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广西省桂林市2014-2015高二下学期期末考试数学试卷(文)



桂林市第十八中学 13 级高二下学期期末考试卷


命题人: 刘世荣

学 (文)
审题人:候永红

注意:1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间: 120 分钟 答卷前,考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置,将条形码张贴 在指定位置。

2、选择题答案用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案;不能答在试题卷上。 3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答,答案必须写在答题卷各题目指 定区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然 后再写上新的答案。

第Ⅰ卷

选择题

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U =? x ? Z |1 ? x ? 5? , A=?1,2,3? , C u B ? ?1,2?,则 A ? B ?

A.?3?

B.?1,3?

C. ?1,2?

D.?1,2,3?

2.设复数z1 , z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1 =1+i, 则z1 ? z 2 = A. ? 2 B. 2 C.2i D.? 2i 3.下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的是

A. y ? ln x

B. y ? x3 ? x

C. y ? 3x

D. y ? ?

1 x
D.既不充分也不必要条件

4.设a, b是实数,则“a ? b ? 0”是“ab ? 0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

5.设S n是等比数列?an ?的前n项和,a3 ? 9, 前三项和S3 ? 27, 则公比q ? 1 1 1 C.1或D.1或 2 2 2 6.若直线2 x ? y ? ? ? 0沿着x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0相切,则实数?的值为 A.1 B.

A. ? 3或7 B. ? 2或8 C.0或10 D.1或11 7.执行如图所示的程序框图,若输入n ? 8,则输出的S=

3 6 4 8 B. C. D. 7 7 9 9 8.正三棱锥S ? ABC的侧棱SA, SB, SC两两垂直,且SA ? 4 3, A.

则该三棱锥S ? ABC的外接球的表面积为 A.36? B. 64? C.144? D. 256?

9.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.2? +8 B.4? +8 C.6? +8 D.8? +8
1 1 4 正视图

侧视图

10.等差数列?an ?中,若a1,a4029是函数 1 f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? 12 x ? 1的极值点,则log 2 a2015 ? 3 A.5 B.3 C.4 D.2
2

2

俯视图

2

11.已知“整数对”按如下规律排成一列: (1,1),(1, 2),(2,1),(1,3),(2, 2),(3,1),(1, 4),(2,3),(3, 2),(4,1),..., 则第45个“整数对”是 A.(1,9) B. (9,1) C.(1,10) D. (10,1)

1 12.设f ? x ? ? x ? ln x, 则f ? x ? 3 A.在定义域内无零点 ?1 ? C.在 ? ,1?内有零点,在 ?1, e ?内无零点 ?e ? ?1 ? B.在 ? ,1? , ?1, e ?内均无零点 ?e ? ?1 ? D.在 ? ,1?内无零点,在 ?1, e ?内有零点 ?e ?

第 II 卷
? ? ? ? 13. 已知a ? ? 2,3? , b ? ?t ? 1,3t ? 2? , 若a / /b, 则t ?

非选择题

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?x ? 3y ? 7 ? 0 ? 14.已知实数x, y满足约束条件 ? x ?1 ,则z ? y ? x的最小值是 ? y ?1 ?

x2 y 2 ? ? 1的一条渐近线经过点(3, ?4), 则此双曲线的离心率为 a 2 b2 16.曲线y ? ln x ? x上的点到直线2x ? y ? 3 ? 0的最小距离是 15.若双曲线
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分12分)

在?ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知A ? (I)求 tan C的值; (II)若?ABC的面积为3,求b的值.

?

1 , b2 ? a 2 ? c2 . 4 2

19.(本小题满分12)
2013 年第三季度,国家电网决定对城镇居民民用电计费标准 做出调整, 并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间 在 (0,170] ,第二类在 (170, 260] ,第三类在 (260, ??) (单位: 千瓦时). 某小区共有 1000 户居民,现对他们的用电情况进行 调查,得到频率分布直方图如图所示. (I) 求该小区居民用电量的平均数; (II) 利用分层抽样的方法从该小区内选出 10 位居民代表,若从 该 10 户居民代表中任选两户居民,求这两户居民用电资费属于 不同类型的概率.
频率 /组距
0.020

0.015

0.005 0.003 0.002 0

110

130

150

170

190

210

230

月用电量

19.(本小题满分12) 如图,四棱锥P ? ABCD中,底面ABCD为矩形,PA ? 平面ABCD,E为PD的中点. (I)证明:PB / / 平面AEC; (II)设二面角D ? AE ? C为60?,AP ? 1, AD ? 3, 求三棱锥E ? ACD的体积.
P E A D

B

C

20 ? 本小题满分12分 ? x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?的离心率e ? , 点F为椭圆的右焦点,点A、B分别是椭圆的左右顶点, 2 2 a b ???? ??? ? 点M为椭圆的上顶点.,且满足MF ? FB ? 2 ? 1. 已知椭圆C:

? I ? 求椭圆方程; ? II ? 是否存在直线?, 使得直线?与椭圆交于P、Q两点,且F恰为?PQM的垂心,若存在,求出直线?方程;
若不存在,说明理由.

21? 本小题满分12分 ? ex ( x ? 0) x2 ? I ? 求f ? x ?的最小值; 已知f ? x ? ?

? II ?当y ?

f ( x)的切线l的斜率为负数时,求l在y轴上的截距的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请写 清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 ?ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H . 且 B, E , H , D 四点共圆, F 在

AC 上, 且 ?DEC ? ?FEC . (I)求 ? B 的度数; (Ⅱ)证明: AE ? AF .

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知倾斜角为

? 的直线 ? 经过点 P(1,1) . 4
2 2

(I)写出直线 ? 的参数方程; (Ⅱ)设直线 ? 与 x ? y ? 4相交于A, B两点,求

1 1 ? 的值. | PA | | PB |

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?

x ? 8 ? x.

(I)求 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| k ? 2 | 有实数解,求实数 k 的取值范围.

桂林市第十八中学 13 级高二下学期期末考试卷



学 (文)参考答案
第Ⅰ卷 选择题

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U =?x ? Z |1 ? x ? 5? , A=?1,2,3? , C u B ? ?1,2?,则 A ? B ? A A.?3?
A. ? 2

B.?1,3?
B. 2

C. ?1,2?
C.2i

D.?1,2,3?
D.? 2i

2.设复数z1 , z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1 =1+i, 则z1 ?z 2 =B

3.下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的是B 1 x 4.设a, b是实数,则“a ? b ? 0”是“ab ? 0”的D A. y ? ln x B. y ? x3 ? x C. y ? 3x D. y ? ?
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.设S n是等比数列?an ?的前n项和,a3 ? 9, 前三项和S3 ? 27, 则公比q ? C 1 1 1 C.1或D.1或 2 2 2 6.若直线2 x ? y ? ? ? 0沿着x轴向左平移1个单位,所得直 A.1 B.

线与圆x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0相切,则实数?的值为A A. ? 3或7 B. ? 2或8 C.0或10 D.1或11

7.执行如图所示的程序框图,若输入n=8,则输出的S=C 3 6 4 8 B. C. D. 7 7 9 9 8.正三棱锥S ? ABC的侧棱SA, SB, SC两两垂直,且SA ? 4 3, A.

则该三棱锥S ? ABC的外接球的表面积为 A.36? B. 64? C.144? D. 256?

9.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为A A.2? +8 B.4? +8 C.6? +8 D.8? +8
1 1 4 正视图

侧视图

10.等差数列?an ?中,若a1,a4029是函数 1 f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? 12 x ? 1的极值点,则log 2 a2015 ? D 3 A.5 B.3 C.4 D.2
2

2

俯视图

2

11.已知“整数对”按如下规律排成一列: (1,1),(1, 2),(2,1),(1,3),(2, 2),(3,1),(1, 4),(2,3),(3, 2),(4,1),..., 则第45个“整数对”是B A.(1,9) B. (9,1) C.(1,10) D. (10,1)

1 12.设f ? x ? ? x ? ln x, 则f ? x ? D 3 A.在定义域内无零点 ?1 ? C.在 ? ,1?内有零点,在 ?1, e ?内无零点 ?e ? ?1 ? B.在 ? ,1? , ?1, e ?内均无零点 ?e ? ?1 ? D.在 ? ,1?内无零点,在 ?1, e ?内有零点 ?e ?

第 II 卷
? ? ? ? 13.已知a ? ? 2,3? , b ? ?t ? 1,3t ? 2? , 若a / /b, 则t ?

非选择题

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?x ? 3y ? 7 ? 0 ? 14.已知实数x, y满足约束条件 ? x ?1 ,则z ? y ? x的最小值是 ? y ?1 ?

7 3

?3

15.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1的一条渐近线经过点(3, ?4), 则此双曲线的离心率为 a 2 b2 16.曲线y ? ln x ? x上的点到直线2 x ? y ? 3 ? 0的最小距离是

5 3

解:设曲线y ? ln x ? 1上的点P( x0 , y0 ) 要使y ? ln x ? 1上的点到直线2 x ? y ? 3 ? 0的距离最小,则 1 1 据k=y?|x ? x0 ? ( ? 1) |x ? x0 ? ? 1 ? 2 ? x0 ? 1 x x0 ? P(1,1) ? d min ? 1? 2 ? 1? 1 ? 3 5 ? 4 5 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分12分)

在?ABC中,内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知A ? (I)求 tan C的值; (II)若?ABC的面积为3,求b的值.

?

1 , b2 ? a 2 ? c2 . 4 2

1 2 1 1 c 及正弦定理得 sin 2 B ? ? sin 2 C 2 2 2 2 所以 ? cos 2 B ? sin C. 解:(I)由b 2 ? a 2 ? 又A ?

?

4 3? ? cos( ? 2C ) ? sin 2 C ? sin 2C ? sin 2 C ? 2sin C cos C ? sin 2 C 2 解得 tan C ? 2 2 5 5 ,cos C ? . 5 5 ? 3 10 又因为sin B ? sin( A ? C ) ? sin( ? C ), 所以sin B ? . 4 10 2 2 由正弦定理得c ? b 3 (II)由 tan C ? 2,C ? (0, ? )得 sin C ? 又因为A ? 所以S ?ABC , 4 1 ? bc sin A ? 3, 所以bc ? 6 2, 故b ? 3 2
频率 /组距
0.020

,即B ? C ?

3? ,得 4

?

18.(本小题满分 12 分)
2013 年第三季度,国家电网决定对城镇居民民用电计费标准 做出调整, 并根据用电情况将居民分为三类: 第一类的用电区间 在 (0,170] ,第二类在 (170, 260] ,第三类在 (260, ??) (单位:

0.015

千瓦时). 某小区共有 1000 户居民,现对他们的用电情况进行 调查,得到频率分布直方图如图所示. 0.005 (I) 求该小区居民用电量的平均数; 0.003 (II) 利用分层抽样的方法从该小区内选出 10 位居民代表,若从 0.002 0 110 130 150 170 190 210 该 10 户居民代表中任选两户居民,求这两户居民用电资费属于 不同类型的概率; 18 (12 分) .解: (I)平均数为 120 ? 0.005 ? 20 ? 140 ? 0.075 ? 20 ? 160 ? 0.020 ? 20 ? 180 ? 0.005 ? 20

230

月用电量

?200 ? 0.003 ? 20 ? 220 ? 0.002 ? 20 ? 156.8 ?? 6分

(II)由频率分布直方图可知,采用分层抽样抽取 10 户居民,其中 8 户为第一类用户,2 户为第 二类用户,则从该 10 户居民中抽取 2 户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为
1 1 C8 C2 16 ??12分 ? 2 C10 45

19.(本小题满分12) 如图,四棱锥P ? ABCD中,底面ABCD为矩形,PA ? 平面ABCD,E为PD的中点. (I)证明:PB / / 平面AEC; (II)设二面角D ? AE ? C为60?,AP ? 1, AD ? 3, 求三棱锥E ? ACD的体积. 解:(I)连接BD交AC于O, 连接OE , 则OE / / PB ? OE ? 面AEC,PB ? 面AEC ? PB / / 平面AEC (II) (关键是求CD的长)设CD ? x 据CD ? PAD, 知C到面AED的距离为x 设C到AE的距离为d,则 在?AEC中,AC ? 3 ? x 2 , AE ? 1 PD ? 1, CE ? CD 2 ? DE 2 ? 1 ? x 2 2 2 2 1 ? (1 ? x ) ? (3 ? x ) ?1 cos ?AEC ? ? 2 2 ? 1? 1 ? x 2 1 ? x2 4 x2 ? 3 4(1 ? x 2 ) 1 1 4 x2 ? 3 AE ? EC ? sin ?AEC ? AE ? d ? d ? 2 2 2 x 3 2x 3 ? ? ?x? 2 2 2 2 4x ? 3 4x ? 3 2 ? CD ? 3 2
B A D B A E D P

C

? sin ?AEC ?

? 据等面积法S ?AEC ? ? 据 sin 600 ? x ? d

P E

1 1 3 ?VE ? ACD ? S?ACD ? PA ? 3 2 8

C

20 ? 本小题满分12分 ? x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?的离心率e ? , 点F为椭圆的右焦点,点A、B分别是椭圆的左右顶点, 2 2 a b ???? ??? ? 点M为椭圆的上顶点.,且满足MF ? FB ? 2 ? 1. 已知椭圆C:

? I ? 求椭圆方程; ? II ? 是否存在直线?, 使得直线?与椭圆交于P、Q两点,且F恰为?PQM的垂心,若存在,求出直线?方程;
若不存在,说明理由.

20.解:(I)依题意,F ? c,0 ? c ? a 2 ? b 2 ,A ? ?a,0 ? ,B ? a,0 ? ,M ? 0, b ? , ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ? MF ? ? c, ?b ? , FB ? ? a ? c,0 ? ,? MF ? FB ? ac ? c 2 ? 2 ? 1, c 2 ? ,? a ? 2c,? 2c 2 ? c 2 ? 2 ? 1, a 2 ? c 2 ? 1, a 2 ? 2, b 2 ? 1, 又e ? x2 ? y 2 ? 1........................................4分 2 (II)假设存在直线l满足条件,因为k MF ? ?1,且直线FM 与直线l垂直,所以kl ? 1, ? 椭圆C的方程为 设直线PQ的方程为y ? x ? m,设P ? x1 , y1 ? ,Q ? x2 , y2 ?

?

?

? y? x?m ? 由? x 2 , 消去y得3x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 2 ? 0, 2 ? ? y ?1 ?2 由于直线PQ与椭圆有两个不同交点 ?? ? 16m 2 ? 12 ? 2m 2 ? 2 ? ? 0,即m 2 ? 3..............................5分 4m ? x1 ? x2 ? ? ? ? 3 由根与系数的关系得 ? ...........................................................6分 2 ? x x ? 2m ? 2 1 2 ? 3 ? 2m 2 ? 2 4m m2 ? 2 由于y1 y2 ? ? x1 ? m ?? x2 ? m ? ? x1 x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? m 2 ? ? ? m2 ? . 3 3 3 ??? ? ???? ? 又F 为?MPQ的垂心, ? 直线PF 与直线MQ垂直, ? PF ? MQ ? 0..........................7分 ??? ? ???? ? 又 PF ? ?1 ? x1 , ? y1 ? , MQ ? ? x2 , y2 ? 1? , ??? ? ???? ? 又 PF ? MQ ? x2 ? y1 ? x1 x2 ? y1 y2 ......................................8分 ? x2 ? x1 ? m ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ?? 4m 2m 2 ? 2 m 2 ? 2 m 4 ?m? ? ? ? m 2 ? ? ............9分 3 3 3 3 3

1 1 3m 2 ? m ? 4 ? ? ? ? 3m ? 4 ?? m ? 1? ? 0. ? 3 3 4 ? m ? ? 或m ? 1....................................................10分 3 经检验均满足m 2 ? 3,..............................11分 ? 存在满足条件的直线l的方程为:x ? y ? 1 ? 0或3 x ? 3 y ? 4 ? 0.........................12分
21? 本小题满分12分 ? ex ( x ? 0) x2 ? I ? 求f ? x ?的最小值; 已知f ? x ? ?

? II ?当y ?

f ( x)的切线l的斜率为负数时,求l在y轴上的截距的取值范围.

ex e x ( x ? 2) )' ? ??1分 x2 x3 当x ? 2时,f ? ? x ? ? 0,? f ? x ? 在 ? 2, ?? ? 上递增 21.解: ? I? f '? x ? ? ( 当0 ? x ? 2时,f ? ? x ? ? 0,? f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上递减 则f ? x ?min ? f (2) ? e ?? 4分 4 ? II ?由? I ? 知当0 ? x ? 2时,f ? ? x ? ? 0 所以当0 ? x ? 2时,y ? f ? x ?的切线的斜率小于零
t t t 2

??3分

??5分

e e e (t ? 2) ), 则切线的方程为l : y ? 2 ? (x ? t) t2 t t3 et et (t ? 2) et (3 ? t ) l在y轴上的截距b ? 2 ? ? (0 ? t ? 2) ?? 7分 t t2 t2 et (3 ? t ) et 2 令h(t ) ? (0 ? t ? 2) ,则 h '( t ) ? ? (t ? 4t ? 6) ??8分 t2 t3 ? t 2 ? 4t ? 6 ? (t ? 2) 2 ? 2 ? 0, 设切点坐标为(t , et 2 (t ? 4t ? 6) ? 0对?t ? (0, 2)恒成立 t3 ? h(t )在(0, 2)上单调递减, ??10分 则h '(t ) ? ? e2 ,当t ? 0? 时,h(t ) ? ?? 4 e2 所以h(t )的取值范围是( , ??), 4 这就是所求切线在y轴上的截距的取值范围。 ??12分 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请写 清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 ?ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H . 且 B, E , H , D 四点共圆, F 在 AC 上,且 ?DEC ? ?FEC . (I)求 ? B 的度数; (Ⅱ)证明: AE ? AF . 又h(2) ?
23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知倾斜角为

? 的直线 ? 经过点 P(1,1) . 4
2 2

(I)写出直线 ? 的参数方程; (Ⅱ)设直线 ? 与 x ? y ? 4相交于A, B两点,求 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?

1 1 ? 的值。 | PA | | PB |

x ? 8 ? x.

(I)求 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| k ? 2 | 有实数解,求实数 k 的取值范围

第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(Ⅰ)解:因为 B , E , H , D 四点共圆,所以 ?B ??DHE ? 180? . 分 因为 ?ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H ,所以 ?HAC ? ?HCA ? 因为 ?DHE ? ?AHC ,所以 ?B ? ?180? ? (Ⅱ)连接 BH ,则 BH 是 ?ABC 的平分线. 因为 B , E , H , D 四点共圆, ?B ? 60? , 所以 ?EHA ? 60? , ?DEH ? ?DBH ? 30? .…………8 分 因为 ?DEC ? ?FEC ,
B E

…………1

180? ? ?B .……3 分 2

? ?

180? ? ?B ? ? ? 180? ,解得 ?B ? 60? . ………5 分 2 ?
…………6 分
A

F H D C

所以 ?FEC ? 30? ,可知 AH ? EF . 又因为 AH 平分 ?EAF ,所以 AE ? AF . …………10 分

? ? ? x ? 1? ? ? x ? 1 ? t cos 4 ? 23.解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ? ?y ? 1? ? y ? 1 ? t sin ? 4 ? ? ? x ? 1? ? ? (Ⅱ)将 ? ?y ? 1? ? ?
所以,

2 t 2 ……………………4 分 2 t 2

2 t 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 ,化简整理得: t 2 ? 2 2t ? 2 ? 0 ………6 分 2 t 2
……………………………………7 分

PA ? PB ? t1 ? t 2 ? t1 ? t 2 ? ? 2 ? 2

因为直线 l 经过圆心,所以,

PA ? PB ? AB ? 4 …………………………………8 分
? 4 ? 2 ………………………………………………10 分 2
有 :

所以,

1 1 ? PA PB


=

PA ? PB PA ? PB
依 题

24.



: (





0? x?8





y ? x ? 8? x





y 2 ? 8 ? 2 x(8 ? x) ? 8 ? x ? (8 ? x) ? 16 ,所以,0 ? y ? 4 ,当且仅当 x ? 8 ? x ,即 x ? 4 时,
等号成立,故

f ( x) 的最大值为 4…………5 分
f ( x) 的最大值为 4,又因为关于 x 的不等式 f ( x) ? k ? 2 有解,
10 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 所以,

k ? 2 ? 4 ,解得, ? 2 ? k ? 6 ,即 k ? [?2,6] …………………………



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