= ,所以 ac=9,解得 a=3,c=3. 9 4 2 (2)在△ ABC 中,sinB= 1-cos2B= , 9 asinB 2 2 由正弦定理得 sinA= = . b 3 因为 a=c,所以 A 为锐角, 1 所以 cosA= 1-sin2A= . 3 10 2 因此 sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= . 27
2 2

上海 ) 在 △ ABC 中 ,若 sin2A + ( 2012· sin2B<sin2C,则△ ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形
2

)

B.直角三角形 D.不能确定

解:在△ ABC 中,∵ sin A+sin2B<sin2C,∴ 由正弦 a2+b2-c2 定理知 a2+b2<c2.∴ cosC= <0,即∠ C 为钝 2ab 角,△ ABC 为钝角三角形.故选 C.

类型五

解三角形应用举例

某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到 一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港 口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 n mile 的 A 处, 并 以 30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设 该小艇沿直线方向以 v n mile/h 的航行速度匀速行驶, 经过 t h 与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航 行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 n mile/h, 试设计航行方案 ( 即确定航行方向和航行速度的大 小), 使得小艇能以最短时间与轮船相遇, 并说明理由. 解法一:(1)设相遇时小艇航行的距离为 S n mile, 则 S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos(90° -30° ) = 900t2-600t+400= 1 2 t- ? +300, 900? ? 3?

类型四

判断三角形的形状

在三角形 ABC 中,若 tanA∶ tanB=a2∶ b2, 试判断三角形 ABC 的形状. a2 sin2A 解法一:由正弦定理,得 2= 2 , b sin B tanA sin2A 所以 = , tanB sin2B sinAcosB sin2A 所以 = ,即 sin2A=sin2B. cosAsinB sin2B 所以 2A=2B,或 2A+2B=π,因此 A=B 或 A+ π B= ,从而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形. 2 a2 sin2A tanA 解法二:由正弦定理,得 2= 2 ,所以 = b sin B tanB
48

1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,此时 v= =30 3. 3 1 3

即小艇以 30 3 n mile/h 的速度航行,相遇时小 艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇,则 v2t2=400+900t2-2· 20· 30t· cos(90° -30° ), 600 400 故 v2=900- + 2 . t t

故 OC>AC ,且对于线段 AC 上任意点 P ,有 OP≥OC>AC. 而小艇的最高航行速度只能达到 30 n mile/h, 故小艇与轮船不可能在 A,C 之间 (包含 C)的任意位 置相遇. 设∠ COD=θ(0° <θ<90° ),则在 Rt△ COD 中, 10 3 CD=10 3tanθ,OD= . cosθ 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分 10+10 3tanθ 10+10 3tanθ 10 3 别为 t= 和 t= ,所以 30 vcosθ 30 = 10 3 . vcosθ 15 3 由此可得,v= . sin(θ+30° ) 又 v≤30,故 sin(θ+30° )≥ 3 ,从而,30° ≤θ<90° . 2 3 . 3

600 400 2 3 ∵ 0<v≤30,∴ 900- + 2 ≤900,即 2- ≤0, t t t t 2 2 解得 t≥ .又 t= 时,v=30.故 v=30 时,t 取得最 3 3 2 小值,且最小值等于 . 3 此时,在△ OAB 中,有 OA=OB=AB=20,故可 设计航行方案如下:航行方向为北偏东 30° ,航行速 度为 30 n mile/h,小艇能以最短时间与轮船相遇. 解法二:(1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮 船沿正东方向匀速行驶, 则小艇航行方向为正北方向.

由于 θ=30° 时, tanθ 取得最小值, 且最小值为

10+10 3tanθ 于是, 当 θ=30° 时, t= 取得最小值, 30 2 且最小值为 . 3 【评析】 ① 这是一道有关解三角形的实际应用题,

设小艇与轮船在 C 处相遇. 在 Rt△ OAC 中, OC = 20cos30° = 10 3 , AC = 20sin30° =10. 又 AC=30t,OC=vt, 10 1 10 3 此时,轮船航行时间 t= = ,v= =30 3. 30 3 1 3 即小艇以 30 3 n mile/h 的速度航行,相遇时小 艇的航行距离最小. (2)假设 v=30 时,小艇能以最短时间与轮船在 D 处相遇,此时 AD=DO=30t. 又∠ OAD=60° ,所以 AD=DO=OA=20,解得 t 2 = . 3 据此可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30° , 航行速度的大小为 30 n mile/h. 这样,小艇能以最短时间与轮船相遇. 证明如下: 如图,由(1)得 OC=10 3,AC=10,

解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题,根据题 目提供的信息,找出三角形中的数量关系,然后利用 正、余弦定理求解.② 解三角形的方法在实际问题中, 有广泛的应用.在物理学中,有关向量的计算也要用 到解三角形的方法.近年的高考中我们发现以解三角 形为背景的应用题开始成为热点问题之一.③ 不管是 什么类型的三角应用问题,解决的关键都是充分理解 题意,将问题中的语言叙述弄明白,画出帮助分析问 题的草图, 再将其归结为属于哪类可解的三角形. ④ 本题用几何方法求解也较简便.

武汉5月模拟) 如图,渔船甲位于 ( 2012· 岛屿 A 的南偏西 60° 方向的 B 处, 且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿 正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上.

49

求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角 形的模型; (3)求解:利用正、余弦定理有序地解出三角形, 求得数学模型的解; (4) 检验:检验上述所求得的解是否符合实际意 义,从而得出实际问题的解. 5.正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理, 它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与 (1)求渔船甲的速度; (2)求 sinα 的值. 解: (1)依题意, ∠ BAC=120° , AB=12, AC=10× 2 =20,在△ ABC 中,由余弦定理知 BC2=AB2+AC2- 2AB· AC· cos∠ BAC = 122 + 202 - 2× 12× 20× cos120°= 784,BC=28. 28 所以渔船甲的速度为 v= =14(海里/小时). 2 (2)在△ ABC 中, AB=12, ∠ BAC=120° , BC=28, AB BC 12 ∠ BCA=α, 由正弦定理得 = , 即 sinα sin∠ BAC sinα = 28 12sin120° 3 3 ,从而 sinα= = . sin120° 28 14 几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接 圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断 三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.主 要方法有:化角法,化边法,面积法,运用初等几何 法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化 思想及分类讨论思想.

1.在△ ABC 中,若 a=2bcosC,则△ ABC 的形状 一定是( ) B.等腰直角三角形 A.直角三角形 C.等腰三角形

D.等边三角形 a2+b2-c2 解:根据余弦定理,有 a=2bcosC=2b· , 2ab 1.已知两边及其中一边的对角解三角形时,要 注意解的情况,谨防漏解. 2.在判断三角形的形状时,一般将已知条件中 的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系 (注意应用 A+B+C=π 这个结论)或边边关系,再用 三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等) 求解,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取 公因式,否则有可能漏掉一种形状. 3.要熟记一些常见结论,如三内角成等差数列, 则必有一角为 60° ;若三内角的正弦值成等差数列, 则三边也成等差数列;内角和定理与诱导公式结合产 A 生的结论: sinA=sin(B+C), cosA=-cos(B+C), sin 2 =cos B+C ,sin2A=-sin2(B+C),cos2A=cos2(B+ 2 化简整理得 b=c.所以△ ABC 为等腰三角形.故选 C. sinA cosB 2. 在△ ABC 中, 若 = , 则∠ B 的值为( ) a b A.30° B.45° C.60° D.90° sinA cosB sinA cosB 解: 因为 = , 由正弦定理, 得 = , a b sinA sinB 所以 tanB=1,B=45° .故选 B. 2012· 四川 3.( )如图,正方形 ABCD 的边长为 1, 延长 BA 至 E,使 AE=1,连接 EC,ED,则 sin∠ CED =( ) 3 10 A. 10 B. C. 10 10 5 10 5 15

C)等. 4.应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般 步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示 意图; (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与
50

D.

解法一:在△ECD 中,CD=1,CE= 5,∠ CDE CE CD 5 =135° , ∴ 由正弦定理知 = , 即 sin∠ CDE sin∠ CED sin135°



1 10 ,解得 sin∠ CED= . sin∠ CED 10 解法二:由题意知 CD =1,CE= EB2+BC2 =

-ab, 根据余弦定理 cosC = 2π 2π ∠ C= .故填 . 3 3 8.在△ ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________. AB BC 3 解:由正弦定理得 = = =2,∴ AB= sinC sinA sin60° 2sinC,BC=2sinA,AB+2BC=2(sinC+2sinA)=2[sinC + 2sin(120° - C)] = 2( 3 cosC + 2sinC) = 2 7 sin(C + 2 3 φ)(其中 cosφ= ,sinφ= ).∴ 当 C+φ=90° ,即 C 7 7 = 90° - φ 时, AB + 2BC = 2 7sin(C + φ) 取得最大值
2

a2+b2-c2 -ab 1 = =- , 2ab 2ab 2

22+12= 5,DE= AE2+AD2= 12+12= 2,所 DE2+CE2-CD2 2+5-1 3 10 以 cos∠ CED= = = , 2DE· CE 10 2× 2× 5 sin∠ CED = 1-cos2∠ CED = 故选 B. 4 .在 △ ABC 中, sin2A≤sin2B + sin2C - sinBsinC. 则 A 的取值范围是( π? A.? ?0,6? π? C.? ?0,3? ) π ? B.? ?6,π? π ? D.? ?3,π?
2 2

3 10 ? 1-? ?10 10? = 10 .

2

解:由正弦定理角化边得 a ≤b +c -bc, b2+c2-a2 1 ∴ b2+c2-a2≥bc.∴ cosA= ≥ . 2bc 2 π ∴ 0<A≤ .故选 C. 3 5.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠ C=120° ,c= 2a,则( A.a>b C.a=b
2 2

2 7.故填 2 7. 辽宁)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边 9.(2012· 分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cosB 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值.
? ?2B=A+C, π 解:(1)由题意知? 得 B= , 3 ?A+B+C=π, ?

)

B.a<b D. a 与 b 的大小关系不能确定
2 2 2 2

1 从而 cosB= . 2 1 (2)∵ b2=ac,cosB= , 2 3 ∴ 由正弦定理得 sin2B=sinAsinC=1-cos2B= . 4 10.如图,在△ ABC 中,∠ ABC=90° ,AB= 3, BC=1,P 为△ ABC 内一点,∠ BPC=90° .

解:据题意由余弦定理可得 a2+b2-2abcos120° =c =( 2a) ,化简整理得 a =b +ab,变形得 a -b =(a+b)(a-b)=ab>0,故有 a-b>0,即 a>b.故选 A. π 天津)在△ ABC 中,∠ 6.(2013· ABC= ,AB= 2, 4 BC=3,则 sin∠ BAC=( A. 10 10 B. 10 5 ) 3 10 C. 10 D. 5 5

解: 设 CD 为 AB 边上的高, 则由题设知 BD=CD = 3 2 3 2 2 ,∴ AD= - 2= ,AC= 2 2 2 9 1 + = 5, 2 2 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠ APB=150° ,求 tan∠ PBA. 解:(1)由已知得,∠ PBC=60° ,∴ ∠ PBA=30° , 1 在 △ PBA 中 , 由 余 弦 定 理 得 PA 2 = 3 + - 2× 3 4 1 7 7 × cos30° = ,∴ PA= . 2 4 2 湖北)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的 7.(2012· 边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C =_________. 解:由(a+b-c)(a+b+c)=ab 得 a2+b2-c2=
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3 2 2 CD 3 10 ∴ sin∠ BAC=sin∠ DAC= = = .故选 C. CA 10 5

(2)设∠ PBA=α, ∴ ∠ PCB=α, PB=sinα, 在△ PBA 3 sinα 中,由正弦定理得, = ,化简得 sin150° sin(30° -α) 3cosα=4sinα,∴ tanα= 3 3 ,∴ tan∠ PBA= . 4 4

11.在△ ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,tanC=3 7. (1)求 cosC 的值; → → 5 (2)若CB· CA= ,且 a+b=9,求 c 的值. 2 解:(1)∵ tanC=3 7, sinC ∴ =3 7且角 C 为锐角. cosC 1 又∵ sin2C+cos2C=1,∴ cosC= . 8 5 → → 5 (2)∵ CB· CA= ,∴ abcosC= ,∴ ab=20. 2 2 又∵ a+b=9,∴ a2 + 2ab + b2 = 81 , ∴ a2 + b2 = 41.∴ c2=a2+b2-2abcosC=36,c=6. 设△ ABC 是锐角三角形,a,b,c 分别 π π 是内角 A, B, C 所对边长, 并且 sin2A=sin( +B)sin( 3 3 -B)+sin B. (1)求角 A 的值;
2

→ → (2)若AB· AC=12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c). 解:(1)∵ sin2A=? 3 1 1 ?? 3 ? ? 2 cosB+2sinB?? 2 cosB-2sinB?

3 1 3 +sin2B= cos2B- sin2B+sin2B= , 4 4 4 3 π ∴ sinA=± .又 A 为锐角,所以 A= . 2 3 → → (2)由AB· AC=12 可得 cbcosA=12.① π 由(1)知 A= ,所以 cb=24.② 3 由余弦定理知 a2=c2+b2-2cbcosA, 将 a=2 7及 ① 代入,得 c2+b2=52,③ ③ +② × 2,得(c+b)2=100,所以 c+b=10. 因此,c,b 是一元二次方程 t2-10t+24=0 的两 个根. 解此方程并由 c>b 知 c=6,b=4.

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一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. π 5 x+ ?=- ,则 sin2x 的值等于 1.已知 sin? ? 4? 13 ( ) 120 A. 169 120 C.- 169 119 B. 169 119 D.- 169

π 3 1 3 3 sinx sin ) = sinx - cos x + sinx = sin x - cos x = 6 2 2 2 2 π? π π π 3sin? ?x-6?,∴当 x-6=-2+2kπ,即 x=-3+2kπ, k∈ Z 时,f(x)取最小值- 3.故选 B. 湖南)在锐角△ ABC 中,角 A,B 所对的 5.(2013· 边长分别为 a,b.若 2asinB= 3b,则角 A 等于( ) π π π π A. B. C. D. 12 6 4 3 解: ∵ 2asinB= 3b, asinB 3 ∴ 由正弦定理知 sinA= = . b 2 ∵ △ ABC 为锐角三角形,∴ A=60° .故选 D. 6.△ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,

π 5 2 5 x+ ?=- , (sinx+cosx)=- ,两 解:sin? ? 4? 13 2 13 1 25 119 边平方得 (1+sin2x)= ,解得 sin2x=- . 2 169 169 故选 D. 2.函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是( π A.2π B.4π C. 4 1 解:y=sin2xcos2x= sin4x, 2 2π π 所以最小正周期为 T= = ,故选 D. 4 2 3.“等式 sin(α+γ)=sin2β 成立”是“α,β,γ 成等 差数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解:若等式 sin(α+γ)=sin2β 成立,即 α+γ=2β +2kπ,或 α+γ+2β=π+2kπ,k∈ Z;若 α,β,γ 成等 差数列,即 α+γ=2β, 可得等式 sin(α+γ)=sin2β 成立.故选 B. π 湖南改编)函数 f(x)=sinx-cos?x+ ?的 4.(2012· ? 6? 最小值为( A.-2 ) B.- 3 C.1 3 D. 2 ) π D. 2

b,c,且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列,则角 B 等于( ) B.60° C.90° D.120°

A.30°

解 : acosC + ccosA = 2bcosB , 由 正 弦 定 理 得 sinAcosC + sinCcosA = 2sinBcosB , sin(A + C) = 1 2sinBcosB,即 sinB=2sinBcosB,得 cosB= ,0° <B 2 <180° ,所以 B=60° .故选 B. 重庆)设 tanα,tanβ 是方程 x2-3x+2=0 7.(2012· 的两根,则 tan(α+β)的值为( A.-3 B.-1 ) C.1 D.3

解 : 由 题意 知 tanα + tanβ = 3 , tanαtanβ = 2 , tanα+tanβ 3 ∴ tan(α+β)= = =-3.故选 A. 1-tanαtanβ 1-2 8.若△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,且 a=1, ∠ B=45° ,S△ ABC=2,则 b=( A.5 B.25 C. 41 ) D.5 2

1 2 解: 由 S△ ABC= acsin45° = c=2,得 c=4 2, 2 4 由余弦定理知 b2 = a2 + c2 - 2accosB = 12 + (4 2)2 - 2 2× 1× 4 2× =25,b=5.故选 A. 2 浙江)把函数 y=cos2x+1 的图象上所有 9.(2012· 点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向
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π π x+ ?= sinx- (cosxcos - 解: ∵ f(x)= sinx- cos? ? 6? 6

左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得 到的图象是( )

π 江西)已知 f(x)=sin2?x+ ?.若 a=f(lg5), 11. (2012· ? 4? 1? b=f? ?lg5?,则 ( A.a+b=0 C.a+b=1 ) B.a-b=0 D.a-b=1

π 2x+ ? 1-cos? 2? 1+sin2x ? π x+ ?= 解:f(x)=sin2? = , ? 4? 2 2 1 不妨令 lg5 = t ,则 lg =- t , ∵ a = f (lg5) = f (t) = 5 1+sin2t 1 1-sin2t lg ?=f(-t)= , b = f? ,∴ a+b=1.故 ? 5? 2 2 选 C. 12.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈ R,其中 ω π >0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π,且当 x= 2 时, f(x)取得最大值,则( )

A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 解:把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐 标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得 y1=cosx+1,向 左平移 1 个单位长度得 y2=cos(x+1)+1, 再向下平移 1 个单位长度得 y3=cos(x+1).令 x=0,得 y3>0;令 π x= -1, 得 y3=0.观察各选项图象知, 只有选项 A 的 2 图象满足要求,故选 A. θ 1 10.已知 θ 为第二象限角,且 cos =- ,那么 2 2 1-sinθ 的值是( θ θ cos -sin 2 2 A.-1 1 B. 2 ) C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 2π 2π 1 解:∵ T=6π,∴ ω= = = . T 6π 3 π? ?1 π ? ?π ? 又∵ f? ?2?=2sin?3×2+φ?=2sin?6+φ?=2, π π π ∴ +φ= +2kπ,k∈ Z,即 φ= +2kπ,k∈ Z. 6 2 3 x π? π 又∵ -π<φ≤π,∴ φ= .∴ f(x)=2sin? ?3+3?. 3 5 π ? 单 ∴ f(x)的单调递增区间为? ?-2π+6kπ,2+6kπ?, C.1 D.2 π 7 +6kπ, π+6kπ?,k∈ 调递减区间为? Z. 2 2 ? ? 观察各选项,故选 A.

θ 解:由 θ 为第二象限角知 在第一、三象限,又由 2 θ 1 θ θ θ cos =- <0 知 是第三象限角,且 cos >sin . 2 2 2 2 2 1-sinθ 故 = θ θ cos -sin 2 2 故选 C.
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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13 . cos43° cos77° + sin43° cos167° 的 值 为 =1. ____________. 解: cos43° cos77° + sin43° cos167° = cos43° cos77° 1 1 +sin43° (-sin77° )=cos120° =- .故填- . 2 2

?cosθ-sinθ?2 cosθ-sinθ 2? 2 2 ? 2
θ θ cos -sin 2 2 = θ θ cos -sin 2 2

π 14.在△ ABC 中,若 b=5,∠ B= ,tanA=2,则 4 sinA=________;a=________. sinA 2 解:∵ tanA= =2,∴ sinA= 5.又∵ b=5,B cosA 5 2 5× 5 5 π bsinA = ,∴ 根据正弦定理,a= = =2 10.故填 4 sinB 2 2 2 5 ;2 10. 5 π 4 江苏)设 α 为锐角,若 cos?α+ ?= , 15.(2012· ? 6? 5 π 则 sin(2α+ )的值为________. 12 π? π? 2? ?4?2 解:∵ cos? ?2α+3?=2cos ?α+6?-1=2×?5? -1 7 = >0, 25 π? ∴ sin ? ?2α+3? = = 24 . 25 π π π 2α+ ?=sin??2α+3?- ? ∴ sin? 12? ? ? 4 ? π? 1-cos ? ?2α+3? =
2

π? π π π 命题;由 2π+ > ,但 sin? ?2π+6?<sin3知③是假命 6 3 题.故填① ② .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asinA+csinC- 2asinC=bsinB. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 解:(1)∵ asinA+csinC- 2asinC=bsinB, ∴ 由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2. a2+c2-b2 2ac 2 ∴ 由余弦定理得 cosB= = = , B 2ac 2ac 2 =45° . (2)sinA = sin(30° + 45° ) = sin30° cos45° + 6+ 2 1 2 3 2 cos30° sin45° = × + × = . 2 2 2 2 4 2× bsinA 故 a= = sinB 6+ 2 4 =1+ 3, 2 2

7 ?2 1-? ?25?

?

?

π? π π? π ? =sin? ?2α+3?cos4-cos?2α+3?sin4 = 24 2 7 2 17 2 × - × = . 25 2 25 2 50

3 2 bsinC c= = = 6. sinB 2 2 2× 1 π? 18.(12 分)已知函数 f(x)=2sin? R. ?3x-6?,x∈ 5π? (1)求 f? ? 4 ?的值; π? 10 6 ?0,π?, ? (2)设 α, β∈ f(3β+2π)= , ? 2? f?3α+2?=13, 5 求 cos(α+β)的值. 5π? π ?1 5 π? 解:(1)f? ? 4 ?=2sin?3×4π-6?=2sin4= 2. π π π 1 ? 10 3α+ ?- ?=2sinα, 3α+ ?=2sin? × (2)∵ =f? 2? 6? 2? 13 ? ?3 ? 1 π? 6 ? π? = f(3β + 2π) = 2sin ? ?3×(3β+2π)-6? = 2sin ?β+2? 5 5 3 =2cosβ,∴ sinα= ,cosβ= . 13 5

17 2 故填 . 50 16.给出下列命题: π 2x+ ? 的 一 个 对 称 中 心 为 ①函 数 f(x) = 4cos ? 3? ?

?-5π,0?; ? 12 ?
② 在 y=sinx 和 y=cosx(x∈ R)的函数值中, 函数值 较小的那部分构成一个新函数,记作 f(x)=min{sinx, cosx},则 f(x)的值域为?-1, 2? ; 2?

?

③ 若 α, β 均为第一象限角, 且 α>β, 则 sinα>sinβ. 其中所有真命题的序号是________. 5π? ? 5π π? ? π? 解:f? ?-12?=4cos?- 6 +3?=4cos?-2?=0,① 为真命题;画出 y=sinx,y=cosx 的图象,知② 是真
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?0,π?, 又∵ α,β∈ ? 2?

∴ cosα= 1-sin2α= sinβ= 1-cos2β=

5 ?2 12 1-? ?13? =13, 3?2 4 1-? ?5? =5.

π π π 2π 因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ , 2 3 3 3 - π? 3 ≤sin? ?2x-3?≤1, 2

12 3 5 4 故 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= × - × 13 5 13 5 = 16 . 65 19 . (12 分 ) 已知函数 f(x) = sin(ωx + φ)(ω > 0 , 0≤φ≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的 距离为 2π. (1)求 f(x)的解析式; ?-π,π?, ? π? 1 求 sin?2α+5π? 的 (2)若 α∈ 3? ? 3 2? f?α+3?=3, ? 值. 解:(1)∵ 图象相邻的两最高点间的距离为 2π, 2π ∴ T=2π,则 ω= =1. T π ∵ f(x)是偶函数,∴ φ=kπ+ (k∈ Z), 2 π 又 0≤φ≤π,∴ φ= . 2 π? ∴ f(x)=sin? ?x+2?=cosx. π ? 5π? ?-π,π?,∴ 0, . (2)∵ α∈ α+ ∈ 6? ? 3 2? 3 ? π 1 α+ ?= , 由已知 cos? 3 ? ? 3 π? 2 2 得 sin? ?α+3?= 3 . 5π? 2π? ? ∴ sin? ?2α+ 3 ?=-sin?2α+ 3 ? π? ? π? 4 2 =-2sin? ?α+3?cos?α+3?=- 9 . 20.(12 分)已知函数 f(x)=2asin2x+2sinxcosx-a 的图象过点(0,- 3). (1)求常数 a; ?0,π?时,求函数 f(x)的值域. (2)当 x∈ ? 2? 解: (1)把点(0, - 3)代入函数表达式, 得- 3= 2asin20+2sin0cos0-a,得 a= 3. (2)f(x) = 2 3sin2x + sin2x - 3 = sin2x - 3cos2x π? =2sin? ?2x-3?.
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π 2x- ?≤2, 所以- 3≤2sin? 3? ? 故 f(x)的值域为[- 3,2]. 山东 )已知向量 m= (sinx, 1 ), 21. (12 分 )(2012· A n=( 3Acosx, cos2x)(A>0),函数 f(x)=m· n 的最大 2 值为 6. (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位, 再将 12 1 所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍, 纵坐标不 2 5π? 变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在? ?0,24?上的 值域. A 解:(1)f(x)=m· n= 3Asinxcosx+ cos2x 2 =A? 3 1 ?=Asin?2x+π?. 6? ? ? 2 sin2x+2cos2x?

∵ A>0,∴ 由题意知 A=6. π (x) 2x+ ?, (2)由(1)知 f(x)=6sin? 6? 将函数 y=f 的图 ? π? π 象向左平移 个单位,得到 y=f? ?x+12?的图象,再将 12 1 所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍, 纵坐标不 2 π ? π? π? ? ? 变,得到 y=g(x)=f? ?2x+12?=6sin 2?2x+12?+6 =

?

?

π? 6sin? ?4x+3?. π ?π 7π? ?0,5π?,∴ , . ∵ x∈ 4x+ ∈ ? 24? 3 ?3 6 ? 5π? ?π? x ∴ g(x)min=g? ?24?=-3,g( )max=g?24?=6. 5π? ∴ g(x)在? ?0,24?上的值域为[-3,6]. 22.(12 分)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 n mile 以内海域被设为警戒水域, 点 E 正北 55 n mile 处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶

的船只位于点 A 北偏东 45° 且与点 A 相距 40 2 n mile 的位置 B, 经过 40 min 又测得该船已行驶到点 A 北偏 东 45° +θ(其中 sinθ= 26 , 0° <θ<90° )且与点 A 相距 26

10 13 n mile 的位置 C. (1)求该船的行驶速度(单位: n mile/h); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否 会进入警戒水域,并说明理由. 解:(1)如图,AB=40 2,AC=10 13,∠ BAC= θ , sinθ = 1-? 26 . 由 于 0°< θ < 90°, 所 以 cosθ = 26

2 26? 5 26 = . 26 ? 26 ?

由余弦定理得 BC= AB2+AC2-2AB· AC· cosθ= 10 5.

10 5 所以船的行驶速度为 =15 5( n mile/h). 2 3 (2)如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B,C 的坐标分别是 B(x1,y1),C(x2,y2),BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有,x1=y1= 2 AB=40,x2= 2

ACcos∠ CAD=10 13cos(45° -θ)=30, y2=ACsin∠ CAD= 10 13sin(45° -θ)=20,所以过点 B,C 的直线 l 的斜 20 率 k= =2,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10 |0+55-40| 又点 E(0, -55)到直线 l 的距离 d= = 1+4 3 5<7. 所以船会进入警戒水域.

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