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数学:第三章《统计案例》教案(1)(新人教A版选修2-3)



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第三章

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统计案例

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用
(共计 4 课时) 授课类型:新授课 一、教学内容与教学对象分析 学生将在必修课程学习统计的基础上,通过对典型案例的讨论,了解和使用一些常用的 统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中的作 用。 二、学习目标 1、知识与技能 通过本节的学习,了解回归分析的基本思想,会对两个变量进行回归分析,明确建立回归模 型的基本步骤,并对具体问题进行回归分析,解决实际应用问题。 2、过程与方法 本节的学习,应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性,明确回归分析的基本思想, 从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足,从中引导学生去发现 解决问题的新思路—进行回归分析,进而介绍残差分析的方法和利用 R 的平方来表示解释变 量对于预报变量变化的贡献率,从中选择较为合理的回归方程,最后是建立回归模型基本步 骤。 3、情感、态度与价值观 通过本节课的学习,首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想,明确回归分 析的基本方法和基本步骤,培养我们利用整体的观点和互相联系的观点,来分析问题,进一 步加强数学的应用意识,培养学生学好数学、用好数学的信心。加强与现实生活的联系,以 科学的态度评价两个变量的相关系。教学中适当地增加学生合作与交流的机会,多从实际生 活中找出例子,使学生在学习的同时。体会与他人合作的重要性,理解处理问题的方法与结 论的联系,形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。培养学生运用所学知识, 解决实际问题的能力。 三、教学重点、难点 教学重点:熟练掌握回归分析的步骤;各相关指数、建立回归模型的步骤;通过探究使学生 体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际问题的过程中寻找 更好的模型的方法。 教学难 点:求回归系数 a , b ;相关指数的计算、残差分析;了解常用函数的图象特点, 选择不同的模型建模,并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。 四、教学策略: 教学方法:诱思探究教学法 学习方法:自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。 教学手段:多媒体辅助教学 五、教学过程: (一) 、复习引入:回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 (二) 、新课: 探究:对于一组具有线性相关关系的数据: ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,?, ( xn , yn ),

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a ? y ? bx

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(1)

我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为:

b?

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

(2)
2

其中 x ?

1 n 1 n ( x , y )成为样本点的中心. x , y ? yi , ? i n? n i ?1 i ?1

注:回归直线过样本中心. 你能推导出这两个计算公式吗? 从我们已经学过的知识知道,截距 a 和斜率 b 分别是使

Q(? , ? ) ? ? ( yi ? bxi ? a)2
i ?1

n

取到最小值时 ? , ? 的值. 由于

Q(? , ? ) ? ?[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x) ? ( y ? ? x) ? ? ]2
i ?1

n

? ?{[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)]2 ? 2[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)] ? [( y ? ? x) ? ? ] ? [( y ? ? x) ? ? ]2}
i ?1
n

n

? ?[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)]2 ?2?[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)] ? ( y ? ? x ? ? ) ? n[( y ? ? x) ? ? ]2
i ?1 i ?1

n

注意到

?[ y ? ? x ? ( y ? ? x)]( y ? ? x ? ? )
i ?1 i i

n

? ( y ? ? x ? ? )?[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)]
i ?1

n

? ( y ? ? x ? ? )[? yi ? ? ? xi ? n( y ? ? x)]
i ?1 i ?1

n

n

? ( y ? ? x ? ? )[ny ? n? x ? n( y ? ? x)] ? 0 .
Q(? , ? ) ? ?[ yi ? ? xi ? ( y ? ? x)]2 ?n( y ? ? x ? ? )2
i ?1 n

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n n i ?1 i ?1

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n i ?1

? ? 2 ? ( xi ? x)2 ? 2? ? ( xi ? x)( yi ? y) ? ? ( yi ? y)2 ? n( y ? ? x ? ? )2

? n( y ? ? x ? ? ) 2 ? ? ( xi ? x) 2 [ ? ?
i ?1

n

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

]2 ? ?

[? ( xi ? x)( yi ? y )]2
i ?1

n

2

? ( x ? x)
i ?1 i

n

2

? ? ( yi ? y ) 2
i ?1

n

在上式中,后两项和 ? , ? 无关,而前两项为非负数,因此要使 Q 取得最小值,当且仅当 前两项的值均为 0,即有

??

? x ? y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

,? ? y ? ? x .

2 i

? nx

2

这正是我们所要推导的公式. 下面我们从另一个角度来推导的公式. 人教 A 版选修 2-2P37 习题 1.4A 组第 4 题: 用测量工具测量某物体的长度,由于工具的精度以及测量技术的原因,测得 n 个数据

a1 , a2 ,

, an .
1 n ? ai n i ?1

证明:用这个数据的平均值 x ?

表示这个物体的长度,能使这 n 个数据的方差

1 n f ( x) ? ? ( x ? ai ) 2 n i ?1
最小. 思考:这个结果说明了什么?通过这个问题,你能说明最小二乘法的基本原理吗? 证明:由于 f ( x) ?

1 n ? ( x ? ai )2 ,所以 n i ?1

f ' ( x) ?

2 n ? ( x ? ai ) , n i ?1 1 n ? ai 。 n i ?1

令 f ( x) ? 0 , 得 x ?
'

可以得到, x ?

1 n ? ai 是函数 f ( x) 的极小值点,也是最小值点. n i ?1

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这个结果说明,用 n 个数据的平均值 二乘法的基本原理. 由最小二乘法的基本原理即得 定理 设 x ? R , x ?

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1 n ? ai 表示这个物体的长度是合理的,这就是最小 n i ?1

x1 ? x2 ? n

? xn

,则

1 1 [( x ? x1 )2 ? ( x ? x2 )2 ? ? ( x ? xn )2 ] ? [( x ? x1 )2 ? ( x ? x2 )2 ? ? ( x ? xn )2 ] ? s 2 (*) n n x ? x2 ? ? xn 当且仅当 x ? x ? 1 时取等号. n x ? x2 ? ? xn (*) 式说明 , x ? 1 是任何一个实数 x 与 x1 , x2 , , xn 的差的平方的平均 n
数中最小的数.从而说明了方差具有最小性,也即定义标准差的合理性. 下 面 借 助 (*) 式 求 Q ? ( y1 ? bx1 ? a) 2 ? ( y2 ? bx2 ? a) 2 ? ? ? ( yn ? bxn ? a) 2 的 最 小 值.

( y1 ? bx1 ) ? ( y2 ? bx2 ) ? ? ( yn ? bxn ) n y1 ? y2 ? ? yn x ? x ? ? xn ? ?b? 1 2 ? y ?b? x , n n
由(*)式知,

Q ? [a ? ( y1 ? bx1 )]2 ? [a ? ( y2 ? bx2 )]2 ?

? [a ? ( yn ? bxn )]2

? [( y ? b ? x) ? ( y1 ? bx1 )]2 ? [( y ? b ? x) ? ( y2 ? bx2 )]2 ? ? [( x1 ? x)b ? ( y1 ? y)]2 ? [( x2 ? x)b ? ( y2 ? y)]2 ?
n n n i ?1 i ?1 i ?1

? [( y ? b ? x) ? ( yn ? bxn )]2

? [( xn ? x)b ? ( yn ? y)]2

? ? ( xi ? x)2 b2 ? 2? ( xi ? x)( yi ? y)b ? ? ( yi ? y)2
? ? ( xi ? x) 2 [b ?
i ?1 n

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i n i ?1 i i n

n

2

]2 ? ? ( yi ? y ) 2 ?
i ?1

n

[? ( xi ? x)( yi ? y )]2
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i n i ?1

n

2

? ? ( xi ? x) 2 [b ?
i ?1

n

? ( x ? x)( y ? y) ? ( xi ? x)2
i ?1 n

]2 ? ? ( yi ? y ) 2 ?
i ?1

n

[? ( xi ? x)( yi ? y )]2

? ( x ? x)
i ?1 i

n

2

? ? ( yi ? y ) 2 ?
i ?1 n n

n

[? ( xi ? x)( yi ? y )]2
i ?1

? ( x ? x)
i ?1 i n i ?1 2

n

2

?

? ( xi ? x)2 ? ( yi ? y)2 ? [? ( xi ? x)( yi ? y)]2
i ?1 i ?1

? ( x ? x)
i ?1 i

n

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n

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n i

当且仅当 a ? y ? b ? x ,且 b ?

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nx y
i ?1 i

? ( xi ? x)2
i ?1

n

?

i ?1 n

i

i

? xi 2 ? nx
i ?1

2

时, Q 达到最小值

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i n i ?1

n

n

2

? [? ( xi ? x)( yi ? y )]2
i ?1 2

n

? ( x ? x)
i

.

n ? ( xi ? x )( y i ? y ) ? ? i ?1 ?b ? ? n 由此得到, ? 2 ( xi ? x ) ? ? i ?1 ? ? a ? y ? bx .

?x
i ?1 n

n

i

? y i ? nx ? y ,
2 2 i

? x ? nx
i ?1

其中 b 是回归直线的斜率, a 是

截距. 借助 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 和配方法,我们给出了人教 A 版必修 3 的第二章统计第 三节变量间的相关关系中回归直线方程 y ? bx ? a 的一个合理的解释 1、回归分析的基本步骤: (1) 画出两个变量的散点图. (2) 求回归直线方程. (3) 用回归直线方程进行预报. 下面我们通过案例,进一步学习回归分析的基本思想及其应用 2、举例: 例 1. 从某大学中随机选取 8 名女大学生,其身高和体重数据如表 编号 身高/cm 体重/kg 1 48 2 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 165 165

求根据女大学生的身高预报体重的回归方程,并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体重. 解:由于问题中要求根据身高预报体重,因此选取身高为自变量 x ,体重为因变量 y . 作散点图(图 3 . 1 一 1)

从图 3. 1 一 1 中可以看出,样本点呈条状分布,身高和体重有比较好的线性相关关系, 因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系

? ? 0.849, a ? ? ?85.712 . 根据探究中的公式(1)和(2 ) ,可以得到 b
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于是得到回归方程

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y ? 0849x ? 85.712 .
因此,对于身高 172 cm 的女大学生,由回归方程可以预报其体重为

y ? 0849 ?172 ? 85.712 ? 60.316 ( kg ) .
? ? 0.849 是斜率的估计值,说明身高 x 每增加 1 个单位时,体重 y 就增加 0.849 位, b
这表明体重与身高具有正的线性相关关系.如何描述它们之间线性相关关系的强弱? 在必修 3 中,我们介绍了用相关系数;来衡量两个变量之间线性相关关系的方法 本相关 系数的具体计算公式为

r?

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ( xi ? x )2 ? ( yi ? y )2
i ?1 i ?1

n

n

当 r>0 时,表明两个变量正相关;当 r<0 时,表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近 1, 表明两个变量的线性相关性越强;r 的绝对值接近于 0 时,表明两个变量之间几乎不存在线性 相关关系.通常,当 r 的绝对值大于 0. 75 时认为两个变量有很强的线性相关关系 在本例中,可以计算出 r =0. 798.这表明体重与身高有很强的线性相关关系,从而也表 明我们建立的回归模型是有意义的 显然,身高 172cm 的女大学生的体重不一定是 60. 316 kg,但一般可以认为她的体重接 近于 60 . 316 kg .图 3 . 1 一 2 中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点

由于所有的样本点不共线,而只是散布在某一条直线的附近,所以身高和体重的关系可 用下面的线性回归模型来表示:

y ? bx ? a ? e , ( 3 )
这里 a 和 b 为模型的未知参数,e 是 y 与 y ? bx ? a 之间的误差.通常 e 为随机变量, 称为随机误差,它的均值 E (e)=0,方差 D(e)= D(e) ? ? >0 .这样线性回归模型的完
2

整表达式为:

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? y ? bx ? a ? e, ? 2 ? E (e) ? 0, D(e) ? ? .
y ? bx ? a
(4)

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在线性回归模型(4)中,随机误差 e 的方差护越小,通过回归直线 (5)

预报真实值 y 的精度越高.随机误差是引起预报值 y 与真实值 y 之间的误差的原因之一,大 小取决于随机误差的方差. 另一方面,由于公式(1)和(2)中 a 和 b 为截距和斜率的估计值,它们与真实值 a 和 b 之间也存在误差,这种误差是引起预报值 y 与真实值 y 之间误差的另一个原因. 思考:产生随机误差项 e 的原因是什么? 一个人的体重值除了受身高的影响外,还受许多其他因素的影响.例如饮食习惯、是否 喜欢运动、度量误差等.事实上,我们无法知道身高和体重之间的确切关系是什么,这里只 是利用线性回归方程来近似这种关系.这种近似以及上面提到的影响因素都是产生随机误差 e 的原因. 因为随机误差是随机变量,所以可以通过这个随机变量的数字特征来刻画它的一些总体 特征.均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征,方差是反映随机变量集中于均值程度 的数字特征,而随机误差的均值为 0,因此可以用方差 ? 来衡量随机误差的大小.
2

为了衡量预报的精度,需要估计护的值.一个自然的想法是通过样本方差来估计总体方 差.如何得到随机变量 e 的样本呢?由于模型(3)或(4)中的 e 隐含在预报变量 y 中,我 们无法精确地把它从 y 中分离出来,因此也就无法得到随机变量 e 的样本. 解决问题的途径是通过样本的估计值来估计 ? . 根据截距和斜率的估计公式 (1) 和 (2 ) ,
2

可以建立回归方程

y ? bx ? a ,
因此 y 是(5)中 y 的估计量.由于随机误差 e ? y ? y ,所以 e ? y ? y 是 e 的估计量.对于 样本点( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,?, ( xn , yn ) 而言,相应于它们的随机误差为

ei ? yi ? yi ? yi ? bxi ? a, i ? 1,2,
其估计值为

,n,

ei ? yi ? yi ? yi ? bxi ? a, i ? 1, 2,

,n,

ei 称为相应于点 ( xi , yi ) 的残差(resid ual ).类比样本方差估计总体方差的思想,可以用

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?2 ?
2

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1 n 2 1 ei ? Q(a, b)(n ? 2) ? n ? 2 i ?1 n?2

作为 ? 的估计量, 其中 a 和 b 由公式(1) (2)给出,Q( a , b )称为残差平方和(residual sum of squares ).可以用 ? 2 衡量回归方程的预报精度.通 常, ? 2 越小,预报精度越高. 在研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关,是否可 以用线性回归模型来拟合数据 然后,可以通过残差

e1 , e2 ,

, en

来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为残差分 析.表 3 一 2 列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。 编号 身高/cm 体重/kg 残差 e 1 165 48 -6.373 2 165 57 3 157 50 4 170 54 -4.618 5 175 64 6 165 61 7 155 43 -2.883 8 170 59 0.382

2.627 2.419

1.137 6.627

我们可以利用图形来分析残差特性作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或 身高数据,或体重的估计值等,这样作出的图形称为残差图.图 3 . 1 一 3 是以样本编号 为横坐标的残差图。

从图 3 . 1 一 3 中可以看出,第 1 个样本点和第 6 个样本点的残差比较大,需要确认 在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误.如果数据采集有错误,就予以纠正,然后 再重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误,则需要寻找其他的原因.另外, 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度 越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高.另外,我们还可以用相关指数 R 来刻画回归的效果,其计算公式是:
2

R2 ? 1 ?

?(y ? y ) ? ( y ? y)
i ?1 i
2

n

2

i ?1 n

i

i

2

显然, R 取值越大,意味着残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.在线性回 归模型中, R 表示解释变量对于预报变量 变化的贡献率. R 越接近于 1,表示回归的效果 越好(因为 R 越接近于 1,表示解释变量和预报变量的线性相关性越强) .如果对某组数据可 能采取几种不同的回归方程进行回归分析,也可以通过比较几个 R ,选择 R 大的模型作为
2 2 2 2 2

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这组数据的模型。
2

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在例 1 中, R =0. 64 ,表明“女大学生的身高解释了 64 %的体重变化” ,或者说“女 大学生的体重差异有 64 %是由身高引起的” 用身高预报体重时,需要注意下列问题: 1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体.例如,不能用女大学生的身高和体 重之间的回归方程,描述女运动员的身高和体重之间的关系.同样,不能用生长在南方 多雨地区的树木的高与直径之间的回归方程,描述北方干旱地区的树木的高与直径之间 的关系。 2.我们所建立的回归方程一般都有时间性.例如,不能用 20 世纪 80 年代的身高 体重数据所建立的回归方程,描述现在的身高和体重之间的关系。 3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围.例如,我们的回归方程是由女大 学 生身高和体重数据建立的,那么用它来描述一个人幼儿时期的身高和体重之间的关系就 不恰当(即在回归方程中,解释变量 x 的样本的取值范围为[155cm,170cm〕 ,而用这 个方程计算 x-70cm 时的 y 值,显然不合适。) 4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值.事实上,它是预报变量 的可能取值的平均值. 一般地,建立回归模型的基本步骤为: (1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量; (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存 在线性关系等) (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性回归 方程 y=bx+a ) (4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法); (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残差过大,或残差呈现不随 机的规律性等等) ,若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等 例 2.现收集了一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 之间的 7 组观测数据列于下表: 温度 x C
o

21 23 25 27 29

32

35 325
o

产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115

(1)试建立 y 与 x 之间的回归方程;并预测温度为 28 C 时产卵数目。 (2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化? 探究: 方案 1(学生实施): (1)选择变量,画散点图。 (2)通过计算器求得线性回归方程: y =19.87x-463.73 (3)进行回归分析和预测: 2 2 R =r ≈0.8642=0.7464 预测当气温为 28 时,产卵数为 92 个。这个线性回归模型中温度解释了 74.64%产卵数的 变 化。 困惑:随着自变量的增加,因变量也随之增加,气温为 28 时,估计产卵数应该低于 66 个,但是从推算的结果来看 92 个比 66 个却多了 26 个,是什么原因造成的呢? 方案 2:
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?

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2 2

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(1)找到变量 t=x ,将 y=bx +a 转化成 y=bt+a; (2)利用计算器计算出 y 和 t 的线性回归方程:y=0.367t-202.54 (3)转换回 y 和 x 的模型: 2 (4)y=0.367x -202.54 2 (5)计算相关指数 R ≈0.802 这个回归模型中温度解释了 80.2%产卵数的变化。 预测:当气温为 28 时,产卵数为 85 个。 困惑:比 66 还多 19 个,是否还有更适合的模型呢? 方案 3: (1)作变换 z=lgy,将 y ? c110 2 转化成 z=c2x+lgc1(线性模型)。 (2)利用计算器计算出 z 和 x 的线性回归方程: z=0.118x-1.672 (3)转换回 y 和 x 的模型: y ? 100.118 x ?1.672 (4)计算相关指数 R ≈0.985 这个回归模型中温度解释了 98.5%产卵数的变化。 预测:当气温为 28 时,产卵数为 4 2 个。 解:根据收集的数据作散点图(图 3. 1 一 4 ) .
2

c x

在散点图中,样本点并没有分布在某个带状区域内,因此两个变量不呈线性相关关系, 所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.根据已有的函数知识,可以发 现样本点分布在某一条指数函数曲线 y ? c1e 2 的周围,其中 c1 和 c 2 是待定参数.现在,问题
c x

变为如何估计待定参数 c1 和 c 2 .我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令

z ? ln y ,则变换后样本点应该分布在直线 z ? bx ? a(a ? ln c1 ,b ? ln c1 ) 的周围.这样,就可
以利用线性回归模型来建立 y 和 x 之间的非线性回归方程了. 由表 3 一 3 的数据可以得到变换后的样本数据表 3 一 4 ,图 3.1 一 5 给出了表 3 一 4 中数据的散点图.从图 3.1 一 5 中可以看出,变换后的样本点分布在一条直线的附近,因此 可以用线性回归方程来拟合. x z 21 1.946 23 3.398 25 3.045 27 3.178 29 4.190
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32 4.745

35 5.784

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z ? 0.272x ? 3.849 .

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由表 3 一 4 中的数据得到线性回归方程

因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为

y

(1)

? e0.272 x ?3.849 .

( 6 )

另一方面,可以认为图 3. 1 一 4 中样本点集中在某二次曲线 y ? c3 x2 ? c4 的附近,其中

c3 和 c4 为待定参数.因此可以对温度变量做变换,即令 t ? x2 ,然后建立 y 与 t 之间的线性
回归方程,从而得到 y 与 x 之间的非线性回归方程.表 3 一 5 是红铃虫的产卵数和对应的温 度的平方,图 3 . 1 一 6 是相应的散点图. t x 441 7 529 11 625 21 729 24 841 66 1024 115 1225 325

从图 3.1 一 6 中可以看出,y 与 t 的散点图并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线 性回归方程来拟合它, 即不宜用二次曲线 y ? c3 x ? c4 来拟合 y 和 x 之间的关系. 这个结论
2

还可以通过残差分析得到,下面介绍具体方法. 为比较两个不同模型的残差,需要建立两个相应的回归方程.前面我们已经建立了 y 关于 x 的指数回归方程,下面建立 y 关于 x 的二次回归方程.用线性回归模型拟合表 3 一 5
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y
(2)

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中的数据,得到 y 关于 t 的线性回归方程

? 0.367t ? 202.543 ,

即 y 关于 x 的二次回归方程为

y

(2)

? 0.367 x 2 ? 202.543 .

( 7 )

可以通过残差来比较两个回归方程( 6 )和( 7 )的拟合效果.用 xi 表示表 3 一 3 中第 1 行第 i 列的数据,则回归方程( 6 )和( 7 )的残差计算公式分别为

ei

(1)

? yi ? yi

(1)

? yi ? e0.272 x ?3.849 , i ? 1, 2,

,7 ; ,7 .

ei

(2)

? yi ? yi

(2)

? yi ? 0.367 x 2 ? 202.543, i ? 1, 2,

表 3 一 6 给出了原始数据及相应的两个回归方程的残差.从表中的数据可以看出模型 ( 6 ) 的残差的绝对值显然比模型( 7 )的残差的绝对值小,因此模型( 6 )的拟合效果比模型 ( 7 ) 的拟合效果好. x y
(1)

21 7 0.557 47.696

23 11 -0.101 19.400

25 21 1.875 -5.832

27 24 -8.950 -41.000

29 66 9.230 -40.1.4

32 115 -13.381 -58.265

35 325 34.675 77.968

ei

ei

(2)

在一般情况下,比较两个模型的残差比较困难.原因是在某些样本点上一个模型的残差 的绝对值比另一个模型的小,而另一些样本点的情况则相反.这时可以通过比较两个模型的 残差平方和的大小来判断模型的拟合效果.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好.由表 3 一 6 容易算出模型( 6 )和( 7 )的残差平方和分别为

Q

(1)

? 1550.538, Q

(2)

? 15448.431 .

因此模型(6)的拟合效果远远优于模型(7). 2 类似地,还可以用尸来比较两个模型的拟合效果,R 越大,拟合的效果越好.由表 3 一 2 6 容易算出模型(6)和(7)的 R 分别约为 0 . 98 和 0 . 80 ,因此模型( 6 )的效果好 于模型(7) 的效果. 对于给定的样本点( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,?, ( xn , yn ),两个含有未知参数的模型

y ? f ( x, a) 和 y

(1)

(2)

? g ( x, b) ,
(1) (2)

其中 a 和 b 都是未知参数.可以按如下的步骤来比较它们的拟合效果: (1)分别建立对应于两个模型的回归方程 y 分别是参数 a 和 b 的估计值; (2) 分 别 计 算 两 个 回 归 方 程 的 残 差 平 方 和 Q
(1)

? f ( x, a) 与 y

? g ( x, b) , ,其中 a 和 b

? ? ( yi ? yi )2 与
i ?1

n

(1)

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Q
(2)

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? ? ( yi ? yi
i ?1
(1)

n

(2)

)2 ;
,则 y
(1)

( s )若 Q

?Q

(2)

? f ( x , a ) 的效果比 y

(2)

? g ( x, b) 的好;反之, y

(1)

? f ( x, a ) 的

效果不如 y

(2)

? g ( x, b) 的好.

例 2: (提示后做练习、作业)研究某灌溉渠道水的流速 y 与水深 x 之间的关系,测得一 组数据如下: 水深 xm 1.40 1.50 1.60 流速 1.70 1.79 1.88 ym/s (1)求 y 对 x 的回归直线方程; 1.70 1.95 1.80 2.03 1.90 2.10 2.00 2.16 2.10 2.21

(2)预测水深为 1。95m 时水的流速是多少? 解:依题意,把温度作为解释变量 x ,产卵个数 y 作为预报变量 , 作散点图,由观察知 c2 x 两个变量不呈线性相关关系。但样本点分布在某一条指数函数 y=c1e 周围. 令 z=lny , a=lnc1 , b=c2 则 z=bx+a 此时可用线性回归来拟合 z=0.272x-3.843 因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为 0.272x-3 .843. Y=e 3、从上节课的例 1 提出的问题引入线性回归模型: Y=bx+a+e 解释变量 x 预报变量 y 随机误 差 e 4、 (1) 相关指数: 相关系数 r (公式) , r>0 正相关. R<0 负相关 R 绝对值接近于 1 相关性强接 r 绝对值 近于 0 相关性几乎无

? 2 ? 总偏差平方和 : ?3? 残差
? i =yi -y ?i e
n

? ?y
1

n

i

? y?

2

?i ? ? 4 ? 残差平方和 ? ? yi ? y
1

2

? 5?回归平方和

= 总偏差平方和 - 残差平方和 ?? ?? y ? y
i i n 2

? 6 ?回归效果的相关指数R 2 ? 1 ?

?? y ? y ?
i 1

1 n

2

? 7 ? 残差分析通过残差判断模型拟合效果判断原始数据是否存在可疑数据
5、 回忆建立模型的基本步骤 ① 例 2 问题背景分析 画散点图。 ② 观察

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散点图,分析解释变量与预报变量更可能是什么函数关系。 ③ 学生讨论后建立自己的 模型 ④ 引导学生探究如果不是线性回归模型如何估计参数。能否利用回归模型 通过探究体会有些不是线性的模型通过变换可以转化为线性模型 ⑤ 对数据进行变换 后,对数据(新)建立线性模型 ⑥ 转化为原来的变量模型,并通过计算相关指数比 较几个不同模型的拟合效果 ⑦ 总结建模的思想。鼓励学生大胆创新。 ⑧ 布置 课后作业: 习题 1.1 1、 6、复习与巩固:练习 1:某班 5 名学生的数学和化学成绩如下表所示,对 x 与 y 进行回归分 析,并预报某学生数学成绩为 75 分时,他的化学成绩。 A B C D E 数学 x 88 76 73 66 63 化学 y 78 65 71 64 61 解略。 练习 2:某医院用光电比色计检验尿汞时,得尿汞含量 (mg/l) 与消光系数的结果如 下: 尿汞含量 x 消光系数 y 2 64 4 138
2

6 205

8 285

10 360

(1)求回归方程。 (2)求相关指数 R 。 解:略。 (三) 课堂小结 1.知识梳理:

2 规律小结: (1)回归直线方程; (2)样本相关系数; (3)样本残差分析; (4)样本指数; (5)建立回归模型的基本步骤。 (四) 作业: (五) 课后反思: 本节内容对回归分析的探讨过程很精彩,学生讨论很热烈,激发了学生的学习热情。但对残 差分析学生只能欣赏它的过程,计算量太大,思维的跳跃性太强!

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3.2

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独立性检验的基本思想及其初步应用
(共计 3 课时) 授课类型:新授课

一、教学内容与教学对象分析 通过典型案例,学习下列一些常用的统计方法,并能初步应用这些方法解决一些实际问 题。 ① 通过对典型案例(如“患肺癌与吸烟有关吗”等)的探究。了解独立性检验(只要 求 2×2 列联表)的基本思想、方法及初步应用。 ② 通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系”等)的探究,了解回归的基本思想、 方法及其初步应用。 二. 学习目标 1、知识与技能 通过本节知识的学习,了解独立性检验的基本思想和初步应用,能对两个分类变量是否有关 做出明确的判断。明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤,会对具体问题作 出独立性检验。 2、过程与方法 在本节知识的学习中,应使学生从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性,树立学 好本节知识的信心,在此基础上学习三维柱形图和二维柱形图,并认识它们的基本作用和存 在的不足,从而为学习下面作好铺垫,进而介绍 K 的平方的计算公式和 K 的平方的观测值 R 的求法,以及它们的实际意义。从中得出判断“X 与 Y 有关系”的一般步骤及利用独立性检验 来考察两个分类变量是否有关系,并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可信 程度的大小。最后介绍了独立性检验思想的综合运用。 3、情感、态度与价值观 通过本节知识的学习,首先让学生了解对两个分类博变量进行独立性检验的必要 性和作用, 并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别,从而引导学生去探索新知识,培养学生全 面的观点和辨证地分析问题,不为假想所迷惑,寻求问题的内在联系,培养学生学习数学、 应用数学的良好的数学 品质。加强与现实生活相联系,从对实际问题的分析中学会利用图形 分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联系,学习用图形、数据来正确描述 两个变量的关系。明确数学在现实生活中的重要作用和实际价值。教学中,应多给学生提供 自主学习、独立探究、合作交流的机会。养成严谨的学习态度及实事求是的分析问题、解决 问题的科学世界观,并会用所学到的知识来解决实际问题。 三.教学重点、难点 教学重点:理解独立性检验的基本思想;独立性检验的步骤。 教学难点;1、理解独立性检验的基本思想; 2 2、了解随机变量 K 的含义; 3、独立性检验的步骤。 四、教学策略 教学方法:诱思探究教学法 学习方法:自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。 教学手段:多媒体辅助教学

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五、教学过程: 对于性别变量,其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别, 像这类变量称为分类变量.在现实生活中,分类变量是大量存在的,例如是否吸烟,宗教信 仰,国籍,等等.在日常生活中,我们常常关心两个分类变量之间是否有关系.例如,吸烟 与患肺癌是否有关系?性别对于是否喜欢数学课程有影响?等等. 为调查吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地调查了 9965 人,得到如下结果(单 位:人) 表 3-7 吸烟与肺癌列联表
不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965

那么吸烟是否对患肺癌有影响吗? 像表 3 一 7 这样列出的两个分类变量的频数表,称为列联表.由吸烟情况和患肺癌情况 的列联表可以粗略估计出:在不吸烟者中,有 0.54 %患有肺癌;在吸烟者中,有 2.28%患 有肺癌.因此,直观上可以得到结论:吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异. 与表格相比, 三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况. 图 3. 2 一 1 是列联表的三维柱形图,从中能清晰地看出各个频数的相对大小.

图 3.2 一 2 是叠在一起的二维条形图,其中浅色条高表示不患肺癌的人数,深色条高表 示患肺癌的人数.从图中可以看出,吸烟者中患肺癌的比例高于不吸烟者中患肺癌的比例.

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为了更清晰地表达这个特征,我们还可用如下的等高条形图表示两种情况下患肺癌的比 例.如图 3.2 一 3 所示,在等高条形图中,浅 色的条高表示不患肺癌的百分比;深色的条高 表示患肺癌的百分比.

通过分析数据和图形,我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关” .那么我们是否能够 以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢? 为了回答上述问题,我们先假设 H0:吸烟与患肺癌没有 关系.用 A 表示不吸烟, B 表示不患肺癌,则“吸烟与患肺癌没 有关系”独立” ,即假设 H0 等价于 PAB)=P(A)+P(B) . 把表 3 一 7 中的数字用字母代替,得到如下用字母表示的列联表: 表 3-8 吸烟与肺癌列联表
不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 a c a+c 患肺癌 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

在表 3 一 8 中,a 恰好为事件 AB 发生的频数;a+b 和 a+c 恰好分别为事件 A 和 B 发生的 频数.由于频率近似于概率,所以在 H0 成立的条件下应该有

a a?b a?c ? ? , n n n 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量, (a+b+c+d)≈(a+b)(a+c) ,
即 ad≈bc. 因此,|ad-bc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱;|ad -bc|越大,说明吸烟与患肺癌之 间关系越强.
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为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上面的分析,我们构造一个随机变

n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ? 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量.
2 2

(1)

若 H0 成立,即“吸烟与患肺癌没有关系” ,则 K “应该很小.根据表 3 一 7 中的数据, 利用公式(1)计算得到 K “的观测值为

9965 ? 7775 ? 49 ? 42 ? 2099 ? K ? ? 56.632 , 7817 ? 2148 ? 9874 ? 91
2 2

这个值到底能告诉我们什么呢? 统计学家经过研究后发现,在 H0 成立的情况下,

P( K 2 ? 6.635) ? 0.01.
2 2

(2)

(2)式说明,在 H0 成立的情况下, K 的观测值超过 6. 635 的概率非常小,近似为 0 . 01,是一个小概率事件.现在 K 的观测值 k ≈56.632 ,远远大于 6. 635,所以有理由断定 H0 不成立, 即认为 “吸烟与患肺癌有关系” . 但这种判断会犯错误, 犯错误的概率不会超过 0.01, 即我们有 99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系” 在上述过程中, 实际上是借助于随机变量 K 的观测值 k 建立了一个判断 H0 是否成立的规 则: 如果 k ≥6. 635,就判断 H0 不成立,即认为吸烟与患肺癌有关系;否则,就判断 H0 成立, 即认为吸烟与患肺癌没有关系 在该规则下,把结论“H0 成立”错判成“H0 不成立”的概率不会超过
2

P( K 2 ? 6.635) ? 0.01,
即有 99%的把握认为从 不成立. 上面解决问题的想法类似于反证法.要确认是否能以给定的可信程度认为“两个分类变 量有关系” ,首先假设该结论不成立,即 H0:“两个分类变量没有关系” 成立.在该假设下我们所构造的随机变量 K 应该很小.如果由观测数据计算得到的 K 的观 测值 k 很大,则在一定可信程度上说明 H0 不成立,即在一定可信程度上认为“两个分类变量 有关系” ;如果 k 的值很小,则说明由样本观测数据没有发现反对 H0 的充分证据 怎样判断 K 的观测值 k 是大还是小呢?这仅需确定一个正数 k0 ,当 k ? k0 时就认为
2 2 2

K 2 的观测值 k 大.此时相应于 k0 的判断规则为:
如果 k ? k0 ,就认为“两个分类变量之间有关系” ;否则就认为“两个分类变量之间没有 关系”. 我们称这样的 k0 为一个判断规则的临界值.按照上述规则,把“两个分类变量之间没有 关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为 P( K 2 ? k0 ) . 在实际应用中,我们把 k ? k0 解释为有 (1 ? P( K 2 ? k0 )) ?100% 的把握认为“两个分类

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变量之间有关系” ;把 k ? k0 解释为不能以 (1 ? P( K 2 ? k0 )) ?100% 的把握认为“两个分类变 量之间有关系” ,或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据.上面 这种利用随机变量 K 来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法,称为两 个分类变量的独立性检验 利用上面结论,你能从列表的三维柱形图中看出两个变量是否相关吗? 一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的可能取值分别为{ x1 , x2 }和{ y1 , y2 }, 其 样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为: 表 3 一 9 2×2 列联表
2

y1 x1 x2
总计

y2
b
d b?d

总计

a c a?c

a?b c?d a?b?c?d

若要推断的论述为 Hl:X 与 Y 有关系, 可以按如下步骤判断结论 Hl 成立的可能性: 1.通过三维柱形图和二维条形图,可以粗略地判断两个分类变量是否有关系,但是这种 判断无法精确地给出所得结论的可靠程度. ① 在三维柱形图中,主对角线上两个柱形高度的乘积 ad 与副对角线上的两个柱形高度 的乘积 bc 相差越大,H1 成立的可能性就越大. ② 在二维条形图中,可以估计满足条件 X= x1 的个体中具有 Y= y1 的个体所占的比例

a c ,也可以估计满足条件 X= x2 的个体中具有 Y= y2 ,的个体所占的比例 .“两个比例 c?d a?b
的值相差越大,Hl 成立的可能性就越大. 2.可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判断 的可靠 程度.具体做法是: ① 根据实际问题需要的可信程度确定临界值 k0 ; ② 利用公式( 1 ) ,由观测数据计算得到随机变量 K 的观测值 k ; ③ 如果 k ? k0 ,就以 (1 ? P( K ? k0 )) ?100% 的把握认为“X 与 Y 有关系” ;否则就说样
2
2

本观测数据没有提供“X 与 Y 有关系”的充分证据. 在实际应用中,要在获取样本数据之前通过下表确定临界值: 表 3 一 10

P(K 2 ? k0 )

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

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k0
0.455 0.708 1.323 2.072

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1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

(四) 、举例: 例 1. 在某医院, 因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中, 有 214 人秃顶, 而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 人秃顶. (1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系. (2)能够以 99 %的把握认为秃顶与患心脏病有关系吗?为什么? 解:根据题目所给数据得到如下列联表: (1)相应的三维柱形图如图 3.2 一 4 所示.比较来说,底面副对角线上两个柱体高度的乘 积要大一些,可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”.

(2)根据列联表 3 一 11 中的数据,得到

1437 ? (214 ? 597 ? 175 ? 451)2 k? ≈16.373>6 . 389 ?1048 ? 665 ? 772
因此有 99 %的把握认为“秃顶与患心脏病有关” . 例 2.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随 机抽取 300 名学生,得到如下列联表: 表 3 一 12 性别与喜欢数学课程列联表
喜欢数学课程 男 女 总计 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 总计 122 178 300

2 由表中数据计算得 K 的观测值 k ? 4.514 .能够以 95%的把握认为高中生的性别与是否喜欢

数学课程之间有关系吗?请详细阐明得出结论的依据. 解:可以有约 95%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系” .作出这种判断的依 据是独立性检验的基本思想,具体过程如下: 分别用 a , b , c , d 表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生人数、 喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数.如果性别与是否喜欢数学课有关系,则 男生中喜欢数学课的比例

a c 与女生中喜欢数学课的人数比例 应该相差很多,即 c?d a?b

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| a c ad ? bc ? |?| | a ? b c ? d (a ? b)(c ? d )

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应很大. 将上式等号右边的式子乘以常数因子

(a ? b ? c ? d )(a ? b)(c ? d ) (a ? c)(b ? d )
然后平方得

,

K2 ?

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

其中 n ? a ? b ? c ? d .因此 K 越大, “性别与喜欢数学课之间有关系”成立的可能性越大. 另一方面,在假设“性别与喜欢数学课之间没有关系”的前提下,事件 A ={ K ≥3. 841} 的概率为 P ( K ≥3. 841) ≈0.05, 因此事件 A 是一个小概率事件.而由样本数据计算得 K 的观测值 k=4.514,即小概率事件 A 发生.因此应该断定“性别与喜欢数学课之间有关系”成立,并且这种判断结果出错的可能 性约为 5 %.所以,约有 95 %的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. 补充例题 1:打鼾不仅影响别人休息,而且可能与患某种疾病有关,下表是一次调查所得 的数据,试问:每一晚都打鼾与患心脏病有关吗? 患心脏病 30 24 54 未患心脏病 224 1355 1579 合计 254 1379 1633
2 2 2

每一晚都打鼾 不打鼾 合计 解:略。

补充例题 2: 对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行 3 年跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示: 又发作过心脏病 心脏搭桥手术 血管清障手术 合计 39 29 68 未发作过心脏病 157 167 324 合计 196 196 392

试根据上述数据比较两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别。 解略
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(四) 课堂小结 1.知识梳理

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2.规律小结 (1)三维柱形图与二维条形图 (2)独立性检验的基本思想 (3)独立性检验的一般方法 (五) 作业 五 课后反思: 本节内容对独立性检验的探讨过程学生基本没什么困难,还有学生提出了新的探讨路径和思 想,学生思维活泼!对独立性检验的作用,本节课也作了系统总结比较。

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